SYSTEMY BINARNE

Przykłady liczenia w systemach binarnych

16

10

8

2

Co to są systemy liczbowe

Systemy liczbowe są sposobami nazywania oraz zapisywania liczb.

Rozróżniamy systemy pozycyjne oraz systemy niepozycyjne (addytywne).

Systemy liczbowe pozycyjne przedstawiają każdą liczbę jako kombinację ciągu

cyfr. Wielkość liczby zależy od pozycji poszczególnych cyfr wchodzących w jej

skład. W ramach systemów pozycyjnych wyróżniamy następujące popularne

systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dziesiętny oraz szesnastkowy. Do

systemów liczbowych addytywnych wchodzą systemy alfabetyczny, rzymski i

hieroglificzny, w których wartość przyporządkowana danej liczbie zależy od

sumy wartości znaków cyfrowych wchodzących w jej skład.

Systemem liczbowym stosowanym przez całą ludzkość na codzień jest system

dziesiętny, czyli system pozycyjny, którego podstawa równa się 10. W

technologiach cyfrowych korzysta się praktycznie wyłącznie z systemów

dwójkowych, o podstawie 2, oraz heksadecymalnych o podstawie 16. W

systemie heksadecymalnym cyfry oznaczające liczby od 10 do 15 zapisywane

są w postaci kolejnych liter alfabetu począwszy od A, na F skończywszy.

Informacja o tym, w jakim systemie została zapisana dana liczba umieszczana

jest zazwyczaj w nawiasie umieszczonym w dolnym indeksie danej liczby.

Dawniej stosowano systemy liczbowe niepozycyjne.

Rodzaje systemów liczbowych

•jedynkowy system liczbowy

•dwójkowy system liczbowy
•siódemkowy system liczbowy
•ósemkowy system liczbowy
•dziesiętny system liczbowy
•dwunastkowy system liczbowy
•szesnastkowy system liczbowy
•sześć dziesiątkowy system liczbowy

System szesnastkowy

System szesnastkowy-

jest systemem liczbowym w

którym za podstawę przyjmuje się kolejne potęgi szesnastu. Do

zapisu wszystkich liczb tego systemu wymaganych jest szesnaście

cyfr. Oprócz cyfr pochodzących z systemu dziesiętnego zawartego w

przedziale od 0 do 9, używanych jest sześć pierwszych liter alfabetu

łacińskiego: A, B, C, D, E oraz F.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A-10

B-11

C-12

D-13

E-14

F-15

Przykład

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

Przykłady liczenia

Szesnastkowy na dwójkowy

A7B2

(16)

-1010011110110010

(2)

8FB4

(16)

-1000111110110100

(2)

System ósemkowy

W systemie ósemkowym występuje osiem cyfr:0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby

zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest

mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą

systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie

liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144,

gdyż:

1×8

2

+ 4×8

1

+ 4×8

0

= 64 + 32 + 4 = 100.

Przykłady

Przykłady liczenia

Ósemkowy na dwójkowy

377 274 20 4

(8)

-011111111 010111100 010000 100

(2)

1101

(8)

-001 001 000 001

8421

to liczby które warto zapamiętać. Po

podstawieniu ich do szablonu systemu dwójkowego

łatwo obliczymy wynik.

System dwójkowy

System dwójkowy(binarny)-

Do zapisu liczb w systemie

dwójkowym używamy zaledwie dwóch liczb: 0, 1

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi

cyfr z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

Dwójkowy na dziesiętny

1-1

2-10

3-11

4-100

5-101

6-110

7-111

8-1000

9-1001

10-1010

Np.

1100101 = 1*2

0

+ 0*2

1

+ 1*2

2

+ 0*2

3

+ 0*2

4

+ 1*2

5

+ 1*2

6

= 1+ 0+ 4+ 0+ 0+ 32+ 64 = 101

System dziesiętny

System dziesiętny-

Jest to podstawowy system

prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie.

Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby

10. Jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi

pozycja na której ona stoi, więc cyfrę stojącą na pierwszej

pozycji mnożymy razy 10

0

. Cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 10

1.

Itd. Można pokazać to na przykładzie 10 na 2. Aby to zrobić

wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo

aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę tez dzielimy) i przy każdym

dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia

( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako

ciąg cyfr.

Przykłady

1644

(10)

dzielimy na 2 aż zostanie 1

822 411 205 102 51 25 12 6 3 1 zapisujemy resztę

0 0 1 0 0 1 1 0 0 1

Zapisujemy to w kolejności odwrotnej:

1001100100

Tak więc 1644

(10)

w sys. dziesiętnym jest równe 1001100100

(2)

w

systemie dwójkowym.

Koniec