Materiały dydaktyczne
do nauczania przedmiotów zawodowych
Materiały dydaktyczne
do nauczania przedmiotów zawodowych
ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH
w DARŁOWIE
ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH
w DARŁOWIE
Materiały dydaktyczne
do nauczania przedmiotów zawodowych
Materiały dydaktyczne
do nauczania przedmiotów zawodowych
ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH
w DARŁOWIE
ZESPÓŁ SZKÓŁ MORSKICH
w DARŁOWIE
Temat:
ś
egluga po loksodromie.
Loksodroma
jest to linia krzywa na powierzchni kuli ziemskiej, która przecina
południki pod tym samym k
ą
tem. Loksodroma spiralnie zbli
Ŝ
a si
ę
do bieguna
lecz nigdy go nie osi
ą
ga.
N
S
Równik
Południk
o
α
α
α
α
Loksodroma nie jest najkrótsz
ą
drog
ą
pomi
ę
dzy 2 punktami na kuli
ziemskiej, poniewa
Ŝ
nie jest łukiem koła wielkiego.
Loksodroma
na mapie w odwzorowaniu Merkatora jest lini
ą
prost
ą
i przecina południki siatki kartograficznej pod tym samym k
ą
tem
Loksodroma znajduje szerokie zastosowanie w nawigacji poniewa
Ŝ
w
bardzo
prosty
sposób
mo
Ŝ
na
j
ą
wykre
ś
li
ć
na
mapie
w odwzorowaniu Merkatora.
W
Ŝ
egludze po loksodromie mamy do czynienia z dwoma zasadniczymi
problemami:
I problem:
Dane s
ą
:
współrz
ę
dne punktu wyj
ś
cia
A (
φ
A
λ
A
)
kurs rzeczywisty
(KR)
lub k
ą
t drogi nad dnem
(KDd)
odległo
ść
do przebycia
(d)
Obliczamy:
współrz
ę
dne punktu przeznaczenia
B (
φ
B
λ
B
)
II problem:
Dane s
ą
:
współrz
ę
dne punktu wyj
ś
cia
A (
φ
A
λ
A
)
współrz
ę
dne punktu przeznaczenia
B (
φ
B
λ
B
)
Obliczamy:
Kurs rzeczywisty
(KR)
lub k
ą
t drogi nad dnem
(KDd)
Odległo
ść
do przebycia
(d)
Najcz
ęś
ciej zadania zwi
ą
zane z tymi dwoma problemami rozwi
ą
zujemy
posługuj
ą
c si
ę
map
ą
nawigacyjn
ą
, na której mo
Ŝ
na zmierzy
ć
kursy
i odległo
ś
ci oraz zdj
ąć
z mapy współrz
ę
dne punktu wyj
ś
cia
i przeznaczenia. Wyst
ę
puj
ą
jednak sytuacje, kiedy jest to trudne lub
wr
ę
cz niemo
Ŝ
liwe, np.:
du
Ŝ
a odległo
ść
mi
ę
dzy punktem wyj
ś
cia i przeznaczenia
mapa, któr
ą
dysponujemy ma zbyt mał
ą
skal
ę
brak mapy obejmuj
ą
cej cały akwen
Ŝ
eglugi
W takich sytuacjach poszukiwane warto
ś
ci musimy obliczy
ć
analitycznie.
