POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. T. Kościuszki

Wydział Inżynierii Lądowej

ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków

tel. [phone], fax: [phone], e-mail: [e-mail]

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej

(L-5)

Rozwiązanie zadania ustalonego przepływu

ciepła w systemie MES / BMRS

HEAT MIL

Opracował:

Sławomir Milewski (

[e-mail]

)

Wersja elektroniczna:

http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek

Kraków, kwiecień 2011

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 2 z 21

2

1.

Sformułowanie problemu

Przedmiotem analizy jest konstrukcja, pokazana na rys.1 poniżej wraz z zgrubną
dyskretyzacją - podziałem na trzy elementy skończone prostokątne. Zadanie polega na
wyznaczeniu pola temperatury (skalarnego) oraz pola strumienia ciepła (wektorowego)
przy założeniu stacjonarnego (niezależnego od czasu) przepływu ciepła przez ciało.
Temperatura na krawędziach 1-7 oraz 1-3 wynosi 10 ᑻC, a na krawędziach 5-8 oraz 5-6

zadany jest strumień cieplny o wartości

2

12

/

J m s

−

.

1

3

2

1

2

3

4

5

6

7

8

2 m

3 m

T

=

1

0

ᑻᑻᑻᑻ

C

T = 10

ᑻᑻᑻᑻ

C

q

n

= -12 J/m

2

s

1 m

2 m

Rys. 1: Geometria i schemat cieplny zadania

Dane:

materiał:

ortotropowy, stałe przewodnictwa cieplnego:

4

/

x

k

J

Cms

=

oraz

7

/

y

k

J

Cms

=

temperatura:

krawędzie 1-7 i 1-3, wartość

10

T

C

=

strumień ciepła:

krawędzie 5-8 i 5-6, wartość

2

12

/

n

q

J m s

= −

.

ź

ródło ciepła w obszarze:

brak (0

2

/

J m s )

2.

Uruchomienie programu i jego składniki

Program "HEAT MIL" służący do analizy stacjonarnego przepływu ciepła za pomocą
MES, w wersji źródłowej znajduje się na stronie

http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek

w punkcie "FILES FOR STUDENTS (in Polish) / Computational Methods / Metody
Obliczeniowe - cieplo - program HEAT MIL". Składa się on z jednego pliku (tzw. m-plik
o nazwie heat_mil.m), który należy zapisać na dysku komputera (prawy klawisz na
niebieskim linku, a następnie opcja "Zapisz element docelowy jako…"), a następnie
odtworzyć poprzez edytor programu MATLAB.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 3 z 21

3

Uruchomienie programu MATLAB (aktualna wersja: Matlab2008) jest możliwe poprzez
skrót na pulpicie lub poprzez odnośnik w zakładce "Wszystkie programy" systemu
Windows.
Po uruchomieniu programu MATLAB należy wybrać z górnego menu: File: Open, a
następnie odszukać przez przeglądarkę plików wcześniej ściągnięty plik "heat_mil.m".
Zostanie on otwarty w edytorze programu Matlab - wygląd ekranu z otwartym programem
Matlab oraz aktywnym edytorem z załadowanym programem znajduje się na rys.2.

Rys. 2: Wygląd ekranu po uruchomieniu programu Matlab i jego edytora z programem

"heat_mil.m"

Do poprawnego działania program "heat_mil.m" nie wymaga ŻADNYCH ingerencji w
kodzie ze strony użytkownika - należy go jedynie uruchomić w środowisku Matlab.
Program uruchomić można klawiszem F5, lub poprzez opcję "run heat_mil.m" (ikona

na pasku ikon edytora). Matlab może zapytać o potwierdzenie zmiany katalogu roboczego
("Change Directory"). Proszę wybrać opcję umożliwiającą jego zmianę.
Uwaga! W razie przypadkowego skasowania części zawartości pliku z kodem, proszę go
ś

ciągnąć raz jeszcze i ponownie wczytać przez edytor Matlab.

Po uruchomieniu programu ukaże się graficzne menu programu (rys.3) z wieloma
opcjami, odpowiadającymi za poszczególne etapy budowania dyskretnego modelu
cieplnego ciała

-

DEFINIOWANIE KRAWĘDZI OBSZARU

-

DEFINIOWANIE MATERIAŁU

-

GENERATOR CIEPŁA W OBSZARZE

-

WARUNKI BRZEGOWE (TEMPERATURA, STRUMIEŃ CIEPŁA)

-

RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY METOD MES / (B)MRS

-

GENERACJA RĘCZNA SIATKI MES

-

GENERACJA AUTOMATYCZNA SIATKI MES

za wizualizację schematu cieplnego oraz jej postaci po dyskretyzacji MES

-

RYSUNEK: SCHEMAT CIEPLNY KONSTRUKCJI

-

RYSUNEK: SIATKA MES

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 4 z 21

4

za rozwiązanie zadania i przeglądanie wyników

-

OBLICZENIA

-

WYNIKI I ICH WIZUALIZACJA

oraz za obsługę bazy danych programu

-

ZAPIS DANYCH DO PLIKU

-

ZAPIS WYNIKÓW DO PLIKU

-

ODCZYT DANYCH Z PLIKU

-

WYCZYSZCZENIE BAZY DANYCH

Dodatkowo w programie możliwe jest dokonanie ESTYMACJI błędu rozwiązania oraz
przeprowadzenie prostej adaptacji siatki / węzłów (ZAGĘSZCZANIE).
Ostatnia opcja pozwala na wyjście z programu "HEAT MIL" i powrót do systemu Matlab.

