1. Dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego w pewnym stanie kwantowomechanicznym stwierdzono

w pomiarach energii, że jego średnia energia w tym stanie wynosi 2 ħω. Zaproponuj funkcję falową, która
może opisywać stan tego oscylatora.

2. Znormalizuj funkcję falową opisującą stan rotatora sztywnego daną wzorem:





i

e

N



sin

. Oblicz dla tej

funkcji wartość kwadratu momentu pędu oraz jego z-wej składowej.

3. Stan kwantowomechaniczny pewnego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego opisany jest funkcją

falową daną wzorem

)

3

2

(

6

1

6

3

2















i

, w którym funkcje

v



są (ortonormalnymi)

funkcjami własnymi hamiltonianu oscylatora. Jakie wartości energii uzyskamy w pojedynczym pomiarze
energii tego oscylatora. Jakie będzie prawdopodobieństwo otrzymania każdej z nich? /2/

4. Dla cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału zmierzono (używając wielu identycznych układów)

wartość energii. Otrzymano nastepujące wyniki: A, 4A i 16A, przy czym liczby tych wyników to
odpowiednio 3478, 10434 i 17390. Zaproponuj funkcję falową opisującą stan cząstki w pudle, dla którego
możliwe byłyby wyżej opisane wyniki.

5. Czy funkcja falowa z zad. poprzedniego jest funkcją własną operatora energii całkowitej? Odpowiedź

uzasadnij.

6. Dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o częstości drgań ω, będącego w 2-im stanie

wzbudzonym, oblicz średnią energię kinetyczną. Ile wynosi w tym stanie średnia energia całkowita? /1.5/

7. Zbadaj, ile wynosi degeneracja 4 najniższych poziomów energetycznych dla atomu w węźle sieci kryształu

atomowego o strukturze tetragonalnej, traktowanego jako trójwymiarowy oscylator harmoniczny o energii

potencjalnej danej wzorem:





2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

z

y

x

m

V













, gdzie ω

1

=1.5 ω

2

.

8. Elektron w jonie B

4+

opisany jest następującą funkcją falową:

xy

d

s

3

3

3

8

3

1











. Jakie wyniki

pojedynczych pomiarów i z jakim prawdopodobieństwem można otrzymać mierząc energię, kwadrat
momentu pędu i z-wą składową momentu pędu tego elektronu?

9. Elektron z zad. 8 zmienił swój stan przeskakując na orbital 2p

z

:









cos

)

,

,

(

2

5

2

r

p

Nre

r

z





.

Unormuj podaną funkcję falową orbitalu 2p

z

oraz oblicz dla tego elektronu jego najbardziej prawdopodobną

odległość od jądra.

10. W sześciennym krysztale siarczku cezu (dł. krawędzi wynosi a) znajduje się nadmiarowy elektron,

poruszający się w paśmie przewodnictwa. W pewnym przybliżeniu można założyć, że elektron ów porusza
się w tym paśmie zupełnie swobodnie, zaś ściany kryształu stanowią dla niego nieskończenie wysokie
bariery, poza które nie może penetrować. Przy taki podejściu do opisu stanów tego elektronu możemy
zastosować model cząstki w trójwymiarowym pudle potencjału. Opierając się na znanych rozwiązaniach
problemu cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału proszę podać energie oraz stopień degeneracji
trzech najniższych poziomów energetycznych nadmiarowego elektronu. Dla każdego z powyższych
poziomów wybierz po jednym stanie kwantowym i wypisz dla niego opisującą go funkcję falową. Jak
zmieni się długość fali świetlnej potrzebnej do wzbudzenia nadmiarowego elektronu ze stanu
podstawowego do najniższego stanu wzbudzonego, gdy objętość kryształu wzrośnie dwukrotnie? Jak zmieni
się wyżej określona długość fali po ściśnięciu kryształu w taki sposób, że przy zachowaniu jego objętości
sześcian zmieni się w prostopadłościan o podstawie kwadratu, którego wysokość będzie równa połowie
długości krawędzi podstawy.

11. Określ możliwe stany rotatora sztywnego, dla których energia równa jest 6ћ

2

/I . Ile wynosi degeneracja tego

poziomu? /4p/

13. Podaj prawdopodobieństwo, że w pojedynczym pomiarze z-wej składowej momentu pędu elektronu w jonie
C

5+

, opisanego następującą (nieunormowaną) funkcją falową:

)

5

(

5

)

4

(

4

)

3

(

3

yz

x

d

p

s









otrzymamy 1 (w jedn. atomowych). Jakie jest prawdopodobieństwo, że moment pędu elektronu jest
zorientowany w płaszczyźnie xy?

12. Dla elektronu, w którym elektron jest opisywany orbitalem 2p

z

:

a. narysuj wykres gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu na płaszczyźnie xy w zależności od

jego odległości od jądra

b. znajdź najbardziej prawdopodobną odległość elektronu od jądra.
c. oblicz stosunek prawdopodobieństw znalezienia elektronu w otoczeniach punktów (2,2,2) i (2,-2,2)

13. Ile wynosi maksymalna energia jonizacji atomu wodoru w stanie, w którym, jedna ze składowych momentu

pędu elektronu wynosi 3 (w jedn. atomowych).

14. Nadmiarowy elektron w prostopadłościennym krysztale siarczku cynku (o wymiarach a x b x c) można w

przybliżeniu opisać za pomocą formalizmu cząstki w trójwymiarowym pudle potencjału. Zakładając, że
jedna z krawędzi kryształu ma długość a = 100 nm, podaj, jaką długość powinny mieć pozostałe krawędzie,
aby uzyskać maksymalny stopień degeneracji najniższego wzbudzonego poziomu energetycznego
nadmiarowego elektronu. Ile wynosi ów stopień degeneracji oraz energia tego poziomu? Zapisz funkcję
falową dla jednego ze stanów elektronu o tej energii. W jakim zakresie spektralnym będzie zachodzić
absorpcja promieniowania elektromagnetycznego związana z przejściem elektronu ze stanu podstawowego
do jego najniższego stanu wzbudzonego?

15. BONUS: Ile powierzchni węzłowych (czyli powierzchni, na których funkcja przyjmuje wartość zero) ma

funkcja falowa z zadania poprzedniego?

18. ** Korzystając z operatorów a i a

+

wygeneruj funkcję falową najniższego stanu wzbudzonego dla

jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o znanej częstości i masie zredukowanej. Po przejściu do
współrzędnych wymiarowych unormuj tą funkcję. /czwarty rok/

19. Znajdź funkcję falową dla najniższego stanu wzbudzonego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego,
korzystając z wzoru na generowanie wielomianów Hermite’a. Wyraź tę funkcję za pomocą wymiarowej
współrzędnej oscylacyjnej, unormuj ją, i wykaż, że jest to funkcja własna Hamiltonianu tego oscylatora.

20. Zapisz wzory na odległość (energetyczną) sąsiadujących poziomów energetycznych dla:

a. cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału o długości a
b. jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o częstości drgań ω
c. cząsteczki HCl traktowanej jako sztywna z dł. wiązania l

0

d. jonu He

+

/1/

21. ** Stany oscylatora anharmonicznego dane są następujący wzorem:

1

1

1

1

















n

c

n

c

n

c

n

n

n

n

,

w którym współczynniki c

n-1

oraz c

n+1

są dużo mniejsze od 1, zaś współczynnik c

n

jest bliski jedności, zaś obok

współczynników znajdują się stany oscylatora harmonicznego. Dla stanów oscylatora anharmonicznego znajdź
reguły wyboru oraz naszkicuj schematycznie przewidywane widmo absorpcyjne, wiedząc, że intensywność
przejścia między stanem p i q proporcjonalna jest do kwadratu następującego elementu:

n

m

Q





/2/

22. Jakie wartości x-wej składowej pędu cząstki o masie m zamkniętej w pudle potencjału o długości L można

uzyskać w pojedynczym pomiarze tej wielkości fizycznej, wiedząc, że cząstka znajduje się w pierwszym
stanie wzbudzonym? Jakie są prawdopodobieństwa uzyskania każdej z nich? /2/

/

2

cos

,

2

sin













i

i

i

i

e

e

i

e

e









/

23. Wyprowadź wzór na półklasyczną amplitudę drgań oscylatora harmonicznego o danej częstości ω,

będącego w stanie podstawowym. /Amplitudę tę definiujemy jako wartość wychylenia z położenia
równowagi, dla której energia potencjalna równa jest energii całkowitej/ /1/

24. BONUS: Ile pasm na widmie IR można zaobserwować dla cząsteczki CO

2

? Czym od tego widma będzie

się różniło widmo cząsteczki HCN? /1/

25. Podaj, jakie wartości z-wej składowej momentu pędu można uzyskać w pojedynczym pomiarze tej

wielkości fizycznej dla atomu wodoru, którego stan dany jest następującą kombinacją liniową orbitali:

y

x

p

p

s

2

2

10

2

1

2

1

2

1















. Jakie będą prawdopodobieństwa uzyskania każdej z tych

wartości? Ile wyniesie średnia z dużej liczby pomiarów? /2/

26. Czy funkcja falowa z poprzedniego zadania opisuje stan stacjonarny? Odpowiedź krótko uzasadnij. /1.5/

27. Jak należałoby zmodyfikować współczynniki w funkcji z zadania 2-go, aby funkcja ta była funkcją własną

Hamiltonianu, była unormowana, oraz żeby zawierała niezerowe wkłady od co najmniej dwóch orbitali
atomowych? /1/

28. Jak wyglądałaby funkcja z poprzedniego zadania, uzupełniona o zależność od czasu (użyj jednostek

atomowych)? /1.5/

29. Ile powierzchni węzłowych ma orbital 5d

xy

? Ile wynosi jego energia dla jonu B

5+

? /1/

30. Wiele organicznych, dwuskładnikowych kryształów molekularnych wykazuje bardzo wyraźną warstwową,

quasi-dwuwymiarową strukturę. Oddziaływania międzycząsteczkowe w obrębie warstwy są dużo silniejsze
od oddziaływań cząsteczek z warstw sąsiadujących. Wiąże się z tym duża anizotropia właściwiści takich
kryształów, między innymi przewodnictwo elektryczne w obrębie warstwy jest dużo większe niż w
kierunku prostopadłym. Nadmiarowy elektron w takim krysztale poruszałby się swobodnie w obrębie
jednej warstwy molekularnej, zaś prawdopodobieństwo jego przeskoku do warstw sąsiednich byłoby
niewielkie. Takie zachowanie pozwala na przybliżony opis wspomnianego elektronu za pomocą modelu
cząstki w dwuwymiarowym pudle potencjału. Załóżmy, że nasz kryształ jest sześcianem o krawędzi a, zaś
warstwy ułożone są równolegle do jednej ze ścian kryształu. W tej sytuacji odpowiedz na pytania:

a.

Czy można jednocześnie zmierzyć z dowolna dokładnością wartości energii dla obu stopni swobody
elektronu?

b.

Ile wynosi energia 4 najniższych poziomów energetycznych tego elektronu oraz jakie są ich stopnie
degeneracji?

c.

Zapisz funkcję falową odpowiadającą stanowi o energii równej energii najniższego wzbudzonego poziomu
energetycznego tego elektronu.

d.

BONUS: Załóżmy, że oba stopnie swobody elektronu opisywane są następującymi funkcjami falowymi:

 





)

(

)

(

2

1

2

1

x

x

x











 

)

(

3

2

)

(

3

1

4

2

y

y

y











Jakie wartości całkowitej energii można otrzymać w pojedynczym pomiarze i ile wynosi średnia wartość energii

elektronu w wyżej opisanym stanie?

31. Podaj maksymalną wartość energii jonizacji atomu wodoru dla stanów, dla których radialna

gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu ma 4 maksima. /2/

32. Wyznacz położenie (w skali energii, jedn. atomowe) trzech najwyżej energetycznych linii

widmowych serii Balmera, występujących w widmie absorpcyjnym jonów He

+

. /Seria Balmera

odpowiada przejściom z poziomu energetycznego dla n=2 na poziomy wyższe/. /2/

33. W serii pomiarów energii, kwadratu momentu pędu oraz z-wej składowej momentu pędu

wykonywanych dla pojedynczych jonów Li

2+

(każdy z jonów jest w takim samym stanie

początkowym) otrzymano następujące wartości:

jednostkach

M

2

M

z

Wartość

-1/2

-9/32

2

6

-1

Prawdopodobieństwo

¼

¾

¾

¼

1

Zaproponuj funkcję falową opisującą taki stan jonu litu, dla którego odpowiednie pomiary

prowadziłyby do powyższych wyników. /3/

34. Pewien stan elektronu w jonie He

+

opisuje następująca kombinacja liniowa orbitali:

)

3

2

(

8

1

1

2

4

4

4

2

p

s

d

p

z

x



















Jakie wartości energii, kwadratu momentu pędu oraz z-wej składowej momentu pędu będzie można

uzyskać w pojedynczym pomiarze tych wielkości fizycznych dla jonu helu w opisanym powyżej
stanie? Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania każdej z nich? /3/

35. Czy stan z zadania 7 jest stanem stacjonarnym? Odpowiedź krótko uzasadnij. /1/

36. Ile powierzchni węzłowych ma orbital 4p

x

(albo 4d

xy

, 5s, 4p

y

). Ile z nich pochodzi od radialnej, a

ile od kątowej części funkcji falowej? /1/

37. Ile razy zwiększy się promień umownego konturu, obrazującego kształt orbitalu 2s dla atomu

wodoru (albo jonu Li

2+

) jeśli wartość progową, dla której wykreślamy kontur zmniejszymy z 0.1

do 0.01? /2/

38. Jak kąt z dodatnią półosią z tworzy moment pędu elektronu w jonie B

3+

, którego stan opisywany

jest orbitalem 6p

-1

(albo 8p

1

, 5d

1

, 4d

-2

, 8f

0

). /2/

39. BONUS: jaka jest średnia wartość x-wej składowej momentu pędu dla atomu wodoru, którego

stan jest opisywany orbitalem 2p

1

(będącym funkcją własną operatora M

z

). Odpowiedź uzasadnij.

/1/

40. Ilokrotnie większe będzie prawdopodobieństwo znalezienia elektronu wewnątrz sfery o

promieniu 1 (w jedn. Atomowych) dla jonu Li

2+

niż dla atomu wodoru? /2/

41. Oblicz średnią energię potencjalną (w jednostkach atomowych) dla atomu wodoru w stanie

podstawowym. Ile wynosi w tym stanie średnia energia kinetyczna? /3/