OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Kurs powtórkowy

Kurs powtórkowy

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

w1

w1

Obwody elektryczne i Teoria

obwodów 1

• Dr in

ż

.. Adam Guba

ń

ski

• Pok. 205/7 D1

• eportal.eny.pwr.wroc.pl

Wykład

Cel zaj

ęć

:

Umiej

ę

tno

ść

obliczania stanu ustalonego w obwodach RLC przy wymuszeniu

sinusoidalnym z wykorzystaniem: równa

ń

Kirchhoffa, zasady superpozycji,

metody pr

ą

dów oczkowych, metody potencjałów w

ę

złowych., twierdzenia Thevenina.

Rozwi

ą

zywanie obwodów ze sprz

ęż

eniem magnetycznym.

Wyznaczanie parametrów czwórników. Rozwi

ą

zywanie obwodów trójfazowych.

Składowe symetryczne- zagadnienia wst

ę

pne.

Zawarto

ść

kursu:

Liniowy obwód elektryczny przy wymuszeniu

sinusoidalnym. Metoda symboliczna.

Prawa i twierdzenia teorii obwodów w zapisie symbolicznym. Wykresy wskazowe.
Moc zespolona. Rezonans. Obwody ze sprz

ęż

eniem magnetycznym.

Czwórniki. Układy trójfazowe. Metoda składowych symetrycznych.

Obwody elektryczne

Literatura podstawowa:

1. S. Osowski, K. Siwek, M.

Ś

miałek – Teoria Obwodów, Oficyna Wydawnicza

2. Politechniki Warszawskiej, 2006.
2. S. Bolkowski - Teoria Obwodów Elektrycznych -WNT 1995 ;
3. Opracowania wewn

ę

trzne Zakładu Elektrotechniki Teoretycznej

Literatura uzupełniaj

ą

ca:

M. Uruski, W. Wolski - Teoria Obwodów t. I, II - skrypt P.Wr.
K. Mikołajuk, Z. Trzaska - Elektrotechnika Teoretyczna - PWN 1984
J. Osiowski, J. Szabatin - Podstawy Teorii Obwodów t. I, II - WNT 1992 - 1995

Warunki zaliczenia: egzamin
1 termin: 30.08.2011, godz. 10:00
2 termin: 13.09.2011, godz. 11:00

Sale 104 i 28 bud. D1

Obwody elektryczne

Teoria obwodów stanowi jedn

ą

z dziedzin elektrotechniki zajmuj

ą

c

ą

si

ę

stron

ą

teoretyczn

ą

zjawisk wyst

ę

puj

ą

cych w obwodach elektrycznych,

w tym metodami analizy rozpływu pr

ą

dów i rozkładu napi

ęć

w obwodzie w

stanie ustalonym i nieustalonym.
Przyjmuje si

ę

,

ż

e no

ś

nikami elektryczno

ś

ci s

ą

cz

ą

stki elementarne:

elektrony i protony.
W przypadku przewodników elektrycznych najwa

ż

niejsz

ą

rol

ę

odgrywaj

ą

elektrony swobodne, stanowi

ą

ce trwałe no

ś

niki ujemnego ładunku q,

wyzwolone z przyci

ą

gania j

ą

dra atomu oraz jony, stanowi

ą

ce cz

ą

steczki naładowane

dodatnio lub ujemnie.
Elektron ma ładunek elektryczny równy e = −1,602 176 487(40)·10

−19

C

i mas

ę

spoczynkow

ą

m

e

≈

9,10938·10

−31

kg

Pr

ą

d elektryczny powstaje jako uporz

ą

dkowany ruch ładunków elektrycznych i

jest uto

ż

samiany w teorii obwodów z poj

ę

ciem nat

ęż

enia pr

ą

du elektrycznego.

Jest wielko

ś

ci

ą

skalarn

ą

, a jej jednostk

ą

w układzie SI jest amper (A).