Rys. 3: Graficzne menu programu "HEAT MIL"

W pierwszej kolejności zadanie zostanie rozwiązane dla rzadkiej siatki składającej się

z kilku (2,3,4) elementów prostokątnych (z biliniową interpolacją pola temperatury), co
pozwoli na konfrontację wyników z obliczeniami ręcznymi.

3.

Tworzenie geometrii

Proszę wybrać pierwszą opcję w głównym menu, tj. "DEFINIOWANIE KRAWĘDZI

OBSZARU". Ukaże się podmenu "DEFINIOWANIE KRAWĘDZI OBSZARU" z
opcjami

-

PUNKTY

-

LINIE

-

USUŃ DANE GEOMETRYCZNE

-

POWRÓT

W pierwszej kolejności zdefiniowane zostaną punkty konstrukcyjne brzegu obszaru -

wszystkie, które wynikają z podziału na trzy elementy skończone (rys.3). Posłużą one
zarówno do budowy krawędzi brzegowej, jak i do ręcznej generacji rzadkiej siatki MES.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 5 z 21

5

Proszę wybrać opcję "PUNKTY". Pokaże się podmenu "DEFINIOWANIE

PUNKTÓW KRAWĘDZI" z opcjami

-

DODAJ PUNKT

-

USUŃ PUNKT

-

POPRAW PUNKT

-

USUŃ WSZYSTKIE PUNKTY

-

POWRÓT

oraz rysunek "GEOMETRIA ZADANIA" i lista punktów "PUNKTY KRAWĘDZI" - na
razie obydwa puste.

Proszę wybrać opcję "DODAJ PUNKT". Ukaże się tabelka definicji punktu

"PUNKTY" z polami x(1) oraz y(1) do definiowana współrzędnych pierwszego punktu
konstrukcyjnego brzegu (rys.4). Posługując się oznaczeniami na rys.1 (początek układu
współrzędnych (x, y) przyjęty w punkcie o nr 1), wprowadzamy współrzędne x(1) = 0
oraz y(1) = 0 w odpowiednie pola tabelki (tylko wartości liczbowe). Naciskamy przycisk
OK.

Rys. 4: Tabela do definiowania współrzędnych punktów konstrukcyjnych brzegu.

Pojawi się ponownie podmenu "DEFINIOWANIE PUNKTÓW KRAWĘDZI", a rysunek
i lista punktów zostaną zaktualizowane o punkt nr 1 o współrzędnych (0,0). W ten sam
sposób - wybierając cały czas opcję "DODAJ PUNKT" proszę zdefiniować pozostałe
siedem punktów o współrzędnych i w kolejności według rys.1.
Uwaga! W razie pomyłki można za pomocą odpowiedniej opcji z tego samego menu
usunąć wybrany punkt, usunąć wszystkie punkty lub dokonać korekty współrzędnych
wybranego punktu.
Po wprowadzeniu wszystkich ośmiu punktów, rysunek i lista powinny wyglądać tak, jak
na rys.5.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 6 z 21

6

Rys. 5: Zbiór punktów konstrukcyjnych brzegu

Kolejnym zadaniem będzie zdefiniowanie linii brzegowej. W tym celu należy opuścić

(opcja "POWRÓT") ostatnie używane podmenu "DEFINIOWANIE PUNKTÓW
KRAWĘDZI" i wrócić tym samym do podmenu "DEFINIOWANIE KRAWĘDZI
OBSZARU".

Proszę wybrać opcję "LINIE". Ukaże się ponownie rysunek z punktami brzegu i

podmenu "DEFINIOWANIE LINII BRZEGOWYCH" z opcjami

-

RĘCZNE TWORZENIE LINII BRZEGOWEJ

-

AUTOMATYCZNE TWORZENIE LINII BRZEGOWEJ

-

USUNIĘCIE LINII BRZEGOWEJ

-

LISTA KRAWĘDZI

-

POWRÓT

Automatycznie tworzenie linii brzegowej - rozumianej jako kontur zamknięty obszaru

(bez otworów w obecnej wersji programu) jest możliwe tylko i wyłącznie w przypadku,
kiedy punkty brzegu tworzące kolejne odcinki linii brzegowej są numerowane kolejno
(1,2,…,8,1). Jednakże w rozważanym przykładzie linia brzegowa składa się kolejno z
punktów 1,2,3,6,5,8,7,4,1. Proszę zatem wybrać opcję "RĘCZNE TWORZENIE LINII
BRZEGOWEJ". Pokaże się tabelka wg rys.6.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 7 z 21

