Materiały dydaktyczne

do nauczania przedmiotów zawodowych

Materiały dydaktyczne

do nauczania przedmiotów zawodowych

ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH

w DARŁOWIE

ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH

w DARŁOWIE

Temat:

ś

egluga po loksodromie.

Loksodroma

jest to linia krzywa na powierzchni kuli ziemskiej, która przecina

południki pod tym samym k

ą

tem. Loksodroma spiralnie zbli

ż

a si

ę

do bieguna

lecz nigdy go nie osi

ą

ga.

N

S

Równik

Południk

o

α

α

α

α

Loksodroma nie jest najkrótsz

ą

drog

ą

pomi

ę

dzy 2 punktami na kuli

ziemskiej, poniewa

ż

nie jest łukiem koła wielkiego.

Loksodroma

na mapie w odwzorowaniu Merkatora jest lini

ą

prost

ą

i przecina południki siatki kartograficznej pod tym samym k

ą

tem

Loksodroma znajduje szerokie zastosowanie w nawigacji poniewa

ż

w

bardzo

prosty

sposób

mo

ż

na

j

ą

wykre

ś

li

ć

na

mapie

w odwzorowaniu Merkatora.

W

ż

egludze po loksodromie mamy do czynienia z dwoma zasadniczymi

problemami:

I problem:

Dane s

ą

:

współrz

ę

dne punktu wyj

ś

cia

A (

φ

A

λ

A

)

kurs rzeczywisty

(KR)

lub k

ą

t drogi nad dnem

(KDd)

odległo

ść

do przebycia

(d)

Obliczamy:

współrz

ę

dne punktu przeznaczenia

B (

φ

B

λ

B

)

II problem:

Dane s

ą

:

współrz

ę

dne punktu wyj

ś

cia

A (

φ

A

λ

A

)

współrz

ę

dne punktu przeznaczenia

B (

φ

B

λ

B

)

Obliczamy:

Kurs rzeczywisty

(KR)

lub k

ą

t drogi nad dnem

(KDd)

Odległo

ść

do przebycia

(d)

Najcz

ęś

ciej zadania zwi

ą

zane z tymi dwoma problemami rozwi

ą

zujemy

posługuj

ą

c si

ę

map

ą

nawigacyjn

ą

, na której mo

ż

na zmierzy

ć

kursy

i odległo

ś

ci oraz zdj

ąć

z mapy współrz

ę

dne punktu wyj

ś

cia

i przeznaczenia. Wyst

ę

puj

ą

jednak sytuacje, kiedy jest to trudne lub

wr

ę

cz niemo

ż

liwe, np.:

du

ż

a odległo

ść

mi

ę

dzy punktem wyj

ś

cia i przeznaczenia

mapa, któr

ą

dysponujemy ma zbyt mał

ą

skal

ę

brak mapy obejmuj

ą

cej cały akwen

ż

eglugi

W takich sytuacjach poszukiwane warto

ś

ci musimy obliczy

ć

analitycznie.

S

ą

dwie metody obliczenia tych warto

ś

ci:

Metoda

ś

redniej szeroko

ś

ci (

φ

ś

r

)

Metoda powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci (

V

)

Je

ż

eli rozwi

ą

zujemy

I problem

ż

eglugi po loksodromie

(obliczamy

współrz

ę

dne punku przeznaczenia

φ

B

λ

B

) i nasza droga składa si

ę

z

jednego odcinka loksodromy to mamy do czynienia z:

zliczeniem matematycznym prostym

Natomiast gdy, zmieniaj

ą

c kursy płyniemy kilkoma odcinkami loksodromy

to mamy do czynienia z:

zliczeniem matematycznym zło

ż

onym

Równik

o

A

B

1. Zliczenie matematyczne proste

A. Metoda

ś

redniej szeroko

ś

ci (

φ

ś

r

)

