1

ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Spis treści

1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

1.1. Rodzaje niepewności

1.1.1.

Niepewności systematyczne

1.1.2.

Niepewności przypadkowe

1.1.3. Błąd gruby (nie zajmujemy się nimi).

1.2

Podsumowanie

2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

2.1.

Niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich

2.2.

Niepewności systematyczne pomiarów pośrednich

3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

3.1.

Rozkład normalny

4. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH

4.1.

Zasady sporządzenia wykresów

4.2.

Regresja liniowa

2

1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

Załóżmy, że pewna mierzona wielkość fizyczna x (np. długość, czas,

masa, prędkość) ma rzeczywistą wartość x

p

, której z reguły nie znamy.

W wyniku pomiaru tej wielkości nie uzyskujemy zasadniczo jej

rzeczywistej wartości. Składa się na to wiele powodów, zależnych od

metody pomiaru, użytych przyrządów pomiarowych, obserwatora, itp.

Mówimy, że każdy pomiar obarczony jest niepewnościami pomiarowymi

(lub błędami pomiarowymi, choć tego terminu używać dalej nie

będziemy).

Występują dwa zasadnicze rodzaje niepewności pomiarowych:

•

niepewności systematyczne

•

niepewności przypadkowe.

Zwykle w każdym pomiarze występują one łącznie, składając się na

niepewność całkowitą.

3

1.1.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

A. W jaki sposób się objawiają ?

a) Wyniki kilkakrotnie powtarzanego pomiaru są identyczne

B. Jaka jest tego przyczyna ?

a) Użyty przyrząd pomiarowy nie pozwala na uzyskanie większej

dokładności (ograniczona liczba kresek podziałki przyrządu, klasa

miernika).

b) Obserwator ma ograniczoną dokładność odczytu.

Komentarz

Wartość rzeczywista mieści się zatem w przedziale (x -

Δ

x, x +

Δ

x).

Dokładność

Δ

x stanowi maksymalną wartość niepewności

systematycznej wnoszonej przez sam przyrząd i dlatego

Δ

x nazywana

jest często niepewnością maksymalną.

Przykładowe niepewności systematyczne dla kilku przyrządów

pomiarowych:

linijka milimetrowa

Δl = 1 mm.

sekundomierz

Δt = 0,2 s.

termometr pokojowy

ΔT= 1 K.

W przypadku analogowych mierników elektrycznych, różnicę

pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą znajdujemy

4

posługując się liczbą zwaną klasą przyrządu. Klasą przyrządu

nazywamy wyrażony w procentach stosunek niepewności

systematycznej do pełnego zakresu wychylenia miernika.

Przykład:

amperomierz

o klasie 0,5 i maksymalnym zakresie 5 A

Niepewność systematyczna

Δ

I jest równa:

Δ

I = (0.5/100)

•5 = 0.025 A

Dla mierników cyfrowych za niepewność systematyczną przyjmujemy

najmniejszą wartość wyświetlaną na danym mierniku.

Obserwator wnosi niezależny przyczynek do niepewności

systematycznej. Mierząc np. czas trwania jakiegoś procesu musimy

uwzględnić skończony czas refleksu obserwatora. Przy pomiarze

odległości popełniamy zwykle błąd paralaksy. Wkład obserwatora do

niepewności systematycznej jest z reguły mniejszy od dokładności

przyrządu pomiarowego.

5

Przykład. Woltomierzem klasy 0,2 o zakresie do 10 V wykonujemy

odczyt napięcia na oporniku.

Położenie wskazówki woltomierza możemy odczytać z dokładnością do

0,01 V.

Jaka jest niepewność systematyczna pomiaru ?

- Niepewność wynikająca z klasy przyrządu wynosi

(0.2/100)

•10 = 0.02V,

- niepewność odczytu 0,01 V,

- całkowita niepewność systematyczna pomiaru wynosi więc

ΔU = 0,02 + 0,01 = 0,03 V.

Gdybyśmy przykładowo odczytali wartość U = 3,05 V, to wynik końcowy

zapiszemy w postaci U = (3.05 ± 0.03)V

.

6

1.1.2. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

A. W jaki sposób się objawiają ?

a) Przy kolejnych powtórzeniach pomiaru nie uzyskuje się identycznych

wyników, występuje ich statystyczny rozrzut.

B. Jaka jest tego przyczyna ?

a) Brak identyczności elementów zbioru.

b) Niezgodność przyjętego modelu z obiektem mierzonym.

c) Metoda pomiaru, zmienne warunki pomiaru, wpływu zmysłów

obserwatora.