7

Rys. 6: Tabela do tworzenia linii brzegowej

Należy obrać dowolny punkt początkowy linii - np. punkt o numerze 1 (współrzędne
(0,0)) i wpisać ten numer (1) do tabelki. Naciskamy przycisk OK - pojawia się podobna
tabelka oczekująca na podanie numeru następnego punktu - o numerze nr = 2, przy
numerze poprzedniego, pop = 1. Podajemy numer 2 i naciskamy ponownie przycisk OK.
Proces powtarza się - proszę wpisać kolejno numery 3, 6, 5, 8, 7, 4 i 1. Wtedy ciąg
zostanie samoistnie zamknięty i pojawi się rysunek - rys.7 - na którym na żółto zostaną
oznaczone kolejne linie brzegowe, o numerach (1, 2, …, 8) wypisanych na czerwono w
ich punktach środkowych

Rys. 7: Zdefiniowana linia brzegowa

Dodatkowo można wylistować linie brzegowe poprzez opcję "LISTA KRAWĘDZI".

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 8 z 21

8

Uwaga! W razie błędnego zdefiniowania brzegu należy usunąć wszystkie linie brzegowe
(opcja "USUNIĘCIE LINII BRZEGOWEJ") i zdefiniować ją od początku. Nie jest
możliwa korekta/usunięcie pojedynczej linii.
Opuszczamy bieżące podmenu ("POWRÓT") oraz podmenu "DEFINIOWANIE
KRAWĘDZI OBSZARU" (również opcja "POWRÓT"). Tym samym znajdujemy się
ponownie w głównym menu programu.

4.

Definiowanie stałych materiałowych

Proszę w głównym menu programu wybrać opcję "DEFINIOWANIE MATERIAŁU".

Ukaże się podmenu "STAŁE MATERIAŁOWE" z następującymi opcjami:

-

STAŁA PRZEWODNICTWA k_x

-

STAŁA PRZEWODNICTWA k_y

-

POWRÓT

Wybierając kolejno dwie pierwsze opcje proszę zdefiniować w pojawiających się

tabelkach odpowiednie wartości (

4

,

7

x

y

k

k

=

=

), za każdym razem potwierdzając

wpisaną wartość przyciskiem

OK. Po ich zdefiniowaniu opcją "POWRÓT" powrócimy

do głównego menu.

5.

Definiowanie intensywności źródła ciepła w obszarze

W celu zdefiniowania postaci funkcji intensywności źródła ciepła f wybieramy opcję

"GENERATOR CIEPŁA W OBSZARZE" i w tabelce wpisujemy wzór f, który może
zależeć od zmiennych przestrzennych

x, y oraz zmiennej czasowej t. W rozważanym

przypadku intensywność ta wynosi 0, co jest wartością domyślną w programie.
Potwierdzamy klawiszem

OK. Wciąż znajdujemy się w głównym menu.

6.

Definiowanie warunków brzegowych

W celu określenia linii brzegowych z warunkami typu podstawowego (znana

temperatura

T) lub typu naturalnego (znany strumień ciepła q) proszę wybrać opcję

"WARUNKI BRZEGOWE (TEMPERATURA, STRUMIEŃ CIEPŁA") w głównym
menu programu. Ukaże się podmenu "WARUNKI BRZEGOWE" z opcjami

-

NOWY WARUNEK NA KRAWĘDZI

-

KOREKTA WARUNKU Z WYBRANEJ KRAWĘDZI

-

USUNIĘCIE WARUNKU Z WYBRANEJ KRAWĘDZI

-

USUNIĘCIE WSZYSTKICH TEMPERATUR

-

USUNIĘCIE WSZYSTKICH NIEZEROWYCH STRUMIENI

-

USUNIĘCIE WSZYSTKICH WARUNKÓW

-

LISTA WARUNKÓW

-

DEFINICJA I WIZUALIZACJA TEMPERATURY POCZĄTKOWEJ

-

POWRÓT

oraz rysunek obszaru, na którym zaznaczane będą kolejne linie brzegowe z warunkami.

Proszę wybrać opcję "NOWY WARUNEK NA KRAWĘDZI", pojawi się tabelka, jak

na rys.8.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 9 z 21

9

Rys. 8: Tabelka do definiowania warunków brzegowych

Sposób wprowadzania do niej informacji o warunkach brzegowych jest następujący.

Podajemy numer krawędzi (wg rysunku w tle), a następnie określamy temperaturę T lub
niezerowy strumień q

n

. Określenie jednocześnie niezerowego T i q

n

jest niemożliwe, z

kolei zadanie dwóch zerowych wartości przypisze temperaturę o wartości 0 do danej
krawędzi. Dlatego też, w celu przypisania zerowej wartości strumienia do danej krawędzi,
nie należy niczego dla tej krawędzi wprowadzać - domyślnie wszystkie krawędzie są
izolowane (czyli q

n

= 0).

