J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

1

14. Filtry

14.1. Wprowadzenie

Filtry są urządzeniami służącymi do wydzielania,

rozdzielania, separowania, wzmacniania lub tłumienia,
wybranych komponentów sygnału elektrycznego.

Filtry przenoszą sygnały w określonym pasmie

częstotliwości oraz tłumią sygnały w innym pasmie
częstotliwości,

inaczej: realizują funkcje przenoszenia sygnałów o

zadanej

zależności

częstotliwościowej,

kształtując

składowe harmoniczne sygnału.

Ich funkcją jest więc

określone

kształtowanie

odpowiedzi

czasowej

i

częstotliwościowej

na

wymuszenia

.

Właściwości

użytkowe filtrów są oceniane na podstawie zdolności do
selekcji określonych sygnałów i sposobu realizacji
filtrów.

Filtry

przetwarzając

sygnały

w

systemach

elektronicznych mają szerokie zastosowanie w praktyce,
m. in.: w analizatorach widma sygnałów, konwersji c/a
lub a/c, urządzeniach odbiorczych i nadawczych (RTV i
radarowe),

systemach

łączności

satelitarnej,

analogowych systemy telekomunikacyjnych, systemach
przesyłania danych cyfrowych za pomocą sieci
telefonicznych (modemy) itp.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

2

14.2. Typy filtrów

Rys. 14.1. Charakterystyki filtrów idealnych
a) filtr dolnoprzepustowy FDP
b) filtr górnoprzepustowy FGP
c) filtr pasmowozaporowy FPZ
d) filtr środkowozaporowy FŚZ
e) filtr środkowoprzepustowy FŚP
f) filtr pasmowoprzepustowy FPP
g) filtr wszechprzepustowy FWP

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

3

Wyróżnia się następujące, podstawowe typy filtrów:

dolnoprzepustowy FDP,

górnoprzepustowy FGP,

pasmowoprzepustowy FPP,

pasmowozaporowy FPZ,

środkowoprzepustowy FŚP,

środkowozaporowy FŚZ,

wszechprzepustowy FWP.

Na

rys.14.1.

zamieszczono

charakterystyki

wzmocnienia

*)

(inaczej modułu lub amplitudowe) w

funkcji częstotliwości

|

)

(

|

ω

u

K

filtrów idealnych.

Filtr idealny przepuszcza sygnał, bez jego

osłabienia i zniekształcenia tylko w ściśle określonym
przedziale częstotliwości, zwanym pasmem przenoszenia
lub przepustowym, tłumiąc go poza tym pasmem.
Przejście

między

przedziałem

przepustowym

a

tłumieniowym

zwanym

także

zaporowym

jest

natychmiastowe.

Charakterystyka amplitudowa filtru

idealnego jest więc dwuwartościowa: przyjmuje tylko
wartości istotnie duże lub istotnie małe.

Wzmocnienie filtru rzeczywistego, zarówno w

zakresie przepustowym jak i w zakresie tłumieniowym
nie jest idealnie stałe i może mieć tzw. zafalowanie lub
falistość. W pasmie przejściowym, wzmocnienie zmienia
się stopniowo i może mieć różnorodny, specjalnie
kształtowany, charakterystyczny przebieg.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

4

14.3. Charakterystyki standardowe

Wymagane właściwości filtru rzeczywistego osiąga

się

kształtując

przebieg

jego

charakterystyk

częstotliwościowych: amplitudowej i fazowej różnymi
metodami aproksymacji przebiegu charakterystyki filtru
idealnego.

Rzeczywiste charakterystyki są więc zamierzonymi

aproksymacjami

charakterystyki

filtru

idealnego.

Właściwości

filtru,

wynikające

z

przebiegu

charakterystyki

amplitudowej

są

jednoznacznie

określone

rozkładem

biegunów

na

płaszczyźnie

zespolonej.

