jurlewicz,probabilistyka, twierdzenia graniczne

background image

Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne


Definicja 1

Zmienna losowa X jest granicą ciągu zmiennych losowych

,...

2

,

1

=

n

X

n

w sensie zbieżności

średniokwadratowej, jeżeli:

0

)

(

lim

2

=

n

n

X

X

E

Definicja 2

Zmienna losowa X jest granicą ciągu zmiennych losowych

,...

2

,

1

=

n

X

n

w sensie zbieżności

według prawdopodobieństwa, jeżeli dla dowolnego

0

>

ε

:

0

}

|

{|

lim

=

>

ε

X

X

P

n

n

Nierówności Czebyszewa


Pierwsza nierówność Czebyszewa:
Definicja 3:

EX

X

P

)

1

(


Druga nierówność Czebyszewa:
Twierdzenie:
Jeżeli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i wariancję

2

X

σ

, to dla każdego

0

>

t

:

2

0

1

)

|

(|

t

t

m

X

P

X

t

>

σ


Nierówność ta mówi, że:
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa odchyli się od swojej wartości
oczekiwanej o więcej niż t jednostek, jest nie większe niż

2

/

1 t .


Jeśli podstawimy w tej nierówności t = 3 , to otrzymamy tzw. regułę „trzy sigma”:

9

1

)

3

|

(|

σ

m

X

P

Prawo wielkich liczb Markowa


Twierdzenie:

Dane są niezależne zmienne losowe

n

X

X

X

,...,

,

2

1

. Każda z tych zmiennych losowych

k

X k = 1, 2,... ma wartość oczekiwaną

k

k

EX

µ

=

oraz wariancję

2

)

(

k

k

X

V

σ

=

, przy czym zachodzi:

0

...

2

2

2

2

2

1

lim

=

+

+

+

n

n

n

σ

σ

σ

Przy powyższych założeniach, dla dowolnego

0

>

ε

zachodzi:

0

...

...

2

1

2

1

lim

=

+

+

+

+

+

+

ε

µ

µ

µ

n

n

X

X

X

P

n

n

n




background image

W szczególnym przypadku, gdy wszystkie zmienne losowe mają jednakowe wartości oczekiwane

µ

:

0

...

2

1

lim

=

+

+

+

ε

µ

n

X

X

X

P

n

n


Wzór ten pokazuje jaki jest związek między średnią arytmetyczną, a wartością oczekiwaną.
Jeżeli poszczególne zmienne losowe reprezentują np. wyniki pomiarów jakiejś wielkości, to z tego wzoru
wynika, że zwiększając liczbę pomiarów, ich średnia arytmetyczna dąży do wartości oczekiwanej.
Uzasadnia to poprawność przyjmowania w wielu przypadkach średniej arytmetycznej jako wielkości
przybliżającej wartość oczekiwaną.

Twierdzenie graniczne Lindeberga – Levy’ego

Dane są niezależne zmienne losowe

n

X

X

X

,...,

,

2

1

o jednakowych rozkładach. Zmienne te mają

parametry:

µ

=

n

EX

,

2

)

(

σ

=

n

X

V

dla n = 1, 2, ...

Suma tych niezależnych zmiennych losowych, to nowa zmienna losowa:

n

n

X

X

X

S

+

+

+

=

...

2

1

Jej wartość oczekiwana wynosi:

µ

=

+

+

+

=

n

X

X

X

E

ES

n

n

)

...

(

2

1

zaś wariancja:

2

2

1

)

...

(

)

(

σ

=

+

+

+

=

n

X

X

X

V

S

V

n

n

Utwórzmy nową zmienną losową

n

Y przez unormowanie zmiennej losowej

n

S :

σ

µ

n

n

S

Y

n

n

=

,

wówczas zachodzi:

)

(

)

(

lim

a

b

b

n

n

S

a

P

n

n

Φ

Φ

=

<

σ

µ

gdzie:

)

(

),

(

b

a

Φ

Φ

- dystrybuanty rozkładu normalnego

)

1

;

0

(

N

.

