13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1

A i B


 
   
A
i B

 
 
  
 










5

2

|

Pr

5

1

|

Pr

3

1

|

Pr

4

1

|

Pr









A

B

A

B

B

A

B

A

Oblicz



B

A

B

A

p







|

Pr

.

(A)

9

7



p

(B)

2

1



p

(C)

5

3



p

(D)

8

5



p

(E)

8

7



p

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2



  
  

 
 
 




0



 Y

E

X

E

,

1

)

(

)

(





Y

Var

X

Var

i





Y

X

Cov

,

. Oblicz



2

2

,Y

X

Cov

.

(A)

2

2

2

)

,

(



Y

X

Cov

(B)

2

2

2

2

)

,

(



Y

X

Cov

(C)

2

2

2

3

)

,

(



Y

X

Cov

(D) |

|

)

,

(

2

2



Y

X

Cov

(E)

2

)

,

(

2

2



Y

X

Cov

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3

 

 

,...

,...

,

1

0

n

X

X

X

o dwóch stanach: „1” i „2” który ma

 !
 
   "  
# $













3

/

2

3

/

1

2

/

1

2

/

1

P

.

%  # 


ij

P

 

i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza

)

|

Pr(

1

i

X

j

X

n

n





&

  


1

)

1

Pr(

0





X

. Oblicz

)

2

|

1

Pr(

lim

1









n

n

n

X

X

.

(A) 3

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

n

X

X

(B) 9

/

5

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

n

X

X

(C) 2

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

n

X

X

(D) )

2

|

1

Pr(

lim

1









n

n

n

X

X

nie istnieje

(E) 9

/

2

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

n

X

X

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4

Niech

n

X

X ,...,

1

"! 
"

 
   "  

'! #













.

0

;

)

1

(

)

(

/

)

(

,











x

dla

x

dla

e

x

f

x

Wyznaczono

  
   





 ˆ

,

ˆ

parametrów





, w sytuacji, gdy

"
 

  
%

0

).

 (

 "!
c 

"

ˆ

c

"


   estymatorem parametru  .

(A)

n

n

c

1





(B)

n

n

c

1





(C)

1



c

(D) Nie istnieje taka liczba c

(E)

1





n

n

c

Wskazówka:

   




n

X

X ,...

min

ˆ

1





.

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5

Niech







N

i

i

X

N

1

1

i

1

0

N

N

N





, gdzie

N


  
  

  
)  


parametrem




#

,...

,...

,

2

1

n

X

X

X



  
  
 


N

i od siebie






  

i

X


 
*  +' $

p

X

i



 )

1

Pr(

i

q

X

i



 )

0

Pr(

, gdzie

1



 q

p

, 1

0

p

. Oblicz















1

0

1

N

N

E

r

.

(A)













e

q

p

r

1

(B)

q

p

r



(C)

1





q

p

r

(D)





q

e

q

p

r









1

(E)

1

1













q

p

r

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6




,...

,...,

,

2

1

n

W

W

W


 
  
  

  
  

 



/

1

)

(



n

W

E

.

Niech 0

0



T

i







n

i

i

n

W

T

1

dla ,...

2

,

1



n




Y jest

z

  
  

  
 



/

1

)

(



Y

E

i Y


 

  

i

W . Niech





Y

T

n

N

n







:

0

max

.

) 
 
   "  
  
  

N

.

(A)



n

n

N



































Pr

dla

,...

2

,

1

,

0



n

(B)



n

n

N



































Pr

dla

,...

2

,

1

,

0



n

(C)





!

Pr

/

n

e

n

N

n















dla

,...

2

,

1

,

0



n

(D)





!

Pr

/

n

e

n

N

n















dla

,...

2

,

1

,

0



n

(E)



!

1

Pr

)

/(

n

e

n

N

n































dla

,...

2

,

1

,

0



n

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 7


,
 
"

'
'
 
 '



2

,





N


  

 # 
  
 i   
  

2

 





"

!


 " #-
n 
.


,
"
  
 

   
 "
 

/ # 

0 





n

X

n

X

i

i





15035

.

1

,

15035

.

1





"! 
 
"  

   
i -tej próbki (liczba 1.15035 jest kwantylem

!
123,
   '
 
 ' &


0 ! 
 
/ #
 

  

n

5

obserwacjach wyznaczamy w sposób

   $

# 
 
" 

  

)

,

,

,

,

(

5

4

3

2

1

X

X

X

X

X

med

m



Oblicz



n

m

n

m

c







15035

.

1

15035

.

1

Pr











%
  # 

114&


(A)

95

.

0



c

(B)

97

.

0



c

(C)

99

.

0



c

(D)

90

.

0



c

(E)

85

.

0



c

Wskazówka:

 
-






8

/

1

15035

.

1

Pr

15035

.

1

Pr











n

X

n

X

i

i









.

) 


"
  -

 #
 
 ' 

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 8

Niech

5

1

,..., X

X

"! 
"

 
   "  

'! #









.

1

0

;

1

)

(

1

x

dla

x

dla

x

x

f







 

   
  
  

2

/

1

:

0





H

przeciwko alternatywie

2

/

1

:

1





H


   
/ #

01

.

0



. Wyznacz obszar krytyczny tego testu. Test

prowadzi do odrzucenia

0

H na rzecz

1

H wtedy i tylko wtedy, gdy:

(A) 5582

.

2

ln

5

1





i

i

X

(B)

2093

.

23

ln

5

1







i

i

X

(C)

5582

.

2

5

1

e

X

i

i





(D)

2093

.

23

5

1

e

X

i

i







(E)

2093

.

23

5

1

1

e

X

i

i







      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 9


 
 
 !$

5 kul czerwonych,

5

" 
2 kule zielone.

Losujemy kolejno, bez zwracania


4


 


  
   
 !



 

" 6


   
 
   
7" 
   "  
p
' 

#
   

  
 !
  
 
  


(A)

10

/

2



p

(B) 9

/

1



p

(C)

5

/

2



p

(D)

7

/

5



p

(E) 4

/

1



p

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

Zadanie 10

Zmienne losowe

N

i X


 



 
   "  
 

 !
  $



n

n

N







2

Pr

dla

,....

2

,

1



n

;



x

x

X







2

Pr

dla

0

x

.

Oblicz



N

X



Pr

.

(A)



3

/

2

Pr



 N

X

(B)



2

/

1

Pr



 N

X

(C)



4

/

1

Pr



 N

X

(D)



3

/

1

Pr



 N

X

(E)



2

ln

Pr



 N

X

      

13.10.2001

r

.

___________________________________________________________________________

   

      

Arkusz odpowiedzi

*

Imi

!

  ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

7  ( Punktacja

1 A

2 B

3 A

4 E

5 A

6 A

7 B

8 A

9 C

10 D

*

          Arkuszu odpowiedzi.