B. Oleś

1

4. Równania Maxwella

Podstawowymi równaniami elektromagnetyzmu są cztery poznane

przez nas równania, zwane równaniami Maxwella:

prawo Gaussa dla elektryczności:

prawo Gaussa dla magnetyzmu:

prawo Faraday’a:

prawo Ampere’a:

.

1

0

0

0

n

i

i

E

C

I

t

d

d

l

d

B





.

t

d

d

l

d

E

B

C





0

B

.

/

0

1

n

i

i

E

q

Równania te zapisane są przy założeniu,
że nie występują materiały dielektryczne
ani magnetyczne.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Całkowity strumień natężenia pola elektrycznego
przez zamkniętą powierzchnię jest równy
wypadkowemu ładunkowi zamkniętemu wewnątrz
niej, podzielonemu przez

0

.

Strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię
zamkniętą jest zawsze równy zeru

Krążenie (cyrkulacja) wektora natężenia pola elektrycz-
nego po zamkniętej krzywej jest równe ujemnej zmianie
w czasie strumienia pola magnetycznego przechodzą-
cego przez powierzchnię, rozpiętą na tej krzywej.

Krążenie wektora indukcji magnetycznej po zamkniętej
krzywej jest równe sumie zmiany w czasie strumienia
pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię,
rozpiętą na tej krzywej i pomnożonej przez czynnik

0 0

oraz sumie natężeń prądów przenikających przez tę
powierzchnię, pomnożonej przez

0

.

B. Oleś

2

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

5. Fale elektromagnetyczne w próżni

Fale elektromagnetyczne docierają na
Ziemię z najodleglejszych zakątków
Kosmosu, aby się rozchodzić nie
potrzebują ośrodka. W przeciwieństwie
do np. fal akustycznych, które w próżni
„milkną”.

Czym jest

ś

wiatło? Je

ś

li fal

ą

elektromagnetyczn

ą

,

jak mówi

ą

fizycy, to na czym polega rozchodzenie

si

ę

tych fal ?

B. Oleś

3

Równanie fali elektromagnetycznej wynika z równań Maxwella.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Zmienne pole magnetyczne jest źródłem wirowego pola

elektrycznego

.

B



E



Zmienne pole elektryczne jest źródłem wirowego pola

magnetycznego

.

B



E



Zatem wokół zmieniającego się okresowo pola elektrycznego powstaje

okresowo zmienne pole magnetyczne, które z kolei jest źródłem zmiennego

pola elektrycznego, itd.

Z prawa Faraday’a :

Z uogólnionego prawa Ampere’a:

Przenikające się wzajemnie zmienne okresowo pola elektryczne i

magnetyczne rozchodzące się w przestrzeni to fala elektromagnetyczna.

5.1. Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej w próżni

B. Oleś

4

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Rozważmy najprostszy przypadek płaskiej fali elektromagnetycznej
w próżni (

w przestrzeni nie ma ładunków i prądów, a powierzchnie falowe są

płaszczyznami).

Zakładamy, że w każdej chwili pola elektryczne i magnetyczne, E

y

i B

z

są jednorodne,

w każdej płaszczyźnie prostopadłej do osi x, kierunku rozchodzenia się fali.

),

(

sin

ˆ

)

,

(

max

t

kx

j

E

t

x

E



),

(

sin

ˆ

)

,

(

max

t

kx

k

B

t

x

B



Zmiany pola elektrycznego i magnetycznego w fali dane są wówczas

funkcjami:

y

z

x

E



B



kierunek rozchodzenia się fali

gdzie k=2 / liczba falowa,

=2 /T=2 f częstość.

Elektromagnetyczna fala płaska,

zależność wektora natężenia pola

elektrycznego i indukcji

magnetycznej od zmiennej

przestrzennej x

B. Oleś

5

),

(

sin

ˆ

)

,

(

max

t

kx

j

E

t

x

E



),

(

sin

ˆ

)

,

(

max

t

kx

k

B

t

x

B



.

max

max

cB

E

Sinusoidalne oscylacje i są w fazie, a ich amplitudy są ze sobą

związane relacją:

E



B



Wykład 10 WIL PK, 2009/10

2

2

)

,

(

x

t

x

E

y

,

2

2

0

0

t

E

y

Równania falowe dla fali elektromagnetycznej w próżni, które

dostaje się z równań Maxwella mają postać:

2

2

)

,

(

x

t

x

B

z

,

2

2

0

0

t

B

z

2

2

)

,

(

x

t

x

.