Ka

ż

demu punktowi w

ś

rodowisku przewodz

ą

cym pr

ą

d elektryczny mo

ż

na

przyporz

ą

dkowa

ć

pewien potencjał mierzony wzgl

ę

dem punktu odniesienia.

Ró

ż

nica potencjałów mi

ę

dzy dwoma punktami tego

ś

rodowiska nazywana jest

napi

ę

ciem elektrycznym. Jednostk

ą

napi

ę

cia elektrycznego jest volt (V).

Obwody elektryczne

0

0

0

lim

A

A

q

A

dW

V

E d l

q

∞

∞

→

=

=

∫

∫

B

B

AB

A

B

A

A

A

B

U

E dl

E dl

E d l

E d l

E dl

V

V

∞

∞

∞

∞

=

=

+

=

−

=

−

∫

∫

∫

∫

∫

E

dl

AB

U

A

B

( )

dq

i t

dt

=

Obwody elektryczne

Obwód elektryczny słu

ż

y do przekazywania energii

elektrycznej ze

ź

ródeł energii do odbiorników.

Za obwód elektryczny b

ę

dziemy uwa

ż

a

ć

takie

poł

ą

czenie elementów, które umo

ż

liwia przepływ

pr

ą

du.

• Z teori

ą

obwodów zwi

ą

zane jest poj

ę

cie sygnału.

• Rozró

ż

niamy sygnały:

• - napi

ę

ciowe ( napi

ę

cia ), u(t)

• - pr

ą

dowe ( pr

ą

dy ), i(t)

• - elektromagnetyczne ( fale elektromagnetyczne )

• i wiele innych.

Obwody elektryczne

• Je

ż

eli rozmiary obwodu s

ą

małe w porównaniu z

długo

ś

ci

ą

fali elektromagnetycznej sygnału to

wówczas mówimy, ze obwód ma skupione
elementy ( parametry ) – pomijamy rozmiary
geometryczne elementu.

• np. dla 50 Hz długo

ść

fali i

obwody o rozmiarach rz

ę

du kilkunastu

kilometrów mo

ż

na uwa

ż

a

ć

za skupione.

• Linie energetyczne o długo

ś

ci setek kilometrów

stanowi

ą

obwody o tzw. parametrach

rozło

ż

onych – musimy wówczas uwzgl

ę

dni

ć

rozmiary geometryczne.

km

f

c

6000

≈

⋅

=

λ

Obwody elektryczne

Obwody elektryczne charakteryzuj

ą

si

ę

okre

ś

lon

ą

budow

ą

tzw. struktur

ą

.

W strukturze obwodu wyró

ż

nia si

ę

:

• oczka

• gał

ę

zie

• w

ę

zły.

Gał

ę

zie utworzone s

ą

z elementów obwodu.

• Elementem obwodu jest jego cz

ęść

niepodzielna pod

wzgl

ę

dem funkcjonalnym, bez utraty cech

charakterystycznych.

• Elementami s

ą

np. oporniki, kondensatory, cewki,

akumulatory itp.

Obwody elektryczne

Elementy dzielimy na:
- aktywne
-pasywne.

Element aktywny wytwarza energi

ę

kosztem innej postaci energii:

- mechanicznej – generator
- chemicznej – ogniwo, akumulator
- słonecznej – ogniwa fotowoltaiczne
- itd.
Elementy pasywne:
- zachowawcze- akumuluj

ą

ce ( cewka, kondensator )

- rozpraszaj

ą

ce ( rezystor ).

Elementy posiadaj

ą

zaciski słu

żą

ce do doprowadzania sygnału,

dwu-, trzy-, cztery lub wi

ę

cej zaciskowe.( dwójniki, trójniki,

czwórniki, itd. )

Obwody elektryczne

a

V

b

V

i

u

b

a

ab

V

V

u

u

−

=

=

Elementy pasywne, dwu zaciskowe - strzałkowanie
Napi

ę

cie i pr

ą

d strzałkuje si

ę

przeciwsobnie ( nasza umowa ).

