1

1. Wybrane własności macierzy i wektorów.
Wprowadzenie do programu Matlab-Simulink

1.1. Rachunek wektorowy

Wektorem nazywamy odcinek o pewnej długości i kierunku, w którym wyróżnia się

początek i koniec. Początki wektorów będziemy umieszczać w początku kartezjańskiego

prawoskrętnego układu współrzędnych. Składowe wektora są współrzędnymi jego końca. W

robotyce największą role odgrywają wektory w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej R

3

.

Załóżmy, że wybrano dwa wektory a i b należące do przestrzeni R

3

. Wektory te

można przedstawić w postaci zbioru ich składowych.

[

]

T

z

y

x

z

y

x

a

a

a

a

a

a

=





















=

a

,

[

]

T

z

y

x

z

y

x

b

b

b

b

b

b

=





















=

b

,

lub

[

]

T

a

a

a

a

a

a

3

2

1

3

2

1

=





















=

a

,

[

]

T

b

b

b

b

b

b

3

2

1

3

2

1

=





















=

b

Uwaga. Wektory będziemy przedstawić w postaci kolumnowej.

Rozróżniamy dwa rodzaje iloczynów wektorów, tj. iloczyn skalarny i iloczyn

wektorowy. Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, oznaczamy jako

b

a o . Iloczyn skalarny

zdefiniowany jest w następujący sposób

∑

=

=

+

+

=

3

1

3

3

2

2

1

1

i

i

i

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a o

Zapis ten można przedstawić w zwartej postaci

b

a

b

a

T

=

o

2

Długość wektora a jest oznaczana jako

a

i definiowana w następujący sposób

a

a

a

o

=

=

∑

=

3

1

2

i

i

a

Wektor nazywamy jednostkowym, gdy jego długość jest równa jedności.

Wektory a i b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

0

=

b

a o

. Wektory jednostkowe leżące

na osiach kartezjańskiego układu współrzędnych, nazwane

wersorami, są wzajemnie

prostopadłe. Wersory będziemy oznaczać jako i, j, k





















=

0

0

1

i

,





















=

0

1

0

j

,





















=

1

0

0

k

Niech

θ

oznacza kąt między wektorami a i b, wówczas zachodzi relacja

θ

cos

b

a

=

b

a o

zatem iloczyn skalarny może być miarą orientacji między wektorami. Dla stałych długości

wektorów jest on proporcjonalny do cosinusa kąta między nimi.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b oznaczamy jako

b

a

×

. Iloczyn wektorowy dwóch

wektorów jest wektorem zdefiniowanym w następujący sposób





















−

−

−

=

×

=

1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

c

Niech

θ

oznacza kąt między wektorami a i b, wówczas zachodzi relacja

θ

sin

b

a

=

×

b

a

3

0

=

×

b

a

, gdy wektor a jest równoległy do wektora b

Iloczyn mieszany wektorów zdefiniowany jest jako złożenie iloczynu wektorowego i

skalarnego

(

)

c

b

a

o

×

.

(

)

[

]

3

3

3

2

2

2

1

1

1

det

c

b

a

c

b

a

c

b

a

=

=

×

c

b

a

c

b

a

o

Użyteczną własnością iloczynu mieszanego wektorów

3

R

c

b

a

∈

,

,

jest przemienność

(

)

(

)

c

b

a

c

b

a

×

=

×

o

o

1.2. Rachunek macierzowy

Macierz zerowa O jest macierzą w której wszystkie elementy są zerowe.

Macierz jednostkowa I, macierz kwadratową stopnia n nazywa się macierzą

jednostkową jeżeli wszystkie jej elementy tworzące główną przekątną są jedynkami natomiast

pozostałe elementy są zerami.

Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową w której wszystkie elementy leżące

poza główną przekątną są zerami.

Macierz ortogonalna R to macierz kwadratowa która spełnia warunek

R

T

R = RR

T

= 1

Warto zauważyć, że każda z trzech podstawowych macierzy obrotu jest macierzą

ortogonalną. Oznacza to, że po przedstawieniu jej w postaci kolumnowej

[

]

c

b

a

R

=

1

0

spełnione są następujące związki

1

=

=

=

c

b

a

0

=

b

a o

,

0

=

c

b o

,

0

=

a

c o

4

1.3. Wprowadzenie do programu Matlab-Simulink

MATLAB (Matrix Laboratory) jest interaktywnym oprogramowaniem do obliczeń

numerycznych i symbolicznych. Podstawową jednostką obliczeniową w MATLAB’ie jest

macierz. Wektory są traktowane jako specjalne typy macierzy. Po uruchomieniu MATLAB’a

mamy przed sobą okno poleceń (ang. command window) ze znakiem zachęty: >> MATLAB

ma bardzo dobrze opracowany help. Uruchamia się go wciskając klawisz F1 lub wydając

plecenie help. Polecenia MATLAB’a możemy zapisać w pliku tekstowym, tzw. M-pliku.

MATLAB rozróżnia małe i duże litery. Średnik na końcu linii z poleceniem powoduje, że

wynik tego polecenia nie zostanie wyświetlony. Komentarze rozpoczyna się od znaku %.

Podstawowy kurs MATLAB’a czytelnik znajdzie pod adresem

http://www.am.gdynia.pl/~tomera/ts/matlab_lab.pdf

Podstawowy kurs Simulink’a zamieszczony jest na stronie

http://www.am.gdynia.pl/~tomera/ts/simulink_lab.pdf

1.4. Zadania

Zad. 1

Wykaż, że macierz odwrotna podstawowej macierzy obrotu R równa się macierzy

transponowanej

T

R , tzn.

T

-1

R

R

=

.

Zad. 2

Wykonaj w MATLAB’ie ćwiczenia zamieszczone w pliku

matlab_lab.pdf

Literatura:

[1] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006

[2] Tomera T.: Wprowadzenie do SIMULINKA

[3] Tomera T.: Wprowadzenie do MATLABA − Laboratorium

[4] Zalewski A., Cegieła R.: Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania,

Wydawnictwo Nakom, 2002

Informacja o prawach autorskich

O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze.

Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do laboratorium z Podstaw Robotyki.