1
5. Układy równań liniowych
Rozdział ten jest kontynuacją poprzedniego, dotyczy bowiem zastosowania
formalizmu macierzowego do rozwiązywania układów równań liniowych. Równania
liniowe pojawiają się nie tylko jako samoistne zagadnienia, ale często są uproszczoną
wersją problemów bardziej skomplikowanych, jako ich przybliŜenie. Taka uproszczo-
na wersja często pozwala zrozumieć podstawowe mechanizmy zjawisk i procesów
opisywanych zaleŜnościami nieliniowymi. Metody otrzymywania przybliŜenia linio-
wego nie będą omawiane w tym rozdziale, wykraczają one poza poruszaną tutaj tema-
tykę. MoŜna jedynie wspomnieć, iŜ często wykorzystuje się do tego metody rachunku
róŜniczkowego. Spośród zagadnień, do rozwiązania których stosuje się techniki zapre-
zentowane w tym rozdziale, moŜna wymienić model Leontiewa nakładów i wyników.
5.1. Układy równań; twierdzenie Kroneckera-Capelliego
RozwaŜmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi, ma on następującą
postać:
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
L
M
L
L
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Współczynniki
ij
a oraz
i
b , gdzie
m
i
,
2
,
1 K
=
,
n
j
,
,
2
,
1
K
=
, są konkretnymi liczbami
definiującymi układ równań. Oczywiście niektóre z nich mogą być równe zeru.
Wskaźnik i numeruje równania (jest ich m), natomiast wskaźnik j numeruje niewia-
dome
j
x , których jest n. Zdefiniujmy trzy macierze. Pierwszą jest macierz współczyn-
ników, nazywana macierzą układu równań:
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
L
M
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Następnymi są: wektor niewiadomych
=
n
x
x
x
X
M
2
1
oraz wektor wyrazów wolnych
=
m
b
b
b
B
M
2
1
. JeŜeli przypomnimy sobie definicję mnoŜenia macierzy, to powyŜszy układ
równań moŜna zapisać w postaci:
B
X
A
=
⋅
Macierz po lewej stronie (wynik mnoŜenia) równa jest macierzy stojącej po prawej
stronie. Równość zachodzi wtedy, gdy:
2
1. Obie macierze są tego samego wymiaru. Łatwo uzasadnić, Ŝe są tego samego wy-
miaru: iloczyn macierzy
n
m × i macierzy
1
×
n
ma wymiar
1
×
m
, a to jest wymiar
wektora wyrazów wolnych.
2. Odpowiednie wyrazy (mające takie same numery wskaźników) są sobie równe.
Z warunków tych ponownie otrzymalibyśmy wyjściowy układ zapisany bez pomocy
macierzy.
Równanie
B
X
A
=
⋅
pojawiło się juŜ w poprzednim rozdziale. Jego rozwiąza-
nie łatwo jest otrzymać, gdy macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa (ma wyznacznik
róŜny od zera). Jednak nie zakładamy na razie tak szczególnego przypadku. Zanim
sformułujemy warunki, przy których istnieją rozwiązania musimy wprowadzić pojęcie
rzędu macierzy. Rzędem
( )
A
r
macierzy A nazywamy najwyŜszy stopień niezerowego
minora macierzy A. Przyjmuje się z definicji, Ŝe rząd macierzy zerowej jest równy ze-
ru.
Jak wiadomo minor jest wyznacznikiem macierzy powstałej z wykreślenia
pewnej liczby wierszy i kolumn. JeŜeli mamy do czynienia z macierzą kwadratową
n
n × , to jej rząd nie moŜe być większy od n i jest maksymalny wtedy, gdy wyznacz-
nik tej macierzy jest róŜny od zera, gdy nie jest maksymalny, to
( )
n
A
r
<
. JeŜeli nato-
miast macierz ma wymiar
n
m × , to maksymalny rząd, jaki moŜe mieć taka macierz
jest równy mniejszej z dwóch liczb m i n, a więc
( )
{
}
n
m
A
r
,
min
≤
. Pamiętajmy jed-
nak, Ŝe wyznacznik zdefiniowany jest tylko dla macierzy kwadratowej, więc w przy-
padku, gdy
n
m ≠ minory otrzymujemy wykreślając róŜne liczby wierszy i kolumn.
