background image

 

 
 

POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. T. Kościuszki 

Wydział Inżynierii Lądowej 

ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków 

tel. 012 628 2546/2929, fax: 012 628 2034, e-mail: L-5@pk.edu.pl 

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej 

(L-5) 

 

 

 

Rozwiązanie zadania ustalonego przepływu 

ciepła w systemie MES / BMRS 

HEAT MIL 

 
 

 

 

Opracował:  
 

Sławomir Milewski (

slawek@L5.pk.edu.pl

Wersja elektroniczna: 
 

http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek

 

 
Kraków, kwiecień 2011 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 2 z 21 

 

 

1.

 

Sformułowanie problemu 

 

 

Przedmiotem  analizy  jest  konstrukcja,  pokazana  na  rys.1  poniżej  wraz  z  zgrubną 
dyskretyzacją  -  podziałem  na  trzy  elementy  skończone  prostokątne.    Zadanie  polega  na 
wyznaczeniu  pola  temperatury  (skalarnego)  oraz  pola  strumienia  ciepła  (wektorowego) 
przy  założeniu  stacjonarnego  (niezależnego  od  czasu)  przepływu  ciepła  przez  ciało. 
Temperatura  na  krawędziach  1-7  oraz  1-3  wynosi  10  ᑻC,  a  na  krawędziach  5-8  oraz  5-6 

zadany jest strumień cieplny o wartości 

2

12

/

J m s

. 

1

3

2

1

2

3

4

5

6

7

8

2 m

3 m

T

 =

 1

0

 

ᑻᑻᑻᑻ

C

T = 10 

ᑻᑻᑻᑻ

C

q

n

= -12 J/m

2

s

1 m

2 m

 

 

Rys. 1: Geometria i schemat cieplny zadania 

 

Dane: 

 

materiał:  

 

 

ortotropowy, stałe przewodnictwa cieplnego:  

 

 

 

 

 

4

/

x

k

J

Cms

=



 oraz  

7

/

y

k

J

Cms

=



 

 

temperatura:   

 

krawędzie 1-7 i 1-3, wartość 

10

T

C

=



 

 

strumień ciepła: 

 

krawędzie 5-8 i 5-6, wartość 

2

12

/

n

q

J m s

= −

 

ź

ródło ciepła w obszarze:  

brak (0 

2

/

J m s 

 

2.

 

Uruchomienie programu i jego składniki 

 
Program  "HEAT  MIL"  służący  do  analizy  stacjonarnego  przepływu  ciepła  za  pomocą 
MES, w wersji źródłowej znajduje się na stronie  
 
http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek 
 
w  punkcie  "FILES  FOR  STUDENTS  (in  Polish)  /  Computational  Methods  /  Metody 
Obliczeniowe - cieplo - program HEAT MIL". Składa się on z jednego pliku (tzw. m-plik 
o  nazwie  heat_mil.m),  który  należy  zapisać  na  dysku  komputera  (prawy  klawisz  na 
niebieskim  linku,  a  następnie  opcja  "Zapisz  element  docelowy  jako…"),  a  następnie 
odtworzyć poprzez edytor programu MATLAB. 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 3 z 21 

 

 

Uruchomienie  programu  MATLAB  (aktualna  wersja:  Matlab2008)  jest  możliwe  poprzez 
skrót  na  pulpicie  lub  poprzez  odnośnik  w  zakładce  "Wszystkie  programy"  systemu 
Windows. 
Po  uruchomieniu  programu  MATLAB  należy  wybrać  z  górnego  menu:  File:  Open,  a 
następnie  odszukać  przez  przeglądarkę  plików  wcześniej  ściągnięty  plik  "heat_mil.m". 
Zostanie on otwarty w edytorze programu Matlab - wygląd ekranu z otwartym programem 
Matlab oraz aktywnym edytorem z załadowanym programem znajduje się na rys.2. 
 

 

Rys. 2: Wygląd ekranu po uruchomieniu programu Matlab i jego edytora z programem 

"heat_mil.m" 

 
Do  poprawnego  działania  program  "heat_mil.m"  nie  wymaga  ŻADNYCH  ingerencji  w 
kodzie  ze  strony  użytkownika  -  należy  go  jedynie  uruchomić  w  środowisku  Matlab. 
Program uruchomić można klawiszem F5, lub poprzez opcję "run heat_mil.m" (ikona 

  

na pasku ikon edytora). Matlab może zapytać o potwierdzenie zmiany katalogu roboczego 
("Change Directory"). Proszę wybrać opcję umożliwiającą jego zmianę.  
Uwaga! W razie przypadkowego skasowania części zawartości pliku z kodem, proszę go 
ś

ciągnąć raz jeszcze i ponownie wczytać przez edytor Matlab. 

Po  uruchomieniu  programu  ukaże  się  graficzne  menu  programu  (rys.3)  z  wieloma 
opcjami,  odpowiadającymi  za  poszczególne  etapy  budowania  dyskretnego  modelu 
cieplnego ciała 

-

 

DEFINIOWANIE KRAWĘDZI OBSZARU 

-

 

DEFINIOWANIE MATERIAŁU 

-

 

GENERATOR CIEPŁA W OBSZARZE 

-

 

WARUNKI BRZEGOWE (TEMPERATURA, STRUMIEŃ CIEPŁA) 

-

 

RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY METOD MES / (B)MRS 

-

 

GENERACJA RĘCZNA SIATKI MES 

-

 

GENERACJA AUTOMATYCZNA SIATKI MES 

za wizualizację schematu cieplnego oraz jej postaci po dyskretyzacji MES 

-

 

RYSUNEK: SCHEMAT CIEPLNY KONSTRUKCJI 

-

 

RYSUNEK: SIATKA MES 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 4 z 21 

 

 

za rozwiązanie zadania i przeglądanie wyników 

-

 

OBLICZENIA 

-

 

WYNIKI I ICH WIZUALIZACJA 

oraz za obsługę bazy danych programu 

-

 

ZAPIS DANYCH DO PLIKU 

-

 

ZAPIS WYNIKÓW DO PLIKU 

-

 

ODCZYT DANYCH Z PLIKU 

-

 

WYCZYSZCZENIE BAZY DANYCH 

Dodatkowo  w  programie  możliwe  jest  dokonanie  ESTYMACJI  błędu  rozwiązania  oraz 
przeprowadzenie prostej adaptacji siatki / węzłów (ZAGĘSZCZANIE). 
Ostatnia opcja pozwala na wyjście z programu "HEAT MIL" i powrót do systemu Matlab. 
 

