1

5. Układy równań liniowych

Rozdział ten jest kontynuacją poprzedniego, dotyczy bowiem zastosowania

formalizmu macierzowego do rozwiązywania układów równań liniowych. Równania
liniowe pojawiają się nie tylko jako samoistne zagadnienia, ale często są uproszczoną
wersją problemów bardziej skomplikowanych, jako ich przybliżenie. Taka uproszczo-
na wersja często pozwala zrozumieć podstawowe mechanizmy zjawisk i procesów
opisywanych zależnościami nieliniowymi. Metody otrzymywania przybliżenia linio-
wego nie będą omawiane w tym rozdziale, wykraczają one poza poruszaną tutaj tema-
tykę. Można jedynie wspomnieć, iż często wykorzystuje się do tego metody rachunku
różniczkowego. Spośród zagadnień, do rozwiązania których stosuje się techniki zapre-
zentowane w tym rozdziale, można wymienić model Leontiewa nakładów i wyników.

5.1. Układy równań; twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Rozważmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi, ma on następującą

postać:

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

L

M

L

L

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

Współczynniki

ij

a oraz

i

b , gdzie

m

i

,

2

,

1 K

=

,

n

j

,

,

2

,

1

K

=

, są konkretnymi liczbami

definiującymi układ równań. Oczywiście niektóre z nich mogą być równe zeru.
Wskaźnik i numeruje równania (jest ich m), natomiast wskaźnik j numeruje niewia-
dome

j

x , których jest n. Zdefiniujmy trzy macierze. Pierwszą jest macierz współczyn-

ników, nazywana macierzą układu równań:

























=

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

L

M

M

M

M

L

L

2

1

2

22

21

1

12

11

.

Następnymi są: wektor niewiadomych

























=

n

x

x

x

X

M

2

1

oraz wektor wyrazów wolnych

























=

m

b

b

b

B

M

2

1

. Jeżeli przypomnimy sobie definicję mnożenia macierzy, to powyższy układ

równań można zapisać w postaci:

B

X

A

=

⋅

Macierz po lewej stronie (wynik mnożenia) równa jest macierzy stojącej po prawej
stronie. Równość zachodzi wtedy, gdy:

2

1. Obie macierze są tego samego wymiaru. Łatwo uzasadnić, że są tego samego wy-

miaru: iloczyn macierzy

n

m × i macierzy

1

×

n

ma wymiar

1

×

m

, a to jest wymiar

wektora wyrazów wolnych.

2. Odpowiednie wyrazy (mające takie same numery wskaźników) są sobie równe.
Z warunków tych ponownie otrzymalibyśmy wyjściowy układ zapisany bez pomocy
macierzy.

Równanie

B

X

A

=

⋅

pojawiło się już w poprzednim rozdziale. Jego rozwiąza-

nie łatwo jest otrzymać, gdy macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa (ma wyznacznik
różny od zera). Jednak nie zakładamy na razie tak szczególnego przypadku. Zanim
sformułujemy warunki, przy których istnieją rozwiązania musimy wprowadzić pojęcie
rzędu macierzy. Rzędem

( )

A

r

macierzy A nazywamy najwyższy stopień niezerowego

minora macierzy A. Przyjmuje się z definicji, że rząd macierzy zerowej jest równy ze-
ru.

Jak wiadomo minor jest wyznacznikiem macierzy powstałej z wykreślenia

pewnej liczby wierszy i kolumn. Jeżeli mamy do czynienia z macierzą kwadratową

n

n × , to jej rząd nie może być większy od n i jest maksymalny wtedy, gdy wyznacz-

nik tej macierzy jest różny od zera, gdy nie jest maksymalny, to

( )

n

A

r

<

. Jeżeli nato-

miast macierz ma wymiar

n

m × , to maksymalny rząd, jaki może mieć taka macierz

jest równy mniejszej z dwóch liczb m i n, a więc

( )

{

}

n

m

A

r

,

min

≤

. Pamiętajmy jed-

nak, że wyznacznik zdefiniowany jest tylko dla macierzy kwadratowej, więc w przy-
padku, gdy

n

m ≠ minory otrzymujemy wykreślając różne liczby wierszy i kolumn.