1

2

2

2

t

v

Szybkość fali elektromagnetycznej w próżni oznacza się symbolem c:

.

2

0

0

v

ε

c 2,998 10

8

m/s

powinny spełniać równanie falowe, tej

samej postaci co dla fali mechanicznej,

czyli:

gdzie

Funkcje:

B. Oleś

6

Fale radiowe

mikrofale

promieniowanie

podczerwone

promieniowanie

rentgenowskie

promieniowanie

gamma

światło

Promieniowanie T

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Określamy je mianem

promieniowania

elektromagnetycznego

promieniowanie

termiczne

Światło, fale radiowe,

promieniowanie termiczne,

rentgenowskie i (gamma) mają tę

samą naturę.

5.2. Promieniowanie elektromagnetyczne

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

7

Zakres długości fal elektromagnetycznych rozciąga się od 10

16

do

10

8

m. Mówimy o

widmie promieniowania elektromagnetycznego

.

Widmo to jest ciągłe. W próżni wszystkie fale rozchodzą się z

szybkością

c.

światło widzialne

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

8

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

9

Fale radiowe są emitowane przez anteny, w których płynie prąd o
zmiennym natężeniu i kierunku. Antena to dipol elektryczny, który
wytwarza zmienne pole elektryczne, wytwarzające z kolei
zmienne pole magnetyczne.
Zewnętrzne źródło (generator prądu zmiennego) musi dostarczać
energię, aby skompensować straty związane z wydzielaniem
ciepła w obwodzie oraz energią unoszoną na zewnątrz przez falę
elektromagnetyczna

Naturalnymi źródłami fal radiowych są również obiekty
w kosmosie: radiogalaktyki, gwiazdy.

Źródłami fal elektromagnetycznych

są poruszające się ruchem

przyspieszonym ładunki w

elektrycznych obwodach

drgających – zjawisko

wykorzystane do wytwarzania fal

radiowych

przewodnik

elektron

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

10

Pulsar w Mgławicy

Kraba

Czarna dziura

We Wszechświecie istnieją liczne źródła promieniowania X :

materia ściągana przez czarne dziury, pulsary.

Promieniowanie rentgenowskie otrzymuje
się np. w lampach rentgenowskich, gdy
rozpędzone elektrony zostają wyhamowane
na anodzie z pierwiastka o dużej liczbie
atomowej.

Aparat rentgenowski

przeznaczony do celów

dydaktycznych

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

11

Źródłami światła widzialnego są znane wszystkim żarówki i wypierające je bardziej
ekonomiczne świetlówki kompaktowe, półprzewodnikowe diody LED, lasery.

Działanie diody elektroluminescencyjnej (LED) opiera się na zjawisku
rekombinacji nośników ładunku, elektronów i dziur, w półprzewodnikowym
złączu p-n, gdy jest one spolaryzowane w kierunku przewodzenia. Elektrony
rekombinując z dziurami oddają wówczas swoją energię w postaci porcji
promieniowania elektromagnetycznego z zakresu widzialnego (fotonów).

5.3. Światło jako fala elektromagnetyczna

W tej skali zjawisk mamy do czynienia z prawami fizyki kwantowej.

Lampa

LED

B. Oleś

12

Za falową naturą światła (ogólnie: promieniowania elektromagnetycznego)

przemawiają np. zjawiska dyfrakcji, interferencji, odbicia.

Elektrodynamika klasyczna

oparta jest na równaniach Maxwella

traktuje światło jako falę elektromagnetyczną.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Fala elektromagnetyczna przenosi energię i dostarcza ją

ciału, na które pada.

Fale elektromagnetyczne posiadają pęd, padając na ciało

wywierają na niego ciśnienie promieniowania.

