J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
1
14. Filtry
14.1. Wprowadzenie
Filtry są urządzeniami służącymi do wydzielania,
rozdzielania, separowania, wzmacniania lub tłumienia,
wybranych komponentów sygnału elektrycznego.
Filtry przenoszą sygnały w określonym pasmie
częstotliwości oraz tłumią sygnały w innym pasmie
częstotliwości,
inaczej: realizują funkcje przenoszenia sygnałów o
zadanej
zależności
częstotliwościowej,
kształtując
składowe harmoniczne sygnału.
Ich funkcją jest więc
określone
kształtowanie
odpowiedzi
czasowej
i
częstotliwościowej
na
wymuszenia
.
Właściwości
użytkowe filtrów są oceniane na podstawie zdolności do
selekcji określonych sygnałów i sposobu realizacji
filtrów.
Filtry
przetwarzając
sygnały
w
systemach
elektronicznych mają szerokie zastosowanie w praktyce,
m. in.: w analizatorach widma sygnałów, konwersji c/a
lub a/c, urządzeniach odbiorczych i nadawczych (RTV i
radarowe),
systemach
łączności
satelitarnej,
analogowych systemy telekomunikacyjnych, systemach
przesyłania danych cyfrowych za pomocą sieci
telefonicznych (modemy) itp.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
2
14.2. Typy filtrów
Rys. 14.1. Charakterystyki filtrów idealnych
a) filtr dolnoprzepustowy FDP
b) filtr górnoprzepustowy FGP
c) filtr pasmowozaporowy FPZ
d) filtr środkowozaporowy FŚZ
e) filtr środkowoprzepustowy FŚP
f) filtr pasmowoprzepustowy FPP
g) filtr wszechprzepustowy FWP
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
3
Wyróżnia się następujące, podstawowe typy filtrów:
dolnoprzepustowy FDP,
górnoprzepustowy FGP,
pasmowoprzepustowy FPP,
pasmowozaporowy FPZ,
środkowoprzepustowy FŚP,
środkowozaporowy FŚZ,
wszechprzepustowy FWP.
Na
rys.14.1.
zamieszczono
charakterystyki
wzmocnienia
*)
(inaczej modułu lub amplitudowe) w
funkcji częstotliwości
|
)
(
|
ω
u
K
filtrów idealnych.
Filtr idealny przepuszcza sygnał, bez jego
osłabienia i zniekształcenia tylko w ściśle określonym
przedziale częstotliwości, zwanym pasmem przenoszenia
lub przepustowym, tłumiąc go poza tym pasmem.
Przejście
między
przedziałem
przepustowym
a
tłumieniowym
zwanym
także
zaporowym
jest
natychmiastowe.
Charakterystyka amplitudowa filtru
idealnego jest więc dwuwartościowa: przyjmuje tylko
wartości istotnie duże lub istotnie małe.
Wzmocnienie filtru rzeczywistego, zarówno w
zakresie przepustowym jak i w zakresie tłumieniowym
nie jest idealnie stałe i może mieć tzw. zafalowanie lub
falistość. W pasmie przejściowym, wzmocnienie zmienia
się stopniowo i może mieć różnorodny, specjalnie
kształtowany, charakterystyczny przebieg.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
4
14.3. Charakterystyki standardowe
Wymagane właściwości filtru rzeczywistego osiąga
się
kształtując
przebieg
jego
charakterystyk
częstotliwościowych: amplitudowej i fazowej różnymi
metodami aproksymacji przebiegu charakterystyki filtru
idealnego.
Rzeczywiste charakterystyki są więc zamierzonymi
aproksymacjami
charakterystyki
filtru
idealnego.
Właściwości
filtru,
wynikające
z
przebiegu
charakterystyki
amplitudowej
są
jednoznacznie
określone
rozkładem
biegunów
na
płaszczyźnie
zespolonej.
