02 01 11 12 01 49 718

background image

Egzamin z analizy matematycznej

30 czerwca 2006

Nazwisko ..............................................

Imi¦ ..................................................

Numer albumu .............................................

Przy ka»dej odpowiedzi zaznacz T (tak) lub N (nie). Brak litery traktowany jest jako odpowied¹

Nie wiem.

Punktacja: odpowied¹ poprawna (+1), odpowied¹ niepoprawna (-1), brak odpowiedzi (0). Pier-

wsze dwie odpowiedzi niepoprawne nie s¡ punktowane ujemnie.

1. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Je»eli pochodne cz¡stkowe funkcji f(x, y) s¡ ci¡gªe w zbiorze otwartym zawieraj¡cym

punkt (a, b), to

lim

(h

1

,h

2

)→(0,0)

f (a + h

1

, b + h

2

) − f (a, b) −

∂f
∂x

(a, b)h

1

∂f
∂y

(a, b)h

2

q

h

2

1

+ h

2

2

= 0

(b) Je»eli krzywa gªadka M zadana jest równaniem h(x, y) = 0 oraz punkt (a, b) nale»y

do M, to wektor gradh(a, b) jest styczny do krzywej M w punkcie (a, b).

(c) Je»eli Ω jest otwartym podzbiorem IR

2

oraz funkcje P, Q : Ω → IR speªniaj¡ w ka»dym

punkcie zbioru Ω warunek

∂P

∂y

=

∂Q

∂x

,

to dla dowolnych krzywych regularnych γ, σ : [0, 1] → Ω takich, »e γ(0) = σ(0),
γ(1) = σ(1)

zachodzi

Z

γ

P dx + Qdy =

Z

σ

P dx + Qdy

2. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Je»eli funkcja f : [0, 1] → IR jest ci¡gªa to

Z

1

0

Z

x

0

f (x)f (y)dy dx =

1

2

(

Z

1

0

f (x)dx)

2

(b) Je»eli funkcja f : IR

2

→ IR

jest ci¡gªa, to

Z

2

0

Z

2x

x

f (x, y)dy



dx =

Z

4

0

Z

y

y
2

f (x, y)dx

!

dy

(c) Dla Ω = {(x, y) :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1}

Z

Z

s

1 −

x

2

a

2

y

2

b

2

=

2

3

πab

3. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Szereg

P


n=1

sin(nx)

n

jest zbie»ny dla x ∈ (0, π).

(b) Szereg

P


n=1

n!

n

n

jest zbie»ny.

(c) Szereg

P


n=1

1

n(n+1)

jest zbie»ny.

background image

4. Funkcja f(x, y) = x

3

+ y

3

− 3axy

speªnia warunek:

(a) Je»eli a > 0, to f ma w punkcie (a, a) minimum lokalne.

(b) Je»eli a < 0, to f ma w punkcie (0, 0) maksimum lokalne.

(c) Je»eli a = 1, to f ma w punkcie (2, 2) ekstremum lokalne.

5. Je»eli funkcja f : IR → IR jest ró»niczkowalna, to funkcja z(x, y) = f(x

2

+ y

2

)

speªnia w

ka»dym punkcie (x, y) równanie:

(a)

x

∂z

∂x

(x, y) − y

∂z

∂y

(x, y) = 0

(b)

y

∂z

∂x

(x, y) − x

∂z

∂y

(x, y) = 0

(c)

y

2

∂z

∂x

(x, y) − x

2

∂z

∂y

(x, y) = 0

6. Szereg

P


n=1

n

2

+3

n

n

x

n

speªnia warunek:

(a) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−3, 3).

(b) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−

1
3

,

1
3

)

.

(c) Jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (0, 1) .

7. Granica lim

n→∞

1

n

ln

(1+n)(2+n)...(n+n)

n

n

jest równa

(a)

R

1

0

ln(1 + x)dx

(b)

R

2

1

ln(x)dx

(c) 2 ln(2) − 1

8. Funkcja dana wzorem f(x, y) =

R

x

2

+y

4

0

sin(t

2

)dt

speªnia warunek:

(a)

∂f
∂x

= sin((x

2

+ y

4

)

2

)

(b)

∂f
∂y

= sin((x

2

+ y

4

)

2

)4y

3

(c) Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie (1, 1) w kierunku wektora (3, 2) jest równa

14 sin(100)

background image

Nazwisko .....................................
Ostanie dwa punkty maj¡ charakter otwarty.

9. Znale¹¢ ekstrema lokalne zwi¡zane funkcji f(x, y) = x

2

+12xy +2y

2

na zbiorze M = {(x, y) :

4x

2

+ y

2

= 25}

.

background image

10. Stosuj¡c twierdzenie o zamianie zmiennych w caªce podwójnej obliczy¢ pole obszaru ogranic-

zonego krzywymi:

xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y = 2x

i poªo»onego w cz¦±ci pªaszczyzny zadanej nierówno±ciami x > 0, y > 0.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 01 11 11 01 12 Kolokwium1B
02 01 11 12 01 04 kolokwium22
02 01 11 12 01 15 kolokwium 21
02-01-11 12 01 41 analiza matematyczna kolokwium 2002-01-16
02 01 11 12 01 48 kolokwium 12
02 01 11 12 01 20 2010 12 31 13 20 42
02 01 11 12 01 06 kolo1 ver11 Strzelecki UW
02 01 11 12 01 19 jawnapula 01 Strzelecki UW
02 01 11 12 01 37 2010 12 31 13 22 32
02 01 11 12 01 48 2010 12 31 13;28;48
02 01 11 12 01 28 kolokwium 23
02 01 11 11 01 12 an kol4 1 7
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 18 anz2005p Uni Zielnogórski UZ Przesła
02 01 11 12 01 26 kolokwium13
02 01 11 12 01 33 kolokwium 11

więcej podobnych podstron