Fala elektromagnetyczna nie potrzebuje ośrodka, w którym

mogłaby się rozchodzić.

Jest falą poprzeczną.

W próżni wszystkie fale rozchodzą się z szybkością c.

Dotychczas dowiedzieliśmy się

że

Możemy również dowieść, że

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

13

http://knowledge.allianz.com/nopi_downloads/images/solar_spain_zoom.jpg

W ogniwach słonecznych energia promieniowania
elektromagnetycznego docierającego ze Słońca jest
zamieniana na energię elektryczną. W odległej od
cywilizacji wiosce w Bangladeszu ogniwo słoneczne
jest jedynym źródłem elektryczności

Fragment parku słonecznego w pobliżu Sewilli (2007). Olbrzymie zwierciadła skupiają
promienie słoneczne na wierzchołku wieży (100m), gdzie energia słoneczna produkuje
parę poruszającą turbinę. W 2013 roku instalacja ma zapewnić energię elektryczną
180tys. domom.

Dowodem na to, że fale elektromagnetyczne przenoszą
energię jest chociażby energia, która dociera do Ziemi ze

Słońca.

Fale elektromagnetyczne wywierają

ciśnienie promieniowania

na oświetlone ciała.

B. Oleś

14

Natężenie fali = <moc/pole

powierzchni>

Nasze oczy i większość przyrządów służących do detekcji fali

elektromagnetycznej reaguje na uśrednioną wartość składowej

elektrycznej fali, czyli

natężenie fali

:

Nawiasy
wartość średnia.

2

max

0

2

1

E

c

I

.

2

1

2

max

0

0

E

Natężenie sinusoidalnej fali w

próżni dane jest wyrażeniem:

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Ciśnienie, jakie promieniowanie słoneczne

wywiera na pył w ogonie komety jest

odpowiedzialne za powstanie drugiego

warkocza, pyłowego.

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

15

Ciśnienie promieniowania = siła działająca ze strony promieniowania

/powierzchnia ciała

A może by tak pożeglować w kosmosie?

Żagle słoneczne

– konstrukcje wykorzystujące ciśnienie światła

słonecznego oraz w mniejszym stopniu ciśnienie wywierane przez

cząsteczki wiatru słonecznego, to propozycja nowego napędu w

podróżach kosmicznych.

Wizja sondy Cosmos 1 (misja

wysłania nie powiodła się)

jako pierwszego kosmicznego

żaglowca

Żagiel słoneczny

skonstruowany w NASA

(10m rozpiętości)

B. Oleś

16

6. Odbicie i załamanie

,

1

0

0

n

c

c

ε

v

Fale elektromagnetyczne mogą się rozchodzić się również w ośrodkach

(wodzie, szkle, itp.).

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Jeśli światło rozchodzi się w ośrodku nieprzewodzącym o względnej
przenikalności elektrycznej

i przenikalności magnetycznej

jego

prędkość n razy mniejsza niż w próżni c :

n nosi nazwę

współczynnika

załamania ośrodka

.

B. Oleś

17

Na powierzchni rozgraniczającej dwa ośrodki światło ulega

całkowitemu lub częściowemu

odbiciu

, a jeśli przechodzi do

drugiego ośrodka mówimy o

zjawisku załamania

.

Prawo odbicia:

Promień odbity leży w płaszczyźnie padania,

a kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Prawo załamania:

Promień załamany leży w płaszczyźnie padania,

a kąt załamania jest związany z kątem

padania zależnością:

,

sin

sin

1

2

n

n

n=c/

v

-

współczynnik załamania światła

danego ośrodka

równy stosunkowi prędkości światła w próżni i ośrodku.

powietrze: n

1,00

woda: n=

1,33

diament: n=

2,24

Dla

=589nm:

Kąt padania

=60

o

.

A kąt załamania, jeśli światło

przechodzi z: a) powietrza do wody, b) z wody do

powietrza

?

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

18

v

2

>v

1

v

1

gr

Przy przejściu światła z ośrodka optycznie

gęstszego (np. wody) do rzadszego (np.

powietrza) dla pewnego kąta padania zwanego

granicznym kąt załamania wynosi 90

o

i promień

ślizga się po powierzchni granicznej.