 

Rys. 3: Graficzne menu programu "HEAT MIL" 

 
 

W pierwszej kolejności zadanie zostanie rozwiązane dla rzadkiej siatki składającej się 

z  kilku  (2,3,4)  elementów  prostokątnych  (z  biliniową  interpolacją  pola  temperatury),  co 
pozwoli na konfrontację wyników z obliczeniami ręcznymi.  
 
3.

 

Tworzenie geometrii 

 
 

Proszę wybrać pierwszą opcję w głównym menu, tj. "DEFINIOWANIE KRAWĘDZI 

OBSZARU".  Ukaże  się  podmenu  "DEFINIOWANIE  KRAWĘDZI  OBSZARU"  z 
opcjami 

-

 

PUNKTY 

-

 

LINIE 

-

 

USUŃ DANE GEOMETRYCZNE 

-

 

POWRÓT 

 

 

W pierwszej kolejności zdefiniowane zostaną punkty konstrukcyjne brzegu obszaru  - 

wszystkie,  które  wynikają  z  podziału  na  trzy  elementy  skończone  (rys.3).  Posłużą  one 
zarówno do budowy krawędzi brzegowej, jak i do ręcznej generacji rzadkiej siatki MES.  

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 5 z 21 

 

 

 
 

Proszę  wybrać  opcję  "PUNKTY".  Pokaże  się  podmenu  "DEFINIOWANIE 

PUNKTÓW KRAWĘDZI" z opcjami 

-

 

DODAJ PUNKT 

-

 

USUŃ PUNKT 

-

 

POPRAW PUNKT 

-

 

USUŃ WSZYSTKIE PUNKTY 

-

 

POWRÓT 

oraz rysunek "GEOMETRIA ZADANIA" i lista punktów "PUNKTY KRAWĘDZI" - na 
razie obydwa puste. 
 

Proszę  wybrać  opcję  "DODAJ  PUNKT".  Ukaże  się  tabelka  definicji  punktu 

"PUNKTY"  z  polami  x(1)  oraz  y(1)  do  definiowana  współrzędnych  pierwszego  punktu 
konstrukcyjnego  brzegu  (rys.4).  Posługując  się  oznaczeniami  na  rys.1  (początek  układu 
współrzędnych  (x,  y)  przyjęty  w  punkcie  o  nr  1),  wprowadzamy  współrzędne  x(1)  =  0 
oraz y(1) = 0 w odpowiednie pola tabelki (tylko wartości liczbowe). Naciskamy przycisk 
OK.  
 

 

Rys. 4: Tabela do definiowania współrzędnych punktów konstrukcyjnych brzegu. 

 
Pojawi się ponownie podmenu "DEFINIOWANIE PUNKTÓW KRAWĘDZI", a rysunek 
i  lista  punktów  zostaną  zaktualizowane  o  punkt  nr  1  o  współrzędnych  (0,0).  W  ten  sam 
sposób  -  wybierając  cały  czas  opcję  "DODAJ  PUNKT"  proszę  zdefiniować  pozostałe 
siedem punktów o współrzędnych i w kolejności według rys.1. 
Uwaga!  W  razie  pomyłki  można  za  pomocą  odpowiedniej  opcji  z  tego  samego  menu 
usunąć  wybrany  punkt,  usunąć  wszystkie  punkty  lub  dokonać  korekty  współrzędnych 
wybranego punktu. 
Po wprowadzeniu wszystkich ośmiu punktów, rysunek i lista powinny wyglądać tak, jak 
na rys.5. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 6 z 21 

 

 

 

Rys. 5: Zbiór  punktów konstrukcyjnych brzegu 

 
 

Kolejnym zadaniem będzie zdefiniowanie linii brzegowej. W tym celu należy opuścić 

(opcja  "POWRÓT")  ostatnie  używane  podmenu  "DEFINIOWANIE  PUNKTÓW 
KRAWĘDZI"  i  wrócić  tym  samym  do  podmenu  "DEFINIOWANIE  KRAWĘDZI 
OBSZARU".  
 

Proszę  wybrać  opcję  "LINIE".  Ukaże  się  ponownie  rysunek  z  punktami  brzegu  i 

podmenu "DEFINIOWANIE LINII BRZEGOWYCH" z opcjami 

-

 

RĘCZNE TWORZENIE LINII BRZEGOWEJ 

-

 

AUTOMATYCZNE TWORZENIE LINII BRZEGOWEJ 

-

 

USUNIĘCIE LINII BRZEGOWEJ 

-

 

LISTA KRAWĘDZI 

-

 

POWRÓT 

 

Automatycznie tworzenie linii brzegowej - rozumianej jako kontur zamknięty obszaru 

(bez  otworów  w  obecnej  wersji  programu)  jest  możliwe  tylko  i  wyłącznie  w  przypadku, 
kiedy  punkty  brzegu  tworzące  kolejne  odcinki  linii  brzegowej  są  numerowane  kolejno 
(1,2,…,8,1).  Jednakże  w  rozważanym  przykładzie  linia  brzegowa  składa  się  kolejno  z 
punktów  1,2,3,6,5,8,7,4,1.  Proszę  zatem  wybrać  opcję  "RĘCZNE  TWORZENIE  LINII 
BRZEGOWEJ". Pokaże się tabelka wg rys.6. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 7 z 21 

