RozwiąŜ równanie: 

x

1

 – 

y

1

 = 

y

x

−

1

 

 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 
Odpowiedź: 
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 

zDolny Ślązak Gimnazjalista 

FINAŁ  PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI 

IX DOLNO

Ś

L

Ą

SKI KONKURS MATEMATYCZNY 

DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

 

21.03.2009 r.

, godz. 10

00

 

Czas trwania 150 minut 

Zadanie 1 

Zadanie 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

SUMA 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

WPISZ SWÓJ KOD 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

2 

WPISZ SWÓJ KOD 

 
 

 
 

Liczbę naturalną 

n podniesiono do 30 potęgi i otrzymano 42391158275216203514294433201.  

Znajdź liczbę 

n. 

 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 
 

Zadanie 2 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

3 

WPISZ SWÓJ KOD 

 
 
 
 

W pewnej liczbie naturalnej zamieniono miejscami cyfrę dziesiątek i jedności. Wskutek tego wartość liczby 
zmalała o 10%. Znajdź wszystkie liczby naturalne o tej własności. 
 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 
 

Zadanie 3 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

4 

WPISZ SWÓJ KOD 

 

 
 

Na półokręgu o końcach 

A, B obrano dwa róŜne punkty X, Y róŜne od końców tak, Ŝe leŜą one w kolejności 

A, X, Y, B. Na średnicy AB obrano punkt P równieŜ róŜny od końców. Uzasadnij, Ŝe 

∠

AXP + 

∠

PYB > 90º. 

 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 

 
 

Zadanie 4 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

5 

WPISZ SWÓJ KOD 

 
 
 

 

Wierzchołki prostokąta 

WXYZ leŜą na kolejnych bokach prostokąta ABCD (kaŜdy na innym), przy czym 

pewne dwa przeciwległe z tych wierzchołków są środkami boków, na których leŜą. WykaŜ, Ŝe stosunek 

obwodu prostokąta 

ABCD do WXYZ jest nie większy, niŜ 

2

. 

 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 
 
 

Zadanie 5 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

6 

WPISZ SWÓJ KOD 

 

 
 

Spośród wierzchołków sześcianu moŜna na róŜne sposoby wybrać cztery tak, aby były one wierzchołkami 
czworościanu. Które z tak wyznaczonych czworościanów mają największą objętość? 

 

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

                     

           

           

           

           

         

 
 
 

Zadanie 6 

Kryterium 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Punkty 

 

 

 

 

 

 

Wypełnia WKK 

 

Konkurs „zDolny 

Ś

l

ą

zak Gimnazjalista” 2008/2009, finał  matematyczny 

   

         Strona 

7 

WPISZ SWÓJ KOD