Zaczniemy od temperatur na krawędziach nr 1, 2, 7 i 8 o wartości T = 10. W pole

tabelki "NUMER KRAWĘDZI" wpisujemy 1, a pole "TEMPERATURA T" wpisujemy
10. Pole "STRUMIEŃ CIEPŁA" pozostawiamy zerowe - wtedy strumień w ogóle nie
będzie wliczany do zadania, z uwagi na niezerową temperaturę na tej samej krawędzi.
Potwierdzamy przyciskiem OK. Rysunek ulegnie odświeżeniu, na krawędzi nr 1 pokaże
się gruba karmazynowa linia z podpisem

1

10

T

=

oznaczająca, iż do linii brzegowej nr 1

została przypisana temperatura o wartości 10. Proszę w podobny sposób przypisać T = 10
do krawędzi nr 2, 7 i 8 - za każdym razem wybierając opcję "NOWY WARUNEK NA
KRAWĘDZI" z aktualnego podmenu.

Następnie przypiszemy strumień ciepła o wartości q

n

= -12 liniom brzegowym o

numerach 4 i 5 - wg rysunku w tle. Ponownie wybieramy opcję "NOWY WARUNEK NA
KRAWĘDZI", podajemy w tabelce numer linii 4, a następnie niezerową wartość
"STRUMIEŃ CIEPŁA" równą -12. Rysunek ulegnie aktualizacji i pojawi się gruba
zielona krawędź nr 4 z opisem

4

12

n

q

= −

. W ten sam sposób proszę przypisać wartość

strumienia q

n

= -12 do krawędzi nr 5.

Po tych czynnościach tworzony automatycznie rysunek powinien wyglądać tak, jak na

rys.9.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 10 z 21

10

Rys. 9: Linie brzegowe z przypisanymi warunkami na temperaturę i strumień

Listę krawędzi z przypisanymi warunkami (wszystkie temperatury oraz niezerowe
wartości strumienia) można dodatkowo obejrzeć poprzez opcję "LISTA WARUNKÓW".
Uwaga! W razie jakiejkolwiek pomyłki można łatwo dokonać korekty wartości
temperatury/strumienia na określonej krawędzi, usunąć warunek z określonej krawędzi,
usunąć wszystkie temperatury lub wszystkie strumienie lub też wszystkie warunki z
brzegu - za pomocą odpowiednich opcji z bieżącego podmenu.
Wracamy do głównego menu (opcja "POWRÓT"), zadany schemat cieplny można także
obejrzeć w większej skali wybierając opcję z głównego menu "RYSUNEK: SCHEMAT
CIEPLNY KONSTRUKCJI". Rysunek, który się pojawi, pokazany jest na rys.10.

Rys. 10: Ostateczna postać schematu cieplnego

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 11 z 21

11

7.

Rodzaj i parametry analizy

W programie możliwy jest wybór pomiędzy analizą elementową (MES) i bezsiatkową

(BMRS). Dla każdej z tych metod można ustawić takie parametry, jak kształt elementów
(trójkątne, prostokątne) czy stopień aproksymacji (liniowy, kwadratowy). Dodatkowo
można dokonać wyboru pomiędzy przepływem o charakterze ustalonym, a nieustalonym i
dobrać odpowiednio parametry tego ostatniego. Domyślne opcje w programie zakładają:

-

analizę elementową MES

-

kształt elementów prostokątny

-

biliniowy stopień interpolacji (w elementach prostokątnych)

-

ustalony przepływ ciepła.

Zmiana powyższych ustawień jest możliwa poprzez wybór z głównego menu

programu opcji "RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY METOD". Dodatkowo w dalszej
części opracowania zostanie pokazane, jak zmienić kształt elementów na trójkątny.

8.

Ręczna generacja rzadkiej siatki MES

Ręcznej generacji siatki (dla kilku ES) dokonamy poprzez opcję w głównym menu

"GENERACJA RĘCZNA SIATKI MES". Pojawi się podmenu "RĘCZNA GENERACJA
SIATKI", z opcjami

