Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 1 -
WYKŁAD 2
Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego
Układy złożone z elementów biernych
Bierne elementy elektroniczne to :
opór R:
)
(
)
(
t
Ri
t
u
=
indukcyjność L:
dt
t
di
L
t
u
)
(
)
(
=
i pojemność C:
∫
=
=
dt
t
i
C
C
q
t
u
)
(
1
)
(
Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze źródła
napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część rzeczywistą
wyrażenia: u(t)=U
0
e
j
ω
t
, gdzie U
0
oznacza amplitudę napięcia, a
ω=2πν - częstość kołową
1
.
Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać: i(t)=I
0
e
j
ω
t
.
u(t)
R
L
C
~
Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :
C
dt
t
i
dt
t
di
L
t
Ri
t
u
∫
+
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I
0
otrzymujemy:
U
0
= = +
I
Z R
j L
j C
o
1
+
ω
ω
Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w
niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z
R
=R, indukcyjności: Z
L
=j
ωL
oraz pojemności: Z
C
=1/j
ωC. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla
prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują
prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może
być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu
impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową: Z
W
= Z
1
+Z
2
+...+Z
n
, analogiczny
jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji:
1/Z
W
=1/Z
1
+1/Z
2
+...+1/Z
n
.
1
Tutaj
j
= −1
oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 2 -
Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek
reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego
ϕ między
napięciem i natężeniem.
Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej:
Rezystancja opisuje zdolność obwodu do zamiany
energii elektrycznej na ciepło: P
I
=
1
2 0
2
R , natomiast
pojemność i indukcyjność - zdolność do magazynowania
energii elektrycznej, odpowiednio: E
Cu
C
=
1
2
2
( )
t - w
polu elektrycznym pojemności oraz E
L
L
=
1
2
( )
i t
2
a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości
w
polu magnetycznym indukcyjności.
Z
Im(Z)
Re(Z)
φ
Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne. Rzeczywiste
konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości pasożytnicze oznaczone
na rysunku poniżej indeksem p:
opór R
indukcyjność L
pojemność C
opornik
cewka
kondensator
R
L
p
C
p
L
C
p
L
p
C
R
p
R
p
R
d
⇒
⇒
⇒
-
pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 3 -
Obwody RC
Obecnie nasze rozważania ograniczymy do obwodów składających się z pojemności i
rezystancji. Mają one wielkie znaczenie w elektronice współczesnej.
W obwodzie przedstawionym na rysunku naładowano wstępnie kondensator do napięcia U
C0
,
po czym zamknięto wyłącznik. Stosując II prawo Kirchhoffa otrzymujemy równanie
różniczkowe opisujące ruch ładunku w
obwodzie:
dq t
dt
R
q t
C
( )
( )
+
= 0 ,
Porządkujemy równanie:
dq
q
dt
RC
= −
,
po czym całkujemy je obustronnie
otrzymując: ln( )
(
)
q
RC
t t
= −
+
1
0
. Po
przekształceniach:
q t
( )
A
t
RC
exp
=
−
.
U
C0
Ładunek zanika w obwodzie wykładniczo ze stałą zaniku RC
Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy).
Napięcie wyjściowe jest napięciem na
pojemności C:
u
t
C
i t dt U
wy
C
( )
( )
( )
=
+
∫
1
0 .
U
C
(0) - początkowe napięcie na
kondensatorze. Prąd płynący przez
pojemność C jest równy prądowi
płynącemu przez opór R:
10 100
1000
10000
10000
0,01
0,1
1
0
U
wy
/U
we
Częstość [Hz]
2
1/
ν
g
pasmo transmisji
obszar „dobrego
całkowania”
Rysunek 1. Charakterystyka transmisyjna układu
całkującego
i t
u
t
u
R
we
wy
( )
( )
=
−
t
( )
Po podstawieniu:
(
)
u
t dt U
wy
C
( )
( )
( )
=
−
+
0
u
t
RC
u
t
wy
we
( )
∫
1
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 4 -
W przypadku, gdy u
wy
<<u
we
:
)
0
(
C
U
dt
+
)
(
1
)
(
we
wy
t
u
RC
t
u
=
∫
Dla sygnału harmonicznego : u
we
(t)=U
we
e
j
ωt
,
napięcie wyjściowe u
wy
(t)=U
wy
e
j(
ωt+ϕ)
:
Stosunek napięć:
u
t
u
t
j C
R
wy
we
( )
( )
=
+
1
1
ω
ω
j C
, a stosunek
amplitud:
U
U
R C
wy
we
=
+
1
1
2
2
2
ω
;
przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym
i wejściowym:
.
ϕ
ω
=
−
arctan(
)
RC
10 100
1000
10000
10000
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0
[rad]
częstość [Hz]
ν
g
-
π/4
Rysunek 2. Charakterystyka fazowa układu
całkującego
Pasmo transmisji filtru dolnoprzepustowego rozciąga się w skali częstości od zera do
ν
g.
.
Łatwo jest wykazać, że:
2
1
1
πν
ω
τ
g
g
RC
=
= =
.
Dla
ν
=
ν
g
zachodzi:U
U
, oraz :
wy
we
= 1 2
ϕ π
= 4 .