Dla transmitancji filtru o stopniu równym dwa lub

większym wyróżnia się następujące aproksymacje
idealnej

charakterystyki

amplitudowej

zwane

charakterystykami standardowymi, m.in.: Butterwortha,
Bessela

(Thompsona),

Czebyszewa,

Eliptyczne,

Paraboliczne, i inne.



______________________________________________

*)

W literaturze można spotkać odpowiednie do charakterystyk

wzmocnienia, charakterystyki tłumienia filtru w funkcji
częstotliwości

|

)

(

|

ω

α

, których przebiegi są negacją przebiegów

podanych na rys. 14.1.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

5

Dla typu dolnoprzepustowego ważniejsze aproksymacje
charakterystyki mają następujące właściwości

Butterwortha

Maksymalnie

płaski

przebieg

ch-ki

amplitudowej w pasmie przepustowym

(+) i

dość strome zbocze w pasmie przejściowym (+),
przepięcia w odpowiedzi na skok jednostkowy (-).
Stosowane m.in. do transmisji sygnału bez
zniekształceń amplitudy.

Bessela
Thompsona

Maksymalnie liniowy przebieg ch-ki fazowej

(+), najmniejsze nachylenie ch-ki amplitudowej w
pasmie przejściowym (słabe załamanie) (-), szybki
czas narastania, stałość opóźnienia oraz brak
przepięcia odpowiedzi skokowej. Stosowane,
m.in. do transmisji impulsów prostokątnych

Czebyszewa

Równomierna falistość ch-ki amplitudowej w
pasmie przepustowym i zaporowym

(-) ale duża

stromość

(+)

w

pasmie

przejściowym.

Charakterystyka fazowa ma przebieg silnie
nieliniowy, silne przepięcia w odpowiedzi
skokowej. Stosowane do tłumienia sygnałów o
częstotliwościach

nieznacznie

różnych

od

częstotliwości pasma przepustowego w filtrach
selektywnych.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

6

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

7

Właściwości filtrów są opisywane za pomocą

odpowiedzi częstotliwościowej

)

(

ω

f

U

U

we

wy

=

.

Częstotliwość środkowa pasma

0

f

Pulsacje (częstotliwości) charakterystyczne


Szerokość pasma przenoszenia filtru

dB

BW

3

– (ang. Band With) – 3 decybelowe pasmo

przenoszenia

dB

dB

d

dB

g

dB

f

f

f

BW

3

3

3

3

∆

=

−

=

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

8

Dobroć filtru określa się jako iloraz średniej
zmagazynowanej energii do strat energii w okresie czasu
przy pulsacji rezonansowej. Inaczej jest to energia
zmagazynowana podzielona przez średnie straty mocy
przy częstotliwości rezonansowej.

0

0

|

|

_

_

_

_

_

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

⋅

=

⋅

=

śr

P

W

okresie

w

energii

straty

energia

ana

zmagazynow

średnia

Q

0

0

|

1

|

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

+

=

atyenergii

średniestr

u

wobciąobci

stratymocy

atyenergii

średniestr

wfiltrze

stratymocy

Q

L

F

Q

Q

Q

1

1

1

+

=

Dobroć filtru można wyznaczyć znając częstotliwość
środkową i 3-decybelowe pasmo przepustowe

dB

dB

o

f

f

BW

f

Q

3

0

3

∆

=

=

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

9

f

o

– częstotliwość środkowa

FŚP tłumi niepożądane sygnały spoza pasma
przenoszenia.

Im większa dobroć, tym skuteczniej wydziela

sygnał o ściśle określonej częstotliwości spośród różnych
sygnałów. Dobroć filtru jest więc ściśle związana z jego
selektywnością

.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

10

Przykład: Dobroć 100 oznacza, że filtr pasmowy o
częstotliwości środkowej 1kHz ma pasmo przenoszenia
równe 10Hz.

100

10

1000

=

=

Hz

Hz

Q

w miarę wzrostu dobroci filtr pasmowy ma skłonność do
podbicia charakterystyki, zawężenia pasma przenoszenia
oraz inercyjności powodującej opóźnienie czoła i końca
sygnału.