-

NOWY ELEMENT

-

KOREKTA ELEMENTU

-

USUNIĘCIE ELEMENTU

-

USUNIĘCIE WSZYSTKICH ELEMENTÓW

-

USUNIĘCIE SIATKI MES

-

LISTA WĘZŁÓW I ELEMENTÓW

-

PRZEKSZTAŁCENIE SIATKI PROSTOKĄTNEJ NA TRÓJKĄTNĄ

-

POWRÓT

oraz rysunek, na którym pokazywana będzie tworzona element po elemencie siatka MES.
W sposób domyślny wszystkie wprowadzone punkty brzegowe stają się węzłami siatki.
Jeżeli do generacji siatki potrzebne są dodatkowe węzły, poza tymi, które już są na
rysunku (np. węzły leżące wewnątrz), należy wrócić do opcji "DEFINIOWANIE
KRAWĘDZI OBSZARU" i "PUNKTY" (patrz: rozdział 3) w celu zdefiniowania tych
dodatkowych węzłów, jako dodatkowych punktów konstrukcyjnych, a następnie powrócić
do bieżącej opcji ręcznej generacji siatki. Można też od razu skorzystać z opcji
automatycznej generacji siatki MES.
W rozważanym przykładzie wszystkie potrzebne węzły już są zdefiniowane. Aktualna
wersja programu dopuszcza jedynie elementy prostokątne czterowęzłowe.
Wybieramy opcję "NOWY ELEMENT". Pojawi się tabelka, tak jak na rys.11.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 12 z 21

12

Rys. 11: Tabelka do definiowania węzłów elementu

Należy wprowadzić numery węzłów elementu nr 1, wg rysunku rys.1. Proszę pamiętać o
konsekwencji w orientacji węzłów elementu, tzn. aby były podawane zawsze w tym
samym kierunku (tu: przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara). W tabelce
podajmy: węzeł 1 = 1, węzeł 2 = 2, węzeł 3 = 5 oraz węzeł 4 = 4. Naciskamy przycisk
OK. Rysunek ulegnie aktualizacji i pojawi się na nim element nr 1.
Proszę zdefiniować pozostałe dwa elementy wybierając ponownie opcję "NOWY
ELEMENT" i podając dla elementu nr 2 węzły o numerach 4, 5, 8 i 7, a dla elementu nr 3
węzły o numerach 2, 3, 6 i 5. Po tych działaniach rysunek powinien wyglądać tak jak na
rys.12.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 13 z 21

13

Rys. 12: Zdefiniowane elementy siatki MES

Rys. 13: Dyskretyzacja MES

Dodatkowo listę węzłów i elementów można wyświetlić za pomocą opcji "LISTA
WĘZŁÓW I ELEMENTÓW", a za pomocą innych opcji tego podmenu można dokonać
korekty siatki: poprawić lub usunąć wybrany element lub wszystkie.
Uwaga! Wybranie opcji "USUNIĘCIE SIATKI MES" usuwa nie tylko elementy, ale
także wszystkie węzły, które nie są punktami konstrukcyjnymi brzegu.

Wracamy do głównego menu (opcja "POWRÓT"), siatkę MES można obejrzeć w
większej skali poprzez wybór opcji "RYSUNEK: SIATKA MES" - rys.13.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 14 z 21

14

9.

Obliczenia

Przed dokonaniem obliczeń zaleca się zapisanie danych do modelu za pomocą opcji z

głównego menu "ZAPIS DANYCH DO PLIKU". Należy podać samą nazwę pliku, bez
rozszerzenia. Dane zostaną zapisane w pliku o rozszerzeniu txt, będzie się on znajdował w
bieżącym katalogu ("Current Directory") programu Matlab, czyli tam, skąd wczytany do
edytora został plik z programem "heat_mil.m".

W celu przeprowadzenia obliczeń wybieramy opcję "OBLICZENIA" z głównego

menu. Jeżeli w modelu nie ma błędów, pojawi się informacja o wykonaniu obliczeń.

10.

Przeglądanie wyników

Przeglądanie wyników zarówno w formie tekstowej, jak i graficznej jest możliwe

poprzez wybór z głównego menu opcji "WYNIKI I ICH WIZUALIZACJA". Ukaże się
podmenu "WYNIKI - TEKSTOWO I GRAFICZNIE" z opcjami

-

ROZKŁAD TEMPERATURY

-

SKŁADOWE STRUMIENIA CIEPŁA

-

WYNIKI WĘZŁOWE - LISTA

-

WYNIKI ELEMENTOWE - LISTA

-

WYGŁADZANIE WYKRESÓW

-

WARTOŚCI WĘZŁOWE NA WYKRESACH

-

WYKRES ZMIAN TEMPERATURY W CZASIE

-

WARTOŚĆ TEMPERATURY W DOWOLNYM PUNKCIE OBSZARU

-

POWRÓT

Rys. 14: Rozkład temperatury

Po wybraniu opcji "ROZKŁAD TEMPERATURY" lub "SKŁADOWE STRUMIENIA
CIEPŁA" ukażą się w osobnych oknach odpowiednie płaskie wykresy przedstawiające
powyższe wielkości w formie kolorowych map. Rozkład temperatury (jeden wykres -
rys.14) bazuje bezpośrednio na wartościach węzłowych, otrzymanych z układu równań
MES. Wartości składowych strumienia ciepła (trzy wykresy dla składowych

,

,

,

n x

n y

q

q

i

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 15 z 21

15

wartości średniej

2

2

,

,

n

n x

n y

q

q

q

=

+

- rys.15) obliczane są w elementach w wyniku

postprocessingu (obróbki numerycznej) rozwiązania węzłowego. Po wybraniu opcji
"SKŁADOWE STRUMIENIA CIEPŁA" pojawi się możliwość określenia, czy na
wykresie mają znaleźć się wszystkie składowe, czy tylko jedna wybrana.