Na elemencie pasywnym zawsze

∫

∞

−

≥

t

uidt

0

Obwody elektryczne

Przykłady elementów pasywnych:

• Opornik, rezystor - opisuje si

ę

zale

ż

no

ś

ci

ą

mi

ę

dzy u i i ( sygnały )

i

u

R

u

i

α

R

tg

=

α

Liniowy - u =R i R – parametr zwany rezystancj

ą

lub oporem

( Ohm )

- kondunktancja, przewodno

ść

( Simens )

[ ]

Ω

=

1

R

G

R

=

1

[ ]

S

G

1

=

Obwody elektryczne

Nie zawsze element rezystancyjny musi mie

ć

charakterystyk

ę

liniow

ą

( np.

warystor )

Obwody elektryczne

Najcz

ęś

ciej opornik jest wykonywany z metalowego drutu.

Je

ż

eli drut ma długo

ść

l, pole przekroju poprzecznego S i

rezystancj

ę

wła

ś

ciw

ą

( rezystywno

ść

)

ρ

, to rezystancja

opornika jest wprost proporcjonalna do l i

ρ

, a odwrotnie

proporcjonalna do S, st

ą

d R=

ρ

l/S.

Obwody elektryczne

Wartość

Mnożnik

Tolerancja

Współczynnik

temp. ± ppm/K

Kolor

1 pasek

2 pasek

3 pasek

4 pasek

Ostatni pasek

brak

20

srebrny

0,01 Ω

10

złoty

0,1 Ω

5

czarny

0

0

x 1 Ω

20

200

brązowy

1

1

x 10 Ω

1

100

czerwony

2

2

x 100 Ω

2

50

pomarańczowy

3

3

x 1 kΩ

3

15

ż

ółty

4

4

x 10 kΩ

0,1

25

zielony

5

5

x 100 kΩ

0,5

niebieski

6

6

x 1 MΩ

0,25

10

fioletowy

7

7

x 10 MΩ

0,1

5

szary

8

8

0,05

1

biały

9

9

Obwody elektryczne

Uwagi:
- pasków lub kropek jest trzy, cztery, pi

ęć

lub sze

ść

je

ś

li jest ich trzy, to wszystkie trzy oznaczaj

ą

oporno

ść

(w tym trzeci oznacza mno

ż

nik), a tolerancja wynosi ±20%

je

ś

li jest ich cztery, to trzy pierwsze oznaczaj

ą

(tak jak w przypadku powy

ż

ej)

oporno

ść

, a czwarty – tolerancj

ę

je

ś

li jest ich pi

ęć

, to trzy pierwsze oznaczaj

ą

cyfry oporno

ś

ci, czwarty mno

ż

nik,

a pi

ą

ty tolerancj

ę

je

ś

li jest ich sze

ść

, to jest to opornik precyzyjny i trzy pierwsze oznaczaj

ą

cyfry

oporno

ś

ci, czwarty – mno

ż

nik, pi

ą

ty – tolerancj

ę

, szósty – temperaturowy współczynnik

rezystancji (ten pasek mo

ż

e znajdowa

ć

si

ę

na samym brzegu opornika)

pierwsz

ą

cyfr

ę

oznacza pasek bli

ż

szy ko

ń

ca, a mi

ę

dzy mno

ż

nikiem i

tolerancj

ą

jest czasem wi

ę

kszy odst

ę

p

stare oporniki s

ą

oznakowane:

1 cyfra – kolor opornika
2 cyfra – kolor paska
mno

ż

nik – kolor kropki

Obwody elektryczne

Szereg warto

ś

ci - warto

ś

ci nominalne ("znamionowe") rezystancji oporników i

Pojemno

ś

ci kondensatorów produkowanych seryjnie pochodz

ą

z ustalonej w tym celu

tabeli szeregów.