 

 

 

Rys. 6: Tabela do tworzenia linii brzegowej 

 
Należy  obrać  dowolny  punkt  początkowy  linii  -  np.  punkt  o  numerze  1  (współrzędne 
(0,0)) i wpisać ten numer (1) do tabelki. Naciskamy przycisk OK - pojawia się podobna 
tabelka  oczekująca  na  podanie  numeru  następnego  punktu  -  o  numerze  nr  =  2,  przy 
numerze poprzedniego, pop = 1. Podajemy numer 2 i naciskamy ponownie przycisk OK
Proces  powtarza  się  -  proszę  wpisać  kolejno  numery  3,  6,  5,  8,  7,  4  i  1.  Wtedy  ciąg 
zostanie  samoistnie  zamknięty  i  pojawi  się  rysunek  -  rys.7  -  na  którym  na  żółto  zostaną 
oznaczone  kolejne  linie  brzegowe,  o  numerach  (1,  2,  …,  8)  wypisanych  na  czerwono  w 
ich punktach środkowych  
 

 

Rys. 7: Zdefiniowana linia brzegowa 

 

Dodatkowo można wylistować linie brzegowe poprzez opcję "LISTA KRAWĘDZI". 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 8 z 21 

 

 

Uwaga! W razie błędnego zdefiniowania brzegu należy usunąć wszystkie linie brzegowe 
(opcja  "USUNIĘCIE  LINII  BRZEGOWEJ")  i  zdefiniować  ją  od  początku.  Nie  jest 
możliwa korekta/usunięcie pojedynczej linii. 
Opuszczamy  bieżące  podmenu  ("POWRÓT")  oraz  podmenu  "DEFINIOWANIE 
KRAWĘDZI  OBSZARU"  (również  opcja  "POWRÓT").  Tym  samym  znajdujemy  się 
ponownie w głównym menu programu.  
 
4.

 

Definiowanie stałych materiałowych 

 

 

Proszę w głównym menu programu wybrać opcję "DEFINIOWANIE MATERIAŁU". 

Ukaże się podmenu "STAŁE MATERIAŁOWE" z następującymi opcjami: 

-

 

STAŁA PRZEWODNICTWA k_x 

-

 

STAŁA PRZEWODNICTWA k_y 

-

 

POWRÓT 

 
 

Wybierając  kolejno  dwie  pierwsze  opcje  proszę  zdefiniować  w  pojawiających  się 

tabelkach  odpowiednie  wartości  (

4

,

7

x

y

k

k

=

=

),  za  każdym  razem  potwierdzając 

wpisaną  wartość  przyciskiem 

OK.  Po  ich  zdefiniowaniu  opcją  "POWRÓT"  powrócimy 

do głównego menu. 
 
5.

 

Definiowanie intensywności źródła ciepła w obszarze 

 

 

W celu zdefiniowania postaci funkcji intensywności źródła ciepła f  wybieramy opcję 

"GENERATOR  CIEPŁA  W  OBSZARZE"  i  w  tabelce  wpisujemy  wzór  f,  który  może 
zależeć  od  zmiennych  przestrzennych 

x,  y  oraz  zmiennej  czasowej  t.  W  rozważanym 

przypadku  intensywność  ta  wynosi  0,  co  jest  wartością  domyślną  w  programie. 
Potwierdzamy klawiszem 

OK. Wciąż znajdujemy się w głównym menu. 

 
6.

 

Definiowanie warunków brzegowych 

 
 

W  celu  określenia  linii  brzegowych  z  warunkami  typu  podstawowego  (znana 

temperatura   

T)  lub  typu  naturalnego  (znany  strumień  ciepła    q)  proszę  wybrać  opcję 

"WARUNKI  BRZEGOWE  (TEMPERATURA,  STRUMIEŃ  CIEPŁA")  w  głównym 
menu programu. Ukaże się podmenu "WARUNKI BRZEGOWE" z opcjami  

-

 

NOWY WARUNEK NA KRAWĘDZI 

-

 

KOREKTA WARUNKU Z WYBRANEJ KRAWĘDZI 

-

 

USUNIĘCIE WARUNKU Z WYBRANEJ KRAWĘDZI 

-

 

USUNIĘCIE WSZYSTKICH TEMPERATUR 

-

 

USUNIĘCIE WSZYSTKICH NIEZEROWYCH STRUMIENI 

-

 

USUNIĘCIE WSZYSTKICH WARUNKÓW 

-

 

LISTA WARUNKÓW 

-

 

DEFINICJA I WIZUALIZACJA TEMPERATURY POCZĄTKOWEJ 

-

 

POWRÓT 

oraz rysunek obszaru, na którym zaznaczane będą kolejne linie brzegowe z warunkami. 
 

Proszę wybrać opcję "NOWY WARUNEK NA KRAWĘDZI", pojawi się tabelka, jak 

na rys.8.  
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 9 z 21 

 

 

 

Rys. 8: Tabelka do definiowania warunków brzegowych 

 
 

Sposób  wprowadzania  do  niej  informacji  o  warunkach  brzegowych  jest  następujący. 

Podajemy numer krawędzi (wg rysunku w tle), a  następnie określamy temperaturę T lub 
niezerowy  strumień  q

n

.  Określenie  jednocześnie  niezerowego  T  i  q

n

  jest  niemożliwe,  z 

kolei  zadanie  dwóch  zerowych  wartości  przypisze  temperaturę  o  wartości  0  do  danej 
krawędzi. Dlatego też, w celu przypisania zerowej wartości strumienia do danej krawędzi, 
nie  należy  niczego  dla  tej  krawędzi  wprowadzać  -  domyślnie  wszystkie  krawędzie  są 
izolowane (czyli  q

n

 = 0). 

