Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Podstawy automatyki i teorii sterowania
Krzysztof Marzjan
Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Podstawy automatyki i teorii sterowania
Krzysztof Marzjan
2
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
Zastosowanie rachunku operatorowego Laplace’a w automatyce
Jednostronne przekształcenie Laplace’a
L jest określone zależnością:
)
(s
F
która, funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje funkcję F(s) zmiennej zespolonej s.
Całka występująca po prawej stronie musi być zbieżna, to jest
dt
e
t
f
st
0
. Funkcję f(t)
nazywamy oryginałem zaś F(s) transformatą Laplace’a.
dt
e
t
f
t
f
st
0
)
(
)
(
3
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
Podstawowe właściwości przekształcenia Laplace’a
1.
Liniowość
Oznaczamy
)
(
)
(
1
1
t
f
s
F
oraz
)
(
)
(
2
2
t
f
s
F
; a i b
są stałymi
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
s
F
b
s
F
a
t
f
b
t
f
a
t
f
b
t
f
a
2. Transformata pochodnej
Oznaczamy
)
(
)
(
t
f
s
F
1
0
)
(
1
)
0
(
)
(
)
(
n
k
k
k
n
n
n
n
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
Np.:
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
2
3
2
0
)
(
2
3
3
3
f
f
s
f
s
s
F
s
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
k
k
k
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
3
(
2
3
4
3
0
)
(
3
4
4
4
f
f
s
f
s
f
s
s
F
s
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
k
k
k
3.
Transformata całki
s
s
F
d
f
t
)
(
)
(
0
4
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
L
4.
Twierdzenie o opóźnieniu (przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej)
0
)
(
)
(
1
)
(
0
0
st
e
s
F
t
t
t
t
f
,
gdzie
)
(
1
0
t
t
oznacz
a przesuniętą funkcję skoku jednostkowego:
0
0
0
1
0
)
(
1
t
t
dla
t
t
dla
t
t
5.
Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej
)
(
)
(
a
s
F
t
f
e
at
6. Twierdzenie o zmianie skali (
0
)
s
F
t
f
1
)
(
7. Transformata funkcji okresowej
...
,
3
,
2
,
1
),
(
)
(
k
kT
t
f
t
f
T
st
T
dt
e
t
f
s
F
0
)
(
)
(
sT
T
e
s
F
t
f
1
)
(
)
(
5
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
8.
Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej zespolonej
n
n
n
n
ds
s
dF
t
f
t
1
)
(
9.
Twierdzenie o wartości końcowej
)
(
lim
)
(
lim
)
(
0
s
F
s
t
f
f
s
t
, jeżeli granica w dziedzinie czasu istnieje
10.
Twierdzenie o wartości początkowej
)
(
lim
)
(
lim
)
0
(
0
s
F
s
t
f
f
s
t
11. Transformata splotu (Twierdzenie Borela)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
s
F
s
F
t
f
t
f
t
t
d
f
t
f
d
t
f
f
t
f
t
f
0
2
1
0
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
12.
Transformata pochodnej splotu (całka Duhamela)
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
s
F
s
F
s
d
t
f
f
dt
d
t
6
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
1.
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej
0
1
0
0
)
(
1
)
(
t
t
t
t
f
Z definicji przekształcenia otrzymuje się:
s
e
s
dt
e
s
F
st
st
1
1
1
)
(
0
0
2.
Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu Diraca
1
)
(
0
0
0
)
(
dt
t
t
t
t
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
t
t
dt
d
t
d
t
Wykorzystując twierdzenie o transformacie
pochodnej można zapisać:
1
1
)
(
1
)
(
)
(
s
s
t
dt
d
t
s
F
f(t)
t
1
f(t)
t
)
(t
7
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
3.