Obwody elektryczne

[ ]

Wb

1

=

Ψ

i

u

dt

d

u

Ψ

=

L

Cewka, zwojnica – opisuje si

ę

sygnałami

Ψ

, i (

Ψ

=w

Φ

) Weber

Cewka, zwana inaczej induktorem, nale

ż

y do klasy elementów pasywnych.

Ma ona zdolno

ść

gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej

przypisuje si

ę

tylko jedn

ą

wła

ś

ciwo

ść

, zwan

ą

indukcyjno

ś

ci

ą

własn

ą

(w skrócie indukcyjno

ś

ci

ą

) i oznacza liter

ą

L. Dla cewki liniowej indukcyjno

ść

definiuje si

ę

jako stosunek strumienia Y skojarzonego z cewk

ą

do pr

ą

du płyn

ą

cego

przez ni

ą

, to znaczy

Dla liniowej

Ψ

=L i , L – parametr - indukcyjno

ść

własna Henr

[ ]

H

L

1

=

Napi

ę

cie cewki wyra

ż

ane jest jako pochodna strumienia wzgl

ę

dem

czasu

Obwody elektryczne

dt

di

L

dt

d

w

u

=

Φ

=

W przypadku cewki liniowej, dla której strumie

ń

jest iloczynem

pr

ą

du i indukcyjno

ś

ci, , relacja napi

ę

ciowo-pr

ą

dowa

upraszcza si

ę

do postaci

Jest to element zachowawczy

2

2

1

,

'

1

Li

W

idt

L

i

t

L

∫

∞

−

=

=

gdzie w – liczba zwoi w cewce

Obwody elektryczne

drut

cylinder

Linia 2-przewodowa

Kabel koncentryczny

P

ę

tla kołowa

selenoid

toroid

płyta

Obwody elektryczne

Zauwa

ż

my,

ż

e przy stałej warto

ś

ci indukcyjno

ś

ci i pr

ą

du cewki, napi

ę

cie na niej

jest równe zeru, gdy

ż

pochodna stałej wzgl

ę

dem czasu jest równa zeru.

St

ą

d cewka w stanie ustalonym obwodu, przy pr

ą

dzie stałym zachowuje si

ę

jak

zwarcie (napi

ę

cie mi

ę

dzy ko

ń

cówkami elementu jest równe zeru).

Interesuj

ą

ce zjawiska powstaj

ą

w układzie dwóch cewek poło

ż

onych blisko siebie,

w których zachodzi wzajemne przenikanie si

ę

strumieni magnetycznych.

Je

ś

li dwie cewki o indukcyjno

ś

ciach własnych i s

ą

tak usytuowane,

ż

e strumie

ń

wytworzony przez jedn

ą

z nich przenika drug

ą

, to takie cewki nazywamy sprz

ęż

onymi

magnetycznie.

∗

∗

M

1

L

2

L

1

u

2

u

1

i

2

i

Obwody elektryczne

Obok indukcyjno

ś

ci własnej, dla cewek sprz

ęż

onych wprowadza si

ę

poj

ę

cie

indukcyjno

ś

ci wzajemnej M

gdzie

Ψ

21

oznacza strumie

ń

skojarzony z cewk

ą

drug

ą

, wytworzony przez pr

ą

d

płyn

ą

cy w cewce pierwszej, a

Ψ

12

– strumie

ń

skojarzony z cewk

ą

pierwsz

ą

,

wytworzony przez pr

ą

d płyn

ą

cy w cewce drugiej.

Jednostk

ą

indukcyjno

ś

ci wzajemnej jest henr.

Istnienie sprz

ęż

enia magnetycznego powoduje indukowanie si

ę

napi

ęć

na cewce

pierwszej wskutek zmian pr

ą

du płyn

ą

cego w cewce drugiej (i na odwrót).