 

Zaczniemy  od  temperatur  na  krawędziach  nr  1,  2,  7  i  8  o  wartości  T  =  10.  W  pole 

tabelki  "NUMER  KRAWĘDZI"  wpisujemy  1,  a  pole  "TEMPERATURA  T"  wpisujemy 
10.  Pole  "STRUMIEŃ  CIEPŁA"  pozostawiamy  zerowe  -  wtedy  strumień  w  ogóle  nie 
będzie  wliczany  do  zadania,  z  uwagi  na  niezerową  temperaturę  na  tej  samej  krawędzi. 
Potwierdzamy  przyciskiem  OK.  Rysunek  ulegnie  odświeżeniu,  na  krawędzi  nr  1  pokaże 
się gruba karmazynowa linia z podpisem  

1

10

T

=

  oznaczająca, iż do linii brzegowej nr 1 

została przypisana temperatura o wartości 10. Proszę w podobny sposób przypisać T = 10 
do  krawędzi  nr  2,  7  i  8  -  za  każdym  razem  wybierając  opcję  "NOWY  WARUNEK  NA 
KRAWĘDZI" z aktualnego podmenu. 
 

Następnie  przypiszemy  strumień  ciepła  o  wartości  q

n

  =  -12  liniom  brzegowym  o 

numerach 4 i 5 - wg rysunku w tle. Ponownie wybieramy opcję "NOWY WARUNEK NA 
KRAWĘDZI",  podajemy  w  tabelce  numer  linii  4,  a  następnie  niezerową  wartość 
"STRUMIEŃ  CIEPŁA"  równą  -12.  Rysunek  ulegnie  aktualizacji  i  pojawi  się  gruba 
zielona  krawędź  nr  4  z  opisem 

4

12

n

q

= −

.  W  ten  sam  sposób  proszę  przypisać  wartość 

strumienia q

n

 = -12 do krawędzi nr 5. 

 

Po tych czynnościach tworzony automatycznie rysunek powinien wyglądać tak, jak na 

rys.9. 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 10 z 21 

 

 

10 

 

Rys. 9: Linie brzegowe z przypisanymi warunkami na temperaturę i strumień 

 

Listę  krawędzi  z  przypisanymi  warunkami  (wszystkie  temperatury  oraz  niezerowe 
wartości strumienia) można dodatkowo obejrzeć poprzez opcję "LISTA WARUNKÓW". 
Uwaga!  W  razie  jakiejkolwiek  pomyłki  można  łatwo  dokonać  korekty  wartości 
temperatury/strumienia  na  określonej  krawędzi,  usunąć  warunek  z  określonej  krawędzi, 
usunąć  wszystkie  temperatury  lub  wszystkie  strumienie  lub  też  wszystkie  warunki  z 
brzegu - za pomocą odpowiednich opcji z bieżącego podmenu. 
Wracamy do  głównego  menu (opcja  "POWRÓT"), zadany schemat cieplny można także 
obejrzeć  w  większej  skali  wybierając  opcję  z  głównego  menu  "RYSUNEK:  SCHEMAT 
CIEPLNY KONSTRUKCJI". Rysunek, który się pojawi, pokazany jest na rys.10. 
 

 

Rys. 10: Ostateczna postać schematu cieplnego 

 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 11 z 21 

 

 

11 

7.

 

Rodzaj i parametry analizy 

 
 

W programie możliwy jest wybór pomiędzy analizą elementową (MES) i bezsiatkową 

(BMRS). Dla każdej z tych metod można ustawić takie parametry, jak kształt elementów 
(trójkątne,  prostokątne)  czy  stopień  aproksymacji  (liniowy,  kwadratowy).  Dodatkowo 
można dokonać wyboru pomiędzy przepływem o charakterze ustalonym, a nieustalonym i 
dobrać odpowiednio parametry tego ostatniego. Domyślne opcje w programie zakładają: 

-

 

analizę elementową MES 

-

 

kształt elementów prostokątny 

-

 

biliniowy stopień interpolacji (w elementach prostokątnych) 

-

 

ustalony przepływ ciepła. 

 

Zmiana  powyższych  ustawień  jest  możliwa  poprzez  wybór  z  głównego  menu 

programu opcji "RODZAJ ANALIZY I PARAMETRY METOD". Dodatkowo w dalszej 
części opracowania zostanie pokazane, jak zmienić kształt elementów na trójkątny. 
 
8.

 

Ręczna generacja rzadkiej siatki MES 

 
 

Ręcznej  generacji  siatki  (dla  kilku  ES)  dokonamy  poprzez  opcję  w  głównym  menu 

"GENERACJA RĘCZNA SIATKI MES". Pojawi się podmenu "RĘCZNA GENERACJA 
SIATKI", z opcjami 

-

 

NOWY ELEMENT 

-

 

KOREKTA ELEMENTU 

-

 

USUNIĘCIE ELEMENTU 

-

 

USUNIĘCIE WSZYSTKICH ELEMENTÓW 

-

 

USUNIĘCIE SIATKI MES 

-

 

LISTA WĘZŁÓW I ELEMENTÓW 

-

 

PRZEKSZTAŁCENIE SIATKI PROSTOKĄTNEJ NA TRÓJKĄTNĄ 

-

 

