kinetyczna teoria gazów

1

KINETYCZNA TEORIA GAZÓW

♦

Założenia teorii klasycznej

1.

spełnione są zasady zachowania

2.

procesy są ciągłe

3.

cząstki są rozróżnialne

4.

każda cząstka może mieć dowolne wartości

współrzędnych i pędów

♦

Ciśnienie gazu - rezultat zderzeń

kinetyczna teoria gazów

2

PODSTAWOWE RÓWNANIE

KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW

2

3

k

pV

E

=

∑

=

=

n

i

i

i

k

u

m

E

1

2

2

1

Dla

m

i

= m

2

1

2

k

kw

E

nmv

=

ś

rednia prędkość kwadratowa

1

2

2

1

1

n

kw

i

i

v

u

n

=





=









∑

gaz

masa molowa

m

/s

H

2

2,02

1920

He

4

1370

H

2

O

18

645

N

2

28

517

O

2

32

482

CO

2

44

412

kinetyczna teoria gazów

3

TEMPERATURA

Porównując podstawowe równanie teorii kinetycznej

k

E

pV

3

2

=

z równaniem Clapeyrona

pV= nkT

otrzymuje się średnią energię kinetyczną ruchu
postępowego jednej cząstki

kT

E

K

2

3

=

23

10

38

,

1

−

⋅

≈

k

J/K

jest stałą Boltzmanna.

k = R/N

A

Temperatura

jest miarą średniej energii kinetycznej.

kinetyczna teoria gazów

4

ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII

•

Ś

rednio na jeden stopień swobody

ruchu postępowego i ruchu
obrotowego przypada taka sama ilość
energii kinetycznej, kT/2.

2

K

k T

E

i

=

i

– ilość stopni swobody cząsteczki

•

Ś

rednia wartość energii, przypadającej na jeden stopień

swobody ruchu drgającego zawiera wkład od energii
kinetycznej i potencjalnej

kT

E

E

PO

KO

2

1

=

=

kT

E

E

E

p

k

=

+

=

0

0

0

kinetyczna teoria gazów

5

ENERGIA WEWNĘTRZNA

Energia wewnętrzna

gazu wieloatomowego jest energią

kinetyczną wszystkich rodzajów ruchu jego cząstek.

Dla jednego mola

2

2

A

k

A

ikT

RT

U

N

E

N

i

=

=

=

N

A

– liczba Avogadra,

R - uniwersalna stała gazowa

Amadeo Avogadro (1776-1856)

- wszystkie gazy zajmujące taką samą objętość w tej samej

temperaturze i przy tym samym ciśnieniu zawierają taka

samą liczbę cząsteczek.

kinetyczna teoria gazów

6

CIEPŁO MOLOWE GAZU

Dla jednego mola

2

2

RT

i

T

kN

i

N

E

U

A

A

k

=

=

=

W przemianie izochorycznej (V = const.)

T

C

T

R

i

T

kN

i

U

Q

V

A

const

V

∆

=

∆

=

∆

=

∆

=

=

2

2

.

R

i

C

V

2

=

Ciepło molowe cząsteczek H

2

przy stałej objętości

Halliday, Resnick, Walker

powyżej 3 200 K dysocjacja cząsteczek

kinetyczna teoria gazów

7

ROZKŁAD PRĘDKOŚCI CZĄSTEK

(rozkład Maxwella)

du

u

kT

mu

kT

m

n

dn

2

2

2

3

0

4

2

exp

2

π

π

⋅













−

⋅













=

dn

–

liczba cząstek o prędkościach od

u

do

u + du

cząsteczki O

2

T

1

< T

2

< T

3

du

dn

T

1

T

2

T

3

u

pr

u

0

1

)

(

n

du

dn

u

P

=

kinetyczna teoria gazów

8

ROZKŁAD MAXWELLA

•

prędkość najbardziej prawdopodobna

2

p r

kT

u

m

=

•

prędkość średnia

m

kT

u

π

8

=

•

prędkość średnia kwadratowa

m

kT

u

kw

3

=

kinetyczna teoria gazów

9

ROZKŁAD BOLTZMANA

ROZKŁAD POŁOŻEŃ W POLU SIŁ

(

)