S
ą
dwie metody obliczenia tych warto
ś
ci:
Metoda
ś
redniej szeroko
ś
ci (
φ
ś
r
)
Metoda powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci (
V
)
Je
Ŝ
eli rozwi
ą
zujemy
I problem
Ŝ
eglugi po loksodromie
(obliczamy
współrz
ę
dne punku przeznaczenia
φ
B
λ
B
) i nasza droga składa si
ę
z
jednego odcinka loksodromy to mamy do czynienia z:
zliczeniem matematycznym prostym
Natomiast gdy, zmieniaj
ą
c kursy płyniemy kilkoma odcinkami loksodromy
to mamy do czynienia z:
zliczeniem matematycznym zło
Ŝ
onym
Równik
o
A
B
1. Zliczenie matematyczne proste
A. Metoda
ś
redniej szeroko
ś
ci (
φ
ś
r
)
Trójk
ą
tem loksodromicznym
nazywamy trójk
ą
t (ABC) na kuli ziemskiej
powstały w wyniku przeci
ę
cia si
ę
:
południka
punktu wyj
ś
cia A
równole
Ŝ
nika
punktu docelowego B
loksodromy
przechodz
ą
cej przez punkty A i B
N
λ
B
λ
A
φ
B
φ
A
c
KDd
∆λ
∆φ
a
Elementami trójk
ą
ta
loksodromicznego s
ą
:
Ró
Ŝ
nica szeroko
ś
ci
∆φ
Zboczenie nawigacyjne
a
Odleg
ł
o
ść
loksodromiczna
d
K
ą
t drogi nad dnem
KDd
d
Boki trójk
ą
ta loksodromicznego wyra
Ŝ
amy w
minutach szeroko
ś
ci
geograficznej
czyli w
milach morskich
Je
Ŝ
eli trójk
ą
t loksodromiczny jest mały (d < 600 Mm) to mo
Ŝ
emy go uzna
ć
za trójk
ą
t prostok
ą
tny płaski, o tych samych elementach, które ma trójk
ą
t
na kuli. Taki trójk
ą
t nazywamy
trójk
ą
tem nawigacyjnym
lub
drogowym
Do obliczania elementów trójk
ą
ta drogowego maj
ą
zastosowanie wzory
trygonometrii płaskiej
Trójk
ą
t drogowy ( nawigacyjny
)
jest to trójk
ą
t płaski, zawieraj
ą
cy
te same elementy co trójk
ą
t
loksodromiczny
a
φ
A
φ
B
λ
A
λ
B
∆φ
A
B
C
d
KDd
Z trójk
ą
ta drogowego wynikaj
ą
nast
ę
puj
ą
ce zale
Ŝ
no
ś
ci:
∆φ = d cos KDd
a = d sin KDd
tg KDd =
a
∆φ
Zboczenie nawigacyjne a ma ró
Ŝ
n
ą
warto
ść
na szeroko
ś
ciach
φ
A
i
φ
B
.
Aby zboczenie nawigacyjne w przypadku, gdy statek p
ł
ynie z punktu A do
punktu B by
ł
o równe zboczeniu nawigacyjnemu, gdy statek p
ł
ynie z
punktu B do A, wprowadzono
ś
redni
ą
warto
ść
zboczenia:
a =
a
A
+ a
B
2
φ
ś
r
=
φ
A
+ φ
B
2
Ś
rednia warto
ść
zboczenia nawigacyjnego jest bliska warto
ś
ci zboczenia
nawigacyjnego dla
ś
redniej szeroko
ś
ci punktu wyj
ś
cia A i punktu
przeznaczenia B.
W trójk
ą
cie drogowym dla zamiany zboczenia nawigacyjnego a na
ró
Ŝ
nic
ę
długo
ś
ci geograficznej
∆λ
stosuje si
ę
nast
ę
puj
ą
ce wzory:
∆λ = a sec φ
śr
a = ∆λ cos φ
śr
Stosuj
ą
c metod
ę
ś
redniej szeroko
ś
ci
nale
Ŝ
y pami
ę
ta
ć
,
Ŝ
e:
Szeroko
ść
geograficzna
φ
nie powinna przekracza
ć
60°
(φ < 60°)
Ró
Ŝ
nica szeroko
ś
ci
∆φ
powinna by
ć
mniejsza od 5°
(∆φ < 5°)
lub droga
po loksodromie powinna by
ć
mniejsza ni
Ŝ
600 mil morskich
(d < 600 Mm)
I problem
Ŝ
eglugi po loksodromie – obliczamy współrz
ę
dne punktu
przeznaczenia
φ
B
λ
B
Dane:
φ
A
, λ
A
, KDd, d
(KDd wyraŜamy w systemie ćwiartkowym)
1) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci:
∆φ
= d cos KDd
(znak
∆φ
– jest
równoimienny z pierwszym wska
ź
nikiem KDd
.