POWRÓT 

oraz rysunek, na którym pokazywana będzie tworzona element po elemencie siatka MES. 
W  sposób  domyślny  wszystkie  wprowadzone  punkty  brzegowe  stają  się  węzłami  siatki. 
Jeżeli  do  generacji  siatki  potrzebne  są  dodatkowe  węzły,  poza  tymi,  które  już  są  na 
rysunku  (np.  węzły  leżące  wewnątrz),  należy  wrócić  do  opcji  "DEFINIOWANIE 
KRAWĘDZI  OBSZARU"  i  "PUNKTY"  (patrz:  rozdział  3)  w  celu  zdefiniowania  tych 
dodatkowych węzłów, jako dodatkowych punktów konstrukcyjnych, a następnie powrócić 
do  bieżącej  opcji  ręcznej  generacji  siatki.  Można  też  od  razu  skorzystać  z  opcji 
automatycznej generacji siatki MES. 
W  rozważanym  przykładzie  wszystkie  potrzebne  węzły  już  są  zdefiniowane.  Aktualna 
wersja programu dopuszcza jedynie elementy prostokątne czterowęzłowe. 
Wybieramy opcję "NOWY ELEMENT". Pojawi się tabelka, tak jak na rys.11. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 12 z 21 

 

 

12 

 

Rys. 11: Tabelka do definiowania węzłów elementu 

 

Należy wprowadzić numery węzłów elementu nr 1, wg rysunku rys.1. Proszę pamiętać o 
konsekwencji  w  orientacji  węzłów  elementu,  tzn.  aby  były  podawane  zawsze  w  tym 
samym  kierunku  (tu:  przeciwnie  do  kierunku  ruchu  wskazówek  zegara).  W  tabelce 
podajmy:  węzeł  1  =  1,  węzeł  2  =  2,  węzeł  3  =  5  oraz  węzeł  4  =  4.  Naciskamy  przycisk 
OK. Rysunek ulegnie aktualizacji i pojawi się na nim element nr 1. 
Proszę  zdefiniować  pozostałe  dwa  elementy  wybierając  ponownie  opcję  "NOWY 
ELEMENT" i podając dla elementu nr 2 węzły o numerach 4, 5, 8 i 7, a dla elementu nr 3 
węzły o numerach 2, 3, 6 i 5. Po tych działaniach rysunek powinien wyglądać tak jak na 
rys.12. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 13 z 21 

 

 

13 

 

Rys. 12: Zdefiniowane elementy siatki MES 

 

 

 

Rys. 13: Dyskretyzacja MES 

 
Dodatkowo  listę  węzłów  i  elementów  można  wyświetlić  za  pomocą  opcji  "LISTA 
WĘZŁÓW  I  ELEMENTÓW",  a  za  pomocą  innych  opcji  tego  podmenu  można  dokonać 
korekty siatki: poprawić lub usunąć wybrany element lub wszystkie.  
Uwaga!  Wybranie  opcji  "USUNIĘCIE  SIATKI  MES"  usuwa  nie  tylko  elementy,  ale 
także wszystkie węzły, które nie są punktami konstrukcyjnymi brzegu. 
 
Wracamy  do  głównego  menu  (opcja  "POWRÓT"),  siatkę  MES  można  obejrzeć  w 
większej skali poprzez wybór opcji "RYSUNEK: SIATKA MES" - rys.13. 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 14 z 21 

 

 

14 

9.

 

Obliczenia 

 

 

Przed dokonaniem obliczeń zaleca się zapisanie danych do modelu za pomocą opcji z 

głównego  menu  "ZAPIS  DANYCH  DO  PLIKU".  Należy  podać  samą  nazwę  pliku,  bez 
rozszerzenia. Dane zostaną zapisane w pliku o rozszerzeniu txt, będzie się on znajdował w 
bieżącym katalogu ("Current Directory") programu Matlab, czyli tam, skąd wczytany  do 
edytora został plik z programem "heat_mil.m". 
 

W  celu  przeprowadzenia  obliczeń  wybieramy  opcję  "OBLICZENIA"  z  głównego 

menu. Jeżeli w modelu nie ma błędów, pojawi się informacja o wykonaniu obliczeń. 
 
10.

 

Przeglądanie wyników 

 
 

Przeglądanie  wyników  zarówno  w  formie  tekstowej,  jak  i  graficznej  jest  możliwe 

poprzez  wybór  z  głównego  menu  opcji  "WYNIKI  I  ICH  WIZUALIZACJA".  Ukaże  się 
podmenu "WYNIKI - TEKSTOWO I GRAFICZNIE" z opcjami 

-

 

ROZKŁAD TEMPERATURY 

-

 

SKŁADOWE STRUMIENIA CIEPŁA 

-

 

WYNIKI WĘZŁOWE - LISTA 

-

 

WYNIKI ELEMENTOWE - LISTA 

-

 

WYGŁADZANIE WYKRESÓW 

-

 

WARTOŚCI WĘZŁOWE NA WYKRESACH 

-

 

WYKRES ZMIAN TEMPERATURY W CZASIE 

-

 

WARTOŚĆ TEMPERATURY W DOWOLNYM PUNKCIE OBSZARU 

-

 

POWRÓT 

 

 

Rys. 14: Rozkład temperatury 

 

 Po  wybraniu  opcji  "ROZKŁAD  TEMPERATURY"  lub  "SKŁADOWE  STRUMIENIA 
CIEPŁA"  ukażą  się  w  osobnych  oknach  odpowiednie  płaskie  wykresy  przedstawiające 
powyższe  wielkości  w  formie  kolorowych  map.  Rozkład  temperatury  (jeden  wykres  - 
rys.14)  bazuje  bezpośrednio  na  wartościach  węzłowych,  otrzymanych  z  układu  równań 
MES.  Wartości  składowych  strumienia  ciepła  (trzy  wykresy  dla  składowych   

,

,

,

n x

n y

q

q

  i 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 15 z 21 

 

 

15 

wartości  średniej 

2

2

,

,

n

n x

n y

q

q

q

=

+

  -  rys.15)  obliczane  są  w  elementach  w  wyniku 

postprocessingu  (obróbki  numerycznej)  rozwiązania  węzłowego.  Po  wybraniu  opcji 
"SKŁADOWE  STRUMIENIA  CIEPŁA"  pojawi  się  możliwość  określenia,  czy  na 
wykresie mają znaleźć się wszystkie składowe, czy tylko jedna wybrana. 
 