Znaleźć transformatę Laplace’a przesuniętej funkcji skokowej
0
0
0
0
)
(
1
)
(
t
t
t
t
A
t
t
A
t
f
Można wykorzystać definicję transformaty:
0
0
0
0
0
1
)
(
st
t
t
st
st
st
e
s
A
e
s
A
dt
e
A
dt
e
t
t
A
s
F
ale także twierdzenie o opóźnieniu, wiadomo, że
s
t
1
)
(
1
, stąd
0
)
(
1
)
(
0
st
e
s
A
t
t
A
s
F
f(t)
t
A
0
t
8
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
L
4.
Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego
s
e
A
e
s
s
A
t
t
t
A
t
t
t
A
t
f
s
F
st
st
)
1
(
1
1
]
)
(
1
)
(
1
[
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
0
0
0
0
Transformatę tę można także wyznaczyć korzystając z definicji przekształcenia:
s
e
A
e
s
A
dt
e
A
dt
e
t
f
s
F
st
t
st
t
st
st
)
1
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
)
(
1
)
(
1
)
(
0
t
t
t
A
t
f
f(t)
t
A
0
t
f(t)
t
A
0
t
-A
)
(
1 t
A
)
(
1
0
t
t
A
9
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
5.
Znaleźć transformatę Laplace’a ciągu impulsów prostokątnych
Transformata pojedynczego impulsu
prostokątnego została obliczona w przykładzie
poprzednim, wobec tego:
s
e
A
s
F
st
T
)
1
(
)
(
0
;
Korzystając ze wzoru na transformatę funkcji
okresowej otrzymuje się:
)
1
(
)
1
(
0
sT
st
e
s
e
A
s
f
6.
Obliczyć transformatę funkcji liniowej
)
(
1
)
(
t
t
t
f
W tym przypadku można skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej
zespolonej
2
2
1
1
1
1
1
)
(
1
s
s
s
ds
d
t
t
f(t)
t
A
0
t
T
10
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
7.
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
)
2
(
1
)
3
2
(
)
(
t
t
t
f
.
Aby wyznaczyć transformatę podanej funkcji należy ją przekształcić
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
2
)
2
(
1
]
1
)
2
(
2
[
)
2
(
1
)
3
2
(
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
f
Należy zwrócić uwagę na to, by argument funkcji, której transformatę się wyznacza był identyczny
jak argu
ment skoku jednostkowego, stąd:
s
s
s
e
s
s
e
s
e
s
t
t
t
s
F
2
2
2
2
2
2
1
2
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
2
)
(
8.
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty
można w prosty sposób wyznaczyć:
)
1
(
1
1
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
0
0
2
0
2
2
0
0
0
0
0
st
st
e
s
t
A
e
s
s
t
A
t
t
t
t
t
A
t
t
t
A
s
F
;
W obliczeniach wykorzystano twierdzenie o opóźnieniu.
f(t)
t
)
(
1
0
t
t
t
A
)
(
1
)
(
0
0
0
t
t
t
t
t
A
0
t
f(t)
t
A
0
t
11
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
9.
Obliczyć transformatę funkcji wykładniczej
)
(
1
)
(
t
e
t
f
at
Aby obliczyć transformatę tej funkcji możemy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie
zmiennej zespolonej
a
s
t
e
at
1
)
(
1
10.
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
)
2
(
1
)
(
)
2
3
(
t
e
t
f
t
.
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
1
)
(
)
2
(
3
4
4
)
2
(
3
)
2
3
(
t
e
e
t
e
t
e
t
f
t
t
t
3
3
1
)
2
(
1
)
(
)
2
(
2
2
4
)
2
(
3
4
s
e
e
s
e
t
e
e
s
F
s
s
t
11.
Obliczyć transformatę funkcji
)
(
1
sin
)
(
t
t
t
f
Najprościej transformatę tę obliczyć, zapisując daną funkcję następująco:
)
(
1
2
)
(
1
sin
)
(
t
j
e
e
t
t
t
f
t
j
t
j
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
s
s
j
s
j
s
j
j
s
j
s
j
t
j
e
e
t
j
t
j
12
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
12.
Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji
)
2
(
1
4
sin
)
(
t
t
t
f
.