Zwiększanie dobroci filtrów dolno- i górno

-przepustowych (FDP, FGP) powoduje skłonność do
dzwonienia i do wystąpienia szkodliwego podbicia w
okolicach częstotliwości granicznej.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

11

Rząd filtru - oznacza liczbę zastosowanych ogniw i
stanowi o stromości charakterystyki amplitudowej w
pasmie przejściowym i zaporowym


Tabela.

Tłumienie w pasmie

przejściowym

Rząd

filtru

dB/dek

dB/oct

I

20

6

II

40

III

60

IV

80

V

100

VI

120

VII

140

VIII

160

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

12

Nachylenie charakterystyki w pasmie przejściowym
zależy od rzędu [n] filtru i według wzoru wynosi:

oct

dB

n

Nachylenie

/

6

×

=

,

dek

dB

n

Nachylenie

/

20

×

=

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

13

Inne parametry

•

Częstotliwość środkowa, f

o

•

Szerokość pasma przenoszenia BW,

•

Współczynnik prostokątności P (charakteryzuje
selektywność)

Określenia współczynnika prostokątności

Przypadek idealny:

1

=

P

•

Urządzenia powszechnego
użytku:

20

3

20

/

3

B

B

P

=

B

3

- oznacza szerokość pasma przepustowego na

poziomie 3 decybelowego tłumienia sygnału, tzn. B

3

=

BW

/3dB/

. Pasmo powinno być dopasowane do widma

sygnału; Zbyt mała szerokość pasma powoduje
zniekształcenia

oraz:

skuteczne wzmocnienie mocy, impedancja wejściowa i
wyjściowa, współczynnik szumów, stałość wzmocnienia,
zniekształcenia sygnału, dynamika, stosunek mocy
wyjściowej do mocy szumów własnych.
sygnału, zbyt duża – zwiększa poziom szumów i
zakłóceń.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

14

14.5. Klasyfikacja filtrów

Istnieją różnorodne kryteria klasyfikacji filtrów.
Według najbardziej podstawowych, filtry można
podzielić na:

•

analogowe i cyfrowe – ze względu na metodę
filtracji sygnałów z udziałem przetwarzania a/c i
c/a, przy czym filtry analogowe można z kolei
podzielić na

•

bierne (inaczej pasywne) i czynne – zależnie, czy
sygnał jest wzmacniany dzięki obecności elementu
czynnego, czy też podlega wyłącznie tłumieniu w
układzie filtrującym. Filtry cyfrowe są wyłącznie
filtrami aktywnymi.

Do grupy filtrów biernych zalicza się:
-filtry bierne o stałych skupionych RLC
-filtry bierne zbudowane z odcinków linii długiej o
stałych rozłożonych RLC,
-filtry kwarcowe z rezonatorem piezoelektrycznym

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

15

Filtry bierne charakteryzują się:
(wady→)

brakiem elementów czynnych

,

•

trudnym strojeniem,

•

mniejszym poziom sygnału wyjściowego w
stosunku do sygnału wejściowego,

•

dużymi gabarytami z powodu dużych rozmiarów
cewek indukcyjnych (zwłaszcza przy małych
częstotliwościach),

•

małą dobrocią (zwykle z powodu małej dobroci
samej cewki),

•

wzajemnym obciążaniem się sąsiednich ogniw
filtru w przypadku filtrów wyższych rzędów,

•

brakiem możliwości scalenia,

(zalety→)

stosunkowo dużym zakresem częstotliwości

,

od ułamka Hz do GHz.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

16

Filtry aktywne charakteryzuje:

(zalety→)

•

brak indukcyjności,

•

możliwość miniaturyzacji i dużego scalenia

•

łatwość strojenia dzięki słabemu oddziaływaniu
wzajemnym kolejnych stopni (stopnie mogą być
strojone niezależnie,

•

duża dobroć (do ok. 1000) uzyskana za pomocą
kondensatorów (lepsze od cewek pod względem
dobroci).