 

Rys. 15: Rozkład składowych strumienia ciepła 

 

Rozkład temperatury jest funkcją ciągłą (biliniowa interpolacja wartości węzłowych), ale 
rozkład składowych strumienia już nie (pochodna pola temperatury). 
Wykresy  prezentowane  są  w  płaszczyźnie  (x,y),  jednakże  wynik  przestrzenny  każdego  z 
nich  jest  możliwy  poprzez  wybór  opcji  "Rotate  3D"  (ikonka 

)  w  menu  każdego  z 

obrazków, a następnie sterowanie widokiem poprzez lewy lub prawy klawisz myszy. 
Opcja "WYNIKI WĘZŁOWE - LISTA" pokazuje w osobnym okienku listę węzłów wraz 
z ich współrzędnymi, oraz obliczone we węzłach niewiadome pierwotne (temperatura T) i 
niewiadome wtórne (strumień q) obliczane tak jak "reakcje węzłowe". 
Opcja  "WYNIKI  ELEMENTOWE  -  LISTA"  pokazuje  w  osobnym  okienku  listę 
elementów z wartościami składowych  

,

,

,

n x

n y

q

q

 w pięciu punktach każdego z elementów - 

w  czterech  narożach  (0,0),  (a,0),  (a,b)  i  (0,b),  gdzie  a,  b  -  wymiary  elementu,  oraz  w 
ś

rodku ciężkości (a/2, b/2).  

Opcja  "WARTOŚĆ  TEMPERATURY  W  DOWOLNYM  PUNKCIE  OBSZARU" 
pozwala  na  sprawdzenie  wartości  rozwiązania  we  wskazanym  punkcie  -  po  wyborze  tej 
opcji pojawi się okienko, gdzie należy wpisać współrzędne x i y punktu, w którym ma być 
obliczona  wartość  temperatury  -  punkt  nie  musi  być  węzłem,  musi  natomiast  leżeć  w 
obszarze. Proszę np. wprowadzić dla powyższego zadania x = 4.5 oraz y = 1.9 - pojawi się 
informacja o wartości temperatury T = 6.8039 ᑻC, a na wykresie rozwiązania zostanie ten 
punkt oznaczony. 
 
Włączona  opcja  "WYGŁADZANIE  WYKRESÓW"  dotyczy  tylko  i  wyłącznie 
wygładzania  wykresów  składowych  strumienia  ciepła.  Wygładzanie  odbywa  się  przy 
pomocy  aproksymacji  MWLS  (ang.  Moving  Weighted  Least  Squares),  z  odpowiednio 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 16 z 21 

 

 

16 

ustawionymi  parametrami.  Po  włączeniu  tej  opcji  i  ponownym  wyświetleniu,  wykresy 
składowym strumienia ciepła powinny zostać wygładzone (nie będzie nieciągłości). 
Po  powrocie  do  głównego  menu  (opcja  "POWRÓT")  można  dodatkowo  zapisać  wyniki 
obliczeń  w  pliku  o  podanej  nazwie  (bez  rozszerzenia)  za  pomocą  opcji  "ZAPIS 
WYNIKÓW  DO  PLIKU".  Znajdzie  się  on  w  bieżącym  katalogu.  Edytować  ten  plik 
można  z  pozycji  systemu  Windows,  przy  użyciu  np.  Notatnika  (Notepad).  Zawartość 
pliku dla rozważanego zadania pokazana jest poniżej 
 
HEATMIL 

WYNIKI 

ANALIZY 

MES 

BMRS 

STACJONARNEGO 

NIESTACJONARNEGO PRZEPŁYWU  CIEPŁA 
AUTOR PROGRAMU: SŁAWOMIR MILEWSKI, PK WIL L5, slawek@L5.pk.edu.pl 
----------------------------------------------------------------- 
Data: 14-Apr-2011 
----------------------------------------------------------------- 
DANE OBLICZENIOWE:  
PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA kx = 4 [J/Cms] 
PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA ky = 7 [J/Cms] 
GENERATOR CIEPŁA W OBSZARZE f(x,y,t) = 0 [J/m2s] 
----------------------------------------------------------------- 
WYNIKI ANALIZY MES:  
 
WYNIKI WĘZŁOWE (TEMPERATURA I STRUMIEŃ CIEPŁA WE WĘZŁACH POD 
KONIEC PROCESU CIEPLNEGO) 
węzeł =    1, x = 0.0000  , y = 0.0000  , T  = 10.0000   , q = 4.7904     
węzeł =    2, x = 2.0000  , y = 0.0000  , T  = 10.0000   , q = 20.2139    
węzeł =    3, x = 5.0000  , y = 0.0000  , T  = 10.0000   , q = 16.6991    
węzeł =    4, x = 0.0000  , y = 2.0000  , T  = 10.0000   , q = 4.7420     
węzeł =    5, x = 2.0000  , y = 2.0000  , T  = 7.3870    , q = 0.0000     
węzeł =    6, x = 5.0000  , y = 2.0000  , T  = 6.4114    , q = 0.0000     
węzeł =    7, x = 0.0000  , y = 3.0000  , T  = 10.0000   , q = 1.5545     
węzeł =    8, x = 2.0000  , y = 3.0000  , T  = 6.7520    , q = 0.0000     
 
