B. Oleś
1
4. Równania Maxwella
Podstawowymi równaniami elektromagnetyzmu są cztery poznane
przez nas równania, zwane równaniami Maxwella:
prawo Gaussa dla elektryczności:
prawo Gaussa dla magnetyzmu:
prawo Faraday’a:
prawo Ampere’a:
.
1
0
0
0
n
i
i
E
C
I
t
d
d
l
d
B
.
t
d
d
l
d
E
B
C
0
B
.
/
0
1
n
i
i
E
q
Równania te zapisane są przy założeniu,
że nie występują materiały dielektryczne
ani magnetyczne.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Całkowity strumień natężenia pola elektrycznego
przez zamkniętą powierzchnię jest równy
wypadkowemu ładunkowi zamkniętemu wewnątrz
niej, podzielonemu przez
0
.
Strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię
zamkniętą jest zawsze równy zeru
Krążenie (cyrkulacja) wektora natężenia pola elektrycz-
nego po zamkniętej krzywej jest równe ujemnej zmianie
w czasie strumienia pola magnetycznego przechodzą-
cego przez powierzchnię, rozpiętą na tej krzywej.
Krążenie wektora indukcji magnetycznej po zamkniętej
krzywej jest równe sumie zmiany w czasie strumienia
pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię,
rozpiętą na tej krzywej i pomnożonej przez czynnik
0 0
oraz sumie natężeń prądów przenikających przez tę
powierzchnię, pomnożonej przez
0
.
B. Oleś
2
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
5. Fale elektromagnetyczne w próżni
Fale elektromagnetyczne docierają na
Ziemię z najodleglejszych zakątków
Kosmosu, aby się rozchodzić nie
potrzebują ośrodka. W przeciwieństwie
do np. fal akustycznych, które w próżni
„milkną”.
Czym jest
ś
wiatło? Je
ś
li fal
ą
elektromagnetyczn
ą
,
jak mówi
ą
fizycy, to na czym polega rozchodzenie
si
ę
tych fal ?
B. Oleś
3
Równanie fali elektromagnetycznej wynika z równań Maxwella.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Zmienne pole magnetyczne jest źródłem wirowego pola
elektrycznego
.
B
E
Zmienne pole elektryczne jest źródłem wirowego pola
magnetycznego
.
B
E
Zatem wokół zmieniającego się okresowo pola elektrycznego powstaje
okresowo zmienne pole magnetyczne, które z kolei jest źródłem zmiennego
pola elektrycznego, itd.
Z prawa Faraday’a :
Z uogólnionego prawa Ampere’a:
Przenikające się wzajemnie zmienne okresowo pola elektryczne i
magnetyczne rozchodzące się w przestrzeni to fala elektromagnetyczna.
5.1. Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej w próżni
B. Oleś
4
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Rozważmy najprostszy przypadek płaskiej fali elektromagnetycznej
w próżni (
w przestrzeni nie ma ładunków i prądów, a powierzchnie falowe są
płaszczyznami).
Zakładamy, że w każdej chwili pola elektryczne i magnetyczne, E
y
i B
z
są jednorodne,
w każdej płaszczyźnie prostopadłej do osi x, kierunku rozchodzenia się fali.
),
(
sin
ˆ
)
,
(
max
t
kx
j
E
t
x
E
),
(
sin
ˆ
)
,
(
max
t
kx
k
B
t
x
B
Zmiany pola elektrycznego i magnetycznego w fali dane są wówczas
funkcjami:
y
z
x
E
B
kierunek rozchodzenia się fali
gdzie k=2 / liczba falowa,
=2 /T=2 f częstość.
Elektromagnetyczna fala płaska,
zależność wektora natężenia pola
elektrycznego i indukcji
magnetycznej od zmiennej
przestrzennej x
B. Oleś
5
),
(
sin
ˆ
)
,
(
max
t
kx
j
E
t
x
E
),
(
sin
ˆ
)
,
(
max
t
kx
k
B
t
x
B
.
max
max
cB
E
Sinusoidalne oscylacje i są w fazie, a ich amplitudy są ze sobą
związane relacją:
E
B
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
2
2
)
,
(
x
t
x
E
y
,
2
2
0
0
t
E
y
Równania falowe dla fali elektromagnetycznej w próżni, które
dostaje się z równań Maxwella mają postać:
2
2
)
,
(
x
t
x
B
z
,
2
2
0
0
t
B
z
2
2
)
,
(
x
t
x
.