•

możliwość wzmacniania sygnału w pasmie
przepustowym.

(wady→)

•

ograniczenie zakresu napięcia wejściowego (przez
parametry elementu aktywnego),

•

poprawna praca gdy parametry układu aktywnego
są niezależne od (w tym przedziale) częstotliwości,

•

zakres częstotliwości (od części Hertza do GHz) –
dolna granica jest dowolnie mała a

górna zależna

od pasma przenoszenia elementu aktywnego

,

•

możliwość występowania składowej stałej na
wyjściu

pochodzącej

od

napięcia

niezrównoważenia.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

17

Do grupy filtrów analogowych aktywnych zalicza się:

•

filtry aktywne RC - zbudowane z elementów
aktywnych, rezystorów i kondensatorów

a

) z pojedynczym sprzężeniem zwrotnym

(z wzmacniaczem nieodwracającym, z źródłem
napięciowym sterowanym napięciowo VCVS, ŹNSN,
SK, Sallen – Key’a).

b)

z wielokrotnym sprzężeniem zwrotnym

, (MFB –

Multiple FeedBack circuit, z wzmacniaczem
odwracającym, INIC - the infinite gain)

c)

filtry zmiennych stanu

(the state variable),

d)

filtry uniwersalne

,

e)

filtry bikwadratowe

- zawierają oba rodzaje sprzężeń

zwrotnych umożliwiając realizację filtrów FŚP, FŚZ,
FGP itp. Charakteryzują się dużą swobodą w doborze
parametrów.

•

filtry aktywne C – zbudowane z elementów
aktywnych i kondensatorów

mogą być

filtrami z przełączanymi C

(kondensatory

są przełączane) lub filtrami

C pracującymi w czasie

ciągłym

(są w zasadzie także filtrami RC ze względu

na efekt przełączania kondensatorów).

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

18

Układy czynne zawierające różne elementy aktywne
(WO, tranzystory BJT, MOS, MESFET i HEMT): filtry
aktywne albo wzmacniacze selektywne:
-

w.cz z obwodami LC, elementami

piezoelektrycznymi, liniami długimi,
-

m.cz z elementami RC bezindukcyjne lub z

cyfrowymi układami filtracji

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

19

SYNTEZA FILTRÓW WYŻSZYCH RZĘDÓW

Postępowanie przy realizacji filtru składa się z
następujących etapów [20]:

-

sprecyzowanie wymagań odnośnie do
charakterystyki modułu i charakterystyki fazy
transmitancji filtru,

-

aproksymacja matematyczna transmitancji
żądanych charakterystyk modułu i fazy za pomocą
funkcji analitycznych,

-

określenie struktury układu jej optymalizacja oraz i
wyznaczenie wartości parametrów struktury,

-

realizacja praktyczna układu filtru.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

20

Metoda kaskadowa syntezy filtrów
Filtr aktywny RC należy do układów liniowych i
stacjonarnych. Ogólna postać jego transmitancji (dla
celów projektowych postać ta podlega normowaniu
normalizacji)

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

T

n

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

−

Przy realizacji kaskadowej pożądane jest
doprowadzenie transmitancji po postaci iloczynowej.
Transmitancję T(s) rozkłada się na transmitancje rzędu
drugiego i ewentualnie jedną transmitancję rzędu
pierwszego.

)

(

)....

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

/

3

2

1

s

T

s

T

s

T

s

T

s

s

z

s

H

s

T

k

n

k

j

n

j

i

m

i

Π

Π

Π

=

⋅

⋅

=

−

−

⋅

=

gdzie - n jest stopniem transmitancji kaskady.