Komentarze

do powyższych punktów:

Zwiększenie ilości pomiarów prowadzi do zmniejszenia

niepewności pomiarowej. Wartości pomiarów grupują się w specyficzny

sposób wokół wartości rzeczywistej. Gdy wykonujemy bardzo dużo

pomiarów, wyniki niektórych z nich mogą być takie same.

Ta przyczyna występuje wtedy, gdy pomiaru wykonujemy nie na

pojedynczym obiekcie, ale na pewnym zbiorze, dla którego zdefiniowana

jest mierzona wielkość. Na przykład, mierzymy średnice pewnej liczby

metalowych kulek itp. Rozrzut wyników wynika ze statystycznego

charakteru mierzonej wielkości.

Przyczyną jest odstępstwo przedmiotu pomiaru od założonego

modelu. Na przykład, mamy zmierzyć długość walca i zakładamy, że jest

7

to idealny walec. Nie jest to oczywiście prawdą i dlatego pomiar jego

długości wzdłuż różnych linii nie da nam tych samych wyników.

Odstępstwo przedmiotu od ideału ujawni się wtedy, gdy dokładność

stosowanego przyrządu pomiarowego jest wystarczająco duża.

Przykładem na to, że metoda pomiarowa wnosi własny przyczynek

do niepewności przypadkowej jest pomiar długości gumki. Wynik

pomiaru zależy od naprężenia gumki i sposobu przykładania linijki.

Również przypadkowo zmieniające się czynniki zewnętrzne (ciśnienie,

temperatura) mają wpływ na rezultat końcowy. Wpływ zmysłów na wynik

pomiaru występuje najwyraźniej wtedy, gdy musimy ocenić minimum lub

maksimum natężenia dźwięku, równości oświetlenia pola widzenia itp.

8

1.3. PODSUMOWANIE

Celem ustalenia, która z niepewności dominuje, pomiar należy

powtórzyć kilkakrotnie, 3-4 razy.

1. Jeżeli wyniki kolejnych pomiarów są identyczne, wtedy miarą

dokładności pomiaru są niepewności systematyczne.

2. Jeżeli występuje statystyczny rozrzut wyników, czyli każdy pomiar

daje inny rezultat, lub przynajmniej niektóre wyniki są różne, a różnice

pomiędzy poszczególnymi wynikami przewyższają niepewności

systematyczne, wtedy dominuje niepewność przypadkowa.

3

. W pomiarach, z którymi mamy do czynienia, występują z

reguły niepewności systematyczne

jak i przypadkowe. Na

początku ograniczymy nasze rozważania do przypadków skrajnych, w

których dominuje tylko jeden rodzaj niepewności.

9

2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

2.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW

BEZPOŚREDNICH

Pomiar bezpośredni, gdy wartość liczbowa pewnej wielkości odczytana

być może bezpośrednio z przyrządu pomiarowego.

Do takich pomiarów należy np. odczyt długości ciała za pomocą linijki,

odczyt długości czasu trwania spadku ciała za pomocą sekundomierza,

odczyt temperatury za pomocą termometru.

Dla pojedynczych pomiarów stosujemy:

- niepewność bezwzględną pomiaru:

Δx= x-x

o

,

gdzie: x - wartość zmierzona, x

o

– wartość rzeczywista,

-

niepewność względną pomiaru:

δ=

o

x

x

Δ

.

Niepewność względna jest niemianowana i często bywa wyrażona w

procentach.

- Niepewność procentowa

δ%=

o

x

x

Δ

100

10

Przykład

Stoperem wyznaczyliśmy czas spadania ciała otrzymując t= 12,2 s.

Niepewność systematyczną przyjmiemy

Δ

t = 0,2 s.

Wynik pomiaru zapiszemy: t = (12,2 ± 0,2) s.

Niepewność względna wynosi:

δ=

2

.

12

2

.

0

=0.016

Niepewność procentowa:

δ% = δ 100= 1.6 %.

11

2.2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW POŚREDNICH

Mierzymy wielkości x

1

, x

2

,...x

n

– bezpośrednio.

Wielkość y obliczamy ze wzoru y = f(x

1

, x

2

,...x

n

).

Zatem wielkość y nie jest mierzona bezpośrednio i o takich pomiarach

mówimy, że są pomiarami pośrednimi.

Przykład

-Wyznaczamy prędkość ciała poruszającego się jednostajnie,

dysponując jedynie sekundomierzem i linijką.