Warunki rozwiązalności układu równań podaje poniższe twierdzenie. Zanim je

jednak sformułujemy zdefiniujemy macierz uzupełnioną U macierzy układu równań A.
Jest to macierz, która powstaje przez dopisanie do macierzy A kolumny wyrazów wol-
nych:

























=

m

mn

m

m

n

n

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

U

L

M

M

M

M

M

L

L

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

Twierdzenie

(Kroneckera – Capelliego)

Warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązalności układu równań linio-

wych

B

X

A

=

⋅

jest równość rzędów macierzy układu A i macierzy uzupełnionej U:

( )

( )

U

r

A

r

r

=

=

Jeżeli rząd r jest równy liczbie niewiadomych n, to układ ma dokładnie jedno rozwią-
zanie, gdy rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wie-
le rozwiązań zależnych od

r

n − parametrów.

Przypadkiem, w którym układ ma dokładnie jedno rozwiązanie zajmiemy się

nieco później, a tymczasem skomentujemy krótko pozostałe możliwości. Układ dwóch
równań z dwiema niewiadomymi opisuje dwie proste na płaszczyźnie. Ich wzajemne
położenie decyduje o tym, czy rozwiązanie istnieje, czy nie istnieje, i czy jest tylko
jedno. Jeżeli proste nie pokrywają się i nie są równoległe, to istnieje jednoznacznie
określone rozwiązanie (rząd

r jest równy ilości niewiadomych). Jeżeli proste są rów-

3

noległe, to rozwiązania nie ma – odpowiada to sytuacji, o której nie ma mowy w
twierdzeniu:

( )

( )

U

r

A

r

<

. Wreszcie trzecia możliwość występuje wtedy, gdy proste

pokrywają się. Wówczas

( )

( )

2

1 <

=

=

U

r

A

r

(2 jest liczbą niewiadomych) i jedno z

równań możemy odrzucić – pozostanie jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Je-
żeli jedną z niewiadomych wyznaczymy z tego równania, to druga będzie parametrem,
w miejsce którego możemy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste otrzymując w ten
sposób nieskończenie wiele rozwiązań.

Podobną analizę możemy przeprowadzić dla układu trzech równań z trzema

niewiadomymi. Równania opisują płaszczyzny w przestrzeni i ich wzajemne położenie
decyduje o rozwiązalności układu. Jeżeli przecinają się w jednym punkcie, to układ
ma jednoznacznie rozwiązanie (

( )

( )

3

=

=

U

r

A

r

). Jeżeli dwie z trzech płaszczyzn są

równoległe lub wszystkie trzy są do siebie równoległe, to układ nie ma rozwiązań
(

( )

( )

U

r

A

r

<

). Kiedy dwie płaszczyzny pokrywają się i trzecia przecina je

(

( )

( )

3

2 <

=

=

U

r

A

r

) , to ich częścią wspólną jest prosta, której każdy punkt jest roz-

wiązaniem układu. Podczas rozwiązywania takiego układu jedno z identycznych rów-
nań po prostu odrzucamy, pozostaną dwa równania z trzema niewiadomymi. Mamy
wówczas nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (możemy
nadawać mu dowolne wartości), którym jest jedna z niewiadomych. Pozostał trzeci
przypadek – wszystkie płaszczyzny pokrywają się (

( )

( )

3

1 <

=

=

U

r

A

r

. Wtedy odrzu-

camy dwa równania, pozostanie jedno z trzema niewiadomymi, z których dwie będą
odgrywały rolę parametrów.

Rys. 8.1. 1

Rysunek pokazuje sytuację, w której trzy równania z trzema niewidomymi

mają jedno rozwiązanie, wtedy

( )

( )

3

=

=

U

r

A

r

.