Z kolei transmitancja drugiego rzędu ma postać:

)

)(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

0

1

2

2

s

s

s

s

s

N

s

Q

s

s

N

a

s

a

s

a

s

N

s

T

k

p

p

k

k

k

−

−

=

+

+

=

+

+

=

ω

ω

gdzie:

ω

p

– pulsacja bieguna, charakterystyczna,

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

21

ξ

2

1

=

Q

– dobroć, określa selektywność

charakterystyki modułu T

k

wokół

pulsacji

ω

p

,

ξ

- współczynnik tłumienia

Wielomian N

k

(s) w liczniku jest wielomianem stopnia

drugiego lub niższego i określa typ filtru:

FDP -

.

const

H

−

FŚP -

s

H

k

FGP -

2

s

H

k

FGZ -

)

(

2

2

p

k

s

H

ω

+

FWP -

)

(

2

2

p

p

k

s

Q

s

H

ω

ω

+

−

bikwadratowy:

)

(

0

1

2

2

b

s

b

s

b

H

k

+

+

bieguny s

1

, s

2

funkcji T

k

(s) (liczba biegunów wyznacza

szybkość spadku wzmocnienia wraz z częstotliwością,
czyli stromość charakterystyki):

2

2

1

4

1

1

2

1

,

Q

j

Q

s

s

p

p

−

±

−

=

ω

ω

dla Q

≥

0,5

2

2

1

4

1

1

2

1

,

Q

Q

s

s

p

p

−

±

−

=

ω

ω

dla Q

≤

0,5

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

22

FILTRY I RZĘDU

Filtry pasywne RC (bierne) zostały omówione na
prostych przykładach w rozdziale Sygnały i obwody

U

wy

U

we

R

C

U

wy

U

we

C

R

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

23

Filtry aktywne RC

Rys. Filtry dolnoprzepustowe: a) układ odwracający (integrator
stratny), b) układ nieodwracający, c) układ nieodwracający o
wzmocnieniu jednostkowym (SK); filtry górnoprzepustowe: d)
układ

odwracający

(różniczkujący-stratny),

e)

układ

nieodwracający, f) układ nieodwracający z wzmocnieniem
jednostkowym, SK; g) filtr wszechprzepustowy

C

1

R

1

R

3

R

2

U

wy

U

we

U

wy

U

we

R

1

R

2

C

2

C

1

R

1

R

2

U

we

U

wy

U

wy

U

we

C

1

R

1

R

2

R

3

C

1

R

1

U

wy

U

we

U

wy

U

we

C

1

R

1

a)






b)






c)

d)






e)






f)

U

we

U

wy

C

R

R

R

g)

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

24

Filtry dolnoprzepustowe

Układ podany na schemacie a) jest układem całkującym
o transmitancji (rozdz...)

2

2

1

2

1

)

(

C

sR

R

R

s

K

u

+

−

=

.

Po podstawieniu

o

S

s

ω

=

transmitancja przyjmuje

następującą postać unormowaną

S

a

K

S

K

uo

u

1

1

)

(

+

=

,

gdzie:

1

2

R

R

K

uo

−

=

- wzmocnienie stałoprądowe

2

2

1

C

R

a

o

ω

=

- współczynnik przy unormowanym

operatorze Laplace’a.

Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.
częstotliwości górnej pasma przepustowego

o

f

,

współczynnika

1

a

, odczytanego z tablic i pojemności

kondensatora C

2

, przyjętej na podstawie typoszeregu,

parametry filtru określone są za pomocą wzorów:

2

1

2

2

C

f

a

R

o

π

=

,

uo

K

R

R

2

1

−

=

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

25

Układ podany na schemacie b).

Transmitancja układu filtru z rys. b) wyznaczona w
rozdziale 1 (Sygnały i obwody), ma następującą postać:

1

1

1

)

(

C

sR

K

s

K

uo

u

+

=

,

lub w postaci unormowanej

S

a

K

S

K

uo

u

1

1

)

(

+

=

,

gdzie:

1

1

1

C

R

a

o

ω

=

Dla ogólności rozważań przyjęto wzmocnienie
stałoprądowe filtra aktywnego większe od jedności i

wynoszące

3

2

1

R

R

K

uo

+

=

.

poszukiwane wartości parametrów układu filtra
wynoszą:

1

1

1

2

C

f

a

R

o

π

=

,

)

1

(

3

2

−

=

uo

K

R

R

.