Trójk

ą

tem loksodromicznym

nazywamy trójk

ą

t (ABC) na kuli ziemskiej

powstały w wyniku przeci

ę

cia si

ę

:

południka

punktu wyj

ś

cia A

równole

ż

nika

punktu docelowego B

loksodromy

przechodz

ą

cej przez punkty A i B

N

λ

B

λ

A

φ

B

φ

A

c

KDd

∆λ

∆φ

a

Elementami trójk

ą

ta

loksodromicznego s

ą

:

Ró

ż

nica szeroko

ś

ci

∆φ

Zboczenie nawigacyjne

a

Odleg

ł

o

ść

loksodromiczna

d

K

ą

t drogi nad dnem

KDd

d

Boki trójk

ą

ta loksodromicznego wyra

ż

amy w

minutach szeroko

ś

ci

geograficznej

czyli w

milach morskich

Je

ż

eli trójk

ą

t loksodromiczny jest mały (d < 600 Mm) to mo

ż

emy go uzna

ć

za trójk

ą

t prostok

ą

tny płaski, o tych samych elementach, które ma trójk

ą

t

na kuli. Taki trójk

ą

t nazywamy

trójk

ą

tem nawigacyjnym

lub

drogowym

Do obliczania elementów trójk

ą

ta drogowego maj

ą

zastosowanie wzory

trygonometrii płaskiej

Trójk

ą

t drogowy ( nawigacyjny

)

jest to trójk

ą

t płaski, zawieraj

ą

cy

te same elementy co trójk

ą

t

loksodromiczny

a

φ

A

φ

B

λ

A

λ

B

∆φ

A

B

C

d

KDd

Z trójk

ą

ta drogowego wynikaj

ą

nast

ę

puj

ą

ce zale

ż

no

ś

ci:

∆φ = d cos KDd

a = d sin KDd

tg KDd =

a

∆φ

Zboczenie nawigacyjne a ma ró

ż

n

ą

warto

ść

na szeroko

ś

ciach

φ

A

i

φ

B

.

Aby zboczenie nawigacyjne w przypadku, gdy statek p

ł

ynie z punktu A do

punktu B by

ł

o równe zboczeniu nawigacyjnemu, gdy statek p

ł

ynie z

punktu B do A, wprowadzono

ś

redni

ą

warto

ść

zboczenia:

a =

a

A

+ a

B

2

φ

ś

r

=

φ

A

+ φ

B

2

Ś

rednia warto

ść

zboczenia nawigacyjnego jest bliska warto

ś

ci zboczenia

nawigacyjnego dla

ś

redniej szeroko

ś

ci punktu wyj

ś

cia A i punktu

przeznaczenia B.

W trójk

ą

cie drogowym dla zamiany zboczenia nawigacyjnego a na

ró

ż

nic

ę

długo

ś

ci geograficznej

∆λ

stosuje si

ę

nast

ę

puj

ą

ce wzory:

∆λ = a sec φ

śr

a = ∆λ cos φ

śr

Stosuj

ą

c metod

ę

ś

redniej szeroko

ś

ci

nale

ż

y pami

ę

ta

ć

,

ż

e:

Szeroko

ść

geograficzna

φ

nie powinna przekracza

ć

60°

(φ < 60°)

Ró

ż

nica szeroko

ś

ci

∆φ

powinna by

ć

mniejsza od 5°

(∆φ < 5°)

lub droga

po loksodromie powinna by

ć

mniejsza ni

ż

600 mil morskich

(d < 600 Mm)

I problem

ż

eglugi po loksodromie – obliczamy współrz

ę

dne punktu

przeznaczenia

φ

B

λ

B

Dane:

φ

A

, λ

A

, KDd, d

(KDd wyrażamy w systemie ćwiartkowym)

1) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci:

∆φ

= d cos KDd

(znak

∆φ

– jest

równoimienny z pierwszym wska

ź

nikiem KDd

.

2) Obliczamy zboczenie nawigacyjne

a = d sin KDd

3) Obliczamy

ś

redni

ą

szeroko

ść

:

4) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci:

∆λ

= a sec φ

ś

r

(znak

∆λ

– jest

równoimienny z drugim wska

ź

nikiem KDd.