Punkt przecięcia
się trzech płasz-
czyzn

4

Rys. 8.1. 2.

Jeżeli dwie z trzech płaszczyzn pokrywają się i są przecinane przez trze-

cią płaszczyznę, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań tworzących prostą. Od-
powiada to sytuacji, gdy

( )

( )

3

2 <

=

=

U

r

A

r

.

Rys. 8.1. 3.

Jeżeli trzy płaszczyzny pokrywają się, to układ ma nieskończenie wiele

rozwiązań. Są nimi wszystkie punkty płaszczyzny i wtedy

( )

( )

3

1 <

=

=

U

r

A

r

.

Prosta będąca prze-
cięciem się trzech
płaszczyzn

5

Rys. 8.1. 4

Jeżeli dwie z trzech płaszczyzn są równoległe (ale nie pokrywają się), to

układ równań nie ma rozwiązań, wówczas

( )

( )

U

r

A

r

<

.

W przypadku więcej niż trzech równań interpretacja jest bardzo podobna, ale

mamy wówczas do czynienia ze zbiorami w większej liczbie wymiarów niż trzy. Nie-
stety, nasza wyobraźnia wówczas zawodzi i nie możemy narysować takich zbiorów.
Chociaż interpretacja rozwiązalności, lub braku rozwiązań, jest analogiczna do omó-
wionych wyżej przypadków dwu i trzywymiarowych. Bez względu na ilość równań i
niewiadomych w przypadku układów równań używa się następującej terminologii:
jeżeli układ ma jednoznaczne rozwiązanie, to mówimy, że jest oznaczony, jeżeli roz-
wiązań jest nieskończenie wiele, to jest nieoznaczony, natomiast w przypadku braku
rozwiązań układ nazywamy sprzecznym.

Przykład

Rozwiążmy układ równań:











−

=

−

+

−

=

−

+

=

+

−

2

2

2

4

0

2

3

1

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Aby zapisać go w postaci macierzowej wprowadzamy macierz układu:





















−

−

−

−

=

2

2

4

2

1

3

1

1

2

A

oraz macierz uzupełnioną:





















−

−

−

−

−

=

2

2

2

4

0

2

1

3

1

1

1

2

U

Rząd macierzy U nie może być większy od 3, jest to mniejsza z dwóch liczb tworzą-
cych wymiar macierzy: 3 i 4. Obliczamy więc minory

3

3× , które powstają z wykre-

ślenia jednej kolumny. Okazuje się, że wszystkie są równe zeru, co świadczy o tym, że
rząd macierzy U jest mniejszy od 3. Zauważmy, że po wykreśleniu ostatniej kolumny
otrzymujemy minor będący wyznacznikiem macierzy A. Z jego zerowania się wynika,
że rząd tej ostatniej macierzy jest też mniejszy od 3. W następnym kroku tworzymy
minory poprzez wykreślanie z macierzy A jednego wiersza i jednej kolumny. W roz-
ważanym przypadku minorem różnym od zera jest na przykład:

1

1

2

2

1

1

1

det

=

−

=





















∗

∗

∗

−

∗

−

∗

Zauważmy, że jest to równocześnie minor macierzy U powstały z wykreślenia ostat-
niego wiersza oraz pierwszej i ostatniej kolumny. Świadczy to o tym, że rzędy obu
macierzy (A i U) są jednakowe i równe 2. Z twierdzenia Kroneckera – Capelliego wy-
nika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od jednego parametru
(jeden jest różnicą pomiędzy liczbą niewiadomych i znalezionym rzędem).