W przypadku schematu podanego na rys. c), filtru o
wzmocnieniu jednostkowym o nazwie SK (Sallen Keya),
parametry wynoszą:

1

1

1

2

C

f

a

R

o

π

=

,

1

=

uo

K

i stąd:

0

3

2

=

R

R

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

26

Filtry górnoprzepustowe

Układ podany na schemacie d)

jest układem różniczkującym o zwiększonej

rezystancji wejściowej, zrealizowanym na wzmacniaczu
odwracającym, którego transmitancja dana jest wzorem
(rozdz...):

s

C

R

R

R

s

K

u

1

1

1

2

1

1

)

(

+

−

=

;

S

a

K

S

K

u

u

1

1

)

(

+

=

∞

gdzie:

1

2

R

R

K

u

−

=

∞

,

1

1

1

1

C

R

a

o

ω

=

Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.

częstotliwości dolnej pasma przepustowego

o

f

,

współczynnika

1

a

, odczytanego z tablic i pojemności

kondensatora C

1

, przyjętej na podstawie typoszeregu,

parametry filtru określone są za pomocą wzorów:

1

1

1

2

1

C

a

f

R

o

π

=

,

∞

−

=

u

K

R

R

1

2

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

27

Filtr z rys. e) jest układem nieodwracającym o
transmitancji unormowanej

S

a

K

S

K

u

u

1

1

)

(

+

=

∞

wzmocnieniu przy dużych częstotliwościach równym:

3

2

1

R

R

K

u

+

=

∞

oraz współczynnika

1

1

1

1

C

R

a

o

ω

=

.

Dla zadanej wartości częstotliwości granicznej, tj.
częstotliwości dolnej pasma przepustowego

o

f

,

współczynnika

1

a

, odczytanego z tablic i pojemności

kondensatora C

1

, przyjętej na podstawie typoszeregu,

parametry filtru określone są za pomocą wzorów:

1

1

1

2

1

C

a

f

R

o

π

=

,

)

1

(

3

2

−

=

∞

u

K

R

R

,

1

>

∞

u

K

(rys.e)

oraz:

gdy

1

=

uo

K

0

3

2

=

R

R

(rys.f)

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

28

Filtr wszechprzepustowy

Na

schemacie

pojedynczego

ogniwa

FWP,

zamieszczonym na rysunku 13.6a widać, że sygnał
wejściowy

we

U

jest podany na obydwa wejścia

wzmacniacza. Napięcie wyjściowe składa się więc z
dwóch sygnałów pochodzących od tego samego sygnału
wejściowego, lecz odmiennie wzmacnianych

w różnych

torach wzmocnienia wzmacniacza

.

Napięcie wyjściowe jest zatem sumą dwóch składników:
od napięcia podanego na wejście odwracające;

we

we

wy

U

R

R

U

U

−

=

⋅

−

=

−

,

()

oraz od napięcia podanego na wejście nieodwracające :

*

*

2

1

U

R

R

U

U

wy

=











 +

=

+

,

()

u

we

R

C

u

u

we

u

u

wy

C

R

R

R

a) b)

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

29

gdzie napięcie

RC

j

U

C

j

R

C

j

U

U

we

we

ω

ω

ω

+

⋅

=

+

⋅

=

1

1

1

1

*

stanowi część

sygnału

we

U

, doprowadzoną do wejścia nieodwracającego

wzmacniacza.

