cw PAiTS 01

background image


Instytut Automatyki

Zakład Teorii Sterowania






















Podstawy automatyki i teorii sterowania

Krzysztof Marzjan

background image

2

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

Zastosowanie rachunku operatorowego Laplace’a w automatyce

Jednostronne przekształcenie Laplace’a

L jest określone zależnością:

)

(s

F

która, funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje funkcję F(s) zmiennej zespolonej s.

Całka występująca po prawej stronie musi być zbieżna, to jest

 

dt

e

t

f

st

0

. Funkcję f(t)

nazywamy oryginałem zaś F(s) transformatą Laplace’a.

dt

e

t

f

t

f

st

0

)

(

)

(

background image

3

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

Podstawowe właściwości przekształcenia Laplace’a

1.

Liniowość

Oznaczamy

)

(

)

(

1

1

t

f

s

F

oraz

)

(

)

(

2

2

t

f

s

F

; a i b

są stałymi

 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

2

1

s

F

b

s

F

a

t

f

b

t

f

a

t

f

b

t

f

a


2. Transformata pochodnej
Oznaczamy

 

)

(

)

(

t

f

s

F

1

0

)

(

1

)

0

(

)

(

)

(

n

k

k

k

n

n

n

n

f

s

s

F

s

dt

t

f

d

Np.:

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

(

)

0

(

)

(

)

(

2

3

2

0

)

(

2

3

3

3



f

f

s

f

s

s

F

s

f

s

s

F

s

dt

t

f

d

k

k

k

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

(

)

0

(

)

(

)

(

)

3

(

2

3

4

3

0

)

(

3

4

4

4



f

f

s

f

s

f

s

s

F

s

f

s

s

F

s

dt

t

f

d

k

k

k

3.

Transformata całki

s

s

F

d

f

t

)

(

)

(

0

background image

4

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

L

4.

Twierdzenie o opóźnieniu (przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej)

0

)

(

)

(

1

)

(

0

0

st

e

s

F

t

t

t

t

f

,

gdzie

)

(

1

0

t

t

oznacz

a przesuniętą funkcję skoku jednostkowego:

0

0

0

1

0

)

(

1

t

t

dla

t

t

dla

t

t

5.

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej

)

(

)

(

a

s

F

t

f

e

at


6. Twierdzenie o zmianie skali (

0

)

s

F

t

f

1

)

(

7. Transformata funkcji okresowej

...

,

3

,

2

,

1

),

(

)

(

k

kT

t

f

t

f

T

st

T

dt

e

t

f

s

F

0

)

(

)

(

 

sT

T

e

s

F

t

f

1

)

(

)

(

background image

5

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

8.

Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej zespolonej

 

 

n

n

n

n

ds

s

dF

t

f

t

1

)

(


9.

Twierdzenie o wartości końcowej

)

(

lim

)

(

lim

)

(

0

s

F

s

t

f

f

s

t

, jeżeli granica w dziedzinie czasu istnieje


10.

Twierdzenie o wartości początkowej

)

(

lim

)

(

lim

)

0

(

0

s

F

s

t

f

f

s

t


11. Transformata splotu (Twierdzenie Borela)

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

s

F

s

F

t

f

t

f

t

t

d

f

t

f

d

t

f

f

t

f

t

f

0

2

1

0

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(


12.

Transformata pochodnej splotu (całka Duhamela)

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

0

2

1

s

F

s

F

s

d

t

f

f

dt

d

t

background image

6

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

1.

Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej

0

1

0

0

)

(

1

)

(

t

t

t

t

f

Z definicji przekształcenia otrzymuje się:

s

e

s

dt

e

s

F

st

st

1

1

1

)

(

0

0

2.

Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu Diraca








1

)

(

0

0

0

)

(

dt

t

t

t

t

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

t

t

dt

d

t

d

t

Wykorzystując twierdzenie o transformacie
pochodnej można zapisać:

1

1

)

(

1

)

(

)

(

s

s

t

dt

d

t

s

F

f(t)

t

1

f(t)

t

)

(t

background image

7

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

3.

Znaleźć transformatę Laplace’a przesuniętej funkcji skokowej






0

0

0

0

)

(

1

)

(

t

t

t

t

A

t

t

A

t

f

Można wykorzystać definicję transformaty:

0

0

0

0

0

1

)

(

st

t

t

st

st

st

e

s

A

e

s

A

dt

e

A

dt

e

t

t

A

s

F

ale także twierdzenie o opóźnieniu, wiadomo, że

 

s

t

1

)

(

1

, stąd

0

)

(

1

)

(

0

st

e

s

A

t

t

A

s

F

f(t)

t

A

0

t

background image

8

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

L

4.

Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego








s

e

A

e

s

s

A

t

t

t

A

t

t

t

A

t

f

s

F

st

st

)

1

(

1

1

]

)

(

1

)

(

1

[

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

0

0

0

0





 

Transformatę tę można także wyznaczyć korzystając z definicji przekształcenia:

s

e

A

e

s

A

dt

e

A

dt

e

t

f

s

F

st

t

st

t

st

st

)

1

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

0

)

(

1

)

(

1

)

(

0

t

t

t

A

t

f

f(t)

t

A

0

t

f(t)

t

A

0

t

-A

)

(

1 t

A

)

(

1

0

t

t

A

background image

9

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

5.

Znaleźć transformatę Laplace’a ciągu impulsów prostokątnych

Transformata pojedynczego impulsu
prostokątnego została obliczona w przykładzie
poprzednim, wobec tego:

s

e

A

s

F

st

T

)

1

(

)

(

0

;

Korzystając ze wzoru na transformatę funkcji
okresowej otrzymuje się:

 

)

1

(

)

1

(

0

sT

st

e

s

e

A

s

f


6.

Obliczyć transformatę funkcji liniowej

)

(

1

)

(

t

t

t

f

W tym przypadku można skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej
zespolonej

  

2

2

1

1

1

1

1

)

(

1

s

s

s

ds

d

t

t



f(t)

t

A

0

t

T

background image

10

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

7.

Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji

)

2

(

1

)

3

2

(

)

(

t

t

t

f

.

Aby wyznaczyć transformatę podanej funkcji należy ją przekształcić

)

2

(

1

)

2

(

1

)

2

(

2

)

2

(

1

]

1

)

2

(

2

[

)

2

(

1

)

3

2

(

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

f

Należy zwrócić uwagę na to, by argument funkcji, której transformatę się wyznacza był identyczny
jak argu

ment skoku jednostkowego, stąd:

s

s

s

e

s

s

e

s

e

s

t

t

t

s

F

2

2

2

2

2

2

1

2

)

2

(

1

)

2

(

1

)

2

(

2

)

(

8.

Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty
można w prosty sposób wyznaczyć:





)

1

(

1

1

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

0

0

2

0

2

2

0

0

0

0

0

st

st

e

s

t

A

e

s

s

t

A

t

t

t

t

t

A

t

t

t

A

s

F

;

W obliczeniach wykorzystano twierdzenie o opóźnieniu.

f(t)

t

)

(

1

0

t

t

t

A

)

(

1

)

(

0

0

0

t

t

t

t

t

A

0

t

f(t)

t

A

0

t

background image

11

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

9.

Obliczyć transformatę funkcji wykładniczej

)

(

1

)

(

t

e

t

f

at

Aby obliczyć transformatę tej funkcji możemy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie
zmiennej zespolonej

a

s

t

e

at

1

)

(

1


10.

Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji

)

2

(

1

)

(

)

2

3

(

t

e

t

f

t

.

)

2

(

1

)

2

(

1

)

2

(

1

)

(

)

2

(

3

4

4

)

2

(

3

)

2

3

(

t

e

e

t

e

t

e

t

f

t

t

t

3

3

1

)

2

(

1

)

(

)

2

(

2

2

4

)

2

(

3

4

s

e

e

s

e

t

e

e

s

F

s

s

t

11.

Obliczyć transformatę funkcji

)

(

1

sin

)

(

t

t

t

f

Najprościej transformatę tę obliczyć, zapisując daną funkcję następująco:

)

(

1

2

)

(

1

sin

)

(

t

j

e

e

t

t

t

f

t

j

t

j

 

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2





s

s

j

s

j

s

j

j

s

j

s

j

t

j

e

e

t

j

t

j

background image

12

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

12.

Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji

)

2

(

1

4

sin

)

(

t

t

t

f

.

)

2

(

1

)

2

(

4

cos

8

sin

)

2

(

1

)

2

(

4

sin

8

cos

)

2

(

1

]

8

sin

)

2

(

4

cos

8

cos

)

2

(

4

[sin

)

2

(

1

]

8

)

2

(

4

sin[

)

2

(

1

4

sin

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

f

s

s

e

s

s

e

s

t

t

t

t

s

F

2

2

2

2

2

2

4

8

sin

4

4

8

cos

)

2

(

1

)

2

(

4

cos

8

sin

)

2

(

1

)

2

(

4

sin

8

cos

)

(

13.