Oznacza to, że suma

n

S ma rozkład asymptotycznie normalny:

)

;

(

~

n

n

N

S

n

σ

µ

Twierdzenie Moivre’a- Laplace’a

Dane są niezależne zmienne losowe

n

X

X

X

,...,

,

2

1

o jednakowych rozkładach dwupunktowych

Bernoulli’ego

)

,

(

p

n

B

.

Suma tych niezależnych zmiennych losowych, to nowa zmienna losowa:

n

n

X

X

X

S

+

+

+

=

...

2

1

Utwórzmy nową zmienną losową

n

Y przez unormowanie zmiennej losowej

n

S :

npq

np

S

Y

n

n

=

,

wówczas zachodzi:

)

(

)

(

lim

a

b

b

npq

np

S

a

P

n

n

Φ

Φ

=





<

gdzie:

)

(

),

(

b

a

Φ

Φ

- dystrybuanty rozkładu normalnego

)

1

;

0

(

N

.



background image

Wniosek:

Zmienna losowa

n

S będąca sumą zmiennych losowych

n

X

X

X

,...,

,

2

1

ma rozkład asymptotycznie

normalny:

)

;

(

~

npq

np

N

S

n


Oznacza to, że jeżeli liczba doświadczeń n jest duża, to rozkład zmiennej losowej

n

X o rozkładzie

Bernoulli’ego

)

,

(

p

n

B

można przybliżyć rozkładem normalnym

)

;

(

npq

np

N

.

Przybliżenie jest tym lepsze im n jest większe.

Przykład 1:
Rzucamy 10000 razy monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów zawiera
się od 5050 do 5100.

Sposób 1 – dokładny:

Rozkład dwumianowy Bernoulli’ego:

2

1

=

p

. Zatem:

)

5100

5050

(

X

P

=

)

5050

(

10000

=

X

P

+

)

5051

(

10000

=

X

P

+ ... +

)

5100

(

10000

=

X

P


51 składników

gdzie:

m

n

m

n

q

p

m

n

m

X

P





=

=

)

(

, przykładowo, dla pierwszego składnika, otrzymamy:

4950

5050

10000

)

2

/

1

(

)

2

/

1

(

5050

10000

)

5050

(





=

=

X

P


Sposób 2 – użycie rozkładu Poissona:

)

5100

5050

(

X

P

=

λ

λ

=

e

k

k

k

5100

5050

!

=

λ

λ

e

!

5050

5050

+ ... +

λ

λ

e

!

5100

5100

gdzie:

p

k

=

λ

, k = 5050, ... 5100,

2

1

=

p

.


Sposób 3 – korzystamy z twierdzenia Moivre’a – Laplace’a:

10000

2

1

10000

...

X

X

X

S

+

+

+

=

, gdzie:

i

X

ma rozkład dwumianowy Bernoulli’ego.

Dla

n

, zachodzi:

)

;

(

~

npq

np

N

S

n

,

5000

2

/

1

10000

=

=

np

,

50

2

1

2

1

10000

=

=

npq

Czyli:

)

5100

5050

(

n

S

P

=

Φ

Φ

50

5000

5050

50

5000

5100

=

( ) ( )

136

,

0

84135

,

0

97725

,

0

1

2

=

=

Φ

Φ








background image

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jednowymiarowej


Definicja
Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X nazywamy funkcję zespoloną określoną wzorem:

}

{

)

(

X

j

X

e

E

υ

υ

ϕ

=

=

}

sin

{cos

X

j

X

E

υ

υ +

gdzie:

υ

- dowolna zmienna rzeczywista.


Dla zmiennej losowej typu skokowego definicja ma postać:

=

=

=

K

k

k

x

j

X

x

X

P

e

k

1

)

(

)

(

υ

υ

ϕ

Dla zmiennej losowej typu ciągłego definicja ma postać:

=

dx

x

f

e

x

j

X

)

(

)

(

υ

υ

ϕ

Warto zauważyć, że jeżeli w tym wzorze podstawić

ω

υ

=

, to funkcja charakterystyczna staje się

transformatą Fouriera gęstości prawdopodobieństwa

)

(x

f

.


Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .
Znając funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X można znacznie uprościć wyznaczanie jej
momentów rzędu n.

Wiadomo, że nie dla każdej zmiennej losowej X i nie dla każdej funkcji

)

(x

g

istnieje wartość oczekiwana

)}

(

{

x

g

E

. Natomiast funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X , będąca wartością oczekiwaną funkcji

X

j

e

υ

, istnieje dla każdej zmiennej losowej. Wynika to z faktu, że zarówno szereg jak i całka, w definicji

funkcji charakterystycznej, są bezwzględnie zbieżne.

Podstawowe własności funkcji ch

arakterystycznej


Twierdzenie 1:
Moduł funkcji charakterystycznej jest nie większy od 1:

1

|

)

(

|

υ

ϕ

X


Twierdzenie 2:

Dla funkcji charakterystycznej

)

(

υ

ϕ

X

zachodzi relacja:

)

(

)

(

υ

ϕ

υ

ϕ

=

X

- funkcja zespolona sprzężona.


Twierdzenie 3:
Funkcja charakterystyczna jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Twierdzenie 4:
Funkcja charakterystyczna sumy dowolnej, skończonej liczby niezależnych zmiennych losowych
jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych poszczególnych zmiennych losowych:

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

...

υ

ϕ

υ

ϕ

υ

ϕ

υ

ϕ

n

n

X

X

X

X

X

X

=

+

+

+

Uwaga:
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. z faktu, że funkcja charakterystyczna sumy
zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych zmiennych losowych nie wynika,
że te zmienne losowe są niezależne.


background image

Definicja:
Wartość funkcji charakterystycznej w zerze jest równa 1:

1

}

1

{

}

{

)

0

(

0

=

=

=

E

e

E

X

j

X

ϕ


Twierdzenie 5:

Niech

)

(t

X

ϕ

- jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X. Dla dowolnych liczb a, b i dla

zmiennej losowej

b

aX

Y

+

=

, funkcja charakterystyczna

)

(t

Y

ϕ

zmiennej losowej Y wyraża się

wzorem:

)

(

)

(

at

e

t

X

jtb

Y

ϕ

ϕ

=

gdzie:

()

X

ϕ

- jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X.


Twierdzenie 6:
Jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X jest bezwzględnie całkowalna, to X jest

zmienną losową typu ciągłego i gęstość prawdopodobieństwa

)

( x

f

zmiennej losowej X dana jest

wzorem:

=

dt

t

e

x

f

jtx

)

(

2

1

)

(

ϕ

π

Gęstość prawdopodobieństwa jest więc transformatą Fouriera funkcji charakterystycznej.

Twierdzenie 7:

Jeżeli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest okresowa o okresie

π

2

, to X jest zmienną

losową typu skokowego, mogącą przyjmować jedynie wartości całkowite i zachodzi relacja:

=

=

=

π

π

ϕ

π

dt

t

e

k

X

P

k

p

jtk

)

(

2

1

)

(

)

(

gdzie: k – liczba całkowita.


Twierdzenie 8:

Jeżeli istnieją momenty

n

m

zmiennej losowej X , to wyrażają się one przez pochodne funkcji

charakterystycznej:

0

)

(

=





=

=

υ

υ

υ

ϕ

n

X

n

n

n

n

d

d

j

EX

m


Przykład 2:
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną dla zmiennej losowej X przyjmującej 2 wartości –1 i 1 z
prawdopodobieństwem ½.

Korzystając z definicji funkcji charakterystycznej dla zmiennej losowej typu skokowego, otrzymujemy:

(

)

υ

υ

ϕ

υ

υ

υ

υ

cos

2

1

)

1

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

1

(

=

+

=

=

+

=

=

j

j

j

j

X

e

e

X

P

e

X

P

e


Przykład 3:

Zmienna losowa ma funkcję charakterystyczną

2

/

2

)

(

υ

υ

ϕ

=

e

X

.