Rys. 15: Rozkład składowych strumienia ciepła

Rozkład temperatury jest funkcją ciągłą (biliniowa interpolacja wartości węzłowych), ale
rozkład składowych strumienia już nie (pochodna pola temperatury).
Wykresy prezentowane są w płaszczyźnie (x,y), jednakże wynik przestrzenny każdego z
nich jest możliwy poprzez wybór opcji "Rotate 3D" (ikonka

) w menu każdego z

obrazków, a następnie sterowanie widokiem poprzez lewy lub prawy klawisz myszy.
Opcja "WYNIKI WĘZŁOWE - LISTA" pokazuje w osobnym okienku listę węzłów wraz
z ich współrzędnymi, oraz obliczone we węzłach niewiadome pierwotne (temperatura T) i
niewiadome wtórne (strumień q) obliczane tak jak "reakcje węzłowe".
Opcja "WYNIKI ELEMENTOWE - LISTA" pokazuje w osobnym okienku listę
elementów z wartościami składowych

,

,

,

n x

n y

q

q

w pięciu punktach każdego z elementów -

w czterech narożach (0,0), (a,0), (a,b) i (0,b), gdzie a, b - wymiary elementu, oraz w
ś

rodku ciężkości (a/2, b/2).

Opcja "WARTOŚĆ TEMPERATURY W DOWOLNYM PUNKCIE OBSZARU"
pozwala na sprawdzenie wartości rozwiązania we wskazanym punkcie - po wyborze tej
opcji pojawi się okienko, gdzie należy wpisać współrzędne x i y punktu, w którym ma być
obliczona wartość temperatury - punkt nie musi być węzłem, musi natomiast leżeć w
obszarze. Proszę np. wprowadzić dla powyższego zadania x = 4.5 oraz y = 1.9 - pojawi się
informacja o wartości temperatury T = 6.8039 ᑻC, a na wykresie rozwiązania zostanie ten
punkt oznaczony.

Włączona opcja "WYGŁADZANIE WYKRESÓW" dotyczy tylko i wyłącznie
wygładzania wykresów składowych strumienia ciepła. Wygładzanie odbywa się przy
pomocy aproksymacji MWLS (ang. Moving Weighted Least Squares), z odpowiednio

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 16 z 21

16

ustawionymi parametrami. Po włączeniu tej opcji i ponownym wyświetleniu, wykresy
składowym strumienia ciepła powinny zostać wygładzone (nie będzie nieciągłości).
Po powrocie do głównego menu (opcja "POWRÓT") można dodatkowo zapisać wyniki
obliczeń w pliku o podanej nazwie (bez rozszerzenia) za pomocą opcji "ZAPIS
WYNIKÓW DO PLIKU". Znajdzie się on w bieżącym katalogu. Edytować ten plik
można z pozycji systemu Windows, przy użyciu np. Notatnika (Notepad). Zawartość
pliku dla rozważanego zadania pokazana jest poniżej

HEATMIL

-

WYNIKI

ANALIZY

MES

i

BMRS

STACJONARNEGO

I

NIESTACJONARNEGO PRZEPŁYWU CIEPŁA
AUTOR PROGRAMU: SŁAWOMIR MILEWSKI, PK WIL L5, [e-mail]
-----------------------------------------------------------------
Data: 14-Apr-2011
-----------------------------------------------------------------
DANE OBLICZENIOWE:
PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA kx = 4 [J/Cms]
PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA ky = 7 [J/Cms]
GENERATOR CIEPŁA W OBSZARZE f(x,y,t) = 0 [J/m2s]
-----------------------------------------------------------------
WYNIKI ANALIZY MES:

WYNIKI WĘZŁOWE (TEMPERATURA I STRUMIEŃ CIEPŁA WE WĘZŁACH POD
KONIEC PROCESU CIEPLNEGO)
węzeł = 1, x = 0.0000 , y = 0.0000 , T = 10.0000 , q = 4.7904
węzeł = 2, x = 2.0000 , y = 0.0000 , T = 10.0000 , q = 20.2139
węzeł = 3, x = 5.0000 , y = 0.0000 , T = 10.0000 , q = 16.6991
węzeł = 4, x = 0.0000 , y = 2.0000 , T = 10.0000 , q = 4.7420
węzeł = 5, x = 2.0000 , y = 2.0000 , T = 7.3870 , q = 0.0000
węzeł = 6, x = 5.0000 , y = 2.0000 , T = 6.4114 , q = 0.0000
węzeł = 7, x = 0.0000 , y = 3.0000 , T = 10.0000 , q = 1.5545
węzeł = 8, x = 2.0000 , y = 3.0000 , T = 6.7520 , q = 0.0000

