1
1. Wybrane własności macierzy i wektorów.
Wprowadzenie do programu Matlab-Simulink
1.1. Rachunek wektorowy
Wektorem nazywamy odcinek o pewnej długości i kierunku, w którym wyróżnia się
początek i koniec. Początki wektorów będziemy umieszczać w początku kartezjańskiego
prawoskrętnego układu współrzędnych. Składowe wektora są współrzędnymi jego końca. W
robotyce największą role odgrywają wektory w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej R
3
.
Załóżmy, że wybrano dwa wektory a i b należące do przestrzeni R
3
. Wektory te
można przedstawić w postaci zbioru ich składowych.
[
]
T
z
y
x
z
y
x
a
a
a
a
a
a
=
=
a
,
[
]
T
z
y
x
z
y
x
b
b
b
b
b
b
=
=
b
,
lub
[
]
T
a
a
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
=
=
a
,
[
]
T
b
b
b
b
b
b
3
2
1
3
2
1
=
=
b
Uwaga. Wektory będziemy przedstawić w postaci kolumnowej.
Rozróżniamy dwa rodzaje iloczynów wektorów, tj. iloczyn skalarny i iloczyn
wektorowy. Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, oznaczamy jako
b
a o . Iloczyn skalarny
zdefiniowany jest w następujący sposób
∑
=
=
+
+
=
3
1
3
3
2
2
1
1
i
i
i
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a o
Zapis ten można przedstawić w zwartej postaci
b
a
b
a
T
=
o
2
Długość wektora a jest oznaczana jako
a
i definiowana w następujący sposób
a
a
a
o
=
=
∑
=
3
1
2
i
i
a
Wektor nazywamy jednostkowym, gdy jego długość jest równa jedności.
Wektory a i b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
0
=
b
a o
. Wektory jednostkowe leżące
na osiach kartezjańskiego układu współrzędnych, nazwane
wersorami, są wzajemnie
prostopadłe. Wersory będziemy oznaczać jako i, j, k
=
0
0
1
i
,
=
0
1
0
j
,
=
1
0
0
k
Niech
θ
oznacza kąt między wektorami a i b, wówczas zachodzi relacja
θ
cos
b
a
=
b
a o
zatem iloczyn skalarny może być miarą orientacji między wektorami. Dla stałych długości
wektorów jest on proporcjonalny do cosinusa kąta między nimi.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b oznaczamy jako
b
a
×
. Iloczyn wektorowy dwóch
wektorów jest wektorem zdefiniowanym w następujący sposób
−
−
−
=
×
=
1
2
2
1
3
1
1
3
2
3
3
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
Niech
θ
oznacza kąt między wektorami a i b, wówczas zachodzi relacja
θ
sin
b
a
=
×
b
a
3
0
=
×
b
a
, gdy wektor a jest równoległy do wektora b
Iloczyn mieszany wektorów zdefiniowany jest jako złożenie iloczynu wektorowego i
skalarnego
(
)
c
b
a
o
×
.
(
)
[
]
3
3
3
2
2
2
1
1
1
det
c
b
a
c
b
a
c
b
a
=
=
×
c
b
a
c
b
a
o
Użyteczną własnością iloczynu mieszanego wektorów
3
R
c
b
a
∈
,
,
jest przemienność
(
)
(
)
c
b
a
c
b
a
×
=
×
o
o
1.2. Rachunek macierzowy
Macierz zerowa O jest macierzą w której wszystkie elementy są zerowe.
Macierz jednostkowa I, macierz kwadratową stopnia n nazywa się macierzą
jednostkową jeżeli wszystkie jej elementy tworzące główną przekątną są jedynkami natomiast
pozostałe elementy są zerami.
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową w której wszystkie elementy leżące
poza główną przekątną są zerami.
Macierz ortogonalna R to macierz kwadratowa która spełnia warunek
R
T
R = RR
T
= 1
Warto zauważyć, że każda z trzech podstawowych macierzy obrotu jest macierzą
ortogonalną. Oznacza to, że po przedstawieniu jej w postaci kolumnowej
[
]
c
b
a
R
=
1
0
spełnione są następujące związki
1
=
=
=
c
b
a
0
=
b
a o
,
0
=
c
b o
,
0
=
a
c o
4
1.3. Wprowadzenie do programu Matlab-Simulink
MATLAB (Matrix Laboratory) jest interaktywnym oprogramowaniem do obliczeń
numerycznych i symbolicznych. Podstawową jednostką obliczeniową w MATLAB’ie jest
macierz. Wektory są traktowane jako specjalne typy macierzy. Po uruchomieniu MATLAB’a
mamy przed sobą okno poleceń (ang. command window) ze znakiem zachęty: >> MATLAB
ma bardzo dobrze opracowany help. Uruchamia się go wciskając klawisz F1 lub wydając
plecenie help. Polecenia MATLAB’a możemy zapisać w pliku tekstowym, tzw. M-pliku.
MATLAB rozróżnia małe i duże litery. Średnik na końcu linii z poleceniem powoduje, że
wynik tego polecenia nie zostanie wyświetlony. Komentarze rozpoczyna się od znaku %.
Podstawowy kurs MATLAB’a czytelnik znajdzie pod adresem
http://www.am.gdynia.pl/~tomera/ts/matlab_lab.pdf
Podstawowy kurs Simulink’a zamieszczony jest na stronie
http://www.am.gdynia.pl/~tomera/ts/simulink_lab.pdf
1.4. Zadania
Zad. 1
Wykaż, że macierz odwrotna podstawowej macierzy obrotu R równa się macierzy
transponowanej
T
R , tzn.
T
-1
R
R
=
.
Zad. 2
Wykonaj w MATLAB’ie ćwiczenia zamieszczone w pliku
matlab_lab.pdf
Literatura:
[1] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006
[2] Tomera T.: Wprowadzenie do SIMULINKA
[3] Tomera T.: Wprowadzenie do MATLABA − Laboratorium
[4] Zalewski A., Cegieła R.: Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania,
Wydawnictwo Nakom, 2002
Informacja o prawach autorskich
O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze.
Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do laboratorium z Podstaw Robotyki.