Warunki rozwiązalności układu równań podaje poniŜsze twierdzenie. Zanim je
jednak sformułujemy zdefiniujemy macierz uzupełnioną U macierzy układu równań A.
Jest to macierz, która powstaje przez dopisanie do macierzy A kolumny wyrazów wol-
nych:
=
m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
U
L
M
M
M
M
M
L
L
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Twierdzenie
(Kroneckera – Capelliego)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązalności układu równań linio-
wych
B
X
A
=
⋅
jest równość rzędów macierzy układu A i macierzy uzupełnionej U:
( )
( )
U
r
A
r
r
=
=
JeŜeli rząd r jest równy liczbie niewiadomych n, to układ ma dokładnie jedno rozwią-
zanie, gdy rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wie-
le rozwiązań zaleŜnych od
r
n − parametrów.
Przypadkiem, w którym układ ma dokładnie jedno rozwiązanie zajmiemy się
nieco później, a tymczasem skomentujemy krótko pozostałe moŜliwości. Układ dwóch
równań z dwiema niewiadomymi opisuje dwie proste na płaszczyźnie. Ich wzajemne
połoŜenie decyduje o tym, czy rozwiązanie istnieje, czy nie istnieje, i czy jest tylko
jedno. JeŜeli proste nie pokrywają się i nie są równoległe, to istnieje jednoznacznie
określone rozwiązanie (rząd
r jest równy ilości niewiadomych). JeŜeli proste są rów-
3
noległe, to rozwiązania nie ma – odpowiada to sytuacji, o której nie ma mowy w
twierdzeniu:
( )
( )
U
r
A
r
<
. Wreszcie trzecia moŜliwość występuje wtedy, gdy proste
pokrywają się. Wówczas
( )
( )
2
1 <
=
=
U
r
A
r
(2 jest liczbą niewiadomych) i jedno z
równań moŜemy odrzucić – pozostanie jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Je-
Ŝeli jedną z niewiadomych wyznaczymy z tego równania, to druga będzie parametrem,
w miejsce którego moŜemy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste otrzymując w ten
sposób nieskończenie wiele rozwiązań.
Podobną analizę moŜemy przeprowadzić dla układu trzech równań z trzema
niewiadomymi. Równania opisują płaszczyzny w przestrzeni i ich wzajemne połoŜenie
decyduje o rozwiązalności układu. JeŜeli przecinają się w jednym punkcie, to układ
ma jednoznacznie rozwiązanie (
( )
( )
3
=
=
U
r
A
r
). JeŜeli dwie z trzech płaszczyzn są
równoległe lub wszystkie trzy są do siebie równoległe, to układ nie ma rozwiązań
(
( )
( )
U
r
A
r
<
). Kiedy dwie płaszczyzny pokrywają się i trzecia przecina je
(
( )
( )
3
2 <
=
=
U
r
A
r
) , to ich częścią wspólną jest prosta, której kaŜdy punkt jest roz-
wiązaniem układu. Podczas rozwiązywania takiego układu jedno z identycznych rów-
nań po prostu odrzucamy, pozostaną dwa równania z trzema niewiadomymi. Mamy
wówczas nieskończenie wiele rozwiązań zaleŜnych od jednego parametru (moŜemy
nadawać mu dowolne wartości), którym jest jedna z niewiadomych. Pozostał trzeci
przypadek – wszystkie płaszczyzny pokrywają się (
( )
( )
3
1 <
=
=
U
r
A
r
. Wtedy odrzu-
camy dwa równania, pozostanie jedno z trzema niewiadomymi, z których dwie będą
odgrywały rolę parametrów.