2) Obliczamy zboczenie nawigacyjne
a = d sin KDd
3) Obliczamy
ś
redni
ą
szeroko
ść
:
4) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci:
∆λ
= a sec φ
ś
r
(znak
∆λ
– jest
równoimienny z drugim wska
ź
nikiem KDd.
5) obliczamy współrz
ę
dne punktu przeznaczenia
φ
B
λ
B
φ
B
= ∆φ + φ
A
λ
B
=
∆λ
+
λ
A
φ
ś
r
=
∆φ
2
+
φ
A
II problem
Ŝ
eglugi po loksodromie – obliczamy KDd i d
Dane:
φ
A
, λ
A
, φ
B
, λ
B
,
1) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci geograficznej:
∆φ
= φ
B
– φ
A
2) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
długo
ś
ci geograficznej :
∆λ
= λ
B
– λ
A
3) Obliczamy zboczenie nawigacyjne:
a = ∆λ cos φ
ś
r
4) Obliczamy k
ą
t drogi nad dnem:
(KDd wyra
Ŝ
amy w systemie
ć
wiartkowym, jego mianowanie zale
Ŝ
y od
znaków
∆φ
oraz
∆λ
)
5) obliczamy odległo
ść
loksodromiczn
ą
:
d = ∆φ sec KDd
tg KDd =
a
∆φ
B. Metoda powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci (V)
Z konstrukcji mapy w odwzorowaniu Merkatora wynika,
Ŝ
e odst
ę
p mi
ę
dzy
s
ą
siednimi równole
Ŝ
nikami wzrasta wraz z secansem szeroko
ś
ci
geograficznej. Z tego powodu je
Ŝ
eli z mapy Merkatora we
ź
mie si
ę
dowolny trójk
ą
t ABC, utworzony z :
Loksodromy przechodz
ą
cej przez punkty A i B
Południka punktu A
Równole
Ŝ
nika punktu B
i obliczymy:
tg KDd =
∆λ
∆φ
to obliczona warto
ść
b
ę
dzie bł
ę
dna, poniewa
Ŝ
∆φ
wyra
Ŝ
ona jest w minutach
szeroko
ś
ciowych natomiast
∆λ
wyra
Ŝ
ona jest w minutach długo
ś
ciowych.
Powi
ę
kszona szeroko
ść
nie jest miar
ą
odległo
ś
ci mi
ę
dzy dwoma
punktami na mapie.
Aby otrzyma
ć
wła
ś
ciw
ą
warto
ść
tg
KDd
nale
Ŝ
y obie warto
ś
ci wyrazi
ć
w
tych samych jednostkach. Za tak
ą
jednostk
ę
przyjmuje si
ę
warto
ść
, która
na mapie Merkatora nie ulega zmianie. Warto
ś
ci
ą
t
ą
jest długo
ść
łuku
równika odpowiadaj
ą
ca
jednej minucie długo
ś
ci geograficznej
. Jest
ona jednostk
ą
powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci
.
Powi
ę
kszona szeroko
ść
(V)
jest to odległo
ść
danego równole
Ŝ
nika od
równika wyra
Ŝ
ona w minutach długo
ś
ciowych ( długo
ś
ci geograficznej)
Na mapie w odwzorowaniu Merkatora trójk
ą
towi loksodromicznemu
odpowiada trójk
ą
t, którego elementami s
ą
:
ró
Ŝ
nica powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci
(
∆
V)
Ró
Ŝ
nica długo
ś
ci geograficznej
(
∆λ
)
K
ą
t drogi nad dnem (
KDd)
∆λ
φ
A
φ
B
λ
A
λ
B
∆
V
A
B
C
d
KDd
Równik
V
B
V
A
Na mapie Merkatora trójk
ą
t drogowy i trójk
ą
t Merkatora s
ą
sobie równe.
Ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy nimi polega na tym,
Ŝ
e ich boki mierzymy innymi
jednostkami.
