11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych

‚w. 11.1 Oblicz granic¦ caªek

lim

n→∞

Z

A



x +

1

ny



2

l

2

(dxdy),

gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (1, 1), (2, 1), (1, 2).

‚w. 11.2 Oblicz granic¦ caªek

lim

n→∞

Z

A



1 +

 x + y

5



n



x l

2

(dxdy),

gdzie A = {(x, y); 1 < x < 2; −1 < y − x < 1}.

‚w. 11.3 Oblicz

lim

n→∞

Z

A

n

 x

2

+ y

2

2



n

l

2

(dxdy),

gdzie A

n

= {(x, y); |x| ≤ 1 −

1

n

, |y| ≤ 1 −

1

n

}.

‚w. 11.4 Obliczy¢ granic¦ caªek

Z

A

(1 +

x + y

n

)

n

e

−x−y−z

l

3

(dxdydz).

gdzie a) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0},

b) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0, x > 0, y > 0}.

‚w. 11.5 (1996) Znajd¹, o ile istnieje, granic¦

lim

n→∞

Z

A

(1 − sin

n

(x + y))xy

2

l

2

(dxdy),

gdzie A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ y

2

}.

‚w. 11.6 (1995) Niech f

n

(x, y) =

n

px

2

+ y

2

I

(0,∞)

(xy) + (1 − x

2

− y

2

)

n

I

(−∞,0]

(xy).

Oblicz

lim

n→∞

R

U

f

n

(x, y)l

2

(dxdy)

, gdzie U = {(x, y); x

2

+ y

2

≤ 1}.

‚w. 11.7 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦

lim

n→∞

Z

S

n sin



xyz

n

2



exp



−

x

2

−

y

2

4

− z



l

3

(dxdydz),

gdzie S = {(x, y, z); x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.