Rys. 8.1. 1
Rysunek pokazuje sytuację, w której trzy równania z trzema niewidomymi
mają jedno rozwiązanie, wtedy
( )
( )
3
=
=
U
r
A
r
.
Punkt przecięcia
się trzech płasz-
czyzn
4
Rys. 8.1. 2.
JeŜeli dwie z trzech płaszczyzn pokrywają się i są przecinane przez trze-
cią płaszczyznę, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań tworzących prostą. Od-
powiada to sytuacji, gdy
( )
( )
3
2 <
=
=
U
r
A
r
.
Rys. 8.1. 3.
JeŜeli trzy płaszczyzny pokrywają się, to układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań. Są nimi wszystkie punkty płaszczyzny i wtedy
( )
( )
3
1 <
=
=
U
r
A
r
.
Prosta będąca prze-
cięciem się trzech
płaszczyzn
5
Rys. 8.1. 4
JeŜeli dwie z trzech płaszczyzn są równoległe (ale nie pokrywają się), to
układ równań nie ma rozwiązań, wówczas
( )
( )
U
r
A
r
<
.
W przypadku więcej niŜ trzech równań interpretacja jest bardzo podobna, ale
mamy wówczas do czynienia ze zbiorami w większej liczbie wymiarów niŜ trzy. Nie-
stety, nasza wyobraźnia wówczas zawodzi i nie moŜemy narysować takich zbiorów.
ChociaŜ interpretacja rozwiązalności, lub braku rozwiązań, jest analogiczna do omó-
wionych wyŜej przypadków dwu i trzywymiarowych. Bez względu na ilość równań i
niewiadomych w przypadku układów równań uŜywa się następującej terminologii:
jeŜeli układ ma jednoznaczne rozwiązanie, to mówimy, Ŝe jest oznaczony, jeŜeli roz-
wiązań jest nieskończenie wiele, to jest nieoznaczony, natomiast w przypadku braku
rozwiązań układ nazywamy sprzecznym.
Przykład
RozwiąŜmy układ równań:
−
=
−
+
−
=
−
+
=
+
−
2
2
2
4
0
2
3
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Aby zapisać go w postaci macierzowej wprowadzamy macierz układu:
−
−
−
−
=
2
2
4
2
1
3
1
1
2
A
oraz macierz uzupełnioną:
−
−
−
−
−
=
2
2
2
4
0
2
1
3
1
1
1
2
U
Rząd macierzy U nie moŜe być większy od 3, jest to mniejsza z dwóch liczb tworzą-
cych wymiar macierzy: 3 i 4. Obliczamy więc minory
3
3× , które powstają z wykre-
ślenia jednej kolumny. Okazuje się, Ŝe wszystkie są równe zeru, co świadczy o tym, Ŝe
rząd macierzy U jest mniejszy od 3. ZauwaŜmy, Ŝe po wykreśleniu ostatniej kolumny
otrzymujemy minor będący wyznacznikiem macierzy A. Z jego zerowania się wynika,
Ŝe rząd tej ostatniej macierzy jest teŜ mniejszy od 3. W następnym kroku tworzymy
minory poprzez wykreślanie z macierzy A jednego wiersza i jednej kolumny. W roz-
waŜanym przypadku minorem róŜnym od zera jest na przykład:
1
1
2
2
1
1
1
det
=
−
=
∗
∗
∗
−
∗
−
∗
ZauwaŜmy, Ŝe jest to równocześnie minor macierzy U powstały z wykreślenia ostat-
niego wiersza oraz pierwszej i ostatniej kolumny. Świadczy to o tym, Ŝe rzędy obu
macierzy (A i U) są jednakowe i równe 2. Z twierdzenia Kroneckera – Capelliego wy-
nika, Ŝe układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zaleŜą od jednego parametru
(jeden jest róŜnicą pomiędzy liczbą niewiadomych i znalezionym rzędem).