)
2
(
1
)
2
(
4
cos
8
sin
)
2
(
1
)
2
(
4
sin
8
cos
)
2
(
1
]
8
sin
)
2
(
4
cos
8
cos
)
2
(
4
[sin
)
2
(
1
]
8
)
2
(
4
sin[
)
2
(
1
4
sin
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
s
s
e
s
s
e
s
t
t
t
t
s
F
2
2
2
2
2
2
4
8
sin
4
4
8
cos
)
2
(
1
)
2
(
4
cos
8
sin
)
2
(
1
)
2
(
4
sin
8
cos
)
(
13.
Znaleźć transformatę funkcji, której przebieg przedstawia rysunek
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
)
(
1
sin
)
(
s
e
e
s
s
t
t
t
t
s
F
s
s
f(t)
t
1
f(t)
t
1
-1
)
(
1
sin
t
t
t
t
1
sin
t
t
t
t
t
f
0
0
sin
0
0
)
(
13
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
14.
Znaleźć transformatę funkcji, której przebieg przedstawia rysunek
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
14
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty
można w prosty sposób wyznaczyć:
)
3
(
1
)
3
(
1
)
3
(
)
2
(
1
)
2
(
2
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
A
t
f
0
0
0
0
3
3
2
0
2
2
0
2
0
2
st
st
st
st
e
s
A
e
s
t
A
e
s
t
A
e
s
t
A
s
A
)
s
(
F
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
f(t)
-A
-2A
)
2
(
1
)
2
(
2
0
0
0
t
t
t
t
t
A
)
(
1
)
(
0
0
0
t
t
t
t
t
A
)
(
1 t
A
)
3
(
1
0
t
t
A
)
3
(
1
)
3
(
0
0
0
t
t
t
t
t
A
t
15
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Oblicz transformatę Laplace’a funkcji:
a.
)
(
1
)
3
2
(
)
(
t
t
t
f
b.
)
2
(
1
)
1
3
(
)
(
t
t
t
f
c.
)
2
(
1
)
(
)
1
(
4
t
e
t
f
t
d.
)
(
1
cos
)
(
t
t
t
f
e.
)
(
1
sin
)
(
t
t
t
f
f.
)
(
1
sinh
)
(
t
t
t
f
g.
)
(
1
cosh
)
(
t
t
t
f
h.
)
(
1
)
3
(
2
sin
)
(
t
t
t
f
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
a.
b.
c.
d.
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
3
2
4
6
0
t
f(t)
5
1
2
3
0
t
f(t)
16
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
Obliczanie transformat odwrotnych
Można uczynić to w sposób bezpośredni korzystając ze znajomości właściwości przekształcenia
Laplace’a i transformat funkcji elementarnych.
Gdy transformata dana jest w postaci funkcji wymiernej,
ściśle właściwej:
)
(
)
(
)
(
s
M
s
L
s
G
funkcję G(s) należy rozłożyć na ułamki proste. Jeżeli równanie M(s)=0 ma pierwiastki jednokrotne
i
s
to rozkład na ułamki proste jest następujący
n
i
i
i
n
n
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
G
1
3
3
2
2
1
1
)
(
a oryginał jest równy
n
i
t
s
i
t
s
n
t
s
t
s
t
s
i
n
e
A
t
e
A
e
A
e
A
e
A
t
g
1
3
2
1
)
(
1
)
(
3
2
1
przy czym współczynniki rozkładu
i
A
oblicza się ze wzoru:
i
s
s
i
i
s
s
s
M
s
L
A
)
(
)
(
)
(
lub
i
s
s
i
i
i
i
s
M
ds
d
s
M
s
M
s
L
A
)
(
)
(
)
(
)
(
17
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
Ogólny sposób dają wzory
st
i
s
s
e
s
G
res
t
g
i
)
(
)
(
gdzie s
i
są biegunami funkcji G(s),
st
i
p
p
s
s
st
s
s
e
s
s
s
G
ds
d
p
e
s
G
res
i
i
)
(
)
(
lim
)!
