1
Józef Szymczak
CAŁKI OZNACZONE (notatki z wykładu)
Niech
)
(x
f
będzie określona na przedziale
b
a;
. Rozbijemy przedział
b
a;
na
n dowolnych części punktami
b
x
x
x
x
a
n
n
1
1
1
0
...
.
Wybierzemy w każdym elementarnym odcinku
k
k
x
x
;
1
dowolny punkt
k
i określimy
długość tego odcinka
1
k
k
k
x
x
x
oraz obliczymy wartość funkcji w punkcie
)
(
k
f
.
Sumą całkową dla funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a;
nazywamy sumę postaci
n
k
k
k
x
f
1
)
(
=
n
n
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
...
2
2
1
1
Przez
k
x
max
oznaczmy długość najdłuższego przedziału cząstkowego przy danym
podziale przedziału
b
a;
.
Definicja całki oznaczonej.
Całką oznaczoną funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a;
nazywamy granicę (jeśli
istnieje) ciągu sum całkowych, pod warunkiem, że granica ta nie zależy od sposobu
podziału przedziału
b
a;
, podział ten jest normalny, tzn.
0
max
lim
k
x
n
oraz
granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich
k
. Zapisujemy ten fakt
symbolicznie:
(*)
n
k
k
k
b
a
x
f
dx
x
f
k
x
n
1
)
(
lim
)
(
0
max
Całka oznaczona jest więc pewną liczbą rzeczywistą.
Jeśli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w przedziale
b
a;
, to spełnia wymienione w definicji
warunki, a więc istnieje dla niej całka (*).
Jeśli dla funkcji
)
(x
f
istnieje całka (*), to mówimy, że funkcja ta jest całkowalna w
przedziale
b
a;
(w sensie Riemanna).
Można wykazać, że funkcja ograniczona w przedziale
b
a;
, mająca skończony zbiór
punktów nieciągłości, jest całkowalna.
2
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Jeżeli
0
)
(
x
f
na przedziale
b
a;
, to
b
a
dx
x
f
)
(
geometrycznie
oznacza
pole
obszaru ograniczonego liniami:
)
(x
f
y
,
a
x
,
b
x
,
0
y
.
Podstawowe własności całki oznaczonej.
1.
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
,
2.
0
)
(
a
a
dx
x
f
,
3.
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
a
c
)
(
)
(
)
(
:
)
;
(
,
4.
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
,
5.
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
,
R
,
6. Jeśli
M
m
x
f
)
(
na przedziale
b
a;
, to
)
(
)
(
)
(
a
b
M
a
b
m
b
a
dx
x
f
(oszacowanie wartości całki oznaczonej).
Zadanie. Oszacować wartość całki
2
/
0
2
cos
5
x
dx
(odp.:
10
cos
5
12
2
/
0
2
x
dx
)
Sposoby obliczania całki oznaczonej.
(1) Twierdzenie (Newtona-Leibniza)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w przedziale
b
a;
, a
)
(x
F
jest jakąkolwiek jej
funkcją pierwotną, to
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
.
Uwaga. Stosujemy zwykle zapis pośredni:
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a
.
3
Przykład 1.
.
2
)
4
(
4
)
1
(
1
1
1
1
1
2
1
1
arctg
arctg
arctgx
x
dx
Obliczyliśmy w ten sposób pole figury
przedstawionej na rysunku obok.
(2) Całkowanie przez części.
b
a
b
a
b
a
udv
uv
udv
Przykład 2.
dx
x
xe
1
0
dx
e
dv
x
u
x
x
e
v
dx
du
=
1
0
x
xe
+
dx
x
e
1
0
=
1
e
+
1
0
x
e
=
=
e
e
e
e
e
2
2
1
1
1
1
.
Całkując przez części całkę oznaczoną wygodnie jest wyznaczyć najpierw całkę nieoznaczoną.
(3) Całkowanie przez podstawianie
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
(
b
g
a
g
b
a
dt
t
f
dx
x
g
x
g
f
Przykład 3.
dx
x
x
e
1
2
ln
1
0
1
1
ln
e
t
x
dt
dx
x
t
x
=
dt
t
1
0
2
=
1
0
3
3
1 t
=
0
3
1
=
3
1
.
Przykład 4.
dx
x
0
3
sin
=
dx
x
x sin
sin
0
2
=
dx
x
x sin
)
cos
1
(
0
2
1
1
0
sin
cos
t
x
dt
xdx
t
x
=
=
dt
t )
1
(
1
1
2
=
dt
t )
1
(
1
1
2
=
1
1
3
3
1
t
t
= 1 –
3
1
– (–1
+
3
1
) =
3
4
.
Z przeprowadzonego rachunku
wynika, że całki
dx
x
0
3
sin
oraz
dt
t )
1
(
1
1
2
są równe. Ich wartości przedsta-
wiają pola pewnych figur. Figury
te mają zatem jednakowe pola.
4
Uwaga.
(a) Jeżeli
)
(x
f
jest funkcją parzystą (tzn.
)
(
)
(
x
f
x
f
), wtedy
a
a
dx
x
f
)
(
=
a
dx
x
f
0
)
(
2
.
(b) Jeżeli
)
(x
f
jest funkcją nieparzystą (tzn.
)
(
)
(
x
f
x
f
), wtedy
a
a
dx
x
f
)
(
= 0.
Na przykład a)
18
3
0
3
0
3
3
3
2
2
3
1
2
2
x
dx
x
dx
x
; b)
0
sin
3
3
2
xdx
x
.
Pole S figury płaskiej ograniczonej liniami
)
(
1
x
f
y
,
)
(
2
x
f
y
))
(
)
(
(
2
1
x
f
x
f
,
a
x
,
b
x
obliczamy wg wzoru
b
a
dx
x
f
x
f
S
))
(
)
(
(
1
2
Przykład 5. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:
2
x
y
,
x
y
.
1
0
)
(
2
dx
x
x
=
1
0
3
3
1
3
2
2
3
x
x
=
3
1
3
2
=
3
1
.
Przykład 6. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:
x
e
y
,
1
x
,
e
y
.
1
1
)
(
dx
e
e
x
=
1
1
x
e
ex
=
)
(
1
e
e
e
e
=
1
e
e
=
e
e
1
2
.
Zadanie.
a) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
x
y
sin
,
x
y
cos
dla
4
4
5
;
x
.
5
b) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
2
4
x
y
i
x
y
3
.
c) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
2
y
x
i
x
y
2
.
Jeśli linia krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi
)
(
)
(
t
y
y
t
x
x
, to pole obszaru
ograniczonego tą krzywą, prostymi
a
x
,
b
x
i odcinkiem
b
a
;
osi Ox obliczamy
według wzoru:
2
1
)
(
)
(
t
t
dt
t
x
t
y
S
,
gdzie
1
t i
2
t wyznaczamy z równań:
)
(
1
t
x
a
,
)
(
2
t
x
b
, pod warunkiem, że
0
)
(
t
y
dla
2
1
t
t
t
, a
)
(t
x
jest funkcją rosnącą na tym przedziale.
Przykład 7. Obliczyć pole figury ograniczonej jedną pętlą cykloidy
)
cos
1
(
2
)
sin
(
2
t
y
t
t
x
i osią
odciętych Ox.
Mamy w tym przypadku, że
2
0
t
oraz
)
cos
1
(
2
)
(
t
t
x
. Zatem
2
0
)
cos
1
(
2
)
cos
1
(
2
dt
t
t
S
=
2
0
2
)
cos
1
(
4
dt
t
=
2
0
)
cos
cos
2
1
(
4
2
dt
t
t
=
=
2
0
2
sin
4
1
2
sin
2
4
t
t
t
t
=
)
0
0
2
(
4
=
12
.
W wielu sytuacjach dotyczących opisu linii i figur na
płaszczyźnie
wygodnie
jest
posługiwać
się
współrzędnymi biegunowymi.
Związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i
współrzędnymi biegunowymi (jeśli biegun pokrywa się
ze środkiem układu współrzędnych kartezjańskich, a oś
biegunowa pokrywa się z półosią Ox):
sin
cos
r
y
r
x
6
Pole krzywoliniowego sektora ograniczonego krzywą
opisaną w układzie biegunowym związkiem
)
(
r
r
i
dwoma biegunowymi promieniami
i
)
(
obliczamy według wzoru
d
r
S
2
2
1
Przykład 8. Znaleźć pole figury ograniczonej
lemniskatą
)
2
cos(
2
2
r
.
Zauważmy, że
4
1
pola odpowiada zakresowi parametru
od 0 do
4
, dlatego
4
/
0
)
2
cos(
2
4
2
1
d
S
=
4
0
)
2
sin(
4
2
1
=
2
1
4
= 2.
Zadanie.
Wyznaczyć pole figury ograniczone kardioidą opisaną związkiem
)
cos
1
(
a
r
,
2
;
0
.
Obliczanie długości łuków płaskich.
1. Jeżeli krzywa
)
(x
f
y
jest na przedziale
b
a;
gładka (tzn. ma ciągłą pochodną),
to długość l odpowiedniego łuku tej krzywej obliczamy według wzoru
b
a
dx
y
l
2
)
(
1
(wyrażenie
dx
y
dl
2
)
(
1
nazywamy różniczką łuku; piszemy też
b
a
dl
l
).
2. Jeżeli krzywa dana jest równaniami parametrycznymi
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
, przy czym
obie te funkcje mają ciągłe pochodne w przedziale
2
1
t
t
t
, to długość odpowiedniego
łuku wyraża się wzorem
2
1
2
2
))
(
(
))
(
(
t
t
dt
t
y
t
x
l
(wtedy
dt
y
x
dl
2
2
)
(
)
(
).
3. Jeżeli krzywa dana jest równaniem
)
(
r
r
we współrzędnych biegunowych, przy
czym
)
(
r
ma w przedziale
ciągłą pochodną i łuk nie ma części wielokrotnych,
to długość odpowiedniego łuku tej krzywej dana jest wzorem
d
r
l
d
dr
2
2
)
(
.
7
Przykład 9.
Znaleźć długość łuku krzywej
3
2
x
y
w zakresie od
0
x
do
1
x
0)
(
y
.
Mamy tutaj
3
x
y
, skąd
x
y
2
3
i
x
y
4
9
2
)
(
.
1
0
1
4
9
dx
l
x
4
13
1
1
0
9
4
4
9
1
t
x
dt
dx
t
x
=
4
/
13
1
9
4
dt
t
=
4
13
2
3
1
3
2
9
4
t
=
)
(
1
2
13
4
13
27
8
=
27
8
13
13
.
Obliczanie objętości brył obrotowych i pola ich powierzchni bocznej
Jeżeli trapez krzywoliniowy ograniczony krzywą
)
(x
f
y
i prostymi
0
y
,
a
x
,
b
x
obraca się wokół osi
Ox
, to objętość powstałej w ten sposób bryły obrotowej wyraża
się wzorem:
b
a
dx
y
V
2
,
a pole powierzchni bocznej tej bryły wzorem:
b
a
b
a
dx
y
y
ydl
S
2
)
(
1
2
2
(w przypadku krzywej danej równaniami parametrycznymi
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
dla
2
1
t
t
t
mamy odpowiednio:
2
1
)
(
2
t
t
dt
t
x
y
V
,
2
1
2
2
)
(
)
(
2
t
t
dt
y
x
y
S
).
Przykład 10. Obliczyć objętość bryły obrotowej otrzymanej przez
obrót wokół osi Ox obszaru ograniczonego fragmentem sinusoidy
oraz odcinkiem osi Ox w zakresie od 0 do
.
dx
x
V
0
2
)
(sin
=
0
]
2
sin
[
4
1
2
1
x
x
=
2
1
=
2
2
1
.
8
Całki niewłaściwe
Całkami niewłaściwymi nazywamy:
1) całki w przedziałach nieskończonych,
2) całki z funkcji nieograniczonych.
Ad 1. Całką niewłaściwą z funkcji
)
(x
f
w przedziale
)
;
a
określamy równością
b
a
a
dx
x
f
dx
x
f
b
)
(
lim
)
(
.
Jeśli określona granica istnieje, to mówimy, że dana całka jest zbieżna, jeśli nie istnieje lub
jest niewłaściwa, to mówimy, że dana całka jest rozbieżna.
Analogicznie określamy:
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
a
)
(
lim
)
(
.
Przykład 11.
1
2
1
dx
x
=
b
dx
x
b
1
2
1
lim
=
b
b
x
1
]
[
lim
1
=
)
(
lim
1
1
1
b
b
= 0+1 = 1.
Przykład 12.
dx
x
1
1
2
=
0
2
1
1
2
dx
x
= 2
b
dx
x
b
0
2
1
1
lim
=
b
b
x
0
]
[arctan
lim
2
=
=
b
b
arctan
lim
2
=
2
2
.
Ad 2. Jeżeli funkcja
)
(x
f
ma w punkcie
)
;
(
b
a
c
punkt nieciągłości drugiego rodzaju i jest
ciągła dla
b
c
c
a
x
;
(
)
;
oraz jeśli istnieją granice:
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
i
)
(
lim
0
0
,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji
)
(x
f
przedziale
b
a
;
. Jeśli
któraś z tych granic jest niewłaściwa, to mówimy, że całka
b
a
dx
x
f
)
(
jest rozbieżna (chodzi tu
o funkcje, które w dowolnym otoczeniu
)
;
(
c
c
punktu c są nieograniczone).
Przykład 13.
1
1
2
1
dx
x
=
1
2
0
1
lim
2
c
dx
x
c
=
1
0
]
[
lim
2
1
c
c
x
=
)
(
lim
1
1
0
c
c
=
Całka ta jest rozbieżna. Interpretując ją geometrycznie, powiemy, że
zaznaczony nieograniczony obszar ma nieskończone pole.
9
Przykład 14.
4
0
1
dx
x
=
1
1
0
lim
a
a
dx
x
=
4
0
]
[
lim
2
a
a
x
=
)
2
4
2
(
0
lim
a
a
= 4
Ta całka niewłaściwa jest zbieżna. Interpretując ją geometrycznie,
powiemy, że zaznaczony nieograniczony obszar ma skończone pole
równe 4 [j
2
].
Zadanie. Wyznaczyć objętość nieograniczonej bryły obrotowej otrzymanej przez obrót wokół
osi Ox nieograniczonego obszaru zawartego między liniami
x
y
1
,
1
x
,
0
y
(dla
1
x
).