Reprezentowanie krzywych i
powierzchni



Model składający się ze zbioru gładkich powierzchni
krzywoliniowych (Martin Newell)

Płaty bikubiczne



Kształt opisany za pomocą zbioru elementów gładkiej
powierzchni zwanych

płatami bikubicznymi



Są generowane w wielu zastosowaniach grafiki
komputerowej:



modelowanie geometryczne,



programach CAD – projektowanie wspomagane komputerowo,



czcionki dobrej jakości,



wykresy,



rysunki artystyczne,



ścieżki kamery i obiektów w animacji komputerowej,



ścieżka przejścia przez przestrzeń barw,



itd…

Reprezentacja powierzchni



Modelowanie obiektów

rzeczywistych



na ogół

nie istnieje

model matematyczny obiektu,



obiekt można

przybliżyć

zbiorem nieskończenie wielu

punktów – realizacja komputerowa niemożliwa



aproksymacja:



kawałkami

płaszczyzn

,



kuli

,



innych

powierzchni

łatwych

do matematycznego opisu



punkty modelu powinny się znaleźć

maksymalnie blisko

punktów obiektu rzeczywistego

Reprezentacja powierzchni



Modelowanie obiektów

nierzeczywistych



obiekt jest

tworzony

w procesie modelowania



obiekt

przybliża dokładnie

swoją reprezentację, gdyż

stanowi jedyne jej urzeczywistnienie



projektant jest zobowiązany:



„

wyrzeźbić

” obiekt interaktywnie,



opisać go

matematycznie

lub



podać

przybliżony

jego

opis

do wypełnienia przez jakiś program



w systemach CAD reprezentacja komputerowa jest

wzorem

fizycznej

realizacji

obiektu

abstrakcyjnie

zaprojektowanego

Modelowanie powierzchni



Jest to bardzo szeroka dziedzina – stosuje się
szereg metod



Najczęstsze reprezentacje:



siatki

wielokątów

,



powierzchnie

parametryczne

,



powierzchnie

drugiego

stopnia

Siatka wielokątów



Jest to zbiór połączonych

powierzchni płaskich

graniczonych

zamkniętymi łamanymi



Siatki wielokątów dobrze przybliżają:



skrzynie,



budynki i ich otoczenie,



objętości ograniczone przez płaskie powierzchnie

Modelowanie stożka ściętego
siatką elementów płaskich



Obiekt 3D reprezentowany za pomocą wielokątów

jest tylko

przybliżeniem obiektu rzeczywistego

Reprezentacja wielokątowa



Przekrój

kształtu krzywoliniowego

(linia przerywana) i jego reprezentacji
wielokątowej (linia ciągła)



Błędy aproksymacji można dowolnie

zmniejszać

stosują większą liczbę

wielokątów.



Wady aproksymacji:



zwiększenie wymagań

co do pamięci i

czasu wykonania algorytmów



powiększanie obiektów powoduje

ujawnienie

prostych krawędzi

Powierzchnie parametryczne



Wielomianowe

krzywe parametryczne

definiują

punkty na krzywych za pomocą trzech wielomianów
parametru

t

oddzielnie dla

x

,

y

i

z.



Dobór odpowiednich

współczynników

wielomianów

umożliwi przebieg krzywej wg

wybranej ścieżki



Najpopularniejsze są krzywe

trzeciego stopnia

reprezentowane przez wielomiany trzeciego stopnia

Parametryczne wielomianowe

płaty powierzchni



Określają punkty na powierzchniach za pomocą

trzech

wielomianów

dwóch

zmiennych (

s, t)

, po jednym dla

x

,

y

i

z.



