KOD
ZDAJĄCEGO
Miejsce na identyfikację szkoły
LISTOPAD
2011
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 50 punktów.
PESEL ZDAJĄCEGO
Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY
Z OPERONEM
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
In struk cja dla zda ją ce go
1.
Sprawdź, czy ar kusz eg za mi na cyj ny za wie ra 15 stron
(za da nia 1–34). Ewen tu al ny brak zgłoś prze wod ni czą -
ce mu ze spo łu nad zo ru ją ce go eg za min.
2.
Roz wią za nia zadań i od po wie dzi za pisz w miej scu
na to prze zna czo nym.
3.
W roz wią za niach za dań ra chun ko wych przed staw tok
ro zu mo wa nia pro wa dzą cy do osta tecz ne go wy ni ku.
4.
Pisz czy tel nie. Uży waj dłu go pi su/pió ra tyl ko z czar nym
tu szem/atra men tem.
5.
Nie uży waj ko rek to ra, a błęd ne za pi sy wy raź nie prze -
kreśl.
6.
Za pi sy w brud no pi sie nie będą oce niane.
7.
Obok nu me ru każ de go za da nia po da na jest mak sy -
mal na licz ba punk tów moż li wych do uzy ska nia.
8. Możesz ko rzy stać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i li nij ki oraz kal ku la to ra.
Życzymy powodzenia
!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.
Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań
przez dyrektorów szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 1
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
ZA DA NIA ZA MKNIĘ TE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Największa liczba naturalna
spełniająca nierówność
to
A. 3
B.
C.
D.
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba jest
równa
A. B. C. D.
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba jest
równa
A. B. C. D.
Zadanie 4. (1 pkt)
pewnej liczby jest o
mniejsze od tej liczby. Tą liczbą jest
A. B. C. D.
Zadanie 5. (1 pkt)
Rozwiązaniem równania
jest liczba
A. B. C. D.
Zadanie 6. (1 pkt)
Większa z liczb spełniających równanie
to
A. B. C. D.
Zadanie 7. (1 pkt)
Przedział zaznaczony na osi liczbowej
jest zbiorem rozwiązań nierówności
A. B. C. D.
n
n
2
1
< r -
5
6
0
7
2
16
3
8
3
1
4
3
+
-
b l
1
-
49
4
2
4
1
-
1
6
log
2
3
log
log
$
log
log
2
12
2
3
log
log
+
2
3
log
log
-
16
%
20
32
20
2
-
20
-
2
x
x
2
1
- =
+
-
1
-
1
3
5
0
6
8
0
x
x
2
+
+
=
2
4
2
-
4
-
X
2
1
0
|
|
x
1
1
G
-
|
|
x
1
1
H
-
|
1 |
2
x
H
+
|
|
x
1
1
G
+
2
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 2
BRUD NO PIS
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
3
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 3
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 8. (1 pkt)
Dziedziną funkcji
jest zbiór
A. B. C. D.
Zadanie 9. (1 pkt)
Funkcja liniowa
jest rosnąca, gdy
A. B. C. D.
Zadanie 10. (1 pkt)
Rysunek przedstawia wykres funkcji
.
Funkcja jest malejąca w przedziale
A. B. C. D.
Zadanie 11. (1 pkt)
Punkt
należy do wykresu funkcji
. Liczba
jest równa
A. B. C. D.
Zadanie 12. (1 pkt)
Do zbioru rozwiązań nierówności
należy liczba
A. B. C. D.
2
3
-
0
2
-
( )
,
,
1
1
4
f x
x
x
x
x
2
1 gdy
gdy
<
G
G
=
-
+
-
*
, 1
3
-
]
g
,
0 4
,
1 4
(
, 4
3
-
( )
(
2)
2
f x
m
x
m
=
+
+
4
m > -
2
m > -
2
m <
2
m < -
y
f x
=
^ h
X
Y
1
– 3
– 2
– 1
0
2
3
4
– 4
– 3
– 2
– 1
2
1
3
4
5
6
7
8
9
2, 4
-
0, 6
1, 6
0, 4
a
( )
f x
x
4
=
,
P
a
1 2
=
+
]
g
1
2
1
-
0
x
9
2
G
4
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 4
BRUD NO PIS
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
5
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 5
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 13. (1 pkt)
Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu
.
A. B. C. D.
Zadanie 14. (1 pkt)
Liczby , ,
są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego.