Dla transmitancji filtru o stopniu równym dwa lub
większym wyróżnia się następujące aproksymacje
idealnej
charakterystyki
amplitudowej
zwane
charakterystykami standardowymi, m.in.: Butterwortha,
Bessela
(Thompsona),
Czebyszewa,
Eliptyczne,
Paraboliczne, i inne.
______________________________________________
*)
W literaturze można spotkać odpowiednie do charakterystyk
wzmocnienia, charakterystyki tłumienia filtru w funkcji
częstotliwości
|
)
(
|
ω
α
, których przebiegi są negacją przebiegów
podanych na rys. 14.1.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
5
Dla typu dolnoprzepustowego ważniejsze aproksymacje
charakterystyki mają następujące właściwości
Butterwortha
Maksymalnie
płaski
przebieg
ch-ki
amplitudowej w pasmie przepustowym
(+) i
dość strome zbocze w pasmie przejściowym (+),
przepięcia w odpowiedzi na skok jednostkowy (-).
Stosowane m.in. do transmisji sygnału bez
zniekształceń amplitudy.
Bessela
Thompsona
Maksymalnie liniowy przebieg ch-ki fazowej
(+), najmniejsze nachylenie ch-ki amplitudowej w
pasmie przejściowym (słabe załamanie) (-), szybki
czas narastania, stałość opóźnienia oraz brak
przepięcia odpowiedzi skokowej. Stosowane,
m.in. do transmisji impulsów prostokątnych
Czebyszewa
Równomierna falistość ch-ki amplitudowej w
pasmie przepustowym i zaporowym
(-) ale duża
stromość
(+)
w
pasmie
przejściowym.
Charakterystyka fazowa ma przebieg silnie
nieliniowy, silne przepięcia w odpowiedzi
skokowej. Stosowane do tłumienia sygnałów o
częstotliwościach
nieznacznie
różnych
od
częstotliwości pasma przepustowego w filtrach
selektywnych.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
6
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
7
Właściwości filtrów są opisywane za pomocą
odpowiedzi częstotliwościowej
)
(
ω
f
U
U
we
wy
=
.
Częstotliwość środkowa pasma
0
f
Pulsacje (częstotliwości) charakterystyczne
Szerokość pasma przenoszenia filtru
dB
BW
3
– (ang. Band With) – 3 decybelowe pasmo
przenoszenia
dB
dB
d
dB
g
dB
f
f
f
BW
3
3
3
3
∆
=
−
=
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
8
Dobroć filtru określa się jako iloraz średniej
zmagazynowanej energii do strat energii w okresie czasu
przy pulsacji rezonansowej. Inaczej jest to energia
zmagazynowana podzielona przez średnie straty mocy
przy częstotliwości rezonansowej.
0
0
|
|
_
_
_
_
_
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
⋅
=
⋅
=
śr
P
W
okresie
w
energii
straty
energia
ana
zmagazynow
średnia
Q
0
0
|
1
|
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
+
=
atyenergii
średniestr
u
wobciąobci
stratymocy
atyenergii
średniestr
wfiltrze
stratymocy
Q
L
F
Q
Q
Q
1
1
1
+
=
Dobroć filtru można wyznaczyć znając częstotliwość
środkową i 3-decybelowe pasmo przepustowe
dB
dB
o
f
f
BW
f
Q
3
0
3
∆
=
=
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
9
f
o
– częstotliwość środkowa
FŚP tłumi niepożądane sygnały spoza pasma
przenoszenia.
Im większa dobroć, tym skuteczniej wydziela
sygnał o ściśle określonej częstotliwości spośród różnych
sygnałów. Dobroć filtru jest więc ściśle związana z jego
selektywnością
.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
10
Przykład: Dobroć 100 oznacza, że filtr pasmowy o
częstotliwości środkowej 1kHz ma pasmo przenoszenia
równe 10Hz.
100
10
1000
=
=
Hz
Hz
Q
w miarę wzrostu dobroci filtr pasmowy ma skłonność do
podbicia charakterystyki, zawężenia pasma przenoszenia
oraz inercyjności powodującej opóźnienie czoła i końca
sygnału.