-

Mierzymy: długość odcinka s i czas jego przebycia t.

-Liczymy prędkość ciała v=s/t.

Niepewność

Δv musi być związana z niepewnościami s i t!!!!

12

Ogólnie.

Mierzone wielkości: x

1

, x

2

,...,x

n

niepewności systematyczne odpowiednio

Δx

1

,

Δx

2

,

Δx

n

.

Zakładamy, że

Δx

i

<< x

i

dla i = 1,2,...,n, posługując się rozwinięciem

Taylora otrzymamy:

i

n

i

i

n

x

x

x

x

x

f

y

Δ

∑

∂

∂

=

Δ

=1

2

1

)

,.....

,

(

Zakładamy ponadto, że wszystkie

Δx

i

mają ten sam znak,

wtedy

Δy nazywamy niepewnością maksymalną Δy

m

.

i

n

i

i

n

m

x

x

x

x

x

f

y

Δ

∑

∂

∂

=

Δ

=1

2

1

)

,.....

,

(

.

Jest to metoda różniczki zupełnej.

Przykład

.

Zmierzono walec:

r=(1.5 ± 0.1) cm,
h= (5.4 ± 0.2) cm.

Objętość V=

πr

2

h = 38.17 cm

3

.

Maksymalna niepewność systematyczna:

ΔV

m

=

|2π r h Δr| + |π r

2

Δh| = 6.5 cm

3

Wynik końcowy zapiszemy w postaci

V=(38,2 ± 6,5)cm

3

.

13

3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

Niepewności przypadkowe wynikają z równoczesnego działania bardzo

wielu niezależnych czynników. Każdy z tych czynników wpływa jedynie

nieznacznie na rezultat pomiaru, powodując z prawdopodobieństwem p

= 0,5 odchylenie wartości pomiaru o małą wartość w górę lub dół.

Sumaryczne działanie wszystkich tych zakłócających czynników jest

chaotyczne, dlatego przy powtórnym pomiarze nie otrzymamy tego

samego co wcześniej rezultatu. Prawo rozkładu wyników pomiarowych

opisuje tzw. rozkład normalny, zwany inaczej rozkładem Gaussa

(statystyka).

14

3.1. ROZKŁAD NORMALNY

Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej błędu

Δx

jest opisana wzorem:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

Φ

2

2

0

2

)

(

exp

2

1

)

(

σ

π

σ

x

x

x

gdzie:

Φ jest gęstością prawdopodobieństwa wystąpienia w

pomiarze wartości x (oznacza szansę na wystąpienie

wartości x),

σ odchyleniem standardowym (miara rozrzutu

otrzymywanych wartości x, czyli jest miarą niepewności

pomiarowej)

(

)

)

1

(

)

(

2

−

∑

−

=

=

n

n

x

x

x

u

i

σ

,

x

o

jest wartością najbardziej prawdopodobną i może nią być

wartość średnia:

n

x

x

n

i

i

∑

=

.

15

Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku x zawartego w przedziale

(x

1

, x

2

) wynosi:

P(x

1

,x

2

) =

∫ Φ

2

1

x

x

dx

W przedziale x

o

-

σ < x < x

o

+

σ mieści się ok. 68% wszystkich pomiarów.

Podana powyżej postać f(x) nosi nazwę niestandaryzowanego rozkładu

normalnego

0

5

10

15

20

25

30

0

1

2

3

Φ

(x)

x

x

0

=15

σ

=2

σ

=5

16

4. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH

4.1. ZASADY SPORZĄDZANIA WYKRESÓW

Podczas robienia wykresu należy kierować się następującymi zasadami:

1. Wykres wykonuje się na papierze milimetrowym. Rozmiar wykresu

określa zakres mierzonych wielkości i wybrana skala na osiach (a nie

odwrotnie!).

2. Na osi y odkładamy wartości funkcji, na osi x - wartości

argumentów.

Na przykład mając wykreślić temperaturową zależność oporu metalu, na

osi x odkładamy temperaturę, na osi y - opór elektryczny.

3. Na każdej z osi odkładamy tylko taki zakres zmian mierzonej

wielkości fizycznej, w którym zostały wykonane pomiary. Nie ma

zatem obowiązku odkładania na osiach punktów zerowych.

4. Rozmiar wykresu nie jest dowolny i nie powinien wynikać z tego, że

dysponujemy takim a nie innym kawałkiem papieru. Rozmiar powinien

być określony przez niepewności pomiarowe tych wielkości, które

odkłada się na osiach. Niepewność ta powinna w wybranej skali być

odcinkiem o łatwo zauważalnej, znaczącej długości.