5) obliczamy współrz

ę

dne punktu przeznaczenia

φ

B

λ

B

φ

B

= ∆φ + φ

A

λ

B

=

∆λ

+

λ

A

φ

ś

r

=

∆φ

2

+

φ

A

II problem

ż

eglugi po loksodromie – obliczamy KDd i d

Dane:

φ

A

, λ

A

, φ

B

, λ

B

,

1) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci geograficznej:

∆φ

= φ

B

– φ

A

2) Obliczamy ró

ż

nic

ę

długo

ś

ci geograficznej :

∆λ

= λ

B

– λ

A

3) Obliczamy zboczenie nawigacyjne:

a = ∆λ cos φ

ś

r

4) Obliczamy k

ą

t drogi nad dnem:

(KDd wyra

ż

amy w systemie

ć

wiartkowym, jego mianowanie zale

ż

y od

znaków

∆φ

oraz

∆λ

)

5) obliczamy odległo

ść

loksodromiczn

ą

:

d = ∆φ sec KDd

tg KDd =

a

∆φ

B. Metoda powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci (V)

Z konstrukcji mapy w odwzorowaniu Merkatora wynika,

ż

e odst

ę

p mi

ę

dzy

s

ą

siednimi równole

ż

nikami wzrasta wraz z secansem szeroko

ś

ci

geograficznej. Z tego powodu je

ż

eli z mapy Merkatora we

ź

mie si

ę

dowolny trójk

ą

t ABC, utworzony z :

Loksodromy przechodz

ą

cej przez punkty A i B

Południka punktu A

Równole

ż

nika punktu B

i obliczymy:

tg KDd =

∆λ

∆φ

to obliczona warto

ść

b

ę

dzie bł

ę

dna, poniewa

ż

∆φ

wyra

ż

ona jest w minutach

szeroko

ś

ciowych natomiast

∆λ

wyra

ż

ona jest w minutach długo

ś

ciowych.

Powi

ę

kszona szeroko

ść

nie jest miar

ą

odległo

ś

ci mi

ę

dzy dwoma

punktami na mapie.

Aby otrzyma

ć

wła

ś

ciw

ą

warto

ść

tg

KDd

nale

ż

y obie warto

ś

ci wyrazi

ć

w

tych samych jednostkach. Za tak

ą

jednostk

ę

przyjmuje si

ę

warto

ść

, która

na mapie Merkatora nie ulega zmianie. Warto

ś

ci

ą

t

ą

jest długo

ść

łuku

równika odpowiadaj

ą

ca

jednej minucie długo

ś

ci geograficznej

. Jest

ona jednostk

ą

powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci

.

Powi

ę

kszona szeroko

ść

(V)

jest to odległo

ść

danego równole

ż

nika od

równika wyra

ż

ona w minutach długo

ś

ciowych ( długo

ś

ci geograficznej)

Na mapie w odwzorowaniu Merkatora trójk

ą

towi loksodromicznemu

odpowiada trójk

ą

t, którego elementami s

ą

:

ró

ż

nica powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci

(

∆

V)

Ró

ż

nica długo

ś

ci geograficznej

(

∆λ

)

K

ą

t drogi nad dnem (

KDd)

∆λ

φ

A

φ

B

λ

A

λ

B

∆

V

A

B

C

d

KDd

Równik

V

B

V

A

Na mapie Merkatora trójk

ą

t drogowy i trójk

ą

t Merkatora s

ą

sobie równe.

Ró

ż

nica mi

ę

dzy nimi polega na tym,

ż

e ich boki mierzymy innymi

jednostkami.