Napięcie

wyjściowe

jest

sumą

odpowiednio

wzmocnionych

sygnałów

podanych

na

wejście

odwracające i nieodwracające:

RC

j

RC

j

U

CR

j

U

U

U

U

U

we

we

we

wy

wy

wy

ω

ω

ω

+

−

=

+

⋅

+

−

=

+

=

+

−

1

1

1

1

2

()

Wzmocnienie napięciowe układu wynosi:

RC

j

RC

j

U

U

j

K

we

wy

u

ω

ω

ω

+

−

=

=

1

1

)

(

,

()

Rys. 13.8. Filtr wszechprzepustowy FWP I rzędu
– a) i b) schematy poglądowe

R

C

u

we

R

R

u

we

u

wy

u

u

wy

u

u

we

C

R

R

R

u

we

a) b)

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

30

z czego moduł wzmocnienia:

1

)

(

1

)

(

1

|

)

(

|

2

2

=

+

+

=

RC

RC

j

K

u

ω

ω

ω

,

()

a faza:

)]

[tg(

2

RC

arc

ω

ϕ

⋅

−

=

.

()

Wzmocnienie ma wartość 1 i nie zależy od
częstotliwości. Kąt fazowy natomiast zmienia się od
wartości praktycznie 0 – przy niskich częstotliwościach
do –180

o

przy częstotliwościach wysokich. Układ jest

aktywnym przesuwnikiem fazowym.

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

31

FILTRY II RZĘDU

Filtry bierne RLC

C

j

L

j

R

U

I

ω

ω

1

+

+

=

LC

L

R

j

LC

U

C

j

C

j

L

j

R

U

C

j

I

U

C

1

1

1

1

2

+

+

−

=

⋅

+

+

=

⋅

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

2

0

0

2

2

2

0

0

2

2

2

2

)

(

1

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

⇒

+

+

−

=

+

+

−

=

Q

s

s

s

Q

j

j

LC

L

R

j

j

U

U

L

FGP

2

0

0

2

2

0

2

0

0

2

2

0

2

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

⇒

+

+

−

=

+

+

−

=

Q

s

s

Q

j

LC

L

R

j

LC

U

U

C

FDP

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

⇒

+

+

−

=

+

+

−

=

Q

s

s

Q

s

Q

j

Q

j

LC

L

R

j

L

R

j

U

U

R

FPP

U

I

R

L

C

U

R

U

L

U

C

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

32

Częstotliwość rezonansowa

LC

1

0

=

ω

Rezonans

jako

proces

balansowania

energii

magazynowanej między L oraz C.
Dobroć układu wyraża stosunek energii rozpraszanej
podczas

cyklu

rezonansowego

do

energii

zmagazynowanej. W układzie o wysokiej dobroci Q
tylko niewielka część zostaje rozpraszana

ξ

ω

2

1

1

0

=

=

=

C

L

R

R

L

Q

gdzie

ξ

- jest współczynnikiem tłumienia

u

K

ω

U

U

C

U

U

L

U

U

R

0

=

ω

1

0

0

0

ω

ω

=

-jQ

jQ

1

∞

=

ω

0

1

0

FDP

FGP

FPP

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

33

Przykłady analizy filtrów aktywnych RC 2-go rzędu

Równanie prądów dla węzła 1:

0

)

(

)

(

)

(

4

1

3

2

1

2

1

1

1

=

−

+

−

+

+

−

Y

U

U

Y

U

U

Y

U

Y

U

U

wy

we

,

równanie prądów dla węzła 2 :

0

)

(

5

2

3

2

1

=

−

−

Y

U

Y

U

U

,

wzmocnienie wzmacniacza :









+

=

=

6

7

2

0

1

R

R

U

U

K

wy

u

Transmitancja

))

1

(

(

)

(

0

4

2

1

3

4

3

2

1

5

3

1

0

u

u

we

wy

uF

K

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

K

U

U

K

−

+

+

+

+

+

+

=

=

Redukcja parametru Y

2

(Y

2

=0) prowadzi do uproszczenia

schematu układu i nie ma istotnego wpływu właściwości
układu.

U

we

U

1

U

2

U

wy

Y

4

R

6

Y

3

Y

1

Y

2

Y

5

1

2

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

34

Filtr dolnoprzepustowy FDP otrzymamy wstawiając
rezystory w miejsce Y

1

i Y

3

oraz kondensatory w

miejscu Y

4

i Y

5

, zatem:

1

1

1

R

Y

=

,

3

3

1

R

Y

=

,

4

4

1

sC

Y

=

,

5

5

1

sC

Y

=

.