WYNIKI ELEMENTOWE (STRUMIEŃ CIEPŁA WE WĘZŁACH ELEMENTU ORAZ
W JEGO ŚRODKU CIĘŻKOŚCI POD KONIEC PROCESU CIEPLNEGO)
element = 1
( 5.22592 ; 0.00000) ( 5.22592 ; 9.14535)
( 2.61296 ; 4.57268)
( 0.00000 ; 0.00000) ( 0.00000 ; 9.14535)

element = 2
( 6.49606 ; 0.00000) ( 6.49606 ; 4.44549)
( 5.86099 ; 2.22275)
( 5.22592 ; 0.00000) ( 5.22592 ; 4.44549)

element = 3
( 1.30085 ; 9.14535) ( 1.30085 ; 12.56009)
( 0.65043 ; 10.85272)
( 0.00000 ; 9.14535) ( 0.00000 ; 12.56009)

Uwaga! Tak zapisane wyniki nie podlegają ponownemu wczytaniu przez program.
Możliwe jest wczytanie przez opcję "ODCZYT DANYCH Z PLIKU" (wybór pliku z

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 17 z 21

17

rozszerzeniem txt z bieżącego katalogu) jedynie danych do obliczeń (punkty, krawędzie,
warunki brzegowe, stałe materiałowe, siatka) wcześniej zapisanych przez program. Po
wczytaniu danych obliczenia trzeba przeprowadzić raz jeszcze - ich wyniki nie są
zapisywane w formie możliwej do ponownego wczytania.

11.

Automatyczna generacja gęstej siatki MES

Opcja w głównym menu "GENERACJA AUTOMATYCZNA SIATKI MES"

uruchamia podmenu "GENERATOR SIATKI MES" z opcjami

-

LICZBA PODZIAŁÓW KRAWĘDZI

-

GENERACJA SIATKI MES

-

USUNIĘCIE SIATKI MES

-

PRZEKSZTAŁCENIE PROSTOKĄTÓW NA TRÓJKĄTY

-

PARAMETR ZABURZENIA WĘZŁÓW WEWNĘTRZNYCH

-

POWRÓT

Generacja siatki odbywa się jedynie na podstawie liczby podziałów krawędzi o

najmniejszej długości, którą należy określić w opcji "LICZBA PODZIAŁÓW
KRAWĘDZI". Domyślnie wynosi ona 1. Wartość tę można zmienić na kolejne liczby
naturalne 2,3,4, pamiętając jednak, iż zbyt duża liczba może spowolnić m.in. wizualizację
wyników. Dla rozważanego zadania proszę wpisać do tabelki nh = 4 i nacisnąć przycisk
OK. Siatka generowana jest przez wybór opcji "GENERACJA SIATKI MES". Pomyślne
wygenerowanie siatki będzie potwierdzone odpowiednim komunikatem.

Rys. 16: Gęstsza siatka MES

Uwaga! Opcja "USUNIĘCIE SIATKI MES" usuwa wszystkie wygenerowane elementy i
węzły, poza punktami brzegowymi. Natomiast ta opcja nie jest konieczna przy generacji
nowej siatki, podczas gdy stara jest jeszcze zdefiniowana.
Powracamy do głównego menu (opcja "POWRÓT"), nową siatkę MES możemy obejrzeć
poprzez wybór opcji "RYSUNEK: SIATKA MES". Pokazuje ją rys.16.
Uwaga! W przypadku bardzo gęstych siatek ich rysowanie może trochę potrwać.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 18 z 21

18

Ponownie uruchamiamy obliczenia za pomocą opcji "OBLICZENIA", a następnie
wybieramy opcję "WYNIKI I ICH WIZUALIZACJA", gdzie możemy przeglądać wyniki
w formie graficznej i tekstowej. Rozkłady temperatury oraz składowych strumienia dla
gęstszej siatki przedstawiają odpowiednio rys.17 i rys.18.

Rys. 17: Rozkład temperatury dla gęstszej siatki MES

Rys. 18: Rozkład składowych strumienia ciepła dla gęstej siatki MES

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 19 z 21

19

12.

Wygenerowanie siatki trójkątnej

Wygenerowanie siatki trójkątnej możliwe jest na dwa sposoby. Pierwszy z nich

zakłada wygenerowanie (ręczne bądź automatyczne, jak to opisano powyżej) siatki
prostokątów, a następnie przekształcenie tej siatki na siatkę trójkątów. Jest to możliwe (po
wygenerowaniu siatki prostokątów) przez wybór z głównego menu programu opcji
"GENERACJA RĘCZNA SIATKI" (dla siatek rzadkich) lub "GENERACJA
AUTOMATYCZNA

SIATKI"

(dla

każdej

siatki),

a

następnie

opcji

PRZEKSZTAŁCENIE PROSTOKĄTÓW NA TRÓJKĄTY". Przykładowo działanie tego
polecenia dla wygenerowanej wcześniej siatki MES prostokątów (o nh=4) pokazuje
rys.19.