6
PoniewaŜ do znalezionego wyŜej minora nie wchodzą współczynniki trzeciego
równania, więc moŜemy je odrzucić i pozostaną dwa równania z trzema niewiadomy-
mi:
=
−
+
=
+
−
0
2
3
1
2
z
y
x
z
y
x
Współczynniki w znalezionym minorze stoją przy niewiadomych y i z. Przenosimy
więc wyrazy zawierające x na prawą stronę (zmienna x jest parametrem, od którego
zaleŜy rozwiązanie) i otrzymujemy układ:
−
=
−
−
=
+
−
x
z
y
x
z
y
3
2
2
1
Nie przejmując się prawą stroną rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema nie-
wiadomymi y i z. W pierwszym kroku pierwsze równanie zastępujemy równaniem
powstałym z dodania obu równań stronami:
−
=
−
−
=
−
x
z
y
x
z
3
2
5
1
Z pierwszego równania wyznaczamy z i po podstawieniu do drugiego równania, znaj-
dujemy y, w rezultacie otrzymujemy:
+
−
=
+
−
=
x
y
x
z
7
2
5
1
Mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań sparametryzowanych zmienną x, za którą
moŜemy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste. Przykładami rozwiązań mogą być
trójki
)
1
,
2
,
0
(
−
−
,
(
)
4
,
5
,
1
,
(
)
11
,
16
,
2
−
−
−
, które otrzymaliśmy podstawiając do powyŜ-
szej pary równań w miejsce zmiennej x odpowiednio 0, 1 i –2.
W rozwaŜanym przypadku równanie pierwsze i trzecie opisuje tę samą płasz-
czyznę. Wystarczy bowiem trzecie równanie podzielić przez –2, aby otrzymać pierw-
sze. Z tego powodu rząd macierzy układu nie był maksymalny, ale był równy 2 i dla-
tego mogliśmy odrzucić trzecie równanie, chociaŜ równie dobrze moŜna było pozbyć
się równania pierwszego.
8.2. Wzory Cramera
Rozpatrzmy szczegółowo przypadek, gdy liczba równań jest taka sama, jak
liczba niewiadomych (
n
m = ). Macierz A jest wówczas kwadratowa. MoŜe oczywiście
być zarówno osobliwa (
n
r < ), jak i nieosobliwa (
n
r = ). JeŜeli jest nieosobliwa, to z
dyskusji o związku pomiędzy rzędem macierzy i jej wymiarem wynika, Ŝe
( )
( )
n
U
r
A
r
=
=
i układ ma jednoznaczne rozwiązanie (patrz twierdzenie Kroneckera –
Capelliego). MoŜemy je otrzymać mnoŜąc obie strony równania
B
X
A
=
⋅
(lewo-
stronnie) przez
1
−
A − była o tym mowa w poprzednim rozdziale. Rozwiązanie ma
wówczas postać:
B
A
X
1
−
=
. Jednak z przyczyn praktycznych (mniej rachunków) zapi-
suje się je w nieco innej postaci. Wprowadźmy wyznaczniki
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
, w których
odpowiednio zamiast pierwszej kolumny (w
A
1
) stoi kolumna wyrazów wolnych, za-
miast drugiej (w
A
2
) stoi kolumna wyrazów wolnych itd. Mamy więc:
7
=
nn
n
n
n
n
a
a
b
a
a
b
a
a
b
A
L
M
M
M
M
L
L
2
2
22
2
1
12
1
1
det
,
=
nn
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
a
b
a
A
L
M
M
M
M
L
L
1
2
2
21
1
1
11
2
det
, .....,
=
n
n
n
n
b
a
a
b
a
a
b
a
a
A
L
M
M
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
22
11
det
Rozwiązanie układu zadane jest wówczas wzorami Cramera:
A
A
x
A
A
x
A
A
x
n
n
det
,
,
det
,
det
2
2
1
1
=
=
=
K
W rozwaŜanym przypadku mamy do czynienia z układem oznaczonym. Wie-
lowymiarowe płaszczyzny (w przypadku
3
>
n
nazywa się je hiperpłaszczyznami),
opisywane poszczególnymi równaniami układu, przecinają się w dokładnie jednym
punkcie o współrzędnych zadanych wzorami Cramera.