Zwiększanie dobroci filtrów dolno- i górno
-przepustowych (FDP, FGP) powoduje skłonność do
dzwonienia i do wystąpienia szkodliwego podbicia w
okolicach częstotliwości granicznej.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
11
Rząd filtru - oznacza liczbę zastosowanych ogniw i
stanowi o stromości charakterystyki amplitudowej w
pasmie przejściowym i zaporowym
Tabela.
Tłumienie w pasmie
przejściowym
Rząd
filtru
dB/dek
dB/oct
I
20
6
II
40
III
60
IV
80
V
100
VI
120
VII
140
VIII
160
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
12
Nachylenie charakterystyki w pasmie przejściowym
zależy od rzędu [n] filtru i według wzoru wynosi:
oct
dB
n
Nachylenie
/
6
×
=
,
dek
dB
n
Nachylenie
/
20
×
=
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
13
Inne parametry
•
Częstotliwość środkowa, f
o
•
Szerokość pasma przenoszenia BW,
•
Współczynnik prostokątności P (charakteryzuje
selektywność)
Określenia współczynnika prostokątności
Przypadek idealny:
1
=
P
•
Urządzenia powszechnego
użytku:
20
3
20
/
3
B
B
P
=
B
3
- oznacza szerokość pasma przepustowego na
poziomie 3 decybelowego tłumienia sygnału, tzn. B
3
=
BW
/3dB/
. Pasmo powinno być dopasowane do widma
sygnału; Zbyt mała szerokość pasma powoduje
zniekształcenia
oraz:
skuteczne wzmocnienie mocy, impedancja wejściowa i
wyjściowa, współczynnik szumów, stałość wzmocnienia,
zniekształcenia sygnału, dynamika, stosunek mocy
wyjściowej do mocy szumów własnych.
sygnału, zbyt duża – zwiększa poziom szumów i
zakłóceń.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
14
14.5. Klasyfikacja filtrów
Istnieją różnorodne kryteria klasyfikacji filtrów.
Według najbardziej podstawowych, filtry można
podzielić na:
•
analogowe i cyfrowe – ze względu na metodę
filtracji sygnałów z udziałem przetwarzania a/c i
c/a, przy czym filtry analogowe można z kolei
podzielić na
•
bierne (inaczej pasywne) i czynne – zależnie, czy
sygnał jest wzmacniany dzięki obecności elementu
czynnego, czy też podlega wyłącznie tłumieniu w
układzie filtrującym. Filtry cyfrowe są wyłącznie
filtrami aktywnymi.
Do grupy filtrów biernych zalicza się:
-filtry bierne o stałych skupionych RLC
-filtry bierne zbudowane z odcinków linii długiej o
stałych rozłożonych RLC,
-filtry kwarcowe z rezonatorem piezoelektrycznym
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
15
Filtry bierne charakteryzują się:
(wady→)
brakiem elementów czynnych
,
•
trudnym strojeniem,
•
mniejszym poziom sygnału wyjściowego w
stosunku do sygnału wejściowego,
•
dużymi gabarytami z powodu dużych rozmiarów
cewek indukcyjnych (zwłaszcza przy małych
częstotliwościach),
•
małą dobrocią (zwykle z powodu małej dobroci
samej cewki),
•
wzajemnym obciążaniem się sąsiednich ogniw
filtru w przypadku filtrów wyższych rzędów,
•
brakiem możliwości scalenia,
(zalety→)
stosunkowo dużym zakresem częstotliwości
,
od ułamka Hz do GHz.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
16
Filtry aktywne charakteryzuje:
(zalety→)
•
brak indukcyjności,
•
możliwość miniaturyzacji i dużego scalenia
•
łatwość strojenia dzięki słabemu oddziaływaniu
wzajemnym kolejnych stopni (stopnie mogą być
strojone niezależnie,
•
duża dobroć (do ok. 1000) uzyskana za pomocą
kondensatorów (lepsze od cewek pod względem
dobroci).