Znaleźć transformatę funkcji, której przebieg przedstawia rysunek











2

2

2

2

2

2

1

1

sin

)

(

1

sin

)

(





 

 

s

e

e

s

s

t

t

t

t

s

F

s

s

f(t)

t

1

f(t)

t

1

-1

)

(

1

sin

t

t

 

 

t

t

1

sin



t

t

t

t

t

f

0

0

sin

0

0

)

(

background image

13

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

14.

Znaleźć transformatę funkcji, której przebieg przedstawia rysunek

2A

A

t

0

2t

0

3t

0

0

t

f(t)

background image

14

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty
można w prosty sposób wyznaczyć:

















)

3

(

1

)

3

(

1

)

3

(

)

2

(

1

)

2

(

2

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t

t

A

t

t

t

t

t

A

t

t

t

t

t

A

t

t

t

t

t

A

t

A

t

f

0

0

0

0

3

3

2

0

2

2

0

2

0

2

st

st

st

st

e

s

A

e

s

t

A

e

s

t

A

e

s

t

A

s

A

)

s

(

F

2A

A

t

0

2t

0

3t

0

0

f(t)

-A

-2A

)

2

(

1

)

2

(

2

0

0

0

t

t

t

t

t

A

)

(

1

)

(

0

0

0

t

t

t

t

t

A

)

(

1 t

A

)

3

(

1

0

t

t

A

)

3

(

1

)

3

(

0

0

0

t

t

t

t

t

A

t

background image

15

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Oblicz transformatę Laplace’a funkcji:

a.

)

(

1

)

3

2

(

)

(

t

t

t

f

b.

)

2

(

1

)

1

3

(

)

(

t

t

t

f

c.

)

2

(

1

)

(

)

1

(

4

t

e

t

f

t

d.

)

(

1

cos

)

(

t

t

t

f

e.

)

(

1

sin

)

(

t

t

t

f

f.

)

(

1

sinh

)

(

t

t

t

f

g.

)

(

1

cosh

)

(

t

t

t

f

h.

)

(

1

)

3

(

2

sin

)

(

t

t

t

f

Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek

a.

b.










c.

d.





2A

A

t

0

2t

0

3t

0

0

t

f(t)

2A

A

t

0

2t

0

3t

0

0

t

f(t)

3

2

4

6

0

t

f(t)

5

1

2

3

0

t

f(t)

background image

16

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

Obliczanie transformat odwrotnych
Można uczynić to w sposób bezpośredni korzystając ze znajomości właściwości przekształcenia
Laplace’a i transformat funkcji elementarnych.
Gdy transformata dana jest w postaci funkcji wymiernej,

ściśle właściwej:

)

(

)

(

)

(

s

M

s

L

s

G

funkcję G(s) należy rozłożyć na ułamki proste. Jeżeli równanie M(s)=0 ma pierwiastki jednokrotne

i

s

to rozkład na ułamki proste jest następujący

n

i

i

i

n

n

s

s

A

s

s

A

s

s

A

s

s

A

s

s

A

s

G

1

3

3

2

2

1

1

)

(

a oryginał jest równy

n

i

t

s

i

t

s

n

t

s

t

s

t

s

i

n

e

A

t

e

A

e

A

e

A

e

A

t

g

1

3

2

1

)

(

1

)

(

3

2

1

przy czym współczynniki rozkładu

i

A

oblicza się ze wzoru:

i

s

s

i

i

s

s

s

M

s

L

A

)

(

)

(

)

(

lub

i

s

s

i

i

i

i

s

M

ds

d

s

M

s

M

s

L

A

)

(

)

(

)

(

)

(

background image

17

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

Ogólny sposób dają wzory

st

i

s

s

e

s

G

res

t

g

i

)

(

)

(

gdzie s

i

są biegunami funkcji G(s),

st

i

p

p

s

s

st

s

s

e

s

s

s

G

ds

d

p

e

s

G

res

i

i

)

(

)

(

lim

)!

1

(

1

)

(

1

1

dla bieguna p-krotnego

st

i

s

s

st

s

s

e

s

s

s

f

e

s

G

res

i

i

)

(

)

(

lim

)

(

dla bieguna jednokrotnego

Tablica niektórych transformat:

)

(t

g

)

(s

G

)

(t

g

)

(s

G

1.

)

(t

1

2.

)

(

1 t

s

1

3.

)

(

1 t

t

2

1

s

4.

)

,

3

,

2

,

1

(

)

(

1

n

t

t

n

1

!

n

s

n

5.

)

(

1 t

e

at

a

s

1

6.

)

(

1

sin

t

t

2

2

s

7.

)

(

1

cos

t

t

2

2

s

s

8.

)

(

1

sinh

t

t

2

2

s

9.

)

(

1

cosh

t

t

2

2

s

s

background image

18

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

Znaleźć oryginał funkcji

1.

