Monika Tercjak

Strona 1

Algorytm eliminacji Gaussa – rozwiązywanie układów równań liniowych

Przykład 3x3

Mając trzy równania z trzema niewiadomymi:

+

+

=

+

+

=

+

+

=

Zapis macierzowy:

ś

:

∙

=

Przy obliczeniach w Excelu wygodnie stosować taki zapis:

|
|
|

Wykonujemy kolejne kroki:

↓ 1.

ó

ń 2 3

⎣

⎢

⎢

⎢

⎡

−

−

−

−

−

−

|
|
|

−

−

⎦

⎥

⎥

⎥

⎤

↓

0
0

|
|
|

↓ 2.

ó

3

⎣

⎢

⎢

⎢

⎡

0

0

−

−

|
|
|

−

⎦

⎥

⎥

⎥

⎤

↓

0
0

0

|
|
|

−

ó ą

ó

Monika Tercjak

Strona 2

ń

: 0

0

0

∙

=

Otrzymując dane końcowe w powyższej postaci nietrudno jest zauważyć, że:

=

−

∙ −

∙

=

−

∙

=

Przykład liczbowy:

2 + 4 − 2 = 2
4 + 9 − 3 = 8

−2 − 3 + 7 = 10

Zapis macierzowy

2

4

−2

4

9

−3

−2 −3

7

∙

=

2
8

10

2

4

−2

4

9

−3

−2 −3

7

|
|
|

2
8

10

↓ 1.

ó

ń 2 3

⎣

⎢

⎢

⎢

⎡

2

4

−2

4 −

∙ 2

9 −

∙ 4

−3 −

∙ (−2)

−2 −

−

∙ 2 2

−3 −

−

∙ 4

7 −

−

∙ (−2)

|
|
|

2

8 −

∙ 2

10 −

−

2 ⎦

⎥

⎥

⎥

⎤

↓

2 4 −2
0 1

1

0 1

5

|
|
|

2
4

12

↓ 2.

ó

3

2

4

−2

0

1

1

0

1 −

1
1

∙ 1

5 −

1
1

∙ 1

|
|
|

2
4

12 −

1
1

∙ 4

↓

Monika Tercjak

Strona 3

2 4

−2

0 1

1

0 0

4

|
|
|

2
4
8

2 4 −2
0 1

1

0 0

4

∙

=

2
4
8

= −1

= 2

= 2

Kontrole:

1. Kontrola sumy współczynników przy niewiadomych w każdym wierszu - tj. suma kolejnych wierszy w macierzy

trójkątnej górnej musi być równa różnicy: sumy wiersza pierwotnego i wiersza odejmowanego pomnożonego
przez współczynnik:

1

2

3′′

2 4

−2

0 1

1

0 0

4

|
|
|

2
4
8

⎯⎯

6
6

12

wiersz 2’ powstał:

2 −

1 ∗

czyli suma wiersza 2’ musi być równa:

2 - (

1) ∗

analogicznie:

wiersz 3’’ powstał:

3′ −

2′ ∗

czyli suma wiersza 3’’ musi być równa:

3′ - (

2′) ∗

2. Kontrola ostateczna – za niewiadome podstawiamy otrzymane wyniki:

2

4

−2

4

9

−3

−2 −3

7

∙

−1

2
2

=

2
8

10

Uwaga: Jeśli w którymś momencie eliminacji kolejnych niewiadomych na przekątnej pojawi się 0 należy
wówczas zamienić wiersze lub kolumny (pamiętając przy tym, która kolumna odnosi się do której
niewiadomej)
Przykład:

0

4

−2

4

9

−3

−2 −3

7

|
|
|

4
8

10

→

4

9

−3

0

4

−2

−2 −3

7

|
|
|

8
4

10

4

0

−3

9

4

−2

−3 −2

7

|
|
|

8
4

10