6

Ponieważ do znalezionego wyżej minora nie wchodzą współczynniki trzeciego

równania, więc możemy je odrzucić i pozostaną dwa równania z trzema niewiadomy-
mi:







=

−

+

=

+

−

0

2

3

1

2

z

y

x

z

y

x

Współczynniki w znalezionym minorze stoją przy niewiadomych y i z. Przenosimy
więc wyrazy zawierające x na prawą stronę (zmienna x jest parametrem, od którego
zależy rozwiązanie) i otrzymujemy układ:







−

=

−

−

=

+

−

x

z

y

x

z

y

3

2

2

1

Nie przejmując się prawą stroną rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema nie-
wiadomymi y i z. W pierwszym kroku pierwsze równanie zastępujemy równaniem
powstałym z dodania obu równań stronami:







−

=

−

−

=

−

x

z

y

x

z

3

2

5

1

Z pierwszego równania wyznaczamy z i po podstawieniu do drugiego równania, znaj-
dujemy y, w rezultacie otrzymujemy:







+

−

=

+

−

=

x

y

x

z

7

2

5

1

Mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań sparametryzowanych zmienną x, za którą
możemy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste. Przykładami rozwiązań mogą być
trójki

)

1

,

2

,

0

(

−

−

,

(

)

4

,

5

,

1

,

(

)

11

,

16

,

2

−

−

−

, które otrzymaliśmy podstawiając do powyż-

szej pary równań w miejsce zmiennej x odpowiednio 0, 1 i –2.

W rozważanym przypadku równanie pierwsze i trzecie opisuje tę samą płasz-

czyznę. Wystarczy bowiem trzecie równanie podzielić przez –2, aby otrzymać pierw-
sze. Z tego powodu rząd macierzy układu nie był maksymalny, ale był równy 2 i dla-
tego mogliśmy odrzucić trzecie równanie, chociaż równie dobrze można było pozbyć
się równania pierwszego.

8.2. Wzory Cramera

Rozpatrzmy szczegółowo przypadek, gdy liczba równań jest taka sama, jak

liczba niewiadomych (

n

m = ). Macierz A jest wówczas kwadratowa. Może oczywiście

być zarówno osobliwa (

n

r < ), jak i nieosobliwa (

n

r = ). Jeżeli jest nieosobliwa, to z

dyskusji o związku pomiędzy rzędem macierzy i jej wymiarem wynika, że

( )

( )

n

U

r

A

r

=

=

i układ ma jednoznaczne rozwiązanie (patrz twierdzenie Kroneckera –

Capelliego). Możemy je otrzymać mnożąc obie strony równania

B

X

A

=

⋅

(lewo-

stronnie) przez

1

−

A − była o tym mowa w poprzednim rozdziale. Rozwiązanie ma

wówczas postać:

B

A

X

1

−

=

. Jednak z przyczyn praktycznych (mniej rachunków) zapi-

suje się je w nieco innej postaci. Wprowadźmy wyznaczniki

n

A

A

A

,

,

,

2

1

K

, w których

odpowiednio zamiast pierwszej kolumny (w

A

1

) stoi kolumna wyrazów wolnych, za-

miast drugiej (w

A

2

) stoi kolumna wyrazów wolnych itd. Mamy więc:

7

























=

nn

n

n

n

n

a

a

b

a

a

b

a

a

b

A

L

M

M

M

M

L

L

2

2

22

2

1

12

1

1

det

,

























=

nn

n

n

n

n

a

b

a

a

b

a

a

b

a

A

L

M

M

M

M

L

L

1

2

2

21

1

1

11

2

det

, .....,

























=

n

n

n

n

b

a

a

b

a

a

b

a

a

A

L

M

M

M

M

L

L

2

1

2

22

21

1

22

11

det

Rozwiązanie układu zadane jest wówczas wzorami Cramera:

A

A

x

A

A

x

A

A

x

n

n

det

,

,

det

,

det

2

2

1

1

=

=

=

K

W rozważanym przypadku mamy do czynienia z układem oznaczonym. Wie-

lowymiarowe płaszczyzny (w przypadku

3

>

n

nazywa się je hiperpłaszczyznami),

opisywane poszczególnymi równaniami układu, przecinają się w dokładnie jednym
punkcie o współrzędnych zadanych wzorami Cramera.