2

1

)

(

s

s

s

G

Należy zwrócić uwagę na fakt, że gdy transformata jest funkcją wymierną, to musi być ściśle
właściwą, stąd:

2

1

1

2

1

2

2

1

)

(

s

s

s

s

s

s

G

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2

1

t

e

t

s

G

t

g

t

2.

2

4

1

3

)

(

s

s

s

G

2

1

6

1

1

4

3

2

1

3

1

4

3

2

4

1

3

)

(

s

s

s

s

s

s

G

)

(

1

8

1

)

(

4

3

)

(

)

(

2

1

t

e

t

s

G

t

g

t

background image

19

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

3.

4

4

1

)

(

2

s

s

s

G

2

2

)

2

(

1

4

4

1

)

(

s

s

s

s

G

)

(

1

)

(

)

(

2

1

t

te

s

G

t

g

t

4.

13

4

1

)

(

2

s

s

s

G

2

2

2

3

)

2

(

3

3

1

13

4

1

)

(

s

s

s

s

G

)

(

1

3

sin

3

1

)

(

)

(

2

1

t

e

t

s

G

t

g

t

5.

3

4

1

)

(

2

s

s

s

G

2

1

2

1

3

2

1

2

1

1

)

3

(

)

1

(

)

1

(

)

3

(

3

1

)

3

(

)

1

(

1

3

4

1

)

(

2

2

1

1

1

1

2

1

2

1

2

A

A

s

A

A

s

s

s

s

A

s

A

s

A

s

A

s

s

s

s

s

G

background image

20

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

L

L

)

(

1

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

)

(

)

(

3

1

1

t

e

e

s

s

s

G

t

g

t

t

6.

5

2

1

3

)

(

2

2

s

s

s

s

s

G

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

2

2

5

2

)

1

(

1

1

2

)

1

(

2

2

5

1

1

5

2

4

1

5

2

1

3

)

(

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

G

)

(

1

2

sin

2

5

2

cos

)

(

)

(

)

(

1

t

e

t

t

t

s

G

t

g

t

7.

1

2

1

3

)

(

2

2

s

s

s

s

s

G

2

2

2

2

2

)

1

(

1

1

1

1

)

1

(

1

1

1

)

1

(

1

1

2

1

3

)

(

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

G

)

(

1

)

1

(

)

(

)

(

)

(

1

t

e

t

t

s

G

t

g

t

background image

21

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

L

L

8.

5

6

1

3

)

(

2

2

s

s

s

s

s

G

)

5

(

)

1

(

)

1

(

)

5

(

1

5

1

1

)

5

(

)

1

(

4

3

1

5

6

4

3

1

5

6

1

3

)

(

2

1

2

1

2

2

2

s

s

s

A

s

A

s

A

s

A

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

G

Współczynniki rozkładu na ułamki proste:

4

11

4

11

5

4

1

4

1

1

2

2

1

1

1

1

A

A

s

A

A

s

)

(

1

4

11

4

1

)

(

5

4

11

1

4

1

1

)

(

)

(

5

1

1

t

e

e

t

s

s

s

G

t

g

t

t

background image

22

Zastosowanie rachunku opera

torowego Laplace’a w automatyce

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
1.

Znaleźć oryginał funkcji:

a.

3

1

)

(

s

s

s

G

b.

1

4

1

2

)

(

s

s

s

G

c.

3

4

1

)

(

2

2

s

s

s

s

G

d.

9

6

1

3

)

(

2

2

s

s

s

s

s

G

e.

13

6

1

3

)

(

2

2

s

s

s

s

s

G


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Cw 07 E 01 Badanie właściwości elektrycznych kondensatora pł
cw PAiTS 05 id 122324 Nieznany
Podstawy zarządzania cw 6 26 01 2008
Ćw nr 1, 01., I BD
Ćw nr 1, 01., I BD
kolos automatyka cw PAiTS 03 id Nieznany
Ćw nr 01 Pneumatyczne sterowanie ruchem łyżki odlewniczej w urządzeniu do zalewania form odlewniczy
kolos automatyka cw PAiTS 03a i Nieznany
Matematyka II (Ćw) - Lista 01. Wykresy i własności funkcji, odpowiedzi do zadania 2
Biofizyka kontrolka do cw nr 01
cw PAiTS 04 id 122323 Nieznany
cw 4n 01
Prawo cywilne ćw.5 2010-01-12, Prawo Cywilne
Biofizyka instrukcja do cw nr 01
cw PAiTS 02
Lekcje, cw odp 01- 04
cw 4n 01
cw PAiTS 09

więcej podobnych podstron