Rys. (16-15)

5

4

3

1

0

5

3

4

3

4

1

2

5

4

3

1

0

1

)

1

(

1

1

1

1

C

C

R

R

K

C

R

C

R

C

R

s

s

C

C

R

R

K

U

U

K

u

u

we

wy

F

+









−

+

+

+

=

=

5

4

3

1

1

C

C

R

R

o

=

ω

5

3

4

1

0

4

3

5

1

4

1

5

3

)

1

(

1

C

R

C

R

K

C

R

C

R

C

R

C

R

Q

u

−

+

+

=

wzmocnienie dla prądu stałego :

U

we

U

wy

R

6

1

2

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

35

0

0

,

u

F

K

K

=

=

ω

Aby

zaprojektować

filtr

o

zadanych

właściwościach, wynikających z przyjętej aproksymacji
charakterystyki amplitudowej, korzysta się z parametrów
unormowanych a

i

oraz b

i

transmitancji pierwszego i

drugiego rzędu, podawanych w tablicach projektowych.

Parametry unormowane są podstawą obliczenia

wartości R, C i K

u

filtru. Projektując filtr wyższego rzędu

metodą kaskadową, wyznacza się parametry kolejnych
sekcji filtru idąc od strony wejścia sygnału. Można
zauważyć, że wartość dobroci kolejnych sekcji rośnie
wraz z numerem sekcji.

Dysponując

transmitancją

filtru

w

postaci

zespolonej, należy unormować jej pulsację zespoloną
dokonując następującego podstawienia:

o

S

s

ω

⋅

=

,

gdzie wielkość normując:

Ω

=

=

=

=

j

sRC

j

s

S

o

o

ω

ω

ω

gdzie:

o

ω

- pulsacja charakterystyczna (graniczna),

Ω

-

pulsacja względna

Transmitancja FDP o postaci naturalnej (14.22)
przekształca się do unormowanej:

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

36

2

5

4

3

1

2

0

4

1

5

1

5

3

0

))

1

(

(

1

S

C

C

R

R

S

K

C

R

C

R

C

R

K

K

o

u

o

u

F

ω

ω

+

−

+

+

+

=

(14.26)

Podstawiając:

[

]

1

0

4

1

5

1

5

3

)

1

(

a

K

C

R

C

R

C

R

u

o

=

−

+

+

ω

(14.27)

1

5

4

3

1

2

b

C

C

R

R

o

=

ω

(14.28)

uzyskuje się przejrzystą, unormowaną postać
transmitancji:

2

1

1

0

1

S

b

S

a

K

K

u

F

+

+

=

(14.26*)

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

37

Realizacje filtrów Sallen-Key’a o wzmocnieniu
jednostkowym

Filtr dolnoprzepustowy SK FDP

Podstawienie K

u

=1 we wzorze (14.26)

2

5

4

3

1

2

1

3

5

0

)

(

1

S

C

C

R

R

S

R

R

C

K

K

o

o

u

F

ω

ω

+

+

+

=

1

=

uo

K

)

(

3

1

5

1

R

R

C

a

o

+

=

ω

(14.38)

5

4

3

1

2

1

C

C

R

R

b

o

ω

=

(14.39)

5

4

5

4

1

2

4

2

1

4

1

3

,

1

2

4

C

C

C

C

b

C

a

C

a

R

o

ω

−

=

m

(14.40)

2

1

1

5

4

4

a

b

C

C

≥

(14.41)

U

wy

U

we

2

1

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

38

Filtr górnoprzepustowy SK FGP

Filtr pasmowoprzepustowy SK FGP

Łącząc kaskadowo filtr dolnoprzepustowy II rzędu i filtr
górnoprzepustowy II rzędu uzyskuje się filtr
pasmowoprzepustowy IV rzędu.

U

wy

U

we

2

1

U

wy

U

we

J.Piłaciński: Elektronika – materiały pomocnicze do wykładu

39