Jeżeli wyznacznik układu

0

det

=

A

i chociaż jeden z wyznaczników

n

A

A

A

,

,

,

2

1

K

jest różny od zera, to układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań

(

( )

( )

U

r

A

r

<

) . Wreszcie trzecia możliwość związana jest z sytuacją, gdy wszystkie

wyznaczniki

n

A

A

A

,

,

,

2

1

K

są równe zeru. Badając relację pomiędzy rzędem macierzy

A i macierzy U rozstrzygamy, czy układ jest sprzeczny (

( )

( )

U

r

A

r

≠

), czy nieoznaczo-

ny (

( )

( )

U

r

A

r

=

). W drugim przypadku jego rozwiązanie otrzymujemy metodą zapre-

zentowaną w poprzednim podrozdziale, gdy

( )

n

A

r

r

<

=

. Rozwiązań jest wówczas

nieskończenie wiele i zależą one od

r

n − parametrów.

Rozważmy teraz przypadek układu jednorodnego, czyli takiego, w którym ma-

cierz wyrazów wolnych jest równa zeru (

0

2

1

=

=

=

=

n

b

b

b

K

). Wtedy każdy z wy-

znaczników

n

A

A

A

,

,

,

2

1

K

jest równy zeru – zawiera bowiem kolumnę złożoną z sa-

mych zer. Jeżeli wyznacznik układu

0

det

=

A

, to mamy do czynienia z układem nie-

oznaczonym i jego dyskusja była już przeprowadzona. Pozostaje przypadek

0

det

≠

A

.

Wtedy układ jest oznaczony i ma jednoznaczne rozwiązanie. Ze wzorów Cramera wy-
nika, że jest to rozwiązanie zerowe:

0

2

1

=

=

=

=

n

x

x

x

K

.

Zauważmy, że układ jednorodny zawsze ma rozwiązania (bez względu na to,

czy niewiadomych jest tyle samo co równań, czy nie). Jest to konsekwencja prostego
faktu geometrycznego. Równania jednorodne opisują hiperpłaszczyzny przechodzące
przez początek układu współrzędnych, a więc przynajmniej jeden punkt, o wszystkich
współrzędnych zerowych, spełnia układ.

5.3. Operacje elementarne i ich zastosowania

Podczas rozwiązywania układów równań liniowych, bez zastosowania algebry

macierzy, można było wykonywać na nich pewne operacje, które nie zmieniały roz-
wiązań. Jeszcze w szkole uczono nas, że obie strony równania można mnożyć przez te
same liczby (różne od zera), można równania dodawać lub odejmować stronami itp.

8

Wszystko to służy znalezieniu rozwiązania poprzez maksymalne uproszczenie układu
równań. Okazuje się, że szereg operacji powyższego typu można wykonywać na ma-
cierzy rozszerzonej układu, nie wypisując samych równań. Pozwala to nie tylko znaj-
dować rozwiązania, ale na przykład stwierdzić, jaki jest rząd macierzy układu, co jak
wiadomo ma decydujące znaczenie dla istnienia rozwiązań i odpowiedzi na pytanie od
ilu parametrów zależą rozwiązania. Można również wspomniane przekształcenia za-
stosować do wyznaczania macierzy odwrotnej (jeśli istnieje). Dalsze rozważania ogra-
niczymy do działań na wierszach (chociaż można i na kolumnach) i wymienimy tzw.
operacje elementarne, do których zaliczamy:
1. mnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,
2. dodawanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy,
3. zamianę wiersza lub kilu wierszy miejscami.

Zauważmy, że podobne działania można było wykonywać na wierszach (lub

kolumnach) wyznacznika. Jednak tym razem operacje elementarne stosują się do ma-
cierzy, a nie wyznaczników. Podamy teraz ich zastosowania w postaci konkretnych
przykładów.