WYNIKI ELEMENTOWE (STRUMIEŃ CIEPŁA WE WĘZŁACH ELEMENTU ORAZ 
W JEGO ŚRODKU CIĘŻKOŚCI POD KONIEC PROCESU CIEPLNEGO) 
element = 1 
(   5.22592 ;    0.00000)                   (   5.22592 ;    9.14535) 
                            (   2.61296 ;    4.57268) 
(   0.00000 ;    0.00000)                   (   0.00000 ;    9.14535) 
 
element = 2 
(   6.49606 ;    0.00000)                   (   6.49606 ;    4.44549) 
                            (   5.86099 ;    2.22275) 
(   5.22592 ;    0.00000)                   (   5.22592 ;    4.44549) 
 
element = 3 
(   1.30085 ;    9.14535)                   (   1.30085 ;   12.56009) 
                            (   0.65043 ;   10.85272) 
(   0.00000 ;    9.14535)                   (   0.00000 ;   12.56009) 
 
Uwaga!  Tak  zapisane  wyniki  nie  podlegają  ponownemu  wczytaniu  przez  program. 
Możliwe  jest  wczytanie  przez  opcję  "ODCZYT  DANYCH  Z  PLIKU"  (wybór  pliku  z 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 17 z 21 

 

 

17 

rozszerzeniem txt z bieżącego katalogu) jedynie danych  do obliczeń (punkty, krawędzie, 
warunki  brzegowe,  stałe  materiałowe,  siatka)  wcześniej  zapisanych  przez  program.  Po 
wczytaniu  danych  obliczenia  trzeba  przeprowadzić  raz  jeszcze  -  ich  wyniki  nie  są 
zapisywane w formie możliwej do ponownego wczytania. 
 
11.

 

Automatyczna generacja gęstej siatki MES 

 
 

Opcja  w  głównym  menu  "GENERACJA  AUTOMATYCZNA  SIATKI  MES" 

uruchamia podmenu "GENERATOR SIATKI MES" z opcjami 

-

 

LICZBA PODZIAŁÓW KRAWĘDZI 

-

 

GENERACJA SIATKI MES 

-

 

USUNIĘCIE SIATKI MES 

-

 

PRZEKSZTAŁCENIE PROSTOKĄTÓW NA TRÓJKĄTY 

-

 

PARAMETR ZABURZENIA WĘZŁÓW WEWNĘTRZNYCH 

-

 

POWRÓT 

 

Generacja  siatki  odbywa  się  jedynie  na  podstawie  liczby  podziałów  krawędzi  o 

najmniejszej  długości,  którą  należy  określić  w  opcji  "LICZBA  PODZIAŁÓW 
KRAWĘDZI".  Domyślnie  wynosi  ona  1.  Wartość  tę  można  zmienić  na  kolejne  liczby 
naturalne 2,3,4, pamiętając jednak, iż zbyt duża liczba może spowolnić m.in. wizualizację 
wyników. Dla  rozważanego zadania proszę wpisać do tabelki nh = 4 i nacisnąć przycisk 
OK. Siatka generowana jest przez wybór opcji "GENERACJA SIATKI MES". Pomyślne 
wygenerowanie siatki będzie potwierdzone odpowiednim komunikatem. 
 

 

Rys. 16: Gęstsza siatka MES 

 
Uwaga! Opcja "USUNIĘCIE SIATKI MES" usuwa wszystkie wygenerowane elementy i 
węzły, poza punktami brzegowymi. Natomiast ta opcja nie jest konieczna przy  generacji 
nowej siatki, podczas gdy stara jest jeszcze zdefiniowana. 
Powracamy do głównego menu (opcja "POWRÓT"), nową siatkę MES możemy obejrzeć 
poprzez wybór opcji "RYSUNEK: SIATKA MES". Pokazuje ją rys.16. 
Uwaga! W przypadku bardzo gęstych siatek ich rysowanie może trochę potrwać. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 18 z 21 

 

 

18 

Ponownie  uruchamiamy  obliczenia  za  pomocą  opcji  "OBLICZENIA",  a  następnie 
wybieramy opcję "WYNIKI I ICH WIZUALIZACJA", gdzie możemy przeglądać wyniki 
w  formie  graficznej  i  tekstowej.  Rozkłady  temperatury  oraz  składowych  strumienia  dla 
gęstszej siatki przedstawiają odpowiednio rys.17 i rys.18. 
 

 

Rys. 17: Rozkład temperatury dla gęstszej siatki MES 

 

 

Rys. 18: Rozkład składowych strumienia ciepła dla gęstej siatki MES 

 
 
 
 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 19 z 21 

 

 

19 

12.

 

Wygenerowanie siatki trójkątnej 

 
 

Wygenerowanie  siatki  trójkątnej  możliwe  jest  na  dwa  sposoby.  Pierwszy  z  nich 

zakłada  wygenerowanie  (ręczne  bądź  automatyczne,  jak  to  opisano  powyżej)  siatki 
prostokątów, a następnie przekształcenie tej siatki na siatkę trójkątów. Jest to możliwe (po 
wygenerowaniu  siatki  prostokątów)  przez  wybór  z  głównego  menu  programu  opcji 
"GENERACJA  RĘCZNA  SIATKI"  (dla  siatek  rzadkich)  lub  "GENERACJA 
AUTOMATYCZNA 

SIATKI" 

(dla 

każdej 

siatki), 

następnie 

opcji 

PRZEKSZTAŁCENIE PROSTOKĄTÓW NA TRÓJKĄTY". Przykładowo działanie tego 
polecenia  dla  wygenerowanej  wcześniej  siatki  MES  prostokątów  (o  nh=4)  pokazuje 
rys.19. 
 

 

Rys. 19: Przykładowa siatka trójkątów, wygenerowana automatycznie 

 
Dla  tak  wygenerowanej  siatki  oczywiście  należy  ponownie  uruchomić  obliczenia. 
Maksymalna temperatura dla bieżącego zadania powinna wynosić 6.6448 ᑻC.  
Konwersja odwrotna - z elementów trójkątnych na prostokątne - nie jest możliwa. 
 