Brzegi

płatów są parametrycznymi krzywymi wielomianowymi



Dla tego samego stopnia aproksymacji

liczba

płatów

wielomianowych jest znacznie

mniejsza

niż płatów

wielokątowych



Złożoność

algorytmów opisujących płaty wielomianowe jest

jednak znacznie większa



Najczęściej stosuje się

płaty bikubiczne

opisywane wielomianami

trzeciego stopnia

Powierzchnie drugiego stopnia



Definiowane bezpośrednio równaniem

przy czym

f

jest wielomianem drugiego

stopnia zmiennych

x

,

y

i

z



Jest to

wygodna

reprezentacja kul, elips i

walców





0

,

,



z

y

x

f

Siatki wielokątowe



Siatka wielokątowa

jest zbiorem

krawędzi, węzłów i wielokątów o
pewnych cechach:



każda

krawędź

jest

wspólna

przynajmniej dla dwóch wielokątów



krawędź

łączy

dwa wierzchołki



wierzchołek

jest

wspólny

dla

przynajmniej dwóch krawędzi



wielokąt

jest zamkniętą

sekwencją

krawędzi



każda

krawędź

jest

częścią

jakiegoś

wielokąta

Siatki wielokątowe



Istnieje kilka

reprezentacji

siatek wielokątowych



reprezentacja

bezpośrednia



za pomocą wskaźników na

listę

wierzchołków



za pomocą wskaźników na

listę

krawędzi



Każda z reprezentacji ma swoje

wady i zalety



Programista wybiera reprezentację

najkorzystniejszą

dla danego zastosowania



Kryterium porównania jest miejsce w

pamięci

i

czas

typowych

operacji

związanych z analizą siatki

Siatki wielokątowe



Typowe operacje na siatkach wielokątowych:



znalezienie wszystkich

krawędzi związanych

z wierzchołkiem



znalezienie wszystkich wielokątów mających

wspólną krawędź



znalezienie wszystkich wielokątów mających

wspólny wierzchołek



znalezienie wszystkich

krawędzi wielokąta



wyświetlenie

siatki



znalezienie

błędów

reprezentacji

, np. brakująca krawędź, wierzchołek

lub wielokąt



Reguła:

im bardziej bezpośrednia

reprezentacja relacji

pomiędzy wierzchołkami, krawędziami i wielokątami tym

krótsze czasy

operacji i tym

więcej miejsca

w pamięci, jakie

reprezentacja zajmuje

Reprezentacja bezpośrednia



Każdy wielokąt jest opisany przez

listę współrzędnych

wierzchołków



Wierzchołki zapamiętane są w

kolejności

, w jakiej

napotyka się je poruszając się wokół wielokąta



Pomiędzy kolejnymi wierzchołkami oraz pomiędzy
pierwszym i ostatnim

rozpięte są

krawędzie



Reprezentacja

mało oszczędna

pod względem

pamięci

i

dogodna dla jednego lub niewielu wielokątów



 

 







n

n

z

z

y

x

z

y

x

z

y

x

P

,

,

,

...

,

,

,

,

,

,

2

2

2

1

1

1



Reprezentacja bezpośrednia



Inne wady:



brak bezpośredniej relacji

pomiędzy krawędziami i

wierzchołkami



interakcyjne przesunięcie wierzchołka

wymaga przeszukania

całej struktury sieci i znalezienie wszystkich wielokątów
wspólnych dla wierzchołka



przeszukiwanie struktury wymaga

porównań trójek

współrzędnych



najefektywniejsza metoda to posortowanie wszystkich
wierzchołków (

min. złożoność obliczeniowa N log

2

N

)



te same wierzchołki mogą mieć

różniące się

istotnie

współrzędne na skutek

błędów

numerycznych



dopasowania można więc

nie znaleźć

Reprezentacja bezpośrednia



Inne wady - cd:



wyświetlane siatki wymaga analizy

każdego

wiechołka oraz

obcięcia każdej

krawędzi każdego wielokąta



wspólne krawędzie są rysowane

dwukrotnie



stwarza to problem dla monitorów wektorowych, ale także
i rastrowych, gdyż krawędzie są rysowane w

różnych

kierunkach – mogą się pojawić dodatkowe piksele

Wskaźniki na listę wierzchołków



 

 















