EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 1
DRGANIA HARMONICZNE
( )
cos(
)
x t
A
t
ω ϕ
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 1
DRGANIA HARMONICZNE
( )
cos(
)
x t
A
t
ω ϕ
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 2
DRGANIA HARMONICZNE
różne amplitudy A
różne częstości
kołowe
ω
różne fazy
początkowe
ϕ
ω
π
/
2
=
T
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 3
WARUNKI KONIECZNE
•
siła kierująca
F = - kx
•
bezwładność
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 4
RÓWNANIE RUCHU
ma =
−
kx
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
Rozwiązanie w postaci
:
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 5
SPRAWDZENIE
:
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
(
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
v
)
cos(
)
(
2
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
a
)
(
)
(
2
t
x
t
a
ω
−
=
x(t) = Acos(
ω
t+
ϕ
)
jest rozwiązaniem równania
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
m
k
=
2
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 6
ROZWIĄZANIE RÓWNANIA RUCHU
Funkcja
x(t) = Acos(
ω
t+
ϕ
)
jest rozwiązaniem równania
ma =
−
kx
pod warunkiem, że
m
k
=
2
ω
Stałe A i
ϕ
mogą być dowolne - wyznaczamy je
z
warunków początkowych.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 7
WAHADŁO MATEMATYCZNE
ds = L d
θ
prędkość
ds
d
v
L
dt
dt
θ
=
=
przyspieszenie
2
2
dv
d
a
L
dt
dt
θ
=
=
siła powodująca drgania
F = - mg sin
θ
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 8
WAHADŁO MATEMATYCZNE
ma = F
2
2
sin
d
mL
mg
dt
θ
θ
= −
2
2
sin
d
g
L
dt
θ
θ
= −
Dla małych kątów, dla których
sin
θ θ
≈
2
2
d
g
L
dt
θ
θ
≈ −
2
g
L
ω
=
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 9
SUPERPOZYCJA DRGAŃ
Równanie różniczkowe
0
2
2
2
=
+
x
dt
x
d
ω
jest liniowe i jednorodne.
Suma dwóch dowolnych rozwiązań takiego równania jest też jego rozwiązaniem.
ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAŃ
Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego wychylenie z
położenia równowagi jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 10
SUPERPOZYCJA DRGAŃ
Dwa rozwiązania:
•
dla warunków początkowych x
1
0
, v
1
0
rozwiązanie x
1
(t)
•
dla warunków początkowych x
2
0
, v
2
0
rozwiązanie x
2
(t)
Jeżeli x
0
= x
1
0
+ x
2
0
a v
0
= v
1
0
+ v
2
0
to rozwiązaniem jest x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 11
OBRACAJĄCY SIĘ WEKTOR AMPLITUDY
Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością kątową
ω
w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to jego rzut na oś x wynosi
)
cos(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
x
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 12
SKŁADANIE DRGAŃ 1
Drgania o tej samej częstości ale o
różnych amplitudach i fazach
0
cos(
)
x
A
t
ω ϕ
=
+
1
2
( )
( )
( )
A t
A t
A t
=
+
r
r
r
0
( )
1, 2
i
i
t
t
i
ω
ϕ
Φ
=
+
=
2
2
2
1
2
1
2
02
01
2
cos(
)
A
A
A
A A
ϕ
ϕ
=
+
−
−
0
tg
y
x
ϕ
=
1
01
2
02
0
1
01
2
02
sin
sin
tg
cos
cos
A
A
A
A
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 13
SKŁADANIE DRGAŃ 2
Drgania o tej samej częstości ale o
różnych kierunkach
wahadło sferyczne (o dwóch stopniach swobody)
l
M
−
=
−
=
y
l
Mg
dt
y
d
M
x
l
Mg
dt
x
d
M
2
2
2
2
)
cos(
)
(
1
0
1
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
cos(
)
(
2
0
2
ϕ
ω
+
=
t
A
t
y
l
g /
0
=
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 14
SKŁADANIE DRGAŃ 3
Drgania o
różnych częstościach
i
różnych kierunkach
)
cos(
1
1
1
ϕ
ω
+
=
t
A
x
)
cos(
2
2
2
ϕ
ω
+
=
t
A
y
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A
1
, 2A
2
.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 15
DODAWANIE DRGAŃ 4
Drgania o tym samym kierunku ale
różnych częstościach
t
A
x
1
1
cos
ω
=
t
A
x
2
2
cos
ω
=
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
x
x
x
A
t
t
x
A
t
t
ω
ω
ω
ω
ω ω
=
+
=
+
+
−
=
⋅
mod
2 cos
cos
ś
r
x
A
t
t
ω
ω
=
⋅
(
)
1
2
1
2
ś
r
ω
ω
ω
=
+
(
)
m od
1
2
1
2
ω
ω
ω
=
−
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy
dudnienia.
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 16
DUDNIENIA
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 17
ANALIZA FOURIERA
Dowolne złożone drganie okresowe o okresie
T
można przedstawić
w postaci sumy prostych drgań harmonicznych o częstościach kołowych
będących wielokrotnościami podstawowej częstości kołowej
ω
ω
= 2
π
/ T
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω
ω
lub
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin(
2
)
(
n
n
n
t
n
A
a
t
f
ϕ
ω
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 18
ANALIZA FOURIERA
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
ω
ω
(
)
/ 2
/ 2
2
( )cos
1,2,3,....
T
n
T
a
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
(
)
/ 2
/ 2
2
( )sin
1,2,3,...
T
n
T
b
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 19
ENERGIA DRGAŃ
1.
Energia potencjalna
2
0
0
1
2
x
x
z
U
F d x
k x d x
k x
=
=
=
∫
∫
wychylenie z położenia równowagi
)
cos(
0
0
ϕ
ω
−
=
t
A
x
)
(
cos
2
1
0
0
2
2
ϕ
ω
−
=
t
kA
U
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 20
ENERGIA DRGAŃ
2.
Energia kinetyczna
2
2
1
mv
T
=
prędkość
)
sin(
0
0
0
ϕ
ω
ω
−
−
=
t
A
v
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
k=m
ω
0
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 21
ENERGIA CAŁKOWITA DRGAŃ
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
2
2
2
0
0
0
1
cos (
)
2
U
m
A
t
ω
ω
ϕ
=
−
)]
(
cos
)
(
[sin
2
1
)
(
0
0
2
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
−
+
−
=
t
t
A
m
t
E
2
2
0
1
2
E
m
A
ω
=
Jeżeli w układzie nie występuje tłumienie przez siły oporu to amplituda
drgań jest stała.
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 22
ENERGIA DRGAŃ
Zależność od czasu
Energia całkowita drgań harmonicznych o stałej amplitudzie jest stała.
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 23
ENERGIA DRGAŃ
Zależność od położenia
:
2
2
1
kx
E
p
=
E
k
(x) = E - E
p
(x)
EWR 2010 drgania harmoniczne
/ 24
PRZYKŁADY DRGAŃ
rysunki z książek:
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy
fizyki, tom 2, PWN 2003
Jaworski Dietłaf, Fizyka, poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000