JeŜeli wyznacznik układu
0
det
=
A
i chociaŜ jeden z wyznaczników
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
jest róŜny od zera, to układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań
(
( )
( )
U
r
A
r
<
) . Wreszcie trzecia moŜliwość związana jest z sytuacją, gdy wszystkie
wyznaczniki
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
są równe zeru. Badając relację pomiędzy rzędem macierzy
A i macierzy U rozstrzygamy, czy układ jest sprzeczny (
( )
( )
U
r
A
r
≠
), czy nieoznaczo-
ny (
( )
( )
U
r
A
r
=
). W drugim przypadku jego rozwiązanie otrzymujemy metodą zapre-
zentowaną w poprzednim podrozdziale, gdy
( )
n
A
r
r
<
=
. Rozwiązań jest wówczas
nieskończenie wiele i zaleŜą one od
r
n − parametrów.
RozwaŜmy teraz przypadek układu jednorodnego, czyli takiego, w którym ma-
cierz wyrazów wolnych jest równa zeru (
0
2
1
=
=
=
=
n
b
b
b
K
). Wtedy kaŜdy z wy-
znaczników
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
jest równy zeru – zawiera bowiem kolumnę złoŜoną z sa-
mych zer. JeŜeli wyznacznik układu
0
det
=
A
, to mamy do czynienia z układem nie-
oznaczonym i jego dyskusja była juŜ przeprowadzona. Pozostaje przypadek
0
det
≠
A
.
Wtedy układ jest oznaczony i ma jednoznaczne rozwiązanie. Ze wzorów Cramera wy-
nika, Ŝe jest to rozwiązanie zerowe:
0
2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
K
.
ZauwaŜmy, Ŝe układ jednorodny zawsze ma rozwiązania (bez względu na to,
czy niewiadomych jest tyle samo co równań, czy nie). Jest to konsekwencja prostego
faktu geometrycznego. Równania jednorodne opisują hiperpłaszczyzny przechodzące
przez początek układu współrzędnych, a więc przynajmniej jeden punkt, o wszystkich
współrzędnych zerowych, spełnia układ.
5.3. Operacje elementarne i ich zastosowania
Podczas rozwiązywania układów równań liniowych, bez zastosowania algebry
macierzy, moŜna było wykonywać na nich pewne operacje, które nie zmieniały roz-
wiązań. Jeszcze w szkole uczono nas, Ŝe obie strony równania moŜna mnoŜyć przez te
same liczby (róŜne od zera), moŜna równania dodawać lub odejmować stronami itp.
8
Wszystko to słuŜy znalezieniu rozwiązania poprzez maksymalne uproszczenie układu
równań. Okazuje się, Ŝe szereg operacji powyŜszego typu moŜna wykonywać na ma-
cierzy rozszerzonej układu, nie wypisując samych równań. Pozwala to nie tylko znaj-
dować rozwiązania, ale na przykład stwierdzić, jaki jest rząd macierzy układu, co jak
wiadomo ma decydujące znaczenie dla istnienia rozwiązań i odpowiedzi na pytanie od
ilu parametrów zaleŜą rozwiązania. MoŜna równieŜ wspomniane przekształcenia za-
stosować do wyznaczania macierzy odwrotnej (jeśli istnieje). Dalsze rozwaŜania ogra-
niczymy do działań na wierszach (chociaŜ moŜna i na kolumnach) i wymienimy tzw.
operacje elementarne, do których zaliczamy:
1. mnoŜenie wiersza przez liczbę róŜną od zera,
2. dodawanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy,
3. zamianę wiersza lub kilu wierszy miejscami.
ZauwaŜmy, Ŝe podobne działania moŜna było wykonywać na wierszach (lub
kolumnach) wyznacznika. Jednak tym razem operacje elementarne stosują się do ma-
cierzy, a nie wyznaczników. Podamy teraz ich zastosowania w postaci konkretnych
przykładów.