1
2
2
2
t
v
Szybkość fali elektromagnetycznej w próżni oznacza się symbolem c:
.
2
0
0
v
ε
c 2,998 10
8
m/s
powinny spełniać równanie falowe, tej
samej postaci co dla fali mechanicznej,
czyli:
gdzie
Funkcje:
B. Oleś
6
Fale radiowe
mikrofale
promieniowanie
podczerwone
promieniowanie
rentgenowskie
promieniowanie
gamma
światło
Promieniowanie T
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Określamy je mianem
promieniowania
elektromagnetycznego
promieniowanie
termiczne
Światło, fale radiowe,
promieniowanie termiczne,
rentgenowskie i (gamma) mają tę
samą naturę.
5.2. Promieniowanie elektromagnetyczne
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
7
Zakres długości fal elektromagnetycznych rozciąga się od 10
16
do
10
8
m. Mówimy o
widmie promieniowania elektromagnetycznego
.
Widmo to jest ciągłe. W próżni wszystkie fale rozchodzą się z
szybkością
c.
światło widzialne
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
8
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
9
Fale radiowe są emitowane przez anteny, w których płynie prąd o
zmiennym natężeniu i kierunku. Antena to dipol elektryczny, który
wytwarza zmienne pole elektryczne, wytwarzające z kolei
zmienne pole magnetyczne.
Zewnętrzne źródło (generator prądu zmiennego) musi dostarczać
energię, aby skompensować straty związane z wydzielaniem
ciepła w obwodzie oraz energią unoszoną na zewnątrz przez falę
elektromagnetyczna
Naturalnymi źródłami fal radiowych są również obiekty
w kosmosie: radiogalaktyki, gwiazdy.
Źródłami fal elektromagnetycznych
są poruszające się ruchem
przyspieszonym ładunki w
elektrycznych obwodach
drgających – zjawisko
wykorzystane do wytwarzania fal
radiowych
przewodnik
elektron
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
10
Pulsar w Mgławicy
Kraba
Czarna dziura
We Wszechświecie istnieją liczne źródła promieniowania X :
materia ściągana przez czarne dziury, pulsary.
Promieniowanie rentgenowskie otrzymuje
się np. w lampach rentgenowskich, gdy
rozpędzone elektrony zostają wyhamowane
na anodzie z pierwiastka o dużej liczbie
atomowej.
Aparat rentgenowski
przeznaczony do celów
dydaktycznych
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
11
Źródłami światła widzialnego są znane wszystkim żarówki i wypierające je bardziej
ekonomiczne świetlówki kompaktowe, półprzewodnikowe diody LED, lasery.
Działanie diody elektroluminescencyjnej (LED) opiera się na zjawisku
rekombinacji nośników ładunku, elektronów i dziur, w półprzewodnikowym
złączu p-n, gdy jest one spolaryzowane w kierunku przewodzenia. Elektrony
rekombinując z dziurami oddają wówczas swoją energię w postaci porcji
promieniowania elektromagnetycznego z zakresu widzialnego (fotonów).
5.3. Światło jako fala elektromagnetyczna
W tej skali zjawisk mamy do czynienia z prawami fizyki kwantowej.
Lampa
LED
B. Oleś
12
Za falową naturą światła (ogólnie: promieniowania elektromagnetycznego)
przemawiają np. zjawiska dyfrakcji, interferencji, odbicia.
Elektrodynamika klasyczna
oparta jest na równaniach Maxwella
traktuje światło jako falę elektromagnetyczną.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Fala elektromagnetyczna przenosi energię i dostarcza ją
ciału, na które pada.
Fale elektromagnetyczne posiadają pęd, padając na ciało
wywierają na niego ciśnienie promieniowania.
Fala elektromagnetyczna nie potrzebuje ośrodka, w którym
mogłaby się rozchodzić.