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napi

ę

cia obu cewek wytworzone

na skutek indukcji wzajemnej okre

ś

lone s

ą

wzorami

21

12

1

2

M

i

i

Ψ

Ψ

=

=

1

2

1

1

di

di

u

L

M

dt

dt

=

±

2

1

2

2

di

di

u

L

M

dt

dt

=

±

Obwody elektryczne

Znak plus lub minus wyst

ę

puj

ą

cy we wzorze zale

ż

y od rodzaju sprz

ęż

enia:

( + ) - sprz

ęż

enie zgodne ( dodatnie )

( - ) - sprz

ęż

enie przeciwne ( ujemne ).

W tym celu wprowadza si

ę

poj

ę

cie zacisków jednakoimiennych ( * )

Je

ż

eli pr

ą

dy do zacisków jednakoimiennych jednocze

ś

nie wpływaj

ą

lub

wypływaj

ą

to strumie

ń

własny i wzajemny si

ę

dodaj

ą

. Wtedy istnieje

sprz

ęż

enie dodatnie

Z powy

ż

szych zale

ż

no

ś

ci wynika,

ż

e w elementach sprz

ęż

onych magnetycznie

energia elektryczna mo

ż

e by

ć

przekazywana z jednego elementu do drugiego

za po

ś

rednictwem pola magnetycznego. Co wi

ę

cej, nawet przy braku

przepływu pr

ą

du przez cewk

ę

, mo

ż

e na niej pojawi

ć

si

ę

napi

ę

cie pochodz

ą

ce

ze sprz

ęż

enia magnetycznego od cewki drugiej.

Obwody elektryczne

[ ]

C

q

1

=

Kondensator – opisuje si

ę

sygnałami u i q Culomb

Kondensator jest elementem pasywnym w którym mo

ż

e gromadzi

ć

si

ę

energia

w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si

ę

tylko jedn

ą

wła

ś

ciwo

ść

, zwan

ą

pojemno

ś

ci

ą

C. W przypadku kondensatora liniowego

pojemno

ść

jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w

kondensatorze do napi

ę

cia mi

ę

dzy okładkami tego kondensatora

Dla liniowego q = C u C – parametr – pojemno

ść

Farad

Jest to element zachowawczy

[ ]

F

C

1

=

2

2

1

,

'

,

'

Cu

W

idt

q

idt

D

u

t

C

t

∫

∫

∞

−

∞

−

=

=

=

D

C

=

1

i

u

dt

dq

i

=

C

. Zale

ż

no

ść

wi

ążą

ca napi

ę

cie i pr

ą

d kondensatora

dana jest w postaci równania ró

ż

niczkowego

Podobnie jak w przypadku cewki, je

ś

li napi

ę

cie na

zaciskach kondensatora jest stałe, to jego pr

ą

d jest

równy zeru (pochodna stałej wzgl

ę

dem czasu

jest równa zeru). Kondensator zachowuje si

ę

wtedy

jak przerwa (mimo istnienia napi

ę

cia pr

ą

d nie płynie).

elastancja

Obwody elektryczne

Tak przedstawione elementy s

ą

wyidealizowane – idealne

idealne

rzeczywisty

L

R

L

C

u

R

Obwody elektryczne

•

Gał

ąź

– zbiór tak poł

ą

czonych elementów, tak

ż

e na zewn

ą

trz

wyprowadzone s

ą

tylko dwa zaciski zwane w

ę

złami – ko

ń

cówkami

gał

ę

zi.

•

W

ę

zeł sieci to ko

ń

cówka gał

ę

zi do której mog

ą

by

ć

podł

ą

czone inne

gał

ę

zie ( 1, 2, 3 itd. )

•

Najprostsze poł

ą

czenia gał

ę

zi to:

•

szeregowe

3

R

1

R

1

i

2

R

2

i

3

i

Płynie ten sam
prąd

3

2

1

i

i

i

i

=

=

=

równoległe

u

1

G

2

G

3

G

Na każdej
gałęzi jest to
samo napięcie

3

2

1

u

u

u

u

=

=

=

Oczkiem obwodu nazywamy zbiór gał

ę

zi tworz

ą

cych drog

ę

zamkni

ę

t

ą

i o takiej

własno

ś

ci,

ż

e po usuni

ę

ciu dowolnej gał

ę

zi pozostałe nie tworz

ą

drogi zamkni

ę

tej.

Obwód rozgał

ęź

ny - zawiera wi

ę

cej ni

ż

jedno oczko.

Obwody elektryczne

Elementy aktywne –

ź

ródła

Idealne, niesterowalne

napięciowe

E

E

+
−

u

i

E

prądowe

zr

I

u

i

zr

I

Obwody elektryczne

Ź

ródła sterowane

Ź

ródło napięciowe sterowane prądowo

1

i

1

ri

Ź

ródło napięciowe sterowane napięciowo

1

u

1

u

µ

Ź

ródło prądowe sterowane napięciowo

1

u

1

qu

Ź

ródło prądowe sterowane prądowo

1

i

1

i

α

Obwody elektryczne

Wielko

ś

ci r, µ oraz q i

α

stanowi

ą

współczynniki

proporcjonalno

ś

ci mi

ę

dzy wielko

ś

ci

ą

steruj

ą

c

ą

i

sterowan

ą

tych

ź

ródeł. Przyjmuj

ą

one najcz

ęś

ciej

warto

ś

ci rzeczywiste, cho

ć

w ró

ż

nego rodzaju modelach

mog

ą

by

ć

równie

ż

opisane liczb

ą

zespolon

ą

. Nale

ż

y

nadmieni

ć

,

ż

e

ź

ródła sterowane stanowi

ą

bardzo

popularne modele wielu elementów elektrycznych i
elektronicznych, takich jak transformatory idealne,
maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe,

wzmacniacze operacyjne napi

ę

ciowe i pr

ą

dowe, itp.

Obwody elektryczne

Prawa Kirchhoffa

Pr

ą

dowe Prawo Kirchoffa ( PPK )

0

n

n

i

± =

∑

1

2

3

4

5

0

i

i

i

i

i

+ + − − =

Obwody elektryczne

Napi

ę

ciowe Prawo Kirchoffa ( NPK ):

Suma napi

ęć

i sił elektromotorycznych w ka

ż

dym oczku obwodu

elektrycznego jest równa zeru.

0

k

k

k

u

E

± ±

=

∑

1

u

2

u

3

u

4

u

4

E

1

2

3

4

4

0

u

u

u

u

E

+ + − +

=

Obwody elektryczne

Sygnały sinusoidalne, zwane równie

ż

harmonicznymi, s

ą

opisane w dziedzinie

czasu nast

ę

puj

ą

cym wzorem (w opisie przyj

ę

to oznaczenie sygnału

napi

ę

ciowego)

•

u(t) - warto

ść

chwilowa napi

ę

cia,

•

U

m

- warto

ść

maksymalna (szczytowa) napi

ę

cia, zwana równie

ż

amplitud

ą

,

•

ψ

- faza pocz

ą

tkowa napi

ę

cia odpowiadaj

ą

ca chwili t=0,

•

ω

t+

ψ

- k

ą

t fazowy napi

ę

cia w chwili t,

•

ω

= 2

Π

f - pulsacja mierzona w radianach na sekund

ę

,

•

f =1/T - cz

ę

stotliwo

ść

mierzona w hercach (Hz),

•

T - okres przebiegu sinusoidalnego.

( )

sin(

)

m

u t

U

t

ω

=

+ Ψ

Obwody elektryczne

UWAGA: Warto

ś

ci chwilowe sygnałów b

ę

dziemy oznacza

ć

mał

ą

liter

ą

, a warto

ś

ci

maksymalne, skuteczne i wielko

ś

ci operatorowe du

żą

.