Monika Tercjak
Strona 1
Algorytm eliminacji Gaussa – rozwiązywanie układów równań liniowych
Przykład 3x3
Mając trzy równania z trzema niewiadomymi:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Zapis macierzowy:
ś
:
∙
=
Przy obliczeniach w Excelu wygodnie stosować taki zapis:
|
|
|
Wykonujemy kolejne kroki:
↓ 1.
ó
ń 2 3
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
−
−
−
−
−
−
|
|
|
−
−
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
↓
0
0
|
|
|
↓ 2.
ó
3
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
0
0
−
−
|
|
|
−
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
↓
0
0
0
|
|
|
−
ó ą
ó
Monika Tercjak
Strona 2
ń
: 0
0
0
∙
=
Otrzymując dane końcowe w powyższej postaci nietrudno jest zauważyć, że:
=
−
∙ −
∙
=
−
∙
=
Przykład liczbowy:
2 + 4 − 2 = 2
4 + 9 − 3 = 8
−2 − 3 + 7 = 10
Zapis macierzowy
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
∙
=
2
8
10
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
|
|
|
2
8
10
↓ 1.
ó
ń 2 3
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
2
4
−2
4 −
∙ 2
9 −
∙ 4
−3 −
∙ (−2)
−2 −
−
∙ 2 2
−3 −
−
∙ 4
7 −
−
∙ (−2)
|
|
|
2
8 −
∙ 2
10 −
−
2 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
↓
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
|
|
|
2
4
12
↓ 2.
ó
3
2
4
−2
0
1
1
0
1 −
1
1
∙ 1
5 −
1
1
∙ 1
|
|
|
2
4
12 −
1
1
∙ 4
↓
Monika Tercjak
Strona 3
2 4
−2
0 1
1
0 0
4
|
|
|
2
4
8
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
∙
=
2
4
8
= −1
= 2
= 2
Kontrole:
1. Kontrola sumy współczynników przy niewiadomych w każdym wierszu - tj. suma kolejnych wierszy w macierzy
trójkątnej górnej musi być równa różnicy: sumy wiersza pierwotnego i wiersza odejmowanego pomnożonego
przez współczynnik:
1
2
3′′
2 4
−2
0 1
1
0 0
4
|
|
|
2
4
8
⎯⎯
6
6
12
wiersz 2’ powstał:
2 −
1 ∗
czyli suma wiersza 2’ musi być równa:
2 - (
1) ∗
analogicznie:
wiersz 3’’ powstał:
3′ −
2′ ∗
czyli suma wiersza 3’’ musi być równa:
3′ - (
2′) ∗
2. Kontrola ostateczna – za niewiadome podstawiamy otrzymane wyniki:
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
∙
−1
2
2
=
2
8
10
Uwaga: Jeśli w którymś momencie eliminacji kolejnych niewiadomych na przekątnej pojawi się 0 należy
wówczas zamienić wiersze lub kolumny (pamiętając przy tym, która kolumna odnosi się do której
niewiadomej)
Przykład:
0
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
|
|
|
4
8
10
→
4
9
−3
0
4
−2
−2 −3
7
|
|
|
8
4
10
4
0
−3
9
4
−2
−3 −2
7
|
|
|
8
4
10