Jest falą poprzeczną.
W próżni wszystkie fale rozchodzą się z szybkością c.
Dotychczas dowiedzieliśmy się
że
Możemy również dowieść, że
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
13
http://knowledge.allianz.com/nopi_downloads/images/solar_spain_zoom.jpg
W ogniwach słonecznych energia promieniowania
elektromagnetycznego docierającego ze Słońca jest
zamieniana na energię elektryczną. W odległej od
cywilizacji wiosce w Bangladeszu ogniwo słoneczne
jest jedynym źródłem elektryczności
Fragment parku słonecznego w pobliżu Sewilli (2007). Olbrzymie zwierciadła skupiają
promienie słoneczne na wierzchołku wieży (100m), gdzie energia słoneczna produkuje
parę poruszającą turbinę. W 2013 roku instalacja ma zapewnić energię elektryczną
180tys. domom.
Dowodem na to, że fale elektromagnetyczne przenoszą
energię jest chociażby energia, która dociera do Ziemi ze
Słońca.
Fale elektromagnetyczne wywierają
ciśnienie promieniowania
na oświetlone ciała.
B. Oleś
14
Natężenie fali = <moc/pole
powierzchni>
Nasze oczy i większość przyrządów służących do detekcji fali
elektromagnetycznej reaguje na uśrednioną wartość składowej
elektrycznej fali, czyli
natężenie fali
:
Nawiasy
wartość średnia.
2
max
0
2
1
E
c
I
.
2
1
2
max
0
0
E
Natężenie sinusoidalnej fali w
próżni dane jest wyrażeniem:
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Ciśnienie, jakie promieniowanie słoneczne
wywiera na pył w ogonie komety jest
odpowiedzialne za powstanie drugiego
warkocza, pyłowego.
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
15
Ciśnienie promieniowania = siła działająca ze strony promieniowania
/powierzchnia ciała
A może by tak pożeglować w kosmosie?
Żagle słoneczne
– konstrukcje wykorzystujące ciśnienie światła
słonecznego oraz w mniejszym stopniu ciśnienie wywierane przez
cząsteczki wiatru słonecznego, to propozycja nowego napędu w
podróżach kosmicznych.
Wizja sondy Cosmos 1 (misja
wysłania nie powiodła się)
jako pierwszego kosmicznego
żaglowca
Żagiel słoneczny
skonstruowany w NASA
(10m rozpiętości)
B. Oleś
16
6. Odbicie i załamanie
,
1
0
0
n
c
c
ε
v
Fale elektromagnetyczne mogą się rozchodzić się również w ośrodkach
(wodzie, szkle, itp.).
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Jeśli światło rozchodzi się w ośrodku nieprzewodzącym o względnej
przenikalności elektrycznej
i przenikalności magnetycznej
jego
prędkość n razy mniejsza niż w próżni c :
n nosi nazwę
współczynnika
załamania ośrodka
.
B. Oleś
17
Na powierzchni rozgraniczającej dwa ośrodki światło ulega
całkowitemu lub częściowemu
odbiciu
, a jeśli przechodzi do
drugiego ośrodka mówimy o
zjawisku załamania
.
Prawo odbicia:
Promień odbity leży w płaszczyźnie padania,
a kąt padania jest równy kątowi odbicia.
Prawo załamania:
Promień załamany leży w płaszczyźnie padania,
a kąt załamania jest związany z kątem
padania zależnością:
,
sin
sin
1
2
n
n
n=c/
v
-
współczynnik załamania światła
danego ośrodka
równy stosunkowi prędkości światła w próżni i ośrodku.
powietrze: n
1,00
woda: n=
1,33
diament: n=
2,24
Dla
=589nm:
Kąt padania
=60
o
.
A kąt załamania, jeśli światło
przechodzi z: a) powietrza do wody, b) z wody do
powietrza
?
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
18
v
2
>v
1
v
1
gr
Przy przejściu światła z ośrodka optycznie
gęstszego (np. wody) do rzadszego (np.
powietrza) dla pewnego kąta padania zwanego
granicznym kąt załamania wynosi 90
o
i promień
ślizga się po powierzchni granicznej.