Metod
ę
powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci
mo
Ŝ
na stosowa
ć
zawsze, a w
szczególno
ś
ci gdy:
szeroko
ść
geograficzna
φ
przekracza 60°
(φ > 60°)
ró
Ŝ
nica szeroko
ś
ci
∆φ
jest wi
ę
ksza od 5°
(∆φ > 5°)
Jednak
Ŝ
e, gdy
∆φ
jest małe, nale
Ŝ
y stosowa
ć
metod
ę ś
redniej szeroko
ś
ci. W
przeciwnym razie:
Dla I problemy otrzymamy niedokładn
ą
warto
ść
∆φ
Dla II problemy otrzymamy niedokładn
ą
warto
ść
d
I problem
Ŝ
eglugi po loksodromie – obliczamy współrz
ę
dne punktu
przeznaczenia
φ
B
λ
B
Dane:
φ
A
, λ
A
, KDd, d
(KDd wyraŜamy w systemie ćwiartkowym)
Powiększoną szerokość obliczamy wykorzystując tablicę 11 w TN-89
1) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci:
∆φ
= d cos KDd
(znak
∆φ
– jest
równoimienny z pierwszym wska
ź
nikiem KDd
.
2) Obliczamy szeroko
ść
geograficzn
ą
punktu B
φ
B
= ∆φ + φ
A
3) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci:
∆V = V
B
– V
A
(znaki V
A
i V
B
s
ą
takie same jak
φ
A
i
φ
B
)
4) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci:
∆λ
= ∆V tg KDd
(znak
∆λ
– jest równoimienny z drugim wska
ź
nikiem KDd)
5) Obliczamy długo
ść
geograficzn
ą
punktu B
λ
B
=
∆λ
+
λ
A
II problem
Ŝ
eglugi po loksodromie – obliczamy KDd i d
Dane:
φ
A
, λ
A
, φ
B
, λ
B
,
Powiększoną szerokość obliczamy wykorzystując tablicę 11 w TN-89
1) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci geograficznej:
∆φ
= φ
B
– φ
A
2) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
powi
ę
kszonej szeroko
ś
ci:
∆
V = V
B
– V
A
3) Obliczamy ró
Ŝ
nic
ę
szeroko
ś
ci:
∆λ
= λ
B
- λ
A
4) Obliczamy k
ą
t drogi nad dnem:
5) Obliczamy odległo
ść
loksodromiczn
ą
:
d = ∆φ sec KDd
tg KDd =
∆λ
∆φ
2. Zliczenie matematyczne zło
Ŝ
one
Zliczeniem matematycznym zło
Ŝ
onym
nazywamy metod
ę
obliczenia
współrz
ę
dnych pozycji docelowej przy cz
ę
stych zmianach kursu, znaj
ą
c
ich warto
ś
ci, przebyt
ą
drog
ę
oraz elementy pr
ą
du i wiatru.
Współrz
ę
dne punktów zwrotu oraz współrz
ę
dne punktu docelowego
mo
Ŝ
na obliczy
ć
za pomoc
ą
zliczenia matematycznego prostego,
jednak
Ŝ
e jest to sposób
Ŝ
mudny i łatwo w nim popełni
ć
pomyłk
ę
.
Zliczenie matematyczne zło
Ŝ
one polega na algebraicznym sumowaniu
warto
ś
ci
∆φ
oraz
a
z kolejnych trójk
ą
tów drogowych w celu obliczenia
ś
redniej warto
ś
ci
∆φ
oraz
a
. Znaj
ą
c te warto
ś
ci mo
Ŝ
emy obliczy
ć
współrz
ę
dne punktu B z zale
Ŝ
no
ś
ci:
φ
B
=
∆φ
+
φ
A
λ
B
=
∆φ
+
λ
A
∆λ
= a sec φ
ś
r
φ
ś
r
=
∆φ
2
+ φ
A
Obliczenia wykonujemy wykorzystuj
ą
c tablice 8 i 9 z TN-89.
Za pomoc
ą
tablicy 8 znajdujemy warto
ś
ci
∆φ
dla kolejnych odcinków drogi
Tablica 9 słu
Ŝ
y do zamiany zboczenia nawigacyjnego na ró
Ŝ
nic
ę
długo
ś
ci.
Zliczenie matematyczne zło
Ŝ
one posiada te same
ograniczenia co metoda
ś
redniej szeroko
ś
ci