3

2

4

2

4

2

1

1

4

4

4

1

1

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,...,

,

,

,

,

,

V

V

V

P

V

V

V

P

z

y

x

z

y

x

V

V

V

V

V









Wskaźniki na listę wierzchołków



Każdy z wierzchołków jest zapamiętany tylko
raz na

liście wierzchołków



Łatwo

można zmienić

współrzędne

wierzchołków wielokąta



Wciąż

trudno

znaleźć wielokąty o

wspólnej

krawędzi



Krawędzie

wspólne

dla wielokątów są nadal

rysowane

podwójnie

przy wyświetlaniu sieci

Wskaźniki na listę
krawędzi







 







































4

3

2

2

5

4

1

1

1

1

4

5

2

1

2

4

4

2

4

3

3

2

3

2

2

1

2

1

1

5

4

3

2

1

4

4

4

1

1

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,...,

,

,

,

,

,

E

E

E

P

E

E

E

P

P

V

V

E

P

P

V

V

E

P

V

V

E

P

V

V

E

P

V

V

E

E

E

E

E

E

E

z

y

x

z

y

x

V

V

V

V

V































Wskaźniki na listę krawędzi



Wielokąt jest definiowany przez sekwencję wskaźników na
listę krawędzi



Każda

krawędź

występuje na liście tylko raz



Każda z krawędzi wskazuje na

dwa wierzchołki

z listy

wierzchołków



Dodatkowo każda z krawędzi wskazuje zazwyczaj na

jeden lub

dwa

wielokąty do której należy



Dla szczególnych sieci (np. typu plaster miodu) krawędź może
wskazać na kilka wielokątów





n

E

E

E

P

...,

,

,

2

1







n

P

P

P

V

V

E

...,

,

,

,

,

2

1

2

1



Wskaźniki na listę krawędzi



Wyświetlając sieć brane są pod uwagę wszystkie

krawędzie

, a

nie wszystkie wielokąty



Pozwala to

ominąć

nadmiarowe obcinanie przekształcenia i

konwersje



Łatwo wyświetla się wypełnione wielokąty

W

żadnej

z wymienionych reprezentacji nie można

bezpośrednio

stwierdzić

,

które

krawędzie

łączą się z

danym

wierzchołkiem

- istnieją reprezentacje spełniające ten

warunek

Płaskość wielokąta



Równanie płaszczyzny



A, B i C definiują normalną do płaszczyzny



Mając trzy punkty P1, P2 i P3 można
wyznaczyć normalną do płaszczyzny jako

0









D

Cz

By

Ax

.

;

;

1

2

3

2

3

1

2

1

itd

P

P

P

P

P

P

P

P





Płaskość wielokąta



D

wyznaczamy podstawiając jeden z punktów do

równania płaszczyzny



Metoda

idealna

dla trójkątów



Dla wielokątów o większej liczbie wierzchołków
istnieje niebezpieczeństwo

odstępstwa

od

płaskości (błędy numeryczne)



W takim przypadku stosuje się

metodę rzutów

wielokąta na płaszczyzny prostopadłe do osi
układu współrzędnych

Płaskość wielokątów

Pole rzutu wielokąta na
płaszczyznę Oxy
pozwala wyznaczyć C





















 



3

3

2

1

2

1

3

1

1

3

3

2

1

2

3

3

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

A

A

A

A

A

A

C

x

x

y

y

A

A

A

x

x

y

y

A

x

x

y

y

A











































Płaskość wielokątów



Ostatecznie



Podobnie





 



 





3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

C























 



 









 



 





3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

y

y

z

z

y

y

z

z

y

y

z

z

A

z

z

x

x

z

z

x

x

z

z

x

x

B







































Płaskość wielokątów



Co można zapisać



gdzie



















i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

x

x

y

y

C

z

z

x

x

B

y

y

z

z

A













































1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

















n

i

dla

n

i

dla

i

i

1

1

1

Płaskość wielokątów



Odległość

wierzchołka od płaszczyzny



Wartość

d

może być

dodatnia ujemna lub

równa zero



Do stwierdzenia, po której stronie płaszczyzny
wierzchołek leży wystarczy

znak licznika

ułamka

2

2

2

C

B

A

D

Cz

By

Ax

d













Płaskość wielokątów



Równanie płaszczyzny

nie jest unikatowe

.