•
możliwość wzmacniania sygnału w pasmie
przepustowym.
(wady→)
•
ograniczenie zakresu napięcia wejściowego (przez
parametry elementu aktywnego),
•
poprawna praca gdy parametry układu aktywnego
są niezależne od (w tym przedziale) częstotliwości,
•
zakres częstotliwości (od części Hertza do GHz) –
dolna granica jest dowolnie mała a
górna zależna
od pasma przenoszenia elementu aktywnego
,
•
możliwość występowania składowej stałej na
wyjściu
pochodzącej
od
napięcia
niezrównoważenia.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
17
Do grupy filtrów analogowych aktywnych zalicza się:
•
filtry aktywne RC - zbudowane z elementów
aktywnych, rezystorów i kondensatorów
a
) z pojedynczym sprzężeniem zwrotnym
(z wzmacniaczem nieodwracającym, z źródłem
napięciowym sterowanym napięciowo VCVS, ŹNSN,
SK, Sallen – Key’a).
b)
z wielokrotnym sprzężeniem zwrotnym
, (MFB –
Multiple FeedBack circuit, z wzmacniaczem
odwracającym, INIC - the infinite gain)
c)
filtry zmiennych stanu
(the state variable),
d)
filtry uniwersalne
,
e)
filtry bikwadratowe
- zawierają oba rodzaje sprzężeń
zwrotnych umożliwiając realizację filtrów FŚP, FŚZ,
FGP itp. Charakteryzują się dużą swobodą w doborze
parametrów.
•
filtry aktywne C – zbudowane z elementów
aktywnych i kondensatorów
mogą być
filtrami z przełączanymi C
(kondensatory
są przełączane) lub filtrami
C pracującymi w czasie
ciągłym
(są w zasadzie także filtrami RC ze względu
na efekt przełączania kondensatorów).
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
18
Układy czynne zawierające różne elementy aktywne
(WO, tranzystory BJT, MOS, MESFET i HEMT): filtry
aktywne albo wzmacniacze selektywne:
-
w.cz z obwodami LC, elementami
piezoelektrycznymi, liniami długimi,
-
m.cz z elementami RC bezindukcyjne lub z
cyfrowymi układami filtracji
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
19
SYNTEZA FILTRÓW WYŻSZYCH RZĘDÓW
Postępowanie przy realizacji filtru składa się z
następujących etapów [20]:
-
sprecyzowanie wymagań odnośnie do
charakterystyki modułu i charakterystyki fazy
transmitancji filtru,
-
aproksymacja matematyczna transmitancji
żądanych charakterystyk modułu i fazy za pomocą
funkcji analitycznych,
-
określenie struktury układu jej optymalizacja oraz i
wyznaczenie wartości parametrów struktury,
-
realizacja praktyczna układu filtru.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
20
Metoda kaskadowa syntezy filtrów
Filtr aktywny RC należy do układów liniowych i
stacjonarnych. Ogólna postać jego transmitancji (dla
celów projektowych postać ta podlega normowaniu
normalizacji)
0
1
1
1
0
1
1
1
...
...
)
(
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
T
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
Przy realizacji kaskadowej pożądane jest
doprowadzenie transmitancji po postaci iloczynowej.
Transmitancję T(s) rozkłada się na transmitancje rzędu
drugiego i ewentualnie jedną transmitancję rzędu
pierwszego.
)
(
)....
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
/
3
2
1
s
T
s
T
s
T
s
T
s
s
z
s
H
s
T
k
n
k
j
n
j
i
m
i
Π
Π
Π
=
⋅
⋅
=
−
−
⋅
=
gdzie - n jest stopniem transmitancji kaskady.
