1

Podstawy elektrotechniki

2

Rodzaje napięć i prądów

i

t

stały

i

t

zmienny

i

t

T

2T

okresowy

(

)

T

t

i

)

t

(

i

+

=

i

t

T

przemienny

∫

=

T

0

0

dt

)

t

(

i

i

t

sinusoidalny

)

t

sin(

I

)

t

(

i

m

ω

=

3

Elementy obwodu elektrycznego

Obwód elektryczny

Zespół elementów przewodzących prąd, zawierający
przynajmniej jedną drogę zamkniętą dla przepływu prądu

węzeł

gałąź

oczko

Każdy element obwodu elektrycznego charakteryzuje się:
– rezystancją,
– indukcyjnością,
– pojemnością elektryczną,

4

Elementy obwodu elektrycznego

Źródła energii (idealne)
elementy czynne

R

L

C

Ri

u

=

dt

di

L

u

=

dt

dQ

i

=

Gu

i

=

R

1

G

=

Źródło prądu

i

i

Źródło napięcia

u

u

Odbiorniki energii (idealne)
elementy bierne

0

R

wewn

=

∞

→

wewn

R

dt

)

Cu

(

d

=

dt

du

C

=

2

5

Praca i moc prądu elektrycznego

u

v

v

B

A

=

−

dQ

u

dW

⋅

=

Praca:

V

A

V

B

i

u

dQ

dt

i

dQ

⋅

=







dt

ui

dW

=

⇒

∫

=

t

0

uidt

W

Dla u=U=const, i=I=const :

t

I

U

W

=

Moc:

dt

dW

p

=

ui

=

UI

P

=

6

Praca i moc prądu elektrycznego

Moc w rezystancji

R

Ri

u

=

R

u

i

=

Energia w rezystancji

∫

∫

=

=

t

0

2

t

0

2

dt

i

R

dt

Ri

E

Dla u=U=const, i=I=const :

2

RI

P

=

R

U

P

2

=

2

Ri

p

=

ui

p

=

R

u

p

2

=

t

RI

E

2

=

- prawo Joule’a

7

Prawa Kirchhoffa

0

i

n

1

k

k

=

∑

=

I prawo Kirchhoffa

Wersja 1

Suma prądów w węźle jest równa zeru

0

i

i

i

i

i

5

4

3

2

1

=

+

+

+

+

Wersja 2

Suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów z
niego wypływających

5

3

4

2

1

i

i

i

i

i

+

=

+

+

0

i

i

i

i

i

5

4

3

2

1

=

−

+

−

+

8

II prawo Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa

0

U

n

1

k

k

=

∑

=

Suma napięć w oczku jest równa zeru

0

u

u

u

u

4

3

2

1

=

+

−

−

3

2

1

4

u

u

u

u

+

+

=

3

Rezystancja zastępcza

1)

połączenie szeregowe

Ogólnie dla połączenia szeregowego n rezystancji

U

z

U

1

U

2

U

3

0

U

U

U

U

3

2

1

z

=

−

−

−

0

I

R

I

R

I

R

U

z

3

z

2

z

1

z

=

−

−

−

3

2

1

z

z

R

R

R

U

I

+

+

=

zast

z

R

U

=

3

2

1

zast

R

R

R

R

+

+

=

∑

=

=

n

1

k

k

zast

R

R

R

1

R

2

R

3

I

z

Rezystancja zastępcza

2)

połączenie równoległe

Ogólnie dla połączenia równoległego n rezystancji

U

z

0

I

I

I

I

3

2

1

z

=

−

−

−

0

R

U

R

U

R

U

I

3

z

2

z

1

z

z

=

−

−

−













+

+

=

3

2

1

z

z

R

1

R

1

R

1

U

I

zast

z

R

U

=

∑

=

=

n

1

k

k

zast

R

1

R

1

I

1

I

2

I

3

I

z

R

1

R

2

R

3

3

2

1

zast

R

1

R

1

R

1

R

1

+

+

=

1

n

1

k

k

zast

R

1

R

−

=















=

∑

Rezystancja zastępcza

2)

połączenie równoległe

U

z

I

z

R

1

R

2

1

2

1

k

k

zast

R

1

R

−

=















=

∑

2

1

R

1

R

1

1

+

=

2

1

2

1

zast

R

R

R

R

R

+

⋅

=

12

Dzielnik napięcia

U

U

2

I

U

1

R

1

R

2

0

I

R

I

R

U

2

1

=

−

−

2

1

R

R

U

I

+

=

2

1

2

2

2

R

R

U

R

I

R

U

+

=

=

2

1

2

2

R

R

R

U

U

+

=

2

1

1

1

R

R

R

U

U

+

=

2

1

2

1

R

R

U

U =

4

13

Dzielnik prądu

U

I

R

1

R

2

I

1

I

2

zast

R

I

U

=

1

1

R

U

I

=

2

1

2

1

R

R

R

I

I

+

=

2

1

1

2

R

R

R

I

I

+

=

2

1

1

2

R

R

I

I =

2

1

2

1

1

R

R

R

R

I

R

1

+

=

2

1

2

1

R

R

R

R

I

+

=

Przyrządy pomiarowe

1)