Przykład (znajdowanie rzędu macierzy)
Rząd macierzy zdefiniowaliśmy jako najwyŜszy stopień minora róŜnego od ze-
ra. W przypadku macierzy kwadratowej w pierwszym kroku naleŜy sprawdzić, czy jej
wyznacznik jest róŜny od zera. jeśli tak, to odpowiedź mamy gotową. Jeśli jest równy
zeru, to moŜemy skorzystać z operacji elementarnych. Celem stosowania operacji
elementarnych jest wyzerowanie jak największej liczby elementów macierzy, wyrazy
niezerowe, które pozostaną określają rząd macierzy. RozwaŜmy konkretny przykład
macierzy
4
3× :
6
3
2
1
4
2
2
1
2
1
2
1
Wiemy, Ŝe rząd tej macierzy nie moŜe być większy od 3 (mniejszej z dwóch liczb:
ilość wierszy, ilość kolumn). Aby stwierdzić, Ŝe jest równy właśnie tyle, musimy zna-
leźć minor trzeciego stopnia róŜny od zera, są trzy takie minory. JeŜeli okaŜe się, Ŝe
wszystkie są równe zeru, to szukamy minorów drugiego stopnia, a tych jest juŜ znacz-
nie więcej. Sytuacja byłaby jeszcze gorsza, gdybyśmy mieli do czynienia z macierzą
wyŜszego wymiaru niŜ właśnie rozwaŜana. Dlatego wygodnie jest od razu wykonywać
przekształcenia elementarne, starając się wygenerować jak największą liczbę zer.
Wracając do przykładu podzielmy drugą i czwartą kolumnę przez 2, wówczas otrzy-
mujemy:
≅
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
6
3
2
1
4
2
2
1
2
1
2
1
gdzie symbol ≅ oznacza, Ŝe obie macierze są sobie równowaŜne w sensie operacji
elementarnych. Następnie do kolumny pierwszej dodajemy drugą pomnoŜoną przez
–1, a do trzeciej natomiast dodajemy czwartą równieŜ pomnoŜoną przez –1:
9
=
−
−
−
−
−
−
≅
3
0
1
0
2
0
1
0
1
0
1
0
3
3
3
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
W kolejnym kroku do czwartej kolumny dodajemy drugą pomnoŜoną przez –1:
=
−
−
−
≅
2
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
3
0
1
0
1
2
0
1
0
1
1
0
1
0
3
0
1
0
2
0
1
0
1
0
1
0
JeŜeli teraz zamienimy drugą kolumnę z trzecią, to otrzymamy:
≅
2
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
MoŜna w tym miejscu zaprzestać dalszych przekształceń, ale dodajmy do drugiego i
trzeciego wiersza pierwszy wiersz pomnoŜony przez –1:
=
−
−
≅
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
2
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
2
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
JeŜeli dodatkowo dodamy do ostatniego wiersza przedostatni pomnoŜony przez –2, to
uzyskamy ostateczną postać macierzy, której nie moŜna juŜ bardziej uprościć:
=
−
≅
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
2
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
Zawiera ona podmacierz jednostkową
2
2 × (w prawym górnym rogu), której wy-
znacznik jest oczywiście róŜny od zera. Uzyskany wynik oznacza, Ŝe rząd wyjściowej
macierzy jest równy 2.
Przykład (znajdowanie macierzy odwrotnej)
JeŜeli mamy do czynienia z macierzą kwadratową i nieosobliwą, to istnieje ma-
cierz odwrotna do niej. Wyznaczenie jej ze wzoru moŜe okazać się bardzo praco-
chłonne, dlatego lepiej jest wykorzystać operacje elementarne. W tym celu, jeŜeli de-
cydujemy się na operacje wykonywane tylko na wierszach, dopisujemy do zadanej
macierzy macierz jednostkową w następujący sposób (równie dobrze moŜna dopisać ją
z lewej strony):
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
4
2
1
2
2
1
Gdybyśmy zamierzali wykonywać operacje na kolumnach, to macierz jednostkową
dopisalibyśmy u góry lub u dołu.
