1
Józef Szymczak
CAŁKI OZNACZONE (notatki z wykładu)
Niech
)
(x
f
będzie określona na przedziale
b
a;
. Rozbijemy przedział
b
a;
na
n dowolnych części punktami
b
x
x
x
x
a
n
n
1
1
1
0
...
.
Wybierzemy w każdym elementarnym odcinku
k
k
x
x
;
1
dowolny punkt
k
i określimy
długość tego odcinka
1
k
k
k
x
x
x
oraz obliczymy wartość funkcji w punkcie
)
(
k
f
.
Sumą całkową dla funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a;
nazywamy sumę postaci
n
k
k
k
x
f
1
)
(
=
n
n
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
...
2
2
1
1
Przez
k
x
max
oznaczmy długość najdłuższego przedziału cząstkowego przy danym
podziale przedziału
b
a;
.
Definicja całki oznaczonej.
Całką oznaczoną funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a;
nazywamy granicę (jeśli
istnieje) ciągu sum całkowych, pod warunkiem, że granica ta nie zależy od sposobu
podziału przedziału
b
a;
, podział ten jest normalny, tzn.
0
max
lim
k
x
n
oraz
granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich
k
. Zapisujemy ten fakt
symbolicznie:
(*)
n
k
k
k
b
a
x
f
dx
x
f
k
x
n
1
)
(
lim
)
(
0
max
Całka oznaczona jest więc pewną liczbą rzeczywistą.
Jeśli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w przedziale
b
a;
, to spełnia wymienione w definicji
warunki, a więc istnieje dla niej całka (*).
Jeśli dla funkcji
)
(x
f
istnieje całka (*), to mówimy, że funkcja ta jest całkowalna w
przedziale
b
a;
(w sensie Riemanna).
Można wykazać, że funkcja ograniczona w przedziale
b
a;
, mająca skończony zbiór
punktów nieciągłości, jest całkowalna.
2
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Jeżeli
0
)
(
x
f
na przedziale
b
a;
, to
b
a
dx
x
f
)
(
geometrycznie
oznacza
pole
obszaru ograniczonego liniami:
)
(x
f
y
,
a
x
,
b
x
,
0
y
.
Podstawowe własności całki oznaczonej.
1.
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
,
2.
0
)
(
a
a
dx
x
f
,
3.
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
a
c
)
(
)
(
)
(
:
)
;
(
,
4.
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
,
5.
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
,
R
,
6. Jeśli
M
m
x
f
)
(
na przedziale
b
a;
, to
)
(
)
(
)
(
a
b
M
a
b
m
b
a
dx
x
f
(oszacowanie wartości całki oznaczonej).
Zadanie. Oszacować wartość całki
2
/
0
2
cos
5
x
dx
(odp.:
10
cos
5
12
2
/
0
2
x
dx
)
Sposoby obliczania całki oznaczonej.
(1) Twierdzenie (Newtona-Leibniza)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w przedziale
b
a;
, a
)
(x
F
jest jakąkolwiek jej
funkcją pierwotną, to
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
.
Uwaga. Stosujemy zwykle zapis pośredni:
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a
.
3
Przykład 1.
.
2
)
4
(
4
)
1
(
1
1
1
1
1
2
1
1
arctg
arctg
arctgx
x
dx
Obliczyliśmy w ten sposób pole figury
przedstawionej na rysunku obok.
(2) Całkowanie przez części.
b
a
b
a
b
a
udv
uv
udv
Przykład 2.
dx
x
xe
1
0
dx
e
dv
x
u
x
x
e
v
dx
du
=
1
0
x
xe
+
dx
x
e
1
0
=
1
e
+
1
0
x
e
=
=
e
e
e
e
e
2
2
1
1
1
1
.
Całkując przez części całkę oznaczoną wygodnie jest wyznaczyć najpierw całkę nieoznaczoną.
(3) Całkowanie przez podstawianie
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
(
b
g
a
g
b
a
dt
t
f
dx
x
g
x
g
f
Przykład 3.
dx
x
x
e
1
2
ln
1
0
1
1
ln
e
t
x
dt
dx
x
t
x
=
dt
t
1
0
2
=
1
0
3
3
1 t
=
0
3
1
=
3
1
.
Przykład 4.
dx
x
0
3
sin
=
dx
x
x sin
sin
0
2
=
dx
x
x sin
)
cos
1
(
0
2
1
1
0
sin
cos
t
x
dt
xdx
t
x
=
=
dt
t )
1
(
1
1
2
=
dt
t )
1
(
1
1
2
=
1
1
3
3
1
t
t
= 1 –
3
1
– (–1
+
3
1
) =
3
4
.
Z przeprowadzonego rachunku
wynika, że całki
dx
x
0
3
sin
oraz
dt
t )
1
(
1
1
2
są równe. Ich wartości przedsta-
wiają pola pewnych figur. Figury
te mają zatem jednakowe pola.
4
Uwaga.
(a) Jeżeli
)
(x
f
jest funkcją parzystą (tzn.
)
(
)
(
x
f
x
f
), wtedy
a
a
dx
x
f
)
(
=
a
dx
x
f
0
)
(
2
.
(b) Jeżeli
)
(x
f
jest funkcją nieparzystą (tzn.
)
(
)
(
x
f
x
f
), wtedy
a
a
dx
x
f
)
(
= 0.
Na przykład a)
18
3
0
3
0
3
3
3
2
2
3
1
2
2
x
dx
x
dx
x
; b)
0
sin
3
3
2
xdx
x
.
Pole S figury płaskiej ograniczonej liniami
)
(
1
x
f
y
,
)
(
2
x
f
y
))
(
)
(
(
2
1
x
f
x
f
,
a
x
,
b
x
obliczamy wg wzoru
b
a
dx
x
f
x
f
S
))
(
)
(
(
1
2
Przykład 5. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:
2
x
y
,
x
y
.
1
0
)
(
2
dx
x
x
=
1
0
3
3
1
3
2
2
3
x
x
=
3
1
3
2
=
3
1
.
Przykład 6. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:
x
e
y
,
1
x
,
e
y
.
1
1
)
(
dx
e
e
x
=
1
1
x
e
ex
=
)
(
1
e
e
e
e
=
1
e
e
=
e
e
1
2
.
Zadanie.
a) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
x
y
sin
,
x
y
cos
dla
4
4
5
;
x
.
5
b) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
2
4
x
y
i
x
y
3
.
c) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:
2
y
x
i
x
y
2
.
Jeśli linia krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi
)
(
)
(
t
y
y
t
x
x
, to pole obszaru
ograniczonego tą krzywą, prostymi
a
x
,
b
x
i odcinkiem
b
a
;
osi Ox obliczamy
według wzoru:
2
1
)
(
)
(
t
t
dt
t
x
t
y
S
,
gdzie
1
t i
2
t wyznaczamy z równań:
)
(
1
t
x
a
,
)
(
2
t
x
b
, pod warunkiem, że
0
)
(
t
y
dla
2
1
t
t
t
, a
)
(t
x
jest funkcją rosnącą na tym przedziale.
Przykład 7. Obliczyć pole figury ograniczonej jedną pętlą cykloidy
)
cos
1
(
2
)
sin
(
2
t
y
t
t
x
i osią
odciętych Ox.
Mamy w tym przypadku, że
2
0
t
oraz
)
cos
1
(
2
)
(
t
t
x
. Zatem
2
0
)
cos
1
(
2
)
cos
1
(
2
dt
t
t
S
=
2
0
2
)
cos
1
(
4
dt
t
=
2
0
)
cos
cos
2
1
(
4
2
dt
t
t
=
=
2
0
2
sin
4
1
2
sin
2
4
t
t
t
t
=
)
0
0
2
(
4
=
12
.
W wielu sytuacjach dotyczących opisu linii i figur na
płaszczyźnie
wygodnie
jest
posługiwać
się
współrzędnymi biegunowymi.
Związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i
współrzędnymi biegunowymi (jeśli biegun pokrywa się
ze środkiem układu współrzędnych kartezjańskich, a oś
biegunowa pokrywa się z półosią Ox):
sin
cos
r
y
r
x
6
Pole krzywoliniowego sektora ograniczonego krzywą
opisaną w układzie biegunowym związkiem
)
(
r
r
i
dwoma biegunowymi promieniami
i
)
(
obliczamy według wzoru
d
r
S
2
2
1
Przykład 8. Znaleźć pole figury ograniczonej
lemniskatą
)
2
cos(
2
2
r
.
Zauważmy, że
4
1
pola odpowiada zakresowi parametru
od 0 do
4
, dlatego
4
/
0
)
2
cos(
2
4
2
1
d
S
=
4
0
)
2
sin(
4
2
1
=
2
1
4
= 2.
Zadanie.
Wyznaczyć pole figury ograniczone kardioidą opisaną związkiem
)
cos
1
(
a
r
,
2
;
0
.
Obliczanie długości łuków płaskich.
1. Jeżeli krzywa
)
(x
f
y
jest na przedziale
b
a;
gładka (tzn. ma ciągłą pochodną),
to długość l odpowiedniego łuku tej krzywej obliczamy według wzoru
b
a
dx
y
l
2
)
(
1
(wyrażenie
dx
y
dl
2
)
(
1
nazywamy różniczką łuku; piszemy też
b
a
dl
l
).
2. Jeżeli krzywa dana jest równaniami parametrycznymi
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
, przy czym
obie te funkcje mają ciągłe pochodne w przedziale
2
1
t
t
t
, to długość odpowiedniego
łuku wyraża się wzorem
2
1
2
2
))
(
(
))
(
(
t
t
dt
t
y
t
x
l
(wtedy
dt
y
x
dl
2
2
)
(
)
(
).
3. Jeżeli krzywa dana jest równaniem
)
(
r
r
we współrzędnych biegunowych, przy
czym
)
(
r
ma w przedziale
ciągłą pochodną i łuk nie ma części wielokrotnych,
to długość odpowiedniego łuku tej krzywej dana jest wzorem
d
r
l
d
dr
2
2
)
(
.
7
Przykład 9.
Znaleźć długość łuku krzywej
3
2
x
y
w zakresie od
0
x
do
1
x
0)
(
y
.
Mamy tutaj
3
x
y
, skąd
x
y
2
3
i
x
y
4
9
2
)
(
.
1
0
1
4
9
dx
l
x
4
13
1
1
0
9
4
4
9
1
t
x
dt
dx
t
x
=
4
/
13
1
9
4
dt
t
=
4
13
2
3
1
3
2
9
4
t
=
)
(
1
2
13
4
13
27
8
=
27
8
13
13
.
Obliczanie objętości brył obrotowych i pola ich powierzchni bocznej
Jeżeli trapez krzywoliniowy ograniczony krzywą
)
(x
f
y
i prostymi
0
y
,
a
x
,
b
x
obraca się wokół osi
Ox
, to objętość powstałej w ten sposób bryły obrotowej wyraża
się wzorem:
b
a
dx
y
V
2
,
a pole powierzchni bocznej tej bryły wzorem:
b
a
b
a
dx
y
y
ydl
S
2
)
(
1
2
2
(w przypadku krzywej danej równaniami parametrycznymi
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
dla
2
1
t
t
t
mamy odpowiednio:
2
1
)
(
2
t
t
dt
t
x
y
V
,
2
1
2
2
)
(
)
(
2
t
t
dt
y
x
y
S
).
Przykład 10. Obliczyć objętość bryły obrotowej otrzymanej przez
obrót wokół osi Ox obszaru ograniczonego fragmentem sinusoidy
oraz odcinkiem osi Ox w zakresie od 0 do
.
dx
x
V
0
2
)
(sin
=
0
]
2
sin
[
4
1
2
1
x
x
=
2
1
=
2
2
1
.
8
Całki niewłaściwe
Całkami niewłaściwymi nazywamy:
1) całki w przedziałach nieskończonych,
2) całki z funkcji nieograniczonych.
Ad 1. Całką niewłaściwą z funkcji
)
(x
f
w przedziale
)
;
a
określamy równością
b
a
a
dx
x
f
dx
x
f
b
)
(
lim
)
(
.
Jeśli określona granica istnieje, to mówimy, że dana całka jest zbieżna, jeśli nie istnieje lub
jest niewłaściwa, to mówimy, że dana całka jest rozbieżna.
Analogicznie określamy:
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
a
)
(
lim
)
(
.
Przykład 11.
1
2
1
dx
x
=
b
dx
x
b
1
2
1
lim
=
b
b
x
1
]
[
lim
1
=
)
(
lim
1
1
1
b
b
= 0+1 = 1.
Przykład 12.
dx
x
1
1
2
=
0
2
1
1
2
dx
x
= 2
b
dx
x
b
0
2
1
1
lim
=
b
b
x
0
]
[arctan
lim
2
=
=
b
b
arctan
lim
2
=
2
2
.
Ad 2. Jeżeli funkcja
)
(x
f
ma w punkcie
)
;
(
b
a
c
punkt nieciągłości drugiego rodzaju i jest
ciągła dla
b
c
c
a
x
;
(
)
;
oraz jeśli istnieją granice:
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
i
)
(
lim
0
0
,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji
)
(x
f
przedziale
b
a
;
. Jeśli
któraś z tych granic jest niewłaściwa, to mówimy, że całka
b
a
dx
x
f
)
(
jest rozbieżna (chodzi tu
o funkcje, które w dowolnym otoczeniu
)
;
(
c
c
punktu c są nieograniczone).
Przykład 13.
1
1
2
1
dx
x
=
1
2
0
1
lim
2
c
dx
x
c
=
1
0
]
[
lim
2
1
c
c
x
=
)
(
lim
1
1
0
c
c
=
Całka ta jest rozbieżna. Interpretując ją geometrycznie, powiemy, że
zaznaczony nieograniczony obszar ma nieskończone pole.
9
Przykład 14.
4
0
1
dx
x
=
1
1
0
lim
a
a
dx
x
=
4
0
]
[
lim
2
a
a
x
=
)
2
4
2
(
0
lim
a
a
= 4
Ta całka niewłaściwa jest zbieżna. Interpretując ją geometrycznie,
powiemy, że zaznaczony nieograniczony obszar ma skończone pole
równe 4 [j
2
].
Zadanie. Wyznaczyć objętość nieograniczonej bryły obrotowej otrzymanej przez obrót wokół
osi Ox nieograniczonego obszaru zawartego między liniami
x
y
1
,
1
x
,
0
y
(dla
1
x
).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
calki podwojne id 287910 Nieznany
oznaczenia 2 id 343343 Nieznany
Calki podwojne id 108020 Nieznany
calki 10 id 107947 Nieznany
CALKI NIEWLASCIWE2008 id 107240 Nieznany
8 calki nieoznaczone id 46865 Nieznany (2)
2wyklad 5 Calka oznaczona id 60 Nieznany (2)
BUD WODA OZNACZENIA id 93914 Nieznany
calki wzory id 108848 Nieznany
Oznaczenia id 343339 Nieznany
Odpowiedzi calki biegunowe id Nieznany
Kolorymetr oznaczanie Fe id 241 Nieznany
Calki, IB i IS, 2011 12 id 1073 Nieznany
calka oznaczona Wronicz id 1079 Nieznany
CALKI id 107236 Nieznany
Oznaczenia Samochodow id 343374 Nieznany
ZiIP calki id 590338 Nieznany
calki 6 id 107964 Nieznany
Oznaczenia PSP id 343373 Nieznany
więcej podobnych podstron