Egzamin z analizy matematycznej
30 czerwca 2006
Nazwisko ..............................................
Imi¦ ..................................................
Numer albumu .............................................
Przy ka»dej odpowiedzi zaznacz T (tak) lub N (nie). Brak litery traktowany jest jako odpowied¹
Nie wiem.
Punktacja: odpowied¹ poprawna (+1), odpowied¹ niepoprawna (-1), brak odpowiedzi (0). Pier-
wsze dwie odpowiedzi niepoprawne nie s¡ punktowane ujemnie.
1. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe
(a) Je»eli pochodne cz¡stkowe funkcji f(x, y) s¡ ci¡gªe w zbiorze otwartym zawieraj¡cym
punkt (a, b), to
lim
(h
1
,h
2
)→(0,0)
f (a + h
1
, b + h
2
) − f (a, b) −
∂f
∂x
(a, b)h
1
−
∂f
∂y
(a, b)h
2
q
h
2
1
+ h
2
2
= 0
(b) Je»eli krzywa gªadka M zadana jest równaniem h(x, y) = 0 oraz punkt (a, b) nale»y
do M, to wektor gradh(a, b) jest styczny do krzywej M w punkcie (a, b).
(c) Je»eli Ω jest otwartym podzbiorem IR
2
oraz funkcje P, Q : Ω → IR speªniaj¡ w ka»dym
punkcie zbioru Ω warunek
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
to dla dowolnych krzywych regularnych γ, σ : [0, 1] → Ω takich, »e γ(0) = σ(0),
γ(1) = σ(1)
zachodzi
Z
γ
P dx + Qdy =
Z
σ
P dx + Qdy
2. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe
(a) Je»eli funkcja f : [0, 1] → IR jest ci¡gªa to
Z
1
0
Z
x
0
f (x)f (y)dy dx =
1
2
(
Z
1
0
f (x)dx)
2
(b) Je»eli funkcja f : IR
2
→ IR
jest ci¡gªa, to
Z
2
0
Z
2x
x
f (x, y)dy
dx =
Z
4
0
Z
y
y
2
f (x, y)dx
!
dy
(c) Dla Ω = {(x, y) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤ 1}
Z
Z
Ω
s
1 −
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
2
3
πab
3. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe
(a) Szereg
P
∞
n=1
sin(nx)
n
jest zbie»ny dla x ∈ (0, π).
(b) Szereg
P
∞
n=1
n!
n
n
jest zbie»ny.
(c) Szereg
P
∞
n=1
1
√
n(n+1)
jest zbie»ny.
4. Funkcja f(x, y) = x
3
+ y
3
− 3axy
speªnia warunek:
(a) Je»eli a > 0, to f ma w punkcie (a, a) minimum lokalne.
(b) Je»eli a < 0, to f ma w punkcie (0, 0) maksimum lokalne.
(c) Je»eli a = 1, to f ma w punkcie (2, 2) ekstremum lokalne.
5. Je»eli funkcja f : IR → IR jest ró»niczkowalna, to funkcja z(x, y) = f(x
2
+ y
2
)
speªnia w
ka»dym punkcie (x, y) równanie:
(a)
x
∂z
∂x
(x, y) − y
∂z
∂y
(x, y) = 0
(b)
y
∂z
∂x
(x, y) − x
∂z
∂y
(x, y) = 0
(c)
y
2
∂z
∂x
(x, y) − x
2
∂z
∂y
(x, y) = 0
6. Szereg
P
∞
n=1
n
2
+3
n
n
x
n
speªnia warunek:
(a) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−3, 3).
(b) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−
1
3
,
1
3
)
.
(c) Jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (0, 1) .
7. Granica lim
n→∞
1
n
ln
(1+n)(2+n)...(n+n)
n
n
jest równa
(a)
R
1
0
ln(1 + x)dx
(b)
R
2
1
ln(x)dx
(c) 2 ln(2) − 1
8. Funkcja dana wzorem f(x, y) =
R
x
2
+y
4
0
sin(t
2
)dt
speªnia warunek:
(a)
∂f
∂x
= sin((x
2
+ y
4
)
2
)
(b)
∂f
∂y
= sin((x
2
+ y
4
)
2
)4y
3
(c) Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie (1, 1) w kierunku wektora (3, 2) jest równa
14 sin(100)
Nazwisko .....................................
Ostanie dwa punkty maj¡ charakter otwarty.
9. Znale¹¢ ekstrema lokalne zwi¡zane funkcji f(x, y) = x
2
+12xy +2y
2
na zbiorze M = {(x, y) :
4x
2
+ y
2
= 25}
.
10. Stosuj¡c twierdzenie o zamianie zmiennych w caªce podwójnej obliczy¢ pole obszaru ogranic-
zonego krzywymi:
xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y = 2x
i poªo»onego w cz¦±ci pªaszczyzny zadanej nierówno±ciami x > 0, y > 0.