Można je pomnożyć przez dowolną liczbę
różną od zera



Najdogodniejszą

postać równania uzyskamy

po pomnożeniu współczynników równania
przez

2

2

2

1

C

B

A

k







Płaty bikubiczne



G – macierz geometrii



M – macierz bazowa

 

 

 

 

 











































































































1

2

3

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

t

t

t

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

t

z

t

y

t

x

t

Q

T

M

G

t

Q

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

Macierz geometrii i macierz bazowa

 

 

 

 

 























































































1

2

3

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

4

3

2

1

t

t

t

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

G

G

G

G

t

z

t

y

t

x

t

Q

T

M

G

t

Q

Macierz geometrii Hermite’a





x

x

x

x

R

R

P

P

G

x

4

1

4

1



 





1

2

3

2

3

t

t

t

M

G

T

M

G

d

t

c

t

b

t

a

t

x

x

x

x

x

x

x























Krzywe Hermite’a



Składowe geometrii Hermite’a





x

x

x

x

x

R

R

P

P

G

H

4

1

4

1



Krzywe Hermite’a



Macierz bazowa reprezentacj Hermite’a:



Krzywa Hermite’a jest zatem określona zależnością:



































0

0

1

1

0

1

2

1

0

0

3

2

1

0

3

2

H

M

 



 





 



4

2

3

1

2

3

4

2

3

1

2

3

2

3

2

1

3

2

R

t

t

R

t

t

t

P

t

t

P

t

t

B

G

T

M

G

t

Q

H

H

H

H

























































































































2

3

2

3

2

3

2

3

4

1

4

1

2

3

2

1

3

2

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

R

t

R

t

P

t

P

B

T

H



są funkcjami

wagowymi

dla

każdego elementu
macierzy geometrii

Funkcje bazowe Hermite’a

Rodzina krzywych Hermite’a



Rodzina krzywych parametrycznych Hermite’a trzeciego
stopnia. Dla każdej krzywej zmienia się tylko R

1

, wektor

styczny w P

1

, jego wartość rośnie dla wyższych krzywych.

Rodzina krzywych Hermite’a



Zmienny kierunek wektorów stycznych

Krzywe Beziera



W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach
końcowych są określane bezpośrednio przez dwa punkt
pośrednie, które nie leżą na krzywej.



Wektory styczne początkowy i końcowy są określane przez
wektory P

1

P

2

i P

3

P

4

i są związane z R

1

i R

2

zależnościami:

  



  



3

4

4

1

2

1

3

1

'

3

0

'

P

P

Q

R

P

P

Q

R













Krzywe Beziera



Dwie krzywe Beziera i ich punkty kontrolne

Krzywe Beziera



Krzywa Beziera interpoluje dwa końcowe punkty
kontrolne i aproksymuje dwa pozostałe.



Macierz geometrii Beziera wygląda następująco:





4

3

2

1

P

P

P

P

G

B



Krzywe Beziera



W krzywych Bezier’a
wykorzystujących wielomiany
trzeciego stopnia proste
przechodzące przez punkty:



początkowy i następujący po nim
oraz



końcowy i poprzedzający go

są prostymi stycznymi do

krzywej.



Odcinki łączące w/w punkty
często nazywa sie

kierownicami

Krzywe Beziera



Macierz bazowa dla krzywych Beziera:



Iloczyn jest równy:



Cztery wielomiany które są wagami powyższego
równania są nazywane wielomianami Bersteina.





































0

0

0

1

0

0

3

3

0

3

6

3

1

3

3

1

B

M

T

M

G

B

B





 

 

 

 

4

3

3

2

2

2

1

3

1

3

1

3

1

P

t

P

t

t

P

t

t

P

t

T

M

G

t

Q

B

B





















Wielomiany Bernsteina



Wielomiany
Bernsteina są

funkcjami
wagowymi

krzywych Beziera

Łączenie krzywych Beziera



Dwie krzywe Beziera łączące się w punkcie P4.
Punkty P3, P4, P5 są współliniowe

Krzywe Beziera



Typowe
krzywe
Beziera



Konstrukcja krzywych

Beziera:



Wielomiany x(t) oraz

y(t) definiują punkt na

krzywej y(x) lub x(y) dla

założonej wartości

parametru t

Parametryczne powierzchnie
bikubiczne



Ogólna postać krzywej parametrycznej trzeciego
stopnia:

Jeżeli przyjmiemy, że punkty zawarte w macierzy

G nie są stałymi, lecz

zmieniają

się w 3D wzdłuż

pewnej ścieżki

z parametrem

t

, to otrzymamy:

 

 

 

 

 





S

M

t

G

t

G

t

G

t

G

t

s

Q







4

3

2

1

,

 

S

M

G

s

Q







Parametryczne powierzchnie
bikubiczne



Jeżeli G

i

(t)

są krzywymi trzeciego stopnia, to każda z

nich może być reprezentowana jako:

po wykonaniu transpozycji i podstawieniu wyniku do

poprzedniego równania otrzymamy:

 

S

M

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

M

T

t

s

Q

T

T



































44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

,

 

T

M

G

t

G

i

i







Parametryczne powierzchnie
bikubiczne



Równoważny zapis:



W rozdzielonym zapisie dla

x

,

y

,

z

:

 

1

,

0

,

,















t

s

S

M

G

M

T

t

s

Q

T

T

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

z

T

T

y

T

T

x

T

T































,

,

,

Powierzchnie Hermite’a



Poszczególne współrzędne powierzchni Hermite’a są w

pełni określone przez macierz geometrii G

H

4x4



Przepisując wyrażenie

z uwzględnieniem faktu, że macierz geometrii

Hermite’a nie jest stała, lecz jest funkcją

t

otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 





S

M

t

R

t

R

t

P

t

P

S

M

t

G

t

s

x

H

H

H

x

x

x

x

x















4

1

4

1

,

 

S

M

G

s

x

H

Hx







Powierzchnie bikubiczne



Linie stałej
wartości
parametru

t

na

powierzchni
bikubicznej

Powierzchnie Hermite’a



Załóżmy, że każda krzywa P

1x

(t), P

4x

(t), R

1x

(t) i

R

1x

(t)

reprezentuje postać Hermite’a:



Te cztery krzywe trzeciego stopnia mogą być
zapisane w postaci jednego równania:

 





 





 





 





T

M

g

g

g

g

t

R

T

M

g

g

g

g

t

R

T

M

g

g

g

g

t

P

T

M

g

g

g

g

t

P

H

x

H

x

H

x

H

x

x

x

x

x

























44

43

42

41

4

34

33

32

31

1

24

23

22

21

4

14

13

12

11

1

,

,

 

 

 

 





T

M

G

t

R

t

R

t

P

t

P

H

H

T

x

x

x

x

x







4

1

4

1

Powierzchnie Hermite’a



Transponowanie obu stron równania daje:

 

 

 

 





x

x

x

x

x

H

T

H

T

x

T

H

T

G

M

T

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

M

T

t

R

t

R

t

P

t

P









































44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

41

31

21

11

4

1

4

1

Powierzchnie Hermite’a



Wynikowe równania mają postać:



podobnie



Trzy macierze 4x4 G

Hx

, G

Hy

, G

Hz

, odgrywają taką

samą rolę dla powierzchni Hermite’a jaką G

H

dla

krzywych.

 

S

M

G

M

T

t

s

x

H

H

T

H

T

x











,

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

H

H

T

H

T

H

H

T

H

T

z

y





















,

,

Powierzchnie Beziera



Bikubiczna postać powierzchni Beziera

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

z

y

x































,

,

,

Bikubiczny płat Beziera



Szesnaście
punktów
sterujących dla
bikubicznego
płata Beziera

Łączenie płatów Beziera



Dwa płaty Beziera połączone wzdłuż krawędzi
P14, P24, P34 i P44

Powierzchnie B-sklejane



Płaty B-sklejane są reprezentowane w postaci:

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

S

z

S

S

S

y

S

S

S

x

S

S

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T































,

,

,

Normalne do powierzchni



Normalna do powierzchni bikubicznej jest
potrzebna w wielu przypadkach, np..



przy

cieniowaniu

,



przy wykrywaniu interferencji w robotyce,



przy obliczaniu przesunięć dla maszyn
sterowanych numerycznie



itp.

Normalne do powierzchni



Wektor styczny w kierunku s do powierzchni Q(s,
t) jest równy:



A wektor styczny w kierunku t jest równy:

 





 





S

M

G

M

t

t

S

M

G

M

T

t

S

M

G

M

T

t

t

s

Q

t

T

T

T

T

T

T













































0

1

2

3

,

2

 





 





T

T

T

T

T

T

T

s

s

M

G

M

T

S

s

M

G

M

T

S

M

G

M

T

s

t

s

Q

s

0

1

2

3

,

2













































Normalne do powierzchni



Wprowadzając oznaczenie x

s

dla składowej x

wektora stycznego s, y

s

dla składowej y i z

s

dla

składowej z oraz analogiczne oznaczenia dla
wektora stycznego w kierunku t normalną
można zapisać w następujący sposób:

 

 





s

t

t

s

s

t

t

s

s

t

t

s

y

x

y

x

x

z

x

z

z

y

z

y

t

s

Q

t

t

s

Q

s





















,

,

Wyświetlanie powierzchni
bikubicznych



Tak jak krzywe, powierzchnie mogą być
wyświetlane na zasadzie iteracyjnego
obliczania bikubicznych wielokątów.



Do wyświetlania bikubicznych płatów
najlepsze jest obliczanie iteracyjne.

Płaty bikubiczne



Płat powierzchni
wyświetlony jako
zbiór krzywych o
stałym s i stałym
t

Płaty Beziera



Dla krzywej Beziera. Jeżeli wymnożymy
macierze

to, otrzymamy:

   

 

 































































3

2

2

3

3

2

2

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

,

s

s

s

s

s

s

G

t

t

t

t

t

t

t

s

x

x

B

S

M

M

T

B

T

B

T





i

Płaty Beziera



Przypomnijmy, że G

Bx

jest macierzą składowej

x

punktów kontrolnych i może być zapisana:

x

B

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

G

x



























44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

Płaty Beziera



Wreszcie całkowita rozwinięta postać
równania może zostać zapisana:

 





 

 

 









 

 

 









 

 

 





 

 

 





3

44

2

43

2

42

3

41

3

3

34

2

33

2

32

3

31

2

3

24

2

23

2

22

3

21

2

3

14

2

13

2

12

3

11

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

1

1

,

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

t

s

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































































Powierzchnie drugiego stopnia



Uwikłana postać równania

definiuje rodzinę powierzchni drugiego

stopnia.





0

2

2

2

2

2

2

,

,

2

2

2























k

jz

hy

gx

fxz

eyz

dxy

cz

by

ax

z

y

x

f

Powierzchnie drugiego stopnia



Alternatywny zapis poprzedniego równania:

z

0







P

Q

P

T





















































1

oraz

z

y

x

P

k

j

h

g

j

c

e

f

h

e

b

d

g

f

d

a

Q

Powierzchnie drugiego stopnia



Powierzchnia reprezentowana przez Q może
być łatwo przesuwana i skalowana. Dla
macierzy przekształceń M o rozmiarze 4x4
przekształcona powierzchnia drugiego stopnia
Q’ jest dana zależnością:

 

M

Q

M

Q

T









1

'