Dla kątów padania większych od granicznego
następuje
całkowite wewnętrzne odbicie
.
Wielokrotne całkowite
wewnętrzne odbicie od
ścianek włókien jest
odpowiedzialne za
przesyłanie światła w
światłowodzie
Co decyduje o tym, że diament jest tak
cenionym kamieniem szlachetnym?
Jego bardzo wysoki
współczyn-nik załamania
światła i silna dyspersja
światła powodujące piękną
grę barw. Kąt graniczny
wynosi ok. 25
o
i dzięki
wielokrotnemu
wewnętrznemu odbiciu
zachodzi rozszczepienie
światła.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
19
Prędkość światła
v
w ośrodku i jego współczynnik załamania
światła n zależą od długości fali światła (
dyspersja światła
).
W próżni: gdzie częstotliwość.
,
/
0
c
W ośrodku częstotliwość fali jest taka sama jak w
próżni, ale jej długość ulega zmianie:
.
/
/
0
n
v
Barwa światła zależy od długości fali
(np. czerwona od ok. 650-700nm, fioletowa od ok. 400-
430nm).
Wiązka światła zawierająca różne długości fal
(np. białego) w wyniku załamania zostanie
rozszczepiona
na poszczególne barwy,
odpowiadające różnym .
Rozszczepienie światła
przez pryzmat.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
20
Rozdzielenie barw w wyniku załamania
światła przy wnikaniu i wychodzeniu z
kropli prowadzi do powstania tęczy
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Jak powstaje tęcza?
B. Oleś
21
7. Polaryzacja
Pytanie:
Od czego zależy orientacja
telewizyjnych anten odbiorczych na
naszych dachach?
Polaryzacja
jest zjawiskiem
charakterystycznym dla fal
poprzecznych (nie tylko
elektromagnetycznych).
Jest ona związana z poziomym
kierunkiem polaryzacji fal
przenoszących sygnał.
polaryzator
płaszczyzn
a
polaryzacji
Dla fal elektromagnetycznych polega na
uporządkowaniu drgań wektora
elektrycznego
(tzw. wektora świetlnego), który w niespolaryzowanym
świetle drga we wszystkich możliwych kierunkach prostopadłych do
kierunku rozchodzenia się światła – promienia.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
22
Fala niespolaryzowana
Fala liniowo spolaryzowana
B. Oleś
23
Polaryzację światła można uzyskać przepuszczając go przez polaroid.
Niektóre przezroczyste kryształy wykazują zjawisko
podwójnego
załamania światła
: padający promień rozdziela się wewnątrz
kryształu na dwa promienie rozchodzące się w ogólności z różnymi
prędkościami i w różnych kierunkach, które są całkowicie
spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych.
W krysztale jodosiarczanu chininy jeden z promieni jest bardzo
silnie pochłaniany (dichroizm) i kryształy te służą do produkcji
polaroidów.
Zjawisko
dwójłomności w
krysztale kwarcu
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
24
Wygaszenie światła
odbitego od nawierzchni
drogi
Filtr polaryzacyjny
wygasza światło odbite
Filtr polaryzacyjny wzmacnia
efekt światła odbitego
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Polaryzację światła całkowitą
lub częściową można uzyskać
przez jego
odbicie od ośrodka
dielektrycznego
, np. wody,
szkła.
Przy odbiciu pod
kątem
Brewstera
światło odbite jest
całkowicie spolaryzowane:
.
tg
1
2
n
n
B
B. Oleś
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
25
Głębię obrazu można uzyskać, jeśli film kręcony jest za pomocą
dwóch kamer, a następnie w kinie obraz z każdej kamery trafia do
właściwego oka widza.
W technice IMAX (kino w Krakowie) z dwu obiektywów wyświetlane są
obrazy o polaryzacji liniowej, wzajemnie prostopadłej. Muszą padać na
specjalny ekran, który tej polaryzacji nie zmienia, a po odbiciu od niego
są odbierane przez widza przez polaryzacyjne okulary, których szkła
przepuszczają tylko obraz przeznaczony dla danego oka.