Rys. 19: Przykładowa siatka trójkątów, wygenerowana automatycznie

Dla tak wygenerowanej siatki oczywiście należy ponownie uruchomić obliczenia.
Maksymalna temperatura dla bieżącego zadania powinna wynosić 6.6448 ᑻC.
Konwersja odwrotna - z elementów trójkątnych na prostokątne - nie jest możliwa.

Drugi sposób zakłada generację siatki trójkątnej od samego początku - zamiast siatki
prostokątnej (ręcznie lub automatycznie). Należy ustawić kształt elementów skończonych
na trójkątne. Jeżeli w obszarze jest już wygenerowana siatka prostokątów, należy ją
wcześniej usunąć - odpowiednia opcja znajduje się w menu głównym w "GENERACJI
RĘCZNEJ SIATKI" lub "GENERACJI AUTOMATYCZNEJ SIATKI". Po usunięciu
siatki należy wybrać z menu głównego opcję "RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY
METOD", a następnie opcję "PARAMETRY MES". Pojawi się możliwość wyboru
kształtu elementów - wybieramy opcję "TRÓJKĄTY". Następnie określany stopień
interpolacji w trójkącie - "LINIOWY". Po powrocie do głównego menu istnieje
możliwość generacji ręcznej siatki trójkątów lub automatycznej na tych samych zasadach,
co poprzednio. Jedyna różnica przy generacji ręcznej polega na tym, że trójkątny element
skończony określamy poprzez trzy węzły, stanowiące jego wierzchołki.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 20 z 21

20

13.

Analiza bezsiatkowa

W opcji menu głównego "RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY METOD" istnieje

możliwość zamiany metody obliczeniowej z MES (opcja domyślna) na bezsiatkową
metodę różnic skończonych BMRS. Po wyborze metody można ustawić jej parametry, do
których należą: typ sformułowania (lokalne, wariacyjne), liczebność gwiazd różnicowych,
typ siatki do całkowania oraz kształt elementów siatki do całkowania i stopień lokalnej
aproksymacji (tylko dla sformułowania wariacyjnego). Generacja węzłów dla BMRS
odbywa się tylko automatycznie ("GENERACJA AUTOMATYCZNA WĘZŁÓW"),
poprzez określenie ich gęstości ("LICZBA PODZIAŁÓW KRAWĘDZI"). Przykładowy
rezultat - dla BMRS w sformułowaniu lokalnym - dla nh = 4 - pokazany jest na rys.20. Do
analizy numerycznej w tym przypadku nie jest potrzebna żadna struktura elementowa -
aproksymacja funkcji oparta jest jedynie na węzłach, a całkowanie nie jest potrzebne.

Rys. 20: Węzły rozłożone regularnie dla analizy BMRS (sformułowanie lokalne)

Maksymalna wartość temperatury dla bieżącego zadania powinna wynosić 6.2301 ᑻC.

Metoda BMRS została zaprojektowana przede wszystkim dla węzłów rozłożonych w
sposób dowolnie nieregularny. Dlatego też w programie węzły można zaburzyć w sposób
losowy i dla takiej dyskretyzacji wykonać obliczenia. Zaburzenie jest możliwe w opcji
"AUTOMATYCZNA GENERACJA WĘZŁÓW" po określeniu "PARAMETRU
ZABURZENIA WĘZŁÓW WEWNĘTRZNYCH" (np. proszę podać 0.1, co oznacza
losowe zaburzenie położenia węzłów z amplitudą 10% jego pierwotnej wartości) i
wygenerowaniu ponownym węzłów ("GENERACJA SIATKI/WĘZŁÓW"). Przykładowy
rozkład węzłów pokazany jest na rys.21.

Maksymalna wartość temperatury dla bieżącego zadania wynosi 6.2541 ᑻC. Oczywiście
poprzez charakter losowy zaburzenia wyniki będą się różnić dla innej dyksretyzacji
BMRS generowanej w tej sposób.

Sławomir Milewski - Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL Strona 21 z 21

21

Wersja wariacyjna BMRS również bazuje na węzłach i tylko węzłach przy aproksymacji
funkcji (pola temperatur), a siatka elementów (trójkąty bądź prostokąty) potrzeba jest
jedynie do całkowania numerycznego.

Rys. 21: Węzły rozłożone nieregularnie dla analizy BMRS (sformułowanie lokalne)

14.

Wyczyszczenie bazy danych

Uruchomienie całkowicie nowego zadania stacjonarnego przepływu ciepła jest

możliwe poprzez wybór opcji "WYCZYSZCZENIE BAZY DANYCH" i powtórzenie
kroków opisanych w poprzednich rozdziałach dla nowego zadania.
Opcja "WYJŚCIE" kończy działanie programu "HEAT MIL", należy także zamknąć
program Matlab.

Wszelkie uwagi związane z działaniem samego programu lub też nieścisłościami
zawartymi w bieżącym opracowaniu proszę kierować na adres:

[e-mail]

Z góry dziękuję za wszystkie uwagi.