Przykład (znajdowanie rzędu macierzy)

Rząd macierzy zdefiniowaliśmy jako najwyższy stopień minora różnego od ze-

ra. W przypadku macierzy kwadratowej w pierwszym kroku należy sprawdzić, czy jej
wyznacznik jest różny od zera. jeśli tak, to odpowiedź mamy gotową. Jeśli jest równy
zeru, to możemy skorzystać z operacji elementarnych. Celem stosowania operacji
elementarnych jest wyzerowanie jak największej liczby elementów macierzy, wyrazy
niezerowe, które pozostaną określają rząd macierzy. Rozważmy konkretny przykład
macierzy

4

3× :





















6

3

2

1

4

2

2

1

2

1

2

1

Wiemy, że rząd tej macierzy nie może być większy od 3 (mniejszej z dwóch liczb:
ilość wierszy, ilość kolumn). Aby stwierdzić, że jest równy właśnie tyle, musimy zna-
leźć minor trzeciego stopnia różny od zera, są trzy takie minory. Jeżeli okaże się, że
wszystkie są równe zeru, to szukamy minorów drugiego stopnia, a tych jest już znacz-
nie więcej. Sytuacja byłaby jeszcze gorsza, gdybyśmy mieli do czynienia z macierzą
wyższego wymiaru niż właśnie rozważana. Dlatego wygodnie jest od razu wykonywać
przekształcenia elementarne, starając się wygenerować jak największą liczbę zer.
Wracając do przykładu podzielmy drugą i czwartą kolumnę przez 2, wówczas otrzy-
mujemy:





















≅





















3

3

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

6

3

2

1

4

2

2

1

2

1

2

1

gdzie symbol ≅ oznacza, że obie macierze są sobie równoważne w sensie operacji
elementarnych. Następnie do kolumny pierwszej dodajemy drugą pomnożoną przez
–1, a do trzeciej natomiast dodajemy czwartą również pomnożoną przez –1:

9





















=





















−

−

−

−

−

−

≅





















3

0

1

0

2

0

1

0

1

0

1

0

3

3

3

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

W kolejnym kroku do czwartej kolumny dodajemy drugą pomnożoną przez –1:





















=





















−

−

−

≅





















2

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

3

0

1

0

1

2

0

1

0

1

1

0

1

0

3

0

1

0

2

0

1

0

1

0

1

0

Jeżeli teraz zamienimy drugą kolumnę z trzecią, to otrzymamy:





















≅





















2

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

2

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

Można w tym miejscu zaprzestać dalszych przekształceń, ale dodajmy do drugiego i
trzeciego wiersza pierwszy wiersz pomnożony przez –1:





















=





















−

−

≅





















2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

2

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

2

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

Jeżeli dodatkowo dodamy do ostatniego wiersza przedostatni pomnożony przez –2, to
uzyskamy ostateczną postać macierzy, której nie można już bardziej uprościć:





















=





















−

≅





















0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

2

2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

Zawiera ona podmacierz jednostkową

2

2 × (w prawym górnym rogu), której wy-

znacznik jest oczywiście różny od zera. Uzyskany wynik oznacza, że rząd wyjściowej
macierzy jest równy 2.

Przykład (znajdowanie macierzy odwrotnej)

Jeżeli mamy do czynienia z macierzą kwadratową i nieosobliwą, to istnieje ma-

cierz odwrotna do niej. Wyznaczenie jej ze wzoru może okazać się bardzo praco-
chłonne, dlatego lepiej jest wykorzystać operacje elementarne. W tym celu, jeżeli de-
cydujemy się na operacje wykonywane tylko na wierszach, dopisujemy do zadanej
macierzy macierz jednostkową w następujący sposób (równie dobrze można dopisać ją
z lewej strony):































−

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

4

2

1

2

2

1

Gdybyśmy zamierzali wykonywać operacje na kolumnach, to macierz jednostkową
dopisalibyśmy u góry lub u dołu.

Celem stosowania przekształceń elementarnych jest doprowadzenie do sytuacji,

w której macierz jednostkowa zajmie miejsce zadanej macierzy. Wówczas macierz po
prawej stronie będzie szukaną macierzą odwrotną.

10

W pierwszej kolejności mnożymy pierwszy wiersz przez –1 i dodajemy do

drugiego i trzeciego wiersza:











−

−





















−

−

≅











−

−





















−

−

−

−

−

−

−

1

0

1

0

1

1

0

0

1

3

1

0

2

0

0

2

2

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

2

1

2

1

1

1

2

4

2

2

1

1

2

2

1

Tym razem drugi wiersz pomnożony przez -1 dodajemy do pierwszego:











−

−

−





















−

=











−

−

−

−





















−

1

0

1

1

0

1

2

0

1

0

2

0

0

0

2

1

1

1

0

1

1

0

1

2

0

1

0

2

0

0

0

2

1

2

3

2

5

2

3

2

3

Następnie do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez 2:











−

−

−





















−

=











−

−

+

−

−





















−

−

1

0

1

1

2

2

3

0

1

0

2

0

0

0

0

1

1

0

1

1

2

3

1

5

2

0

1

0

2

0

0

0

2

2

1

2

3

2

5

2

3

2

5

W ostatnim kroku dzielimy drugi wiersz przez 2, natomiast trzeci mnożymy przez –1 i
zamieniamy je miejscami:











−

−

−

−





















=











−

−

−

−





















0

1

2

2

3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

2

2

3

0

1

0

1

0

0

0

0

1

2

1

2

1

2

3

2

5

2

3

2

5

2

1

2

1

W ten sposób otrzymaliśmy macierz odwrotną:





















−

−

−

−

=





















−

−

0

1

2

2

3

1

1

1

4

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

3

2

5

1

Przykład (rozwiązywanie układu równań liniowych)

Zastosowanie operacji elementarnych do rozwiązywania równań liniowych po-

lega na zaadoptowaniu poprzedniego przykładu poprzez dopisanie do macierzy układu
kolumny wyrazów wolnych. Ograniczmy się na razie do przypadku, gdy mamy do
czynienia z taką samą ilością równań i niewiadomych oraz niech będzie to układ ozna-
czony. Rozważmy przykład konkretnego układu:











=

+

+

=

+

+

=

−

+

2

0

0

1

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Z przyczyn praktycznych, tam gdzie nie ma niewiadomej, zapisaliśmy ją ze współ-
czynnikiem równym zeru, co ułatwia znalezienie macierzy układu. Łatwo sprawdzić,
że jest to układ oznaczony. Zapiszmy więc macierz układu i kolumnę wyrazów wol-
nych:

11































−

2

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

2

Operacje elementarne wykonujemy tylko na wierszach. Drugi wiersz dodajemy do
pierwszego, a po pomnożeniu przez –1 również do trzeciego:































=































−

−

+

−

+

2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

3

2

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

2

Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez –1:











−





















=











−





















2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

3

2

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

0

3

Pierwszy wiersz dzielimy przez 3, a następnie mnożymy go przez –1 i dodajemy do
drugiego wiersza:











−





















=











−





















−

2

0

1

0

1

0

0

0

0

1

2

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

3

1

3

1

3

1

3

1

Pozostaje już tylko zamienić miejscami drugi i trzeci wiersz:











−





















3

1

3

1

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Kolumna dopisana do macierzy jednostkowej jest rozwiązaniem układu równań, ma-
my bowiem:



















−

=





















=





















⋅





















3

1

3

1

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

z

y

x

z

y

x

Metodę operacji elementarnych zastosujemy jeszcze do rozwiązywania ukła-

dów, w których liczba równań jest mniejsza od ilości niewiadomych. Rozważmy
układ:







=

+

+

=

+

−

1

3

0

5

3

2

z

y

x

z

y

x

Zapiszmy więc macierz układu z dopisaną kolumną wyrazów wolnych:



