Metod

ę

powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci

mo

ż

na stosowa

ć

zawsze, a w

szczególno

ś

ci gdy:

szeroko

ść

geograficzna

φ

przekracza 60°

(φ > 60°)

ró

ż

nica szeroko

ś

ci

∆φ

jest wi

ę

ksza od 5°

(∆φ > 5°)

Jednak

ż

e, gdy

∆φ

jest małe, nale

ż

y stosowa

ć

metod

ę ś

redniej szeroko

ś

ci. W

przeciwnym razie:

Dla I problemy otrzymamy niedokładn

ą

warto

ść

∆φ

Dla II problemy otrzymamy niedokładn

ą

warto

ść

d

I problem

ż

eglugi po loksodromie – obliczamy współrz

ę

dne punktu

przeznaczenia

φ

B

λ

B

Dane:

φ

A

, λ

A

, KDd, d

(KDd wyrażamy w systemie ćwiartkowym)

Powiększoną szerokość obliczamy wykorzystując tablicę 11 w TN-89

1) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci:

∆φ

= d cos KDd

(znak

∆φ

– jest

równoimienny z pierwszym wska

ź

nikiem KDd

.

2) Obliczamy szeroko

ść

geograficzn

ą

punktu B

φ

B

= ∆φ + φ

A

3) Obliczamy ró

ż

nic

ę

powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci:

∆V = V

B

– V

A

(znaki V

A

i V

B

s

ą

takie same jak

φ

A

i

φ

B

)

4) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci:

∆λ

= ∆V tg KDd

(znak

∆λ

– jest równoimienny z drugim wska

ź

nikiem KDd)

5) Obliczamy długo

ść

geograficzn

ą

punktu B

λ

B

=

∆λ

+

λ

A

II problem

ż

eglugi po loksodromie – obliczamy KDd i d

Dane:

φ

A

, λ

A

, φ

B

, λ

B

,

Powiększoną szerokość obliczamy wykorzystując tablicę 11 w TN-89

1) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci geograficznej:

∆φ

= φ

B

– φ

A

2) Obliczamy ró

ż

nic

ę

powi

ę

kszonej szeroko

ś

ci:

∆

V = V

B

– V

A

3) Obliczamy ró

ż

nic

ę

szeroko

ś

ci:

∆λ

= λ

B

- λ

A

4) Obliczamy k

ą

t drogi nad dnem:

5) Obliczamy odległo

ść

loksodromiczn

ą

:

d = ∆φ sec KDd

tg KDd =

∆λ

∆φ

2. Zliczenie matematyczne zło

ż

one

Zliczeniem matematycznym zło

ż

onym

nazywamy metod

ę

obliczenia

współrz

ę

dnych pozycji docelowej przy cz

ę

stych zmianach kursu, znaj

ą

c

ich warto

ś

ci, przebyt

ą

drog

ę

oraz elementy pr

ą

du i wiatru.

Współrz

ę

dne punktów zwrotu oraz współrz

ę

dne punktu docelowego

mo

ż

na obliczy

ć

za pomoc

ą

zliczenia matematycznego prostego,

jednak

ż

e jest to sposób

ż

mudny i łatwo w nim popełni

ć

pomyłk

ę

.

Zliczenie matematyczne zło

ż

one polega na algebraicznym sumowaniu

warto

ś

ci

∆φ

oraz

a

z kolejnych trójk

ą

tów drogowych w celu obliczenia

ś

redniej warto

ś

ci

∆φ

oraz

a

. Znaj

ą

c te warto

ś

ci mo

ż

emy obliczy

ć

współrz

ę

dne punktu B z zale

ż

no

ś

ci:

φ

B

=

∆φ

+

φ

A

λ

B

=

∆φ

+

λ

A

∆λ

= a sec φ

ś

r

φ

ś

r

=

∆φ

2

+ φ

A

Obliczenia wykonujemy wykorzystuj

ą

c tablice 8 i 9 z TN-89.

Za pomoc

ą

tablicy 8 znajdujemy warto

ś

ci

∆φ

dla kolejnych odcinków drogi

Tablica 9 słu

ż

y do zamiany zboczenia nawigacyjnego na ró

ż

nic

ę

długo

ś

ci.

Zliczenie matematyczne zło

ż

one posiada te same

ograniczenia co metoda

ś

redniej szeroko

ś

ci