Dla kątów padania większych od granicznego

następuje

całkowite wewnętrzne odbicie

.

Wielokrotne całkowite

wewnętrzne odbicie od

ścianek włókien jest

odpowiedzialne za

przesyłanie światła w

światłowodzie

Co decyduje o tym, że diament jest tak

cenionym kamieniem szlachetnym?

Jego bardzo wysoki

współczyn-nik załamania

światła i silna dyspersja

światła powodujące piękną

grę barw. Kąt graniczny
wynosi ok. 25

o

i dzięki

wielokrotnemu

wewnętrznemu odbiciu

zachodzi rozszczepienie

światła.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

19

Prędkość światła

v

w ośrodku i jego współczynnik załamania

światła n zależą od długości fali światła (

dyspersja światła

).

W próżni: gdzie częstotliwość.

,

/

0

c

W ośrodku częstotliwość fali jest taka sama jak w

próżni, ale jej długość ulega zmianie:

.

/

/

0

n

v

Barwa światła zależy od długości fali

(np. czerwona od ok. 650-700nm, fioletowa od ok. 400-

430nm).

Wiązka światła zawierająca różne długości fal

(np. białego) w wyniku załamania zostanie

rozszczepiona

na poszczególne barwy,

odpowiadające różnym .

Rozszczepienie światła

przez pryzmat.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

20

Rozdzielenie barw w wyniku załamania

światła przy wnikaniu i wychodzeniu z

kropli prowadzi do powstania tęczy

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Jak powstaje tęcza?

B. Oleś

21

7. Polaryzacja

Pytanie:

Od czego zależy orientacja
telewizyjnych anten odbiorczych na

naszych dachach?

Polaryzacja

jest zjawiskiem

charakterystycznym dla fal

poprzecznych (nie tylko

elektromagnetycznych).

Jest ona związana z poziomym

kierunkiem polaryzacji fal

przenoszących sygnał.

polaryzator

płaszczyzn

a

polaryzacji

Dla fal elektromagnetycznych polega na

uporządkowaniu drgań wektora

elektrycznego

(tzw. wektora świetlnego), który w niespolaryzowanym

świetle drga we wszystkich możliwych kierunkach prostopadłych do

kierunku rozchodzenia się światła – promienia.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

22

Fala niespolaryzowana

Fala liniowo spolaryzowana

B. Oleś

23

Polaryzację światła można uzyskać przepuszczając go przez polaroid.

Niektóre przezroczyste kryształy wykazują zjawisko

podwójnego

załamania światła

: padający promień rozdziela się wewnątrz

kryształu na dwa promienie rozchodzące się w ogólności z różnymi

prędkościami i w różnych kierunkach, które są całkowicie

spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych.

W krysztale jodosiarczanu chininy jeden z promieni jest bardzo

silnie pochłaniany (dichroizm) i kryształy te służą do produkcji

polaroidów.

Zjawisko

dwójłomności w

krysztale kwarcu

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

24

Wygaszenie światła

odbitego od nawierzchni

drogi

Filtr polaryzacyjny

wygasza światło odbite

Filtr polaryzacyjny wzmacnia

efekt światła odbitego

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Polaryzację światła całkowitą

lub częściową można uzyskać

przez jego

odbicie od ośrodka

dielektrycznego

, np. wody,

szkła.

Przy odbiciu pod

kątem

Brewstera

światło odbite jest

całkowicie spolaryzowane:

.

tg

1

2

n

n

B

B. Oleś

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

25

Głębię obrazu można uzyskać, jeśli film kręcony jest za pomocą
dwóch kamer, a następnie w kinie obraz z każdej kamery trafia do
właściwego oka widza.

W technice IMAX (kino w Krakowie) z dwu obiektywów wyświetlane są
obrazy o polaryzacji liniowej, wzajemnie prostopadłej. Muszą padać na
specjalny ekran, który tej polaryzacji nie zmienia, a po odbiciu od niego
są odbierane przez widza przez polaryzacyjne okulary, których szkła
przepuszczają tylko obraz przeznaczony dla danego oka.

Techniki obrazu trójwymiarowego (3D) w kinie

wykorzystują zjawisko polaryzacji światła.

Technika Real D wykorzystuje polaryzację kołową światła, a projektor wyświetla na
przemian obrazy dla lewego i prawego oka, o przeciwnej polaryzacji. Widz również
odbiera trójwymiarowy obraz poprzez okulary polaryzacyjne.

B. Oleś

26

8. Dyfrakcja i interferencja

Zasada Huygensa

:

Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elemen-

tarnych kulistych fal wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest

wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych.

czoło

fali

Zasada Huygensa tłumaczy…

… dyfrakcję światła przez chmury

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

Lub odbiór fal radiowych w obszarze zasłoniętym
przez budynek lub masyw górski

B. Oleś

27

Dyfrakcja

, ugięcie światła polega na tym, że gdy napotyka ono na

swojej drodze na przeszkodę lub przechodzi przez otwory o

rozmiarach zbliżonych do długości fali, wówczas występuje wyraźne

odchylenie od prostoliniowości rozchodzenia się światła.

Występuje charakterystyczne rozmycie granicy

cienia i światła, pojawiają się ciemne i jasne, lub

też barwne prążki na granicy cienia.

Ugięcie fal świetlnych tłumaczy zasada Huygensa.

Dyfrakcji ulegają wszystkie fale, nie tylko świetlne.

Fala rozprzestrzenia się w całym obszarze poza

otworem (przeszkodą).

Wpływ rozmiarów szczeliny na zjawisko

dyfrakcji

Dyfrakcja fali

na wodzie

Dyfrakcja na

przeszkodzie

Patrząc na światło lampy przez szczelinę utworzoną między

dwoma palcami dłoni, przy odpowiednio małej jej szerokości

zaobserwujesz podłużne ciemne prążki dyfrakcyjne. Sprawdź!

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

28

ekran

przesłona ze

szczelinami

na
tę

że

ni

e

świ
atł

a

L>>

P

r

1

Warunek na

jasny prążek

(maksimum natężenia światła w punkcie P):

różnica dróg optycznych fal docierających do P:

=

r

1

– r

2

= n

, n=0,1, 2, ...

n

d sin

(L – odległość szczelin od ekranu, d – odległość między szczelinami),

Interferencja światła na dwu szczelinach.

Światło ulega ugięciu na każdej ze szczelin. Ugięte fale rozprzestrzeniają

się i nakładają na siebie na ekranie tworząc obraz interferencyjny

złożony z jasnych i ciemnych prążków.

Warunek na

ciemny prążek

(minimum natężenia światła w punkcie P):

=

r

1

– r

2

= (2n+1) /2

, n=1, 2, ...

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

29

Obraz interferencyjny uzyskany przy

przejściu światła lasera przez dwie i więcej

szczelin. Co się obserwuje przy zwiększonej

ilości szczelin? Jak to wytłumaczyć?

Jeśli fale z dwóch źródeł są

niespójne

, tzn. różnica faz między nimi

nie jest stała, to obraz interferencyjny nie powstaje i natężenie we

wszystkich punktach na ekranie ma jednakową wartość.

Warunkiem powstania na ekranie obrazu interferencyjnego jest

stała w czasie różnica faz fal świetlnych docierających do ekranu.

O falach takich mówimy, że są

spójne

.

Światło lasera jest światłem spójnym, ale

konwencjonalnych źródeł, np. żarówki, już
nie.

Wykład 10 WIL PK, 2009/10

B. Oleś

30

interferencja

Very Large Array – układ 27 radioteleskopów w

Nowym Meksyku. Radioteleskopy są każdy w nieco

innej odległości od obserwowanego obiektu przez

co pomiędzy odbieranymi przez nie sygnałami

występuje różnica faz odpowiedzialna za zjawisko

interferencji

Interferencja w cienkiej warstwie

błonki mydlanej czy na płytce CD– za

zmianę faz interferujących fal

odpowiedzialna jest różnica dróg

optycznych, odbicie i współczynnik
załamania światła ośrodka.

Co przedstawia to

zdjęcie?

Wykład 10 WIL PK, 2009/10