1
(
1
)
(
1
1
dla bieguna p-krotnego
st
i
s
s
st
s
s
e
s
s
s
f
e
s
G
res
i
i
)
(
)
(
lim
)
(
dla bieguna jednokrotnego
Tablica niektórych transformat:
)
(t
g
)
(s
G
)
(t
g
)
(s
G
1.
)
(t
1
2.
)
(
1 t
s
1
3.
)
(
1 t
t
2
1
s
4.
)
,
3
,
2
,
1
(
)
(
1
n
t
t
n
1
!
n
s
n
5.
)
(
1 t
e
at
a
s
1
6.
)
(
1
sin
t
t
2
2
s
7.
)
(
1
cos
t
t
2
2
s
s
8.
)
(
1
sinh
t
t
2
2
s
9.
)
(
1
cosh
t
t
2
2
s
s
18
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
Znaleźć oryginał funkcji
1.
2
1
)
(
s
s
s
G
Należy zwrócić uwagę na fakt, że gdy transformata jest funkcją wymierną, to musi być ściśle
właściwą, stąd:
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
s
s
s
s
s
s
G
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
1
t
e
t
s
G
t
g
t
2.
2
4
1
3
)
(
s
s
s
G
2
1
6
1
1
4
3
2
1
3
1
4
3
2
4
1
3
)
(
s
s
s
s
s
s
G
)
(
1
8
1
)
(
4
3
)
(
)
(
2
1
t
e
t
s
G
t
g
t
19
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
3.
4
4
1
)
(
2
s
s
s
G
2
2
)
2
(
1
4
4
1
)
(
s
s
s
s
G
)
(
1
)
(
)
(
2
1
t
te
s
G
t
g
t
4.
13
4
1
)
(
2
s
s
s
G
2
2
2
3
)
2
(
3
3
1
13
4
1
)
(
s
s
s
s
G
)
(
1
3
sin
3
1
)
(
)
(
2
1
t
e
t
s
G
t
g
t
5.
3
4
1
)
(
2
s
s
s
G
2
1
2
1
3
2
1
2
1
1
)
3
(
)
1
(
)
1
(
)
3
(
3
1
)
3
(
)
1
(
1
3
4
1
)
(
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
A
A
s
A
A
s
s
s
s
A
s
A
s
A
s
A
s
s
s
s
s
G
20
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
L
L
)
(
1
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
)
(
)
(
3
1
1
t
e
e
s
s
s
G
t
g
t
t
6.
5
2
1
3
)
(
2
2
s
s
s
s
s
G
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
2
2
5
2
)
1
(
1
1
2
)
1
(
2
2
5
1
1
5
2
4
1
5
2
1
3
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
G
)
(
1
2
sin
2
5
2
cos
)
(
)
(
)
(
1
t
e
t
t
t
s
G
t
g
t
7.
1
2
1
3
)
(
2
2
s
s
s
s
s
G
2
2
2
2
2
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1
2
1
3
)
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
G
)
(
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
1
t
e
t
t
s
G
t
g
t
21
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
L
L
8.
5
6
1
3
)
(
2
2
s
s
s
s
s
G
)
5
(
)
1
(
)
1
(
)
5
(
1
5
1
1
)
5
(
)
1
(
4
3
1
5
6
4
3
1
5
6
1
3
)
(
2
1
2
1
2
2
2
s
s
s
A
s
A
s
A
s
A
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
G
Współczynniki rozkładu na ułamki proste:
4
11
4
11
5
4
1
4
1
1
2
2
1
1
1
1
A
A
s
A
A
s
)
(
1
4
11
4
1
)
(
5
4
11
1
4
1
1
)
(
)
(
5
1
1
t
e
e
t
s
s
s
G
t
g
t
t
22
Zastosowanie rachunku opera
torowego Laplace’a w automatyce
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
1.
Znaleźć oryginał funkcji:
a.
3
1
)
(
s
s
s
G
b.
1
4
1
2
)
(
s
s
s
G
c.
3
4
1
)
(
2
2
s
s
s
s
G
d.
9
6
1
3
)
(
2
2
s
s
s
s
s
G
e.
13
6
1
3
)
(
2
2
s
s
s
s
s
G