Z kolei transmitancja drugiego rzędu ma postać:
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
0
1
2
2
s
s
s
s
s
N
s
Q
s
s
N
a
s
a
s
a
s
N
s
T
k
p
p
k
k
k
−
−
=
+
+
=
+
+
=
ω
ω
gdzie:
ω
p
– pulsacja bieguna, charakterystyczna,
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
21
ξ
2
1
=
Q
– dobroć, określa selektywność
charakterystyki modułu T
k
wokół
pulsacji
ω
p
,
ξ
- współczynnik tłumienia
Wielomian N
k
(s) w liczniku jest wielomianem stopnia
drugiego lub niższego i określa typ filtru:
FDP -
.
const
H
−
FŚP -
s
H
k
FGP -
2
s
H
k
FGZ -
)
(
2
2
p
k
s
H
ω
+
FWP -
)
(
2
2
p
p
k
s
Q
s
H
ω
ω
+
−
bikwadratowy:
)
(
0
1
2
2
b
s
b
s
b
H
k
+
+
bieguny s
1
, s
2
funkcji T
k
(s) (liczba biegunów wyznacza
szybkość spadku wzmocnienia wraz z częstotliwością,
czyli stromość charakterystyki):
2
2
1
4
1
1
2
1
,
Q
j
Q
s
s
p
p
−
±
−
=
ω
ω
dla Q
≥
0,5
2
2
1
4
1
1
2
1
,
Q
Q
s
s
p
p
−
±
−
=
ω
ω
dla Q
≤
0,5
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
22
FILTRY I RZĘDU
Filtry pasywne RC (bierne) zostały omówione na
prostych przykładach w rozdziale Sygnały i obwody
U
wy
U
we
R
C
U
wy
U
we
C
R
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
23
Filtry aktywne RC
Rys. Filtry dolnoprzepustowe: a) układ odwracający (integrator
stratny), b) układ nieodwracający, c) układ nieodwracający o
wzmocnieniu jednostkowym (SK); filtry górnoprzepustowe: d)
układ
odwracający
(różniczkujący-stratny),
e)
układ
nieodwracający, f) układ nieodwracający z wzmocnieniem
jednostkowym, SK; g) filtr wszechprzepustowy
C
1
R
1
R
3
R
2
U
wy
U
we
U
wy
U
we
R
1
R
2
C
2
C
1
R
1
R
2
U
we
U
wy
U
wy
U
we
C
1
R
1
R
2
R
3
C
1
R
1
U
wy
U
we
U
wy
U
we
C
1
R
1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
U
we
U
wy
C
R
R
R
g)
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
24
Filtry dolnoprzepustowe
Układ podany na schemacie a) jest układem całkującym
o transmitancji (rozdz...)
2
2
1
2
1
)
(
C
sR
R
R
s
K
u
+
−
=
.
Po podstawieniu
o
S
s
ω
=
transmitancja przyjmuje
następującą postać unormowaną
S
a
K
S
K
uo
u
1
1
)
(
+
=
,
gdzie:
1
2
R
R
K
uo
−
=
- wzmocnienie stałoprądowe
2
2
1
C
R
a
o
ω
=
- współczynnik przy unormowanym
operatorze Laplace’a.
Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.
częstotliwości górnej pasma przepustowego
o
f
,
współczynnika
1
a
, odczytanego z tablic i pojemności
kondensatora C
2
, przyjętej na podstawie typoszeregu,
parametry filtru określone są za pomocą wzorów:
2
1
2
2
C
f
a
R
o
π
=
,
uo
K
R
R
2
1
−
=
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
25
Układ podany na schemacie b).
Transmitancja układu filtru z rys. b) wyznaczona w
rozdziale 1 (Sygnały i obwody), ma następującą postać:
1
1
1
)
(
C
sR
K
s
K
uo
u
+
=
,
lub w postaci unormowanej
S
a
K
S
K
uo
u
1
1
)
(
+
=
,
gdzie:
1
1
1
C
R
a
o
ω
=
Dla ogólności rozważań przyjęto wzmocnienie
stałoprądowe filtra aktywnego większe od jedności i
wynoszące
3
2
1
R
R
K
uo
+
=
.
poszukiwane wartości parametrów układu filtra
wynoszą:
1
1
1
2
C
f
a
R
o
π
=
,
)
1
(
3
2
−
=
uo
K
R
R
.
