RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci:





0

,

,





y

y

x

F

(1)

Definicja

Funkcję

 

x

y

y



nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (1) na przedziale

 

b

a,

,

jeżeli na tym przedziale jest różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość:

   





0

,

,





x

y

x

y

x

F

Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.

Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci uwikłanej

 

C

x

y

,





nazywamy

rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) tego równania. Rozwiązanie szczególne (całkę
szczególną) otrzymujemy nadając parametrowi

C

pewną stałą wartość (należącą do jego

dziedziny).

Definicja

Równanie różniczkowe (1) oraz warunek

 

0

0

y

x

y



(2)

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Warunek (2) nazywamy warunkiem początkowym.

Definicja

Funkcję

 

x

y

nazywamy rozwiązaniem zagadnienia początkowego (1-2), jeżeli jest

rozwiązaniem równania (1) na pewnym przedziale zawierającym punkt

0

x i spełnia warunek

(2).

Definicja

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci

 

 

dx

x

q

dy

y

p



(3)

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.

C

AŁKA RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Jeżeli funkcje

 

y

p

i

 

x

q

są ciągłe, to całka równania różniczkowego o zmiennych

rozdzielonych (3) dana jest wzorem:

 

 

C

dx

x

q

dy

y

p









gdzie

C

jest dowolną stałą rzeczywistą.

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Na wykładzie!!!

Definicja

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci

















x

y

f

y

(4)

nazywamy równaniem jednorodnym.

Z

AMIANA ZMIENNYCH W RÓWNANIU JEDNORODNYM

Równanie jednorodne (4) przez zamianę zmiennych

u

x

y



sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych

 

u

u

f

u

x







S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ JEDNORODNYCH

Na wykładzie!!!

Definicja

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci

 

 

x

q

y

x

p

y







(5)

nazywamy równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeżeli

 

0



x

q

, to równanie nazywamy

liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym
jednorodnym.

W

YBRANE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH NIEJEDNORODNYCH

 metoda uzmienniania stałej
 metoda przewidywania
 metoda czynnika całkującego

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH

Na wykładzie!!!

Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II