Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 1 -

WYKŁAD 2

Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego

Układy złożone z elementów biernych

Bierne elementy elektroniczne to :

opór R:

)

(

)

(

t

Ri

t

u

=

indukcyjność L:

dt

t

di

L

t

u

)

(

)

(

=

i pojemność C:

∫

=

=

dt

t

i

C

C

q

t

u

)

(

1

)

(

Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze źródła
napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część rzeczywistą
wyrażenia: u(t)=U

0

e

j

ω

t

, gdzie U

0

oznacza amplitudę napięcia, a

ω=2πν - częstość kołową

1

.

Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać: i(t)=I

0

e

j

ω

t

.

u(t)

R

L

C

~

Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :

C

dt

t

i

dt

t

di

L

t

Ri

t

u

∫

+

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I

0

otrzymujemy:

U

0

= = +

I

Z R

j L

j C

o

1

+

ω

ω

Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w
niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z

R

=R, indukcyjności: Z

L

=j

ωL

oraz pojemności: Z

C

=1/j

ωC. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla

prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują
prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może
być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu
impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową: Z

W

= Z

1

+Z

2

+...+Z

n

, analogiczny

jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji:
1/Z

W

=1/Z

1

+1/Z

2

+...+1/Z

n

.

1

Tutaj

j

= −1

oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 2 -

Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek
reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego

ϕ między

napięciem i natężeniem.
Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej:

Rezystancja opisuje zdolność obwodu do zamiany
energii elektrycznej na ciepło: P

I

=

1

2 0

2

R , natomiast

pojemność i indukcyjność - zdolność do magazynowania
energii elektrycznej, odpowiednio: E

Cu

C

=

1

2

2

( )

t - w

polu elektrycznym pojemności oraz E

L

L

=

1

2

( )

i t

2

a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości

w

polu magnetycznym indukcyjności.

Z

Im(Z)

Re(Z)

φ

Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne. Rzeczywiste
konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości pasożytnicze oznaczone
na rysunku poniżej indeksem p:

opór R

indukcyjność L

pojemność C

opornik

cewka

kondensator

R

L

p

C

p

L

C

p

L

p

C

R

p

R

p

R

d

⇒

⇒

⇒

-
pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 3 -

Obwody RC

Obecnie nasze rozważania ograniczymy do obwodów składających się z pojemności i
rezystancji. Mają one wielkie znaczenie w elektronice współczesnej.
W obwodzie przedstawionym na rysunku naładowano wstępnie kondensator do napięcia U

C0

,

po czym zamknięto wyłącznik. Stosując II prawo Kirchhoffa otrzymujemy równanie
różniczkowe opisujące ruch ładunku w
obwodzie:

dq t

dt

R

q t

C

( )

( )

+

= 0 ,

Porządkujemy równanie:

dq

q

dt

RC

= −

,

po czym całkujemy je obustronnie

otrzymując: ln( )

(

)

q

RC

t t

= −

+

1

0

. Po

przekształceniach:

q t

( )

A

t

RC

exp

=

−









.

U

C0

Ładunek zanika w obwodzie wykładniczo ze stałą zaniku RC

Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy).
Napięcie wyjściowe jