MECHANIKA GRUNTÓW
MECHANIKA GRUNTÓW
Wykład 9
MECHANIKA GRUNTÓW
MECHANIKA GRUNTÓW
Wykład 9
Równania opisuj ce stany napr e i odkształce w gruncie
(model liniowej spr ysto ci)
Opis stanów odkształce i napr e
ij
– współrz dne tensora napr enia
(6)
u - współrz dne wektora przemieszczenia (3)
u
i
- współrz dne wektora przemieszczenia (3)
ij
– współrz dne tensora odkształcenia
(6)
Ł cznie funkcji opisuj cych stany odkształce i napr e
(15)
Równania:
1) Równowagi wewn trzne (3)
i,j = 1,2,3
2) Geometryczne (6)
0
,
=
j
ji
σ
2) Geometryczne (6)
(
)
i
j
j
i
ij
u
u
,
,
2
1
+
=
ε
3) Fizyczne (konstytutywne) (6)
2
v
δ
σ
σ
ε
⋅
−
=
1
1
=
=
j
i
1
δ
Ł cznie równa opisuj cych stany napr e i odkształce : 15
ij
ii
ij
ij
G
v
G
δ
σ
σ
ε
⋅
+
−
=
2
1
2
≠
=
j
i
ij
0
δ
Równania opisuj ce stany napr e i odkształce w gruncie
(model liniowej spr ysto ci)
Po podstawieniu do równa fizycznych (3) równa geometrycznych (2 i dalej do (1)
otrzymujemy:
1
i=1,2,3
gdzie:
0
,
2
1
1
=
−
+
∆
i
i
v
G
u
G
ε
,
ε
ε
=
gdzie:
Otrzymane równania s układem równa ró niczkowych cz stkowych II-go rz du
typu eliptycznego
ii
,
ε
ε
=
typu eliptycznego
Warunki brzegowe (dla )
a) Przemieszczeniowe
B
x
∈
a) Przemieszczeniowe
b) Napr eniowe
B
i
B
x
i
u
u
=
∈
c) Mieszane
B
ij
x
ij
σ
σ
=
∈
B = Bu + B
B
ij
B
x
ij
B
i
Bu
x
i
u
u
σ
σ
σ
=
=
∈
∈
;
Równania opisuj ce stany napr e i odkształce w gruncie
(model liniowej spr ysto ci)
Dla zagadnienia dwuwymiarowego (płaskiego) mo na zapisa układ równa
dla napr e w postaci:
0
=
∂
∂
+
∂
∂
z
x
xz
xx
σ
σ
0
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
z
x
z
x
zz
xz
σ
σ
(
)
(
)
0
0
2
2
=
+
∂
+
+
∂
+
∂
+
∂
z
x
zz
xx
zz
xx
σ
σ
σ
σ
(
)
(
)
0
2
2
=
∂
+
∂
+
∂
+
∂
z
x
zz
xx
zz
xx
σ
σ
σ
σ
Do tego układu nale y doł czy odpowiednie warunki brzegowe.
Przy rozwi zywaniu zada płaskich jest zatem mo liwe:
1. Wyznaczy składowe stanu napr enia
1. Wyznaczy składowe stanu napr enia
2. Maj c pole napr e , wyliczy ze zwi zków fizycznych odkształcenia
3. Wyznaczy przemieszczenia, wykorzystuj c zwi zki geometryczne
ZAGADNIENIE BOUSSINESQA
Brzeg półprzestrzeni jest obci ony normaln sił skupion .
Brak jest napr e stycznych.
Taki układ sił wywołuje osiowo-symetryczne stany: napr enia i odkształcenia.
Stosowny do opisu takiej sytuacji jest walcowy układ współrz dnych (r, ,z)
z funkcjami nie zale nymi od k ta .
z funkcjami nie zale nymi od k ta .
Warunki brzegowe przyjmuj posta :
)
(
−
=
z
r
r
P
δ
σ
0
=
−
=
z
r
P
σ
σ
0
=
rz
σ
ZAGADNIENIE BOUSSINESQA
Rozwi zanie zadania:
Przemieszczenia:
Rozwi zanie zadania:
(
) ( )
+
−
−
=
3
2
1
4
z
R
R
r
v
R
rz
v
P
u
Przemieszczenia:
u – przemieszczenie radialne
(
) ( )
(
)
+
−
=
+
3
2
3
1
2
4
4
R
z
R
v
v
P
w
z
R
R
R
v
w – przemieszczenie osiowe
+
=
3
4
R
R
v
w
Napr enia:
(
)
5
2
2
2
3
1
2
1
2
R
z
r
R
r
z
r
v
P
r
−
−
⋅
−
=
π
σ
Napr enia:
r
– napr enie radialne
5
3
2
3
R
z
P
z
−
=
π
σ
z
– napr enie osiowe
(
)
3
2
2
1
2
1
2
2
R
z
R
r
z
r
v
P
R
+
+
−
⋅
−
=
π
σ
π
α
– napr enie obwodowe
5
2
2
3
R
rz
P
rz
⋅
−
=
π
σ
rz
– napr enie styczne
ZAGADNIENIE FLAMANTA
Na brzegu półprzestrzeni spr ystej działa liniowe obci enie P w kierunku osi x
3
.
Stany napr enia, odkształcenia wywołane takim obci eniem nazywaj si płaskimi
stanami napr enia, odkształcenia. Funkcje je opisuj ce w kartezja skim układzie
stanami napr enia, odkształcenia. Funkcje je opisuj ce w kartezja skim układzie
współrz dnych ale tylko od x
1
i x
2
.
Zagadnienie brzegowe w tym układzie współrz dnych opisuj równania:
Zagadnienie brzegowe w tym układzie współrz dnych opisuj równania:
0
)
(
2
11
=
⋅
−
=
σ
δ
σ
x
P
Rozwi zanie zagadnienia:
0
12
=
σ
3
2
x
P ⋅
−
=
σ
2
2
2
2
1
1
11
)
(
2
x
x
x
P
+
⋅
−
=
π
σ
2
2
x
x
P ⋅
−
=
σ
2
2
2
2
1
2
1
22
)
(
2
x
x
x
x
P
+
⋅
−
=
π
σ
2
2
x
x
P ⋅
−
=
σ
2
2
2
2
1
2
1
12
)
(
2
x
x
x
x
P
+
⋅
−
=
π
σ
NAPR
ENIA W O RODKU GRUNTOWYM
OBCI
ENIE ROZŁO ONE RÓWNOMIERNIE
(ZADANIE PŁASKIE)
(ZADANIE PŁASKIE)
Warunek brzegowy:
0
=
−
=
z
q
σ
σ
Warunek brzegowy:
0
=
xz
σ
)
2
cos
2
sin
2
(
ω
ε
ε
σ
⋅
+
⋅
=
q
Rozwi zanie:
)
2
cos
2
sin
2
(
ω
ε
ε
π
σ
⋅
+
⋅
=
q
z
)
2
cos
2
sin
2
(
ω
ε
ε
π
σ
⋅
−
⋅
=
q
)
2
sin
2
(
1
ε
ε
π
σ
+
⋅
=
q
Napr enia główne:
)
2
cos
2
sin
2
(
ω
ε
ε
π
σ
⋅
−
⋅
=
x
ω
ε
π
σ
2
sin
2
sin
⋅
⋅
=
q
xz
)
2
sin
2
(
1
ε
ε
π
σ
+
⋅
=
)
2
sin
2
(
3
ε
ε
π
σ
−
⋅
= q
ω
ε
π
σ
2
sin
2
sin
⋅
⋅
=
xz
π
1
2
2
1
2
2
α
α
ε
α
α
ω
−
=
+
=
NAPR
ENIA W O RODKU GRUNTOWYM
OBCI
ENIE SZTYWNYM FUNDAMENTEM
OBCI
ENIE SZTYWNYM FUNDAMENTEM
(ZADANIE PŁASKIE)
Sformułowanie zadania:
<
=
B
x
w
w
0
2
2
>
=
<
=
B
x
x
w
w
B
σ
0
0
2
0
2
2
2
1
2
>
=
>
=
x
x
x
x
x
σ
σ
0
0
2
2
1
>
=
x
x
x
σ
−
=
2
2
2
)
(
B
B
P
dx
x
p
−
2
2
2
B
NAPR
ENIA W O RODKU GRUNTOWYM
OBCI
ENIE SZTYWNYM FUNDAMENTEM
OBCI
ENIE SZTYWNYM FUNDAMENTEM
(ZADANIE PŁASKIE)
Rozwi zanie zadania:
Rozwi zanie zadania:
−
+
−
=
)
3
cos(
cos
cos
2
1
2
2
1
1
ω
α
α
ω
π
σ
r
r
r
r
r
P
2
1
2
1
π
r
r
r
r
−
−
−
=
)
3
cos(
cos
cos
2
1
2
2
1
2
ω
α
α
ω
π
σ
r
r
r
r
r
P
2
1
2
1
)
3
sin(
cos
2
1
2
2
1
12
ω
α
α
π
σ
−
=
r
r
r
r
r
P
+
−
=
α
ω
σ
cos
cos
2
r
P
Napr enia główne:
Napr enia kontaktowe:
+
−
=
α
ω
π
σ
cos
cos
2
1
2
1
1
r
r
r
r
r
P
−
−
=
α
ω
σ
cos
cos
2
r
P
2
2
2
)
(
x
B
P
x
p
−
−
=
π
−
−
=
α
ω
π
σ
cos
cos
2
1
2
1
2
r
r
r
r
r
P
2
2
2
x
B −
π