EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 1
DRGANIA HARMONICZNE
( )
cos(
)
x t
A
t
ω ϕ
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 2
DRGANIA HARMONICZNE
różne amplitudy A
różne częstości
kołowe
ω
różne fazy
początkowe
ϕ
ω
π
/
2
=
T
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 3
WARUNKI KONIECZNE
•
siła kierująca
F = - kx
•
bezwładność
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 4
RÓWNANIE RUCHU
ma =
−
kx
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
Rozwiązanie w postaci
:
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 5
SPRAWDZENIE
:
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
(
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
v
)
cos(
)
(
2
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
a
)
(
)
(
2
t
x
t
a
ω
−
=
x(t) = Acos(
ω
t+
ϕ
)
jest rozwiązaniem równania
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
m
k
=
2
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 6
ROZWIĄZANIE RÓWNANIA RUCHU
Funkcja
x(t) = Acos(
ω
t+
ϕ
)
jest rozwiązaniem równania
ma =
−
kx
pod warunkiem, że
m
k
=
2
ω
Stałe A i
ϕ
mogą być dowolne - wyznaczamy je
z
warunków początkowych.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 7
WAHADŁO MATEMATYCZNE
ds = L d
θ
prędkość
ds
d
v
L
dt
dt
θ
=
=
przyspieszenie
2
2
dv
d
a
L
dt
dt
θ
=
=
siła powodująca drgania
F = - mg sin
θ
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 8
WAHADŁO MATEMATYCZNE
ma = F
2
2
sin
d
mL
mg
dt
θ
θ
= −
2
2
sin
d
g
L
dt
θ
θ
= −
Dla małych kątów, dla których
sin
θ θ
≈
2
2
d
g
L
dt
θ
θ
≈ −
2
g
L
ω
=
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 9
SUPERPOZYCJA DRGAŃ
Równanie różniczkowe
0
2
2
2
=
+
x
dt
x
d
ω
jest liniowe i jednorodne.
Suma dwóch dowolnych rozwiązań takiego równania jest też jego rozwiązaniem.
ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAŃ
Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego wychylenie z
położenia równowagi jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 10
SUPERPOZYCJA DRGAŃ
Dwa rozwiązania:
•
dla warunków początkowych x
1
0
, v
1
0
rozwiązanie x
1
(t)
•
dla warunków początkowych x
2
0
, v
2
0
rozwiązanie x
2
(t)
Jeżeli x
0
= x
1
0
+ x
2
0
a v
0
= v
1
0
+ v
2
0
to rozwiązaniem jest x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 11
OBRACAJĄCY SIĘ WEKTOR AMPLITUDY
Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością kątową
ω
w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to jego rzut na oś x wynosi
)
cos(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
x
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 12
SKŁADANIE DRGAŃ 1
Drgania o tej samej częstości ale o
różnych amplitudach i fazach
0
cos(
)
x
A
t
ω ϕ
=
+
1
2
( )
( )
( )
A t
A t
A t
=
+
r
r
r
0
( )
1, 2
i
i
t
t
i
ω
ϕ
Φ
=
+
=
2
2
2
1
2
1
2
02
01
2
cos(
)
A
A
A
A A
ϕ
ϕ
=
+
−
−
0
tg
y
x
ϕ
=
1
01
2
02
0
1
01
2
02
sin
sin
tg
cos
cos
A
A
A
A
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 13
SKŁADANIE DRGAŃ 2
Drgania o tej samej częstości ale o
różnych kierunkach
wahadło sferyczne (o dwóch stopniach swobody)
l
M
−
=
−
=
y
l
Mg
dt
y
d
M
x
l
Mg
dt
x
d
M
2
2
2
2
)
cos(
)
(
1
0
1
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
cos(
)
(
2
0
2
ϕ
ω
+
=
t
A
t
y
l
g /
0
=
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 14
SKŁADANIE DRGAŃ 3
Drgania o
różnych częstościach
i
różnych kierunkach
)
cos(
1
1
1
ϕ
ω
+
=
t
A
x
)
cos(
2
2
2
ϕ
ω
+
=
t
A
y
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A
1
, 2A
2
.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 15
DODAWANIE DRGAŃ 4
Drgania o tym samym kierunku ale
różnych częstościach
t
A
x
1
1
cos
ω
=
t
A
x
2
2
cos
ω
=
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
x
x
x
A
t
t
x
A
t
t
ω
ω
ω
ω
ω ω
=
+
=
+
+
−
=
⋅
mod
2 cos
cos
ś
r
x
A
t
t
ω
ω
=
⋅
(
)
1
2
1
2
ś
r
ω
ω
ω
=
+
(
)
m od
1
2
1
2
ω
ω
ω
=
−
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy
dudnienia.
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 16
DUDNIENIA
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 17
ANALIZA FOURIERA
Dowolne złożone drganie okresowe o okresie
T
można przedstawić
w postaci sumy prostych drgań harmonicznych o częstościach kołowych
będących wielokrotnościami podstawowej częstości kołowej
ω
ω
= 2
π
/ T
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω
ω
lub
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin(
2
)
(
n
n
n
t
n
A
a
t
f
ϕ
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 18
ANALIZA FOURIERA
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω
ω
(
)
/ 2
/ 2
2
( )cos
1,2,3,....
T
n
T
a
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
(
)
/ 2
/ 2
2
( )sin
1,2,3,...
T
n
T
b
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 19
ENERGIA DRGAŃ
1.
Energia potencjalna
2
0
0
1
2
x
x
z
U
F d x
k x d x
k x
=
=
=
∫
∫
wychylenie z położenia równowagi
)
cos(
0
0
ϕ
ω
−
=
t
A
x
)
(
cos
2
1
0
0
2
2
ϕ
ω
−
=
t
kA
U
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 20
ENERGIA DRGAŃ
2.
Energia kinetyczna
2
2
1
mv
T
=
prędkość
)
sin(
0
0
0
ϕ
ω
ω
−
−
=
t
A
v
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
k=m
ω
0
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 21
ENERGIA CAŁKOWITA DRGAŃ
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
2
2
2
0
0
0
1
cos (
)
2
U
m
A
t
ω
ω
ϕ
=
−
)]
(
cos
)
(
[sin
2
1
)
(
0
0
2
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
−
+
−
=
t
t
A
m
t
E
2
2
0
1
2
E
m
A
ω
=
Jeżeli w układzie nie występuje tłumienie przez siły oporu to amplituda
drgań jest stała.
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 22
ENERGIA DRGAŃ
Zależność od czasu
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 23
ENERGIA DRGAŃ
Zależność od położenia
:
2
2
1
kx
E
p
=
E
k
(x) = E - E
p
(x)
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 24
PRZYKŁADY DRGAŃ
rysunki z książek:
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy
fizyki, tom 2, PWN 2003
Jaworski Dietłaf, Fizyka, poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
druk, AGH, Fizyka labolatorium, 1 Drgania harmoniczne sprężyny
Laboratorium fizyka, SPISLA~1, Drgania harmoniczne struny
WAHADLO1, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechanic
Fizyka - drgania harmoniczne, szkola, Fizyka
Lab 9, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechaniczny
Drgania harmoniczne sprężyny, AGH WIMiC, Rok I, Fizyka, Laboratoria, Ćwiczenie 1
091, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechanicznych
Drgania harmoniczne sprężyny, studia, fizyka
Sprawozdanie z 9, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach
Drgania harmoniczne struny, Księgozbiór, Studia, Fizyka
Funkcje Harmoniczne 2011 Majchrowski Zagadnienie Dirichleta dla Kola p2
harmonogram 2011 2012, Politechnika Rzeszowska Budownictwo, IBD, Materiały budowlane
Fizyka struktura pytan egzaminacyjnych 2011
egzamin fizyka 13
więcej podobnych podstron