−

1

0

1

3

1

5

3

2

Wykorzystamy operacje elementarne do wyzerowania możliwie wielu wyrazów ma-
cierzy układu. W pierwszym kroku dodajemy drugi wiersz do pierwszego:

12



















=



















+

+

−

+

1

1

1

3

1

6

0

3

1

1

1

3

1

1

5

3

3

1

2

Następnie pierwszy wiersz dzielimy przez trzy, a po pomnożeniu go przez –1 dodaje-
my do drugiego wiersza:



















−

=







−













−

−

3

2

3

1

3

1

3

1

1

3

0

2

0

1

1

2

1

3

1

1

2

0

1

Jeżeli podzielimy drugi wiersz przez 3, to otrzymamy:



















−

9

2

2

1

3

1

1

0

2

0

1

Takiej macierzy uzupełnionej odpowiada następujący układ równań:











=

−

=

+

9

2

3

1

3

1

2

z

y

z

x

przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą

z otrzymujemy rozwiązanie zależne od

jednego parametru (właśnie

z):











+

=

−

=

z

y

z

x

3

1

9

2

2

3

1

Dwa ostatnie przykłady są szczególnym przypadkiem wykorzystania tzw. me-

tody eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań. Przyjrzyjmy się drugiemu z
nich. Dokonując operacji elementarnych na macierzy układu z dopisaną kolumną wy-
razów wolnych sprowadziliśmy ją do postaci:







•

•













•

•

1

0

0

1

w której kropki • oznaczają dowolne liczby. Jeżeli powyższą postać ponownie prze-
tłumaczymy na układ równań, to jego rozwiązanie otrzymamy przenosząc wyrazy
związane z kropkami na prawą stronę, a po lewej stronie zostaną zmienne związane z
jedynkami.

W ogólnym przypadku, gdy liczba niewiadomych jest większa od liczby rów-

nań (

m

n >

), metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu układu do postaci:













•

•

•

























•

•

•

•

•

•

M

L

M

M

O

M

M

L

L

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

Rozwiązanie otrzymujemy wówczas niemal natychmiast. Zmienne związane z jedyn-
kami, czyli

m

x

x

x

,

,

,

2

1

K

, będą zależały od wyrazów wolnych (reprezentowanych krop-

13

kami w dopisanej kolumnie) oraz dowolnych parametrów, którymi będą zmienne

n

m

x

x

,

,

1

K

+

związane z kropkami stojącymi w macierzy układu. Zauważmy, że w przy-

padku, gdy

n

m = w macierzy układu nie pojawiają się kropki i wówczas otrzymamy

jednoznaczne rozwiązanie zadane kolumną wyrazów wolnych.

Pozostaje jeszcze rozważyć sytuację, gdy liczba równań przewyższa liczbę

niewiadomych (

m

n <

). Mogą wówczas zaistnieć dwa przypadki. Jeżeli po dokona-

nych przekształceniach otrzymamy następującą postać:



















•

•

•





































0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

M

L

M

L

M

M

L

L

M

M

L

L

w której całe wiersze złożone są z samych, to możemy je całkowicie odrzucić. Ozna-
cza to bowiem, że równania związane z tymi wierszami są zależne od pozostałych
równań i niczego nie wnoszą do układu. Dalej postępujemy zgodnie z poprzednio
omówioną procedurą. Jeżeli natomiast w macierzy układu pojawiają się zerowe wier-
sze, a chociaż w jednym z nich, w kolumnie wyrazów wolnych, pojawi się wyraz róż-
ny od zera, wówczas świadczy to o tym, że układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.
Wreszcie jeszcze jedna możliwość jaka może się zdarzyć jest taka, że w jednej z ko-
lumn będą stały same zera. Wtedy zmienna związana z tą kolumna nie pojawia się w
układzie równań – może więc być traktowana jako parametr.