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa

)

( x

f

zmiennej losowej typu ciągłego X .


Korzystając z twierdzenia 6, dla zmiennej losowej typu ciągłego, otrzymujemy:

background image

+

=

=

=

dt

e

dt

e

e

dt

t

e

x

f

t

jtx

t

jtx

jtx

)

2

/

(

2

/

2

2

2

1

2

1

)

(

2

1

)

(

π

π

ϕ

π

ale:

=

+

+

+

=

+

2

)

(

)

2

)

((

2

1

)

2

/

(

2

2

2

2

jx

t

jtx

jx

t

jtx

2

)

(

)

(

2

1

2

2

jx

jx

t

+

+

więc ostatecznie:

+

+

=

=

=

dt

e

e

dt

e

e

x

f

jx

t

x

jx

jx

t

2

/

)

(

2

/

2

/

)

(

2

/

)

(

2

2

2

2

2

1

2

1

)

(

π

π

π

π

2

2

2

/

2

x

e

=

=

2

/

2

2

1

x

e

π




Zadania

1. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Jeżeli suma oczek jest równa 2 to otrzymujemy 12 zł, jeżeli suma

oczek jest równa 3 to otrzymujemy 6 zł, a w każdym pozostałym przypadku płacimy 1 zł.

Niech zmienna losowa X oznacza wygraną ( patrz zad. 7 – zmienne_losowe2 ).

a) Podać rozkład zmiennej losowej X i wyznaczyć jej dystrybuantę F.
b) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
c) Załóżmy, że grę powtarzamy 100 razy. Oszacować prawdopodobieństwo, że przegramy co

najmniej 1 zł.


2. Średnia waga człowieka wynosi 75 kg z odchyleniem standardowym 3 kg. Zakładamy, że waga

ludzi ma rozkład normalny. Samolot zabiera 81 pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton?

3. OBOP ocenia, że 50 % rodzin w Polsce żyje w ubóstwie. Wybrano losowo 100 rodzin. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 40%?

4. Zmienna losowa X ma rozkład równomierny w przedziale ( a, b ), tzn. :

=

]

,

[

0

1

)

(

b

a

x

dla

b

x

a

dla

a

b

x

f

Określić funkcję charakterystyczną tej zmiennej losowej.

5. Zmienna losowa X jest typu ciągłego i przyjmuje wartości z zakresu

)

,

0

(

, zaś jej funkcja

gęstości prawdopodobieństwa

a

x

e

a

x

f

/

1

)

(

=

dla a > 0. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną

tej zmiennej losowej.


6. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu zero – jedynkowego. Za pomocą tej funkcji

charakterystycznej, wyznaczyć pierwsze dwa momenty tego rozkładu.

7. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie normalnym

)

;

(

σ

m

N

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Centralne twierdzenia graniczne
4 PPOO Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne(1)
Centralne Twierdzenie Graniczne, PSYCHOLOGIA, I ROK, semestr II, podstawy metodologii badań psycholo
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
jurlewicz,probabilistyka, zdarzenia i elementy kombinatoryki
jurlewicz,probabilistyka, zmienne losowe wielowymiarowe
jurlewicz,probabilistyka, zmien Nieznany
jurlewicz,probabilistyka, zmienne losowe wielowymiarowe
06 Wyklad 6 cz II Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczneid 6439
4 twierdzenia graniczne i statystyka z próby
jurlewicz,probabilistyka, zadania
twierdzenia graniczne zadania lista nr 3
06 Wyklad 6. cz. II Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne
Matematyka - PracaMalinowscy Twierdzenia graniczne, WSEI, SEMESTR 2, Matematyka
jurlewicz,probabilistyka, rozkl Nieznany
Matematyka - Praca semestralna Twierdzenia graniczne, WSEI, SEMESTR 2, Matematyka
5 Zbieżność zmiennych losowych i twierdzenia graniczne

więcej podobnych podstron