ν
g
jest nazywana częstością graniczną,
ω
g
- graniczną częstością kołową, a
τ =RC jest stałą czasową filtru dolnoprzepustowego.
u
t
we
( )
∫
−
=
dt
t
u
t
u
RC
t
u
WY
WE
WY
))
(
)
(
(
1
)
(
dla
u
u
WY
WE
<<
,
u
t
u
t dt
WY
WE
( )
( )
≈
∫
∝ −
−
1 exp(
)
t RC
Przykłady sygnałów
wejściowych i wyjściowych
Poza filtracją sygnałów układ
całkujący jest
wykorzystywany do
kształtowania ich i uśredniania
- np. w celu eliminacji
zakłóceń.
Obwód różniczkujący (filtr górnoprzepustowy).
Napięcie wyjściowe: u
wy
(t)=Ri(t);
prąd płynący przez kondensator :
(
)
dq
dt
C
d
dt
u
t
u
t
we
wy
( )
( )
( )
=
=
−
i t
.
Po podstawieniu:
(
)
)
(t
)
(
)
(
u
t
u
dt
d
RC
t
u
wy
we
wy
−
=
W przypadku, gdy u
wy
<<u
we
)
(
)
(
t
u
dt
d
RC
t
u
we
wy
=
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 5 -
Gdy napięcie wejściowe: u
we
(t) = U
we
e
j
ω
t
,
wtedy napięcie wyjściowe
u
wy
(t) = U
wy
e
j(
ω
t+
ϕ
)
i
u
t
u
t
R
R
j C
wy
we
( )
( )
=
+ 1 ω
0,1
Stosunek amplitud napięcia:
(
)
U
U
RC
RC
wy
we
=
+
ω
ω
2
1
,
przesunięcie fazowe między sygnałem
wyjściowym a wejściowym :
.
(
)
[
]
ϕ
ω
=
−
arctan
RC
1
Pasmo transmisji filtru górnoprzepustowego
rozciąga się w skali częstości od
ν
g
do
nieskończoności. Łatwo jest wykazać, że:
10 100
1000
10000
100
0,01
1
U
wy
/U
we
częstość [Hz]
ν
g
1
2
pasmo transmisji
obszar „dobrego
rózniczkowania”
Rysunek 3. Charakterystyka transmisyjna układu
różniczkującego
000
2
1
1
πν
ω
τ
g
g
RC
=
= =
.
Dla
ν
=
ν
g
zachodzi:U
U
,
oraz:
wy
we
= 1 2
ϕ π
= 4 .
ν
g
jest nazywana częstością
graniczną,
ω
g
- graniczną częstością kołową, a
τ =RC jest stałą czasową filtru
górnoprzepustowego.
10 100
1000
10000
0,0
1,5
100000
ϕ
π
4
częstość [Hz]
ν
g
0,5
1,0
Rysunek 4. Charakterystyka fazowa układu różniczkującego
u
t
WE
( )
))
(
)
(
(
)
(
t
u
t
u
dt
d
RC
t
u
WY
WE
WY
−
=
dla
u
u
WY
WE
<<
u
WY t
d
dt
u
t
WE
( )
( )
≈
∝
−
exp(
)
t RC
Przykłady sygnałów
wejściowych i wyjściowych
Poza filtracją sygnałów układ
różniczkujący
wykorzystywany jest do
kształtowania ich, eliminacji
składowej stałej, wykrywania
zboczy itd.
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 6 -
W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej
pasożytnicze obwody RLC mogą zniekształcać sygnały.
• Przykład 1. Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym.
c
k
kabel
źródło
miernik (oscyloskop)
R
wy
c
m
Rezystancja wyjściowa źródła R
wy
wraz z pojemnościami kabla i miernika (C=C
k
+C
m
) tworzą
obwód całkujący, ograniczający od góry pasmo przenoszenia obwodu pomiarowego do
częstości 1/(2
πR
wy
C).
• Przykład 2. Sprzężenie typu AC.
źródło
miernik (oscyloskop)
C
s
R
we
Pojemność sprzężenia C
s
wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu tworzą obwód
różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe.
• Przykład 3. Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu jest równoważny pojemności,
która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy mogący powodować
różniczkowanie sygnałów wejściowych.
oscyloskop
generator
kabel
R
WE
przerwa
≈1 pF
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 7 -
Oscyloskop.
Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji
zmiennych przebiegów elektrycznych.
OSCYLOSKOP JEDNOKANAŁOWY- uproszczony schemat blokowy
jaskrawość
astygmatyzm
ostrość
działo
elektronowe
płytki odchylania
poziomego
płytki odchylania
pionowego
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
PIONOWEGO;
dobór czułości i położenia obrazu
w pionie
WE „X”
WE „Y”
RODZAJ SPRZĘŻENIA:
DC, AC, GND
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
POZIOMEGO;
położenie obrazu w poziomie,
rozdzielczość czasowa x5 (czułość),
GENERATOR
PODSTAWY
CZASU
rozdzielczość
czasowa
wygaszanie
napięcie
czas
świecenie
wyga-
szenie
świecenie
wyga-
szenie
Sygnał generatora podstawy czasu
Pracownia Wstępna
styczeń 2007
- 8 -
Sposoby wyzwalania podstawy czasu
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
ust. progu wyzwalania
WYBÓR SPOSOBU
WYZWALANIA:
ZEWnętrzny,
WEWnętrzny,
AUTOmatyczny
WE. Synchr. zew
WE Y
Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego
WE Y1
WE Y2
WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y1 I Y2
niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie
PRZEŁĄCZNIK
ELEKTRON.
wybór kanału
(Y1 lub Y2)
albo
przełączanie
między kanałami
typu ALT lub
CHOPP.
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
WYBÓR
WYZWALANIA :
z kanału Y1
lub Y2