(

)

dxdydz

kT

z

y

x

E

C

z

y

x

dn

P













−

⋅

=

,

,

exp

,

,

dn(x,y,z)

– liczba cząstek w obszarze

od x do x+dx,

od y do y+dy,

od z do z+dz.

kinetyczna teoria gazów

10

ROZKŁAD BOLTZMANA

Przykład
Ciśnienie powietrza w pobliżu powierzchni Ziemi

dV

kT

mgh

C

dn













−

⋅

=

exp

gęstość gazu:

dV

dn

m

=

ρ

exp

mgh

C

kT

ρ





= ⋅

−









wzór barometryczny:













−

⋅

=

kT

mgh

p

p

exp

0

k = 1,38×10

−

23

J/K

kinetyczna teoria gazów

11

ŚREDNIA DROGA SWOBODNA

Ś

rednia droga swobodna to średnia odległość

przebywana pomiędzy zderzeniami

< z > - średnia liczba zderzeń
na jednostkę czasu

2

0

(

)

wzg

z

n

d

u

π

=

<

>

2

0

2

(

)

z

n

d

u

π

=

⋅

Ś

rednia droga swobodna

τ

λ

⋅

=

u

0

2

2

1

n

d

z

u

π

λ

=

=

n

0

~ p

d~300pm

p

1

~

λ

cząsteczki powietrza
h = 0 <

λ

> = 0,1 mm

h = 100 km <

λ

> = 16 cm

h = 300 km <

λ

> = 20 km

π

d

2

v∆t

kinetyczna teoria gazów

12

ZJAWISKA TRANSPORTU

wyrównywanie niejednorodności koncentracji
i rozkładu prędkości cząsteczek

1.

Dyfuzja

– przenoszenie masy

Samoistne mieszanie się cząstek różnych rodzajów
substancji, wyrównywanie niejednorodność gęstości

0

n

D

j

∇

−

=

r

r

gdzie

−

j

r

gęstość strumienia cząstek

0

- gradient koncentracji cząstek

n

∇

r

D - współczynnik dyfuzji

λ

u

D

3

1

=

kinetyczna teoria gazów

13

ZJAWISKA TRANSPORTU

2.

Lepkość

(tarcie wewnętrzne)

Tarcie między poruszającymi się względem siebie
warstwami cieczy lub gazu

przekaz pędu

dv

dz

τ

η

= −

τ

- naprężenie styczne (siła na jednostkę powierzchni)

v - prędkość warstwy

z

– współrzędna normalna (prostopadła) do

powierzchni warstwy

η

- współczynnik lepkości dynamicznej

ρ

λ

η

⋅

=

u

3

1

A

B

v

2

v

1

kinetyczna teoria gazów

14

ZJAWISKA TRANSPORTU

3. Przewodnictwo cieplne

Wyrównuje rozkład średniej energii kinetycznej cząstek

Gęstość strumienia cieplnego:

T

K

q

∇

⋅

−

=

r

r

- gradient temperatury

T

∇

r

K - współczynnik przewodnictwa cieplnego

ρ

λ

⋅

⋅

=

V

c

u

K

3

1

Trzy mechanizmy przekazywania ciepła:

•

przewodnictwo cieplne

•

konwekcja

•

promieniowanie

kinetyczna teoria gazów

15

PRZEWODNICTWO CIEPLNE

L

T

T

KS

t

Q

Z

G

−

=

kinetyczna teoria gazów

16

JEDNOWYMIAROWE ZJAWISKA

TRANSPORTU

•

masa

dt

dS

dx

d

D

dM

⋅

−

=

ρ

•

pęd

dS

dx

dv

dF

η

−

=

dt

dS

dx

dT

K

dQ

⋅

−

=

λ

u

D

3

1

=

D

ρ

η

=

D

c

K

V

⋅

⋅

=

ρ

•

energia