Pomiar napięcia

0

I

V

≈

V

nU

U

=

V

p

R

)

1

n

(

R

−

=

⇒

p

V

V

V

R

R

R

U

U

+

=

V

R

U

U

=

V

Woltomierz idealny

V

Woltomierz rzeczywisty

R

V

R

wewn

→ ∞

U

R

1

R

2

I

1

V

I

2

U

V

U

R

Rozszerzanie zakresu pomiarowego

U

R

p

V

U

V

R

V

Przyrządy pomiarowe

2)

Pomiar prądu

0

U

A

≈

A

nI

I

=

)

1

n

(

R

R

A

b

−

=

⇒

A

b

b

A

R

R

R

I

I

+

=

A

R

I

I

=

A

Amperomierz idealny

A

Amperomierz rzeczywisty

R

A

R

wewn

= 0

Rozszerzanie zakresu pomiarowego

R

2

A

I

A

R

1

I

1

I

R

R

b

I

A

R

A

I

A

16

Przekształcenie gwiazda-trójkąt

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

+

+

=

1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R

+

+

=

2

1

3

1

3

31

R

R

R

R

R

R

+

+

=

5

17

Przekształcenie trójkąt-gwiazda

31

23

12

31

12

1

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

12

23

2

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

23

31

3

R

R

R

R

R

R

+

+

=

18

Zasada superpozycji

Rozpływ prądów w obwodzie, w którym działa n źródeł,
jest sumą n rozpływów wymuszonych przez każde ze
źródeł z osobna.

„Usuwanie” źródeł

R

wewn

i

u

19

Twierdzenie Thevenina

Dwójnik:

Tw. Thevenina (o zastępczym źródle napięcia)

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić źródłem napięcia
z rezystancją wewnętrzną

– część obwodu elektrycznego z wyróżnionymi
dwoma zaciskami

Dwójnik nie zawierający źródeł

Dwójnik zawierający źródła

dwójnik pasywny

dwójnik aktywny

Dwójnik aktywny

Dowolnie złożona
sieć elektryczna

20

Twierdzenie Thevenina

Określanie parametrów źródła zastępczego

z

T

T

I

U

R

=

Dwójnik aktywny

Dwójnik pasywny

Dwójnik aktywny

1) napięcie U

T

2) rezystancja R

T

6

21

Model źródła rzeczywistego

U

I

E

Źródło idealne

Źródło rzeczywiste (np. akumulator)

U

I

E

w

V

A

A

V

zw

w

w

I

E

R

=

I

U

E

R

w

w

−

=

Parametry źródła – z tw. Thevenina

U

I

E

w

I

zw

źródło małej mocy

źródło dużej

mocy

Charakterystyka zewnętrzna źródła

22

Model źródła rzeczywistego

0

I

R

RI

E

w

w

=

−

−

R

R

E

I

w

w

+

=

w

w

w

R

E

I

=

0

R

U

R

U

I

w

w

=

−

−

R

R

R

R

I

U

w

w

w

+

=

R

R

E

R

RI

U

w

w

+

=

=

R

R

R

R

R

E

w

w

w

w

+

=

R

R

E

R

U

w

w

+

=

R

R

E

R

U

I

w

w

+

=

=

23

Metody rozwiązywania obwodów

Wykorzystanie praw Kirchhoffa

N gałęzi

M węzłów,

Razem:

N

⇒ N niewiadomych prądów

M-1 równań z I p. Kirchhoffa

Należy sformułować:

N-M+1 równań z II p. Kirchhoffa

+

N równań

Obwód zawiera:

M-1 = LWN

- liczba węzłów niezależnych

N-LWN = N-M+1=LON

- liczba oczek niezależnych

24

Metoda praw Kirchhoffa

N=4 gałęzie

M=2 węzły

1 równanie z I p. Kirchhoffa

3 równania z II p. Kirchhoffa

4

3

2

1

I

I

I

I

=

+

+

0

R

I

R

I

E

E

2

2

3

3

3

2

=

−

+

−

0

R

I

R

I

E

E

1

1

2

2

2

1

=

−

+

−

LWN=M-1=1

LON=N-LWN=3









I

II

III

0

R

I

R

I

E

3

3

4

4

3

=

−

−

0

I

I

I

I

4

3

2

1

=

−

+

+

2

3

2

2

3

3

E

E

R

I

R

I

−

=

−

1

2

1

1

2

2

E

E

R

I

R

I

−

=

−









3

3

3

4

4

E

R

I

R

I

=

+

Przykład:

7

25

Metoda superpozycji

)

3

(

1

)

2

(

1

)

1

(

1

1

I

I

I

I

−

−

=

)

3

(
2

)

2

(
2

)

1

(
2

2

I

I

I

I

−

+

−

=

)

3

(
3

)

2

(
3

)

1

(
3

3

I

I

I

I

+

−

−

=

26

Bilans mocy obwodu

Σ

P

źródeł

=

Σ

P

odbiorników

U

I

0

I

U

P

Z

>

⋅

=

U

I

( )

0

I

U

P

Z

<

⋅

−

=

R

I

0

R

I

P

2

O

>

=

3

3

2

2

1

1

Z

I

U

I

U

I

U

P

−

+

=

∑

4

2
4

3

2
3

2

2
2

1

2

1

O

R

I

R

I

R

I

R

I

P

+

+

+

=

∑

∑

∑

=

O

Z

P

P

Przykład:

27

Metoda potencjałów węzłowych

2

1

V

V

I

R

−

=

⋅

R

V

V

I

2

1

−

=

2

1

z

V

V

U

I

R

−

=

−

⋅

R

V

V

U

I

2

1

z

−

+

=

R

V

V

I

I

2

1

z

−

+

=

M węzłów

Obwód zawiera

⇒ M-1 niewiadomych
potencjałów węzłowych

M-1 równań z I p. Kirchhoffa

Należy sformułować:

Założenie:

V

k

=0 (1

≤k≤M)

LWN

28

Metoda potencjałów węzłowych

0

I

I

I

I

4

3

2

1

=

−

+

+

1

1

2

1

z

1

R

V

V

U

I

+

−

=

0

V

1

=

2

1

2

2

z

2

R

V

V

U

I

+

−

=

3

1

2

3

z

3

R

V

V

U

I

+

−

=

0

R

V

R

V

U

R

V

U

R

V

U

4

2

3

2

3

z

2

2

2

z

1

2

1

z

=

−

−

+

−

+

−

4

3

2

1

3

3

z

2

2

z

1

1

z

2

R

1

R

1

R

1

R

1

R

U

R

U

R

U

V

+

+

+

+

+

=

4

3

2

1

3

3

z

2

2

z

1

1

z

G

G

G

G

G

U

G

U

G

U

+

+

+

+

+

=

4

1

2

4

R

V

V

I

−

=

Przykład:

8

29

Dopasowanie mocowe

R

0

P

R0

R

0

=?

⇒ P

R0

= P

max

U

T

R

0

U

T

R

T

I

0

0

2

0

R

R

I

P

0

=

0

T

T

0

R

R

U

I

+

=

(

)

0

2

0

T

2

T

R

R

R

R

U

P

0

+

=

Tw. Thevenina

0

R

dR

dP

0

(

)

(

)

(

)

4

0

T

0

T

0

2

0

T

2

T

R

R

R

R

2

R

R

R

U

+

+

⋅

−

+

=

(

)

4

0

T

2

0

2

T

2

T

R

R

R

R

U

+

−

=

0

=

30

Dopasowanie mocowe

R

0

P

R0

U

T

R

0

U

T

R

T

I

0

Tw. Thevenina

0

R

R

2

0

2

T

=

−

T

0

R

R

=

T

0

R

R

−

=

(

)

T

2

T

T

2

T

max

R

R

R

U

P

+

=

T

2
T

R

4

U

=

(

)

0

T

2
T

0

2

0

T

2
T

R

R

U

R

R

R

U

+

+

=

0

T

Z

I

U

P

=

0

T

T

T

R

R

U

U

+

=

moc źródła:

0

T

2
T

R

R

U

+

=

sprawność:

Z

R

P

P

0

=

η

0

T

0

R

R

R

+

=

31

Dopasowanie mocowe

0

T

0

R

R

R

+

=

η

T

0

T

0

R

R

1

R

R

+

=

α

+

α

=

1

max

R

P

P

0

=

ρ

(

)

T

2
T

2

0

T

0

2
T

R

4

U

R

R

R

U

+

=

(

)

2

0

T

0

T

R

R

R

R

4

+

=

(

)

2

1

4

α

+

α

=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.5

1

η α

( )

ρ α

( )

α

Przyrządy pomiarowe

Pomiar mocy

R

W

P

P

=

Watomierz idealny

P

W

=U·I

R

U

→ ∞

W

*

*

U

I

R

I

= 0

U

R

*

I

W

W

U

W

*