Wówczas liczba
jest równa
A. B. C. D.
Zadanie 15. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym
są dane:
,
. Suma czterech kolejnych początkowych
wyrazów tego ciągu jest równa
A. B. C. D.
Zadanie 16. (1 pkt)
Kąt
jest ostry i
. Wówczas
A. B. C. D.
Zadanie 17. (1 pkt)
Dane są wielomiany
oraz
. Stopień wielomianu
jest równy
A. B. C. D.
Zadanie 18. (1 pkt)
Mediana
danych: , , , , jest
równa
A. B. C. D.
Zadanie 19. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu
z prostą o równaniu
jest równa
A. B. C.
D.
Zadanie 20. (1 pkt)
Punkty
i
są wierzchołkami trójkąta równobocznego
. Wysokość tego
trójkąta jest równa
A. B. C. D.
1
y
x
2
1
=
+
2
1
y
x
=
-
1
y
x
2
1
= -
+
0,5
1
y
x
=
-
2
1
y
x
= -
+
2
x +
4
x
x
1
6
3
2
2
q = -
1
a
2
= -
a
n
^ h
7,5
2,5
-
7,5
-
2,5
sin
5
2
a =
a
cos
sin
1
a
a
=
-
cos
sin
<
a
a
cos
sin
>
a
a
cos
sin
a
a
=
( )
( )
W x
V x
+
( )
1
V x
x
4
=
+
( )
1
W x
x
4
=
-
0
16
8
4
1
0
6
2
4
-
1
2,5
0
6
1
y = -
4
y
2
2
x
1 +
=
-
]
g
3
2
1
0
ABC
,
B
2 2
=
]
g
,
A
2
1
= -
-
]
g
2,5 3
5 3
2 3
2,5
6
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 6
BRUD NO PIS
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
7
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 7
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 21. (1 pkt)
Dany jest okrąg o środku w punkcie . Miara kąta
jest równa
.
Suma miar kątów
i
jest równa
A. B. C. D.
Zadanie 22. (1 pkt)
Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne
i
są równoramienne.
Obwód trapezu jest równy
A. B. C. D.
Zadanie 23. (1 pkt)
Graniastosłup ma
wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
A. B. C. D.
Zadanie 24. (1 pkt)
Tworząca stożka jest o
dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest
równe
. Tworząca stożka ma zatem długość
A. B. C. D.
Zadanie 25. (1 pkt)
Cztery dziewczynki i sześciu chłopców siedzą na tym samym pniu zwalonego dębu. Dziewczynki siedzą
obok siebie i chłopcy również siedzą obok siebie. Wszystkich możliwych sposobów posadzenia dzieci
w ten sposób jest
A. B.
C. D.
°
70
a
S
S
a
b
c
c
b
140°
70°
210°
°
180
CBD
ABD
A
B
C
D
2
4
4
2
+
2 2
4
2 2
+
2
6
n +
3
9
n +
6
18
n +
4
8
n +
3
n +
2
15r
15
3
5
1
2 4 1 2 3 4 5 6
$
$
$
$
$
$
$
4 6
$
1 2 3 4 6 5 4 3 2 1 2
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
1 2 3 4 6 5 4 3 2 1
$
$
$
$
$
$
$
$
$
8
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 8
BRUD NO PIS
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
9
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 9
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią
zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu
i przechodzącej przez
punkt .
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
Zadanie 27. (2 pkt)
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość . Kąt ostry przy tym boku ma miarę .
Wykaż, że
.
3
4
0
x
y
-
+ -
=
,
P
1
4
= -
-
]
g
a
sin
cos
1
>
a
a
+
a
10
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 10
Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości , , ma długość
.
Zadanie 29. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
.
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
a
b
c
2
2
2
+
+
c
b
a
x
x
5
6
2
G
+
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
11
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 11
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 30. (2 pkt)
Wiadomo, że
i
są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , że
,
i .
Oblicz
.
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
Zadanie 31. (2 pkt)
Przekątna równoległoboku ma długość
cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym
bokiem kąt
. Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
10
°
30
( )
0,6
P B =
( )
,
P A
0 7
=
X
B
A
(
)
P A
B
+
(
)
,
P A
B
0 8
,
=
12
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 12
Zadanie 32. (4 pkt)
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
jest styczny do przeciwprostokątnej
w punkcie
.
Wiadomo, że
i
. Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
Zadanie 33. (4 pkt)
Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba oczek otrzymana
w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek otrzymanej w drugim rzucie?
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
K
AB
ABC
|
|
KB
6
=
|
|
AK
4
=
A
B
K
C
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
13
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 13
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Zadanie 34. (5 pkt)
Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa , a długość
krawędzi bocznej jest równa
. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.
Odpowiedź: .......................................................................................................................................................
6
2 15
14
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 14
BRUD NO PIS (nie pod le ga oce nie)
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
15
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 15
PMD-MP12-ARK-glowny-ZP_LMD-MP10-ARK2-ZP 11-10-10 17:19 Page 16