Drugi  sposób  zakłada  generację  siatki  trójkątnej  od  samego  początku  -  zamiast  siatki 
prostokątnej (ręcznie lub automatycznie). Należy ustawić kształt elementów skończonych 
na  trójkątne.  Jeżeli  w  obszarze  jest  już  wygenerowana  siatka  prostokątów,  należy  ją 
wcześniej  usunąć  -  odpowiednia  opcja  znajduje  się  w  menu  głównym  w  "GENERACJI 
RĘCZNEJ  SIATKI"  lub  "GENERACJI  AUTOMATYCZNEJ  SIATKI".  Po  usunięciu 
siatki  należy  wybrać  z  menu  głównego  opcję  "RODZAJ  ANALIZY  I  PARAMETRY 
METOD",  a  następnie  opcję  "PARAMETRY  MES".  Pojawi  się  możliwość  wyboru 
kształtu  elementów  -  wybieramy  opcję  "TRÓJKĄTY".  Następnie  określany  stopień 
interpolacji  w  trójkącie  -  "LINIOWY".  Po  powrocie  do  głównego  menu  istnieje 
możliwość generacji ręcznej siatki trójkątów lub automatycznej na tych samych zasadach, 
co poprzednio. Jedyna różnica przy generacji ręcznej polega na tym, że trójkątny element 
skończony określamy poprzez trzy węzły, stanowiące jego wierzchołki. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 20 z 21 

 

 

20 

13.

 

Analiza bezsiatkowa 

 
 

W  opcji  menu  głównego  "RODZAJ  ANALIZY  I  PARAMETRY  METOD"  istnieje 

możliwość  zamiany  metody  obliczeniowej  z  MES  (opcja  domyślna)  na  bezsiatkową 
metodę różnic skończonych BMRS. Po wyborze metody można ustawić jej parametry, do 
których należą: typ sformułowania (lokalne, wariacyjne), liczebność gwiazd różnicowych, 
typ  siatki  do  całkowania  oraz  kształt  elementów  siatki  do  całkowania  i  stopień  lokalnej 
aproksymacji  (tylko  dla  sformułowania  wariacyjnego).  Generacja  węzłów  dla  BMRS 
odbywa  się  tylko  automatycznie  ("GENERACJA  AUTOMATYCZNA  WĘZŁÓW"), 
poprzez  określenie  ich  gęstości  ("LICZBA  PODZIAŁÓW  KRAWĘDZI").  Przykładowy 
rezultat - dla BMRS w sformułowaniu lokalnym - dla nh = 4 - pokazany jest na rys.20. Do 
analizy  numerycznej  w  tym  przypadku  nie  jest  potrzebna  żadna  struktura  elementowa  - 
aproksymacja funkcji oparta jest jedynie na węzłach, a całkowanie nie jest potrzebne. 
 

 

Rys. 20: Węzły rozłożone regularnie dla analizy BMRS (sformułowanie lokalne) 

 
Maksymalna wartość temperatury dla bieżącego zadania powinna wynosić 6.2301 ᑻC. 
 
Metoda  BMRS  została  zaprojektowana  przede  wszystkim  dla  węzłów  rozłożonych  w 
sposób dowolnie nieregularny. Dlatego też w programie węzły można zaburzyć w sposób 
losowy  i  dla  takiej  dyskretyzacji  wykonać  obliczenia.  Zaburzenie  jest  możliwe  w  opcji 
"AUTOMATYCZNA  GENERACJA  WĘZŁÓW"  po  określeniu  "PARAMETRU 
ZABURZENIA  WĘZŁÓW  WEWNĘTRZNYCH"  (np.  proszę  podać  0.1,  co  oznacza 
losowe  zaburzenie  położenia  węzłów  z  amplitudą  10%  jego  pierwotnej  wartości)  i 
wygenerowaniu ponownym węzłów ("GENERACJA SIATKI/WĘZŁÓW"). Przykładowy 
rozkład węzłów pokazany jest na rys.21. 
 
Maksymalna  wartość  temperatury  dla  bieżącego  zadania  wynosi  6.2541  ᑻC.  Oczywiście 
poprzez  charakter  losowy  zaburzenia  wyniki  będą  się  różnić  dla  innej  dyksretyzacji 
BMRS generowanej w tej sposób. 
 

background image

Sławomir Milewski -  Rozwiązanie przepływu ciepła w programie HEAT MIL  Strona 21 z 21 

 

 

21 

Wersja wariacyjna BMRS również bazuje na węzłach i tylko węzłach przy aproksymacji 
funkcji  (pola  temperatur),  a  siatka  elementów  (trójkąty  bądź  prostokąty)  potrzeba  jest 
jedynie do całkowania numerycznego. 
 

 

Rys. 21: Węzły rozłożone nieregularnie dla analizy BMRS (sformułowanie lokalne) 

 
14.

 

Wyczyszczenie bazy danych 

 
 

Uruchomienie  całkowicie  nowego  zadania  stacjonarnego  przepływu  ciepła  jest 

możliwe  poprzez  wybór  opcji  "WYCZYSZCZENIE  BAZY  DANYCH"  i  powtórzenie 
kroków opisanych w poprzednich rozdziałach dla nowego zadania. 
Opcja  "WYJŚCIE"  kończy  działanie  programu  "HEAT  MIL",  należy  także  zamknąć 
program Matlab. 
 
Wszelkie  uwagi  związane  z  działaniem  samego  programu  lub  też  nieścisłościami 
zawartymi w bieżącym opracowaniu proszę kierować na adres: 
 

slawek@L5.pk.edu.pl

 

 
Z góry dziękuję za wszystkie uwagi.