W przypadku schematu podanego na rys. c), filtru o
wzmocnieniu jednostkowym o nazwie SK (Sallen Keya),
parametry wynoszą:
1
1
1
2
C
f
a
R
o
π
=
,
1
=
uo
K
i stąd:
0
3
2
=
R
R
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
26
Filtry górnoprzepustowe
Układ podany na schemacie d)
jest układem różniczkującym o zwiększonej
rezystancji wejściowej, zrealizowanym na wzmacniaczu
odwracającym, którego transmitancja dana jest wzorem
(rozdz...):
s
C
R
R
R
s
K
u
1
1
1
2
1
1
)
(
+
−
=
;
S
a
K
S
K
u
u
1
1
)
(
+
=
∞
gdzie:
1
2
R
R
K
u
−
=
∞
,
1
1
1
1
C
R
a
o
ω
=
Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.
częstotliwości dolnej pasma przepustowego
o
f
,
współczynnika
1
a
, odczytanego z tablic i pojemności
kondensatora C
1
, przyjętej na podstawie typoszeregu,
parametry filtru określone są za pomocą wzorów:
1
1
1
2
1
C
a
f
R
o
π
=
,
∞
−
=
u
K
R
R
1
2
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
27
Filtr z rys. e) jest układem nieodwracającym o
transmitancji unormowanej
S
a
K
S
K
u
u
1
1
)
(
+
=
∞
wzmocnieniu przy dużych częstotliwościach równym:
3
2
1
R
R
K
u
+
=
∞
oraz współczynnika
1
1
1
1
C
R
a
o
ω
=
.
Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.
częstotliwości dolnej pasma przepustowego
o
f
,
współczynnika
1
a
, odczytanego z tablic i pojemności
kondensatora C
1
, przyjętej na podstawie typoszeregu,
parametry filtru określone są za pomocą wzorów:
1
1
1
2
1
C
a
f
R
o
π
=
,
)
1
(
3
2
−
=
∞
u
K
R
R
,
1
>
∞
u
K
(rys.e)
oraz:
gdy
1
=
uo
K
0
3
2
=
R
R
(rys.f)
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
28
Filtr wszechprzepustowy
Na
schemacie
pojedynczego
ogniwa
FWP,
zamieszczonym na rysunku 13.6a widać, że sygnał
wejściowy
we
U
jest podany na obydwa wejścia
wzmacniacza. Napięcie wyjściowe składa się więc z
dwóch sygnałów pochodzących od tego samego sygnału
wejściowego, lecz odmiennie wzmacnianych
w różnych
torach wzmocnienia wzmacniacza
.
Napięcie wyjściowe jest zatem sumą dwóch składników:
od napięcia podanego na wejście odwracające;
we
we
wy
U
R
R
U
U
−
=
⋅
−
=
−
,
()
oraz od napięcia podanego na wejście nieodwracające :
*
*
2
1
U
R
R
U
U
wy
=
+
=
+
,
()
u
we
R
C
u
u
we
u
u
wy
C
R
R
R
a) b)
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
29
gdzie napięcie
RC
j
U
C
j
R
C
j
U
U
we
we
ω
ω
ω
+
⋅
=
+
⋅
=
1
1
1
1
*
stanowi część
sygnału
we
U
, doprowadzoną do wejścia nieodwracającego
wzmacniacza.