Celem stosowania przekształceń elementarnych jest doprowadzenie do sytuacji,
w której macierz jednostkowa zajmie miejsce zadanej macierzy. Wówczas macierz po
prawej stronie będzie szukaną macierzą odwrotną.
10
W pierwszej kolejności mnoŜymy pierwszy wiersz przez –1 i dodajemy do
drugiego i trzeciego wiersza:
−
−
−
−
≅
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
0
1
0
1
1
0
0
1
3
1
0
2
0
0
2
2
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
2
1
2
1
1
1
2
4
2
2
1
1
2
2
1
Tym razem drugi wiersz pomnoŜony przez -1 dodajemy do pierwszego:
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
1
0
1
1
0
1
2
0
1
0
2
0
0
0
2
1
1
1
0
1
1
0
1
2
0
1
0
2
0
0
0
2
1
2
3
2
5
2
3
2
3
Następnie do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnoŜony przez 2:
−
−
−
−
=
−
−
+
−
−
−
−
1
0
1
1
2
2
3
0
1
0
2
0
0
0
0
1
1
0
1
1
2
3
1
5
2
0
1
0
2
0
0
0
2
2
1
2
3
2
5
2
3
2
5
W ostatnim kroku dzielimy drugi wiersz przez 2, natomiast trzeci mnoŜymy przez –1 i
zamieniamy je miejscami:
−
−
−
−
=
−
−
−
−
0
1
2
2
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
2
2
3
0
1
0
1
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
1
2
1
W ten sposób otrzymaliśmy macierz odwrotną:
−
−
−
−
=
−
−
0
1
2
2
3
1
1
1
4
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
1
Przykład (rozwiązywanie układu równań liniowych)
Zastosowanie operacji elementarnych do rozwiązywania równań liniowych po-
lega na zaadoptowaniu poprzedniego przykładu poprzez dopisanie do macierzy układu
kolumny wyrazów wolnych. Ograniczmy się na razie do przypadku, gdy mamy do
czynienia z taką samą ilością równań i niewiadomych oraz niech będzie to układ ozna-
czony. RozwaŜmy przykład konkretnego układu:
=
+
+
=
+
+
=
−
+
2
0
0
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Z przyczyn praktycznych, tam gdzie nie ma niewiadomej, zapisaliśmy ją ze współ-
czynnikiem równym zeru, co ułatwia znalezienie macierzy układu. Łatwo sprawdzić,
Ŝe jest to układ oznaczony. Zapiszmy więc macierz układu i kolumnę wyrazów wol-
nych:
11
−
2
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
2
Operacje elementarne wykonujemy tylko na wierszach. Drugi wiersz dodajemy do
pierwszego, a po pomnoŜeniu przez –1 równieŜ do trzeciego:
=
−
−
+
−
+
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
3
2
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
2
Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnoŜony przez –1:
−
=
−
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
3
2
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
0
3
Pierwszy wiersz dzielimy przez 3, a następnie mnoŜymy go przez –1 i dodajemy do
drugiego wiersza:
−
=
−
−
2
0
1
0
1
0
0
0
0
1
2
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
3
1
3
1
3
1
3
1
Pozostaje juŜ tylko zamienić miejscami drugi i trzeci wiersz:
−
3
1
3
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Kolumna dopisana do macierzy jednostkowej jest rozwiązaniem układu równań, ma-
my bowiem:
−
=
=
⋅
3
1
3
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
z
y
x
z
y
x
Metodę operacji elementarnych zastosujemy jeszcze do rozwiązywania ukła-
dów, w których liczba równań jest mniejsza od ilości niewiadomych. RozwaŜmy