Techniki obrazu trójwymiarowego (3D) w kinie
wykorzystują zjawisko polaryzacji światła.
Technika Real D wykorzystuje polaryzację kołową światła, a projektor wyświetla na
przemian obrazy dla lewego i prawego oka, o przeciwnej polaryzacji. Widz również
odbiera trójwymiarowy obraz poprzez okulary polaryzacyjne.
B. Oleś
26
8. Dyfrakcja i interferencja
Zasada Huygensa
:
Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elemen-
tarnych kulistych fal wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest
wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych.
czoło
fali
Zasada Huygensa tłumaczy…
… dyfrakcję światła przez chmury
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
Lub odbiór fal radiowych w obszarze zasłoniętym
przez budynek lub masyw górski
B. Oleś
27
Dyfrakcja
, ugięcie światła polega na tym, że gdy napotyka ono na
swojej drodze na przeszkodę lub przechodzi przez otwory o
rozmiarach zbliżonych do długości fali, wówczas występuje wyraźne
odchylenie od prostoliniowości rozchodzenia się światła.
Występuje charakterystyczne rozmycie granicy
cienia i światła, pojawiają się ciemne i jasne, lub
też barwne prążki na granicy cienia.
Ugięcie fal świetlnych tłumaczy zasada Huygensa.
Dyfrakcji ulegają wszystkie fale, nie tylko świetlne.
Fala rozprzestrzenia się w całym obszarze poza
otworem (przeszkodą).
Wpływ rozmiarów szczeliny na zjawisko
dyfrakcji
Dyfrakcja fali
na wodzie
Dyfrakcja na
przeszkodzie
Patrząc na światło lampy przez szczelinę utworzoną między
dwoma palcami dłoni, przy odpowiednio małej jej szerokości
zaobserwujesz podłużne ciemne prążki dyfrakcyjne. Sprawdź!
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
28
ekran
przesłona ze
szczelinami
na
tę
że
ni
e
świ
atł
a
L>>
P
r
1
Warunek na
jasny prążek
(maksimum natężenia światła w punkcie P):
różnica dróg optycznych fal docierających do P:
=
r
1
– r
2
= n
, n=0,1, 2, ...
n
d sin
(L – odległość szczelin od ekranu, d – odległość między szczelinami),
Interferencja światła na dwu szczelinach.
Światło ulega ugięciu na każdej ze szczelin. Ugięte fale rozprzestrzeniają
się i nakładają na siebie na ekranie tworząc obraz interferencyjny
złożony z jasnych i ciemnych prążków.
Warunek na
ciemny prążek
(minimum natężenia światła w punkcie P):
=
r
1
– r
2
= (2n+1) /2
, n=1, 2, ...
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
29
Obraz interferencyjny uzyskany przy
przejściu światła lasera przez dwie i więcej
szczelin. Co się obserwuje przy zwiększonej
ilości szczelin? Jak to wytłumaczyć?
Jeśli fale z dwóch źródeł są
niespójne
, tzn. różnica faz między nimi
nie jest stała, to obraz interferencyjny nie powstaje i natężenie we
wszystkich punktach na ekranie ma jednakową wartość.
Warunkiem powstania na ekranie obrazu interferencyjnego jest
stała w czasie różnica faz fal świetlnych docierających do ekranu.
O falach takich mówimy, że są
spójne
.
Światło lasera jest światłem spójnym, ale
konwencjonalnych źródeł, np. żarówki, już
nie.
Wykład 10 WIL PK, 2009/10
B. Oleś
30
interferencja
Very Large Array – układ 27 radioteleskopów w
Nowym Meksyku. Radioteleskopy są każdy w nieco
innej odległości od obserwowanego obiektu przez
co pomiędzy odbieranymi przez nie sygnałami
występuje różnica faz odpowiedzialna za zjawisko
interferencji
Interferencja w cienkiej warstwie
błonki mydlanej czy na płytce CD– za
zmianę faz interferujących fal
odpowiedzialna jest różnica dróg
optycznych, odbicie i współczynnik
załamania światła ośrodka.
Co przedstawia to
zdjęcie?
Wykład 10 WIL PK, 2009/10