RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 

 

 

Definicja 

Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci: 
 





0

,

,





y

y

x

F

  

(1) 

 

Definicja 

Funkcję 

 

x

y

y



 nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (1) na przedziale 

 

b

a,

, 

jeżeli na tym przedziale jest różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość: 

   





0

,

,





x

y

x

y

x

F

 

Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową. 

 

Rozwiązanie  równania  różniczkowego  zadane  w  postaci  uwikłanej 

 

C

x

y

,





  nazywamy 

rozwiązaniem  ogólnym  (całką  ogólną)  tego  równania.  Rozwiązanie  szczególne  (całkę 
szczególną)  otrzymujemy  nadając  parametrowi 

C

  pewną  stałą  wartość  (należącą  do  jego 

dziedziny). 

 

 

Definicja 

Równanie różniczkowe (1) oraz warunek 
 

 

0

0

y

x

y



  

(2) 

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego. 
 
Warunek (2) nazywamy warunkiem początkowym. 
 
 

Definicja 

Funkcję 

 

x

y

  nazywamy  rozwiązaniem  zagadnienia  początkowego  (1-2),  jeżeli  jest 

rozwiązaniem równania (1) na pewnym przedziale zawierającym punkt 

0

x  i spełnia warunek 

(2). 
 
 

Definicja 

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci 
 

 

 

dx

x

q

dy

y

p



  

(3) 

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. 
 
 

C

AŁKA RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

 

Jeżeli  funkcje 

 

y

p

  i 

 

x

q

  są  ciągłe,  to  całka  równania  różniczkowego  o  zmiennych 

rozdzielonych (3) dana jest wzorem: 

 

 

C

dx

x

q

dy

y

p









 

gdzie 

C

 jest dowolną stałą rzeczywistą. 

 
 

 

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

 

Na wykładzie!!! 
 

Definicja 

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci 

 

















x

y

f

y

  

(4) 

nazywamy równaniem jednorodnym. 
 
 

Z

AMIANA ZMIENNYCH W RÓWNANIU JEDNORODNYM

 

Równanie jednorodne (4) przez zamianę zmiennych 

u

x

y



 

sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych 

 

u

u

f

u

x







 

 

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ JEDNORODNYCH

 

Na wykładzie!!! 
 

Definicja 

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci 
 

 

 

x

q

y

x

p

y







  

(5) 

nazywamy  równaniem  liniowym  pierwszego  rzędu. Jeżeli 

 

0



x

q

, to równanie nazywamy 

liniowym  niejednorodnym.  W  przeciwnym  przypadku  nazywamy  je  równaniem  liniowym 
jednorodnym. 
 

W

YBRANE METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH NIEJEDNORODNYCH

 

  metoda uzmienniania stałej 
  metoda przewidywania 
  metoda czynnika całkującego 
 

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH

 

Na wykładzie!!! 
 
 

Literatura 

1.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania 
2.  W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II