układ:
=
+
+
=
+
−
1
3
0
5
3
2
z
y
x
z
y
x
Zapiszmy więc macierz układu z dopisaną kolumną wyrazów wolnych:
−
1
0
1
3
1
5
3
2
Wykorzystamy operacje elementarne do wyzerowania moŜliwie wielu wyrazów ma-
cierzy układu. W pierwszym kroku dodajemy drugi wiersz do pierwszego:
12
=
+
+
−
+
1
1
1
3
1
6
0
3
1
1
1
3
1
1
5
3
3
1
2
Następnie pierwszy wiersz dzielimy przez trzy, a po pomnoŜeniu go przez –1 dodaje-
my do drugiego wiersza:
−
=
−
−
−
3
2
3
1
3
1
3
1
1
3
0
2
0
1
1
2
1
3
1
1
2
0
1
JeŜeli podzielimy drugi wiersz przez 3, to otrzymamy:
−
9
2
2
1
3
1
1
0
2
0
1
Takiej macierzy uzupełnionej odpowiada następujący układ równań:
=
−
=
+
9
2
3
1
3
1
2
z
y
z
x
przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą
z otrzymujemy rozwiązanie zaleŜne od
jednego parametru (właśnie
z):
+
=
−
=
z
y
z
x
3
1
9
2
2
3
1
Dwa ostatnie przykłady są szczególnym przypadkiem wykorzystania tzw. me-
tody eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań. Przyjrzyjmy się drugiemu z
nich. Dokonując operacji elementarnych na macierzy układu z dopisaną kolumną wy-
razów wolnych sprowadziliśmy ją do postaci:
•
•
•
•
1
0
0
1
w której kropki • oznaczają dowolne liczby. JeŜeli powyŜszą postać ponownie prze-
tłumaczymy na układ równań, to jego rozwiązanie otrzymamy przenosząc wyrazy
związane z kropkami na prawą stronę, a po lewej stronie zostaną zmienne związane z
jedynkami.
W ogólnym przypadku, gdy liczba niewiadomych jest większa od liczby rów-
nań (
m
n >
), metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu układu do postaci:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
M
L
M
M
O
M
M
L
L
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
Rozwiązanie otrzymujemy wówczas niemal natychmiast. Zmienne związane z jedyn-
kami, czyli
m
x
x
x
,
,
,
2
1
K
, będą zaleŜały od wyrazów wolnych (reprezentowanych krop-
13
kami w dopisanej kolumnie) oraz dowolnych parametrów, którymi będą zmienne
n
m
x
x
,
,
1
K
+
związane z kropkami stojącymi w macierzy układu. ZauwaŜmy, Ŝe w przy-
padku, gdy
n
m = w macierzy układu nie pojawiają się kropki i wówczas otrzymamy
jednoznaczne rozwiązanie zadane kolumną wyrazów wolnych.
Pozostaje jeszcze rozwaŜyć sytuację, gdy liczba równań przewyŜsza liczbę
niewiadomych (
m
n <
). Mogą wówczas zaistnieć dwa przypadki. JeŜeli po dokona-
nych przekształceniach otrzymamy następującą postać:
•
•
•
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
M
L
M
L
M
M
L
L
M
M
L
L
w której całe wiersze złoŜone są z samych, to moŜemy je całkowicie odrzucić. Ozna-
cza to bowiem, Ŝe równania związane z tymi wierszami są zaleŜne od pozostałych
równań i niczego nie wnoszą do układu. Dalej postępujemy zgodnie z poprzednio
omówioną procedurą. JeŜeli natomiast w macierzy układu pojawiają się zerowe wier-
sze, a chociaŜ w jednym z nich, w kolumnie wyrazów wolnych, pojawi się wyraz róŜ-
ny od zera, wówczas świadczy to o tym, Ŝe układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.
Wreszcie jeszcze jedna moŜliwość jaka moŜe się zdarzyć jest taka, Ŝe w jednej z ko-
lumn będą stały same zera. Wtedy zmienna związana z tą kolumna nie pojawia się w
układzie równań – moŜe więc być traktowana jako parametr.