17

5. Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie, tak że mogą one

być różne. Dążymy do tego, aby uzyskany wykres lub jego główna

część był pod kątem około 45

o

do osi układu współrzędnych.

6. Skalę na osiach układu nanosimy zazwyczaj w postaci

równooddalonych, pełnych liczb. Ich wybór i gęstość na osi musi

zapewniać jak największą prostotę i wygodę korzystania z nich.

7. Punkty na wykres nanosimy tak, by były wyraźnie widoczne. Gdy

na jednym rysunku ma być kilka krzywych, punkty na każdej z nich

zaznacza się inaczej: kółkami, trójkątami, kwadracikami itp.

8. Po naniesieniu punktów na wykres, rysujemy ciągłą, bez nagłych

zagięć i załamań, krzywą. Powinna ona leżeć tak, aby ilość punktów po

obu jej stronach była taka sama. Nie należy dążyć do tego, aby

przechodziła ona przez wszystkie punkty, ponieważ każdy z nich

obarczony jest niepewnością.

9. Na osiach wykresu muszą być napisane odkładane wielkości i ich

jednostki.

18

10. Aby wykres jak najlepiej odzwierciedlał zależność dwu wielkości,

czasami na osiach odkłada się nie same te wielkości, ale ich funkcje.

Przykład

Temperaturowa zależność oporu elektrycznego półprzewodnika

R = R

o

exp(-

α/T).

Logarytmując obustronnie, otrzymamy lnR = ln(Ro) -

α/T.

11. Na rysunku należy zaznaczyć niepewności pomiarowe w postaci

prostokątów lub odcinków.

12. Każdy rysunek powinien być podpisany. Podpis mówi, co rysunek

zawiera, wyjaśnia co reprezentują zaznaczone krzywe.

Rys. 5. Prawidłowo i nieprawidłowo sporządzone rysunki,

przedstawiające temperaturową zależność oporu elektrycznego metalu

19

Rysunki sporządzono na podstawie tych samych pomiarów. Pierwszy z

nich sporządzono kierując się tymi regułami i jest prawidłowo zrobiony,

drugi niezgodnie z wyżej przedstawionymi wskazówkami.

20

4.2. REGRESJA LINIOWA

Zakładamy, że zależność y(x) jest opisana równaniem

y = ax + b.

- temperaturowa zależność oporu elektrycznego metali R = f(T),

-skręcenie płaszczyzny polaryzacji światła w funkcji stężenia

roztworu cukru a = f(s),

- okres drgań relaksacyjnych w obwodzie kondensatora i

neonówki od pojemności kondensatora T = f(C) itp.

Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (x

i

, y

i

)

i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i

b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to

będzie miało postać:

y

i

= ax

i

+ b.

"Dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza,

że

(

)

[

]

min

2

2

=

∑

+

−

=

n

i

i

i

b

ax

y

S

.

Wyrażenie w nawiasie jest odchyleniem punktu eksperymentalnego

(liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z

równania prostej.

Parametry a i b są emiprycznymi współczynnikami regresji liniowej.

21

Poszukując ekstremum powyższego równania udowadnia się, że:

gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (x

i

, y

i

).

Na odchylenie standardowe S

a

i S

b

, będące miarą niepewności

pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące

równania

Kryterium tego, jak nasze punkty pomiarowe (x

i

,y

i

) potwierdzają liniową

zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw.

współczynnika korelacji liniowej. r. Jego wartość zmienia się w granicach

od 1 do 0. Gdy |r| = 1, to dopasowanie jest idealne, wszystkie punkty

pomiarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność liniowa pomiędzy x

i

i

y

i

nie istnieje. W pomiarach fizycznych wartość współczynnika korelacji r

jest zwykle większa niż 0,98. Wzór na współczynnik korelacji

22

Przykład. Wykonując pomiary temperaturowej zależności oporu

elektrycznego półprzewodnika otrzymano R =f(T). Wcześniej

udowodniono, że lnR = f(1/T) spełnia zależność y = ax + b. U nas x

i

to

odwrotności temperatury, a y

i

to „opory elektryczne”, i = 1,2,3,4,5....

23

4

6

8

10

12

14

16

0

20

40

60

x

i

y

x

f(x)=ax+b
a=3.23, b=-2.08

Szukamy równania prostej najlepiej pasującej do tych danych oraz

współczynnika korelacji.