Napięcie
wyjściowe
jest
sumą
odpowiednio
wzmocnionych
sygnałów
podanych
na
wejście
odwracające i nieodwracające:
RC
j
RC
j
U
CR
j
U
U
U
U
U
we
we
we
wy
wy
wy
ω
ω
ω
+
−
=
+
⋅
+
−
=
+
=
+
−
1
1
1
1
2
()
Wzmocnienie napięciowe układu wynosi:
RC
j
RC
j
U
U
j
K
we
wy
u
ω
ω
ω
+
−
=
=
1
1
)
(
,
()
Rys. 13.8. Filtr wszechprzepustowy FWP I rzędu
– a) i b) schematy poglądowe
R
C
u
we
R
R
u
we
u
wy
u
u
wy
u
u
we
C
R
R
R
u
we
a) b)
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
30
z czego moduł wzmocnienia:
1
)
(
1
)
(
1
|
)
(
|
2
2
=
+
+
=
RC
RC
j
K
u
ω
ω
ω
,
()
a faza:
)]
[tg(
2
RC
arc
ω
ϕ
⋅
−
=
.
()
Wzmocnienie ma wartość 1 i nie zależy od
częstotliwości. Kąt fazowy natomiast zmienia się od
wartości praktycznie 0 – przy niskich częstotliwościach
do –180
o
przy częstotliwościach wysokich. Układ jest
aktywnym przesuwnikiem fazowym.
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
31
FILTRY II RZĘDU
Filtry bierne RLC
C
j
L
j
R
U
I
ω
ω
1
+
+
=
LC
L
R
j
LC
U
C
j
C
j
L
j
R
U
C
j
I
U
C
1
1
1
1
2
+
+
−
=
⋅
+
+
=
⋅
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
0
0
2
2
2
0
0
2
2
2
2
)
(
1
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
⇒
+
+
−
=
+
+
−
=
Q
s
s
s
Q
j
j
LC
L
R
j
j
U
U
L
FGP
2
0
0
2
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
⇒
+
+
−
=
+
+
−
=
Q
s
s
Q
j
LC
L
R
j
LC
U
U
C
FDP
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
⇒
+
+
−
=
+
+
−
=
Q
s
s
Q
s
Q
j
Q
j
LC
L
R
j
L
R
j
U
U
R
FPP
U
I
R
L
C
U
R
U
L
U
C
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
32
Częstotliwość rezonansowa
LC
1
0
=
ω
Rezonans
jako
proces
balansowania
energii
magazynowanej między L oraz C.
Dobroć układu wyraża stosunek energii rozpraszanej
podczas
cyklu
rezonansowego
do
energii
zmagazynowanej. W układzie o wysokiej dobroci Q
tylko niewielka część zostaje rozpraszana
ξ
ω
2
1
1
0
=
=
=
C
L
R
R
L
Q
gdzie
ξ
- jest współczynnikiem tłumienia
u
K
ω
U
U
C
U
U
L
U
U
R
0
=
ω
1
0
0
0
ω
ω
=
-jQ
jQ
1
∞
=
ω
0
1
0
FDP
FGP
FPP
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
33
Przykłady analizy filtrów aktywnych RC 2-go rzędu
Równanie prądów dla węzła 1:
0
)
(
)
(
)
(
4
1
3
2
1
2
1
1
1
=
−
+
−
+
+
−
Y
U
U
Y
U
U
Y
U
Y
U
U
wy
we
,
równanie prądów dla węzła 2 :
0
)
(
5
2
3
2
1
=
−
−
Y
U
Y
U
U
,
wzmocnienie wzmacniacza :
+
=
=
6
7
2
0
1
R
R
U
U
K
wy
u
Transmitancja
))
1
(
(
)
(
0
4
2
1
3
4
3
2
1
5
3
1
0
u
u
we
wy
uF
K
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
K
U
U
K
−
+
+
+
+
+
+
=
=
Redukcja parametru Y
2
(Y
2
=0) prowadzi do uproszczenia
schematu układu i nie ma istotnego wpływu właściwości
układu.
U
we
U
1
U
2
U
wy
Y
4
R
6
Y
3
Y
1
Y
2
Y
5
1
2
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
34
Filtr dolnoprzepustowy FDP otrzymamy wstawiając
rezystory w miejsce Y
1
i Y
3
oraz kondensatory w
miejscu Y
4
i Y
5
, zatem:
1
1
1
R
Y
=
,
3
3
1
R
Y
=
,
4
4
1
sC
Y
=
,
5
5
1
sC
Y
=
.
Rys. (16-15)
5
4
3
1
0
5
3
4
3
4
1
2
5
4
3
1
0
1
)
1
(
1
1
1
1
C
C
R
R
K
C
R
C
R
C
R
s
s
C
C
R
R
K
U
U
K
u
u
we
wy
F
+
−
+
+
+
=
=
5
4
3
1
1
C
C
R
R
o
=
ω
5
3
4
1
0
4
3
5
1
4
1
5
3
)
1
(
1
C
R
C
R
K
C
R
C
R
C
R
C
R
Q
u
−
+
+
=
wzmocnienie dla prądu stałego :
U
we
U
wy
R
6
1
2
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
35
0
0
,
u
F
K
K
=
=
ω
Aby
zaprojektować
filtr
o
zadanych
właściwościach, wynikających z przyjętej aproksymacji
charakterystyki amplitudowej, korzysta się z parametrów
unormowanych a
i
oraz b
i
transmitancji pierwszego i
drugiego rzędu, podawanych w tablicach projektowych.
Parametry unormowane są podstawą obliczenia
wartości R, C i K
u
filtru. Projektując filtr wyższego rzędu
metodą kaskadową, wyznacza się parametry kolejnych
sekcji filtru idąc od strony wejścia sygnału. Można
zauważyć, że wartość dobroci kolejnych sekcji rośnie
wraz z numerem sekcji.
Dysponując
transmitancją
filtru
w
postaci
zespolonej, należy unormować jej pulsację zespoloną
dokonując następującego podstawienia:
o
S
s
ω
⋅
=
,
gdzie wielkość normując:
Ω
=
=
=
=
j
sRC
j
s
S
o
o
ω
ω
ω
gdzie:
o
ω
- pulsacja charakterystyczna (graniczna),
Ω
-
pulsacja względna
Transmitancja FDP o postaci naturalnej (14.22)
przekształca się do unormowanej:
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
36
2
5
4
3
1
2
0
4
1
5
1
5
3
0
))
1
(
(
1
S
C
C
R
R
S
K
C
R
C
R
C
R
K
K
o
u
o
u
F
ω
ω
+
−
+
+
+
=
(14.26)
Podstawiając:
[
]
1
0
4
1
5
1
5
3
)
1
(
a
K
C
R
C
R
C
R
u
o
=
−
+
+
ω
(14.27)
1
5
4
3
1
2
b
C
C
R
R
o
=
ω
(14.28)
uzyskuje się przejrzystą, unormowaną postać
transmitancji:
2
1
1
0
1
S
b
S
a
K
K
u
F
+
+
=
(14.26*)
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
37
Realizacje filtrów Sallen-Key’a o wzmocnieniu
jednostkowym
Filtr dolnoprzepustowy SK FDP
Podstawienie K
u
=1 we wzorze (14.26)
2
5
4
3
1
2
1
3
5
0
)
(
1
S
C
C
R
R
S
R
R
C
K
K
o
o
u
F
ω
ω
+
+
+
=
1
=
uo
K
)
(
3
1
5
1
R
R
C
a
o
+
=
ω
(14.38)
5
4
3
1
2
1
C
C
R
R
b
o
ω
=
(14.39)
5
4
5
4
1
2
4
2
1
4
1
3
,
1
2
4
C
C
C
C
b
C
a
C
a
R
o
ω
−
=
m
(14.40)
2
1
1
5
4
4
a
b
C
C
≥
(14.41)
U
wy
U
we
2
1
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
38
Filtr górnoprzepustowy SK FGP
Filtr pasmowoprzepustowy SK FGP
Łącząc kaskadowo filtr dolnoprzepustowy II rzędu i filtr
górnoprzepustowy II rzędu uzyskuje się filtr
pasmowoprzepustowy IV rzędu.
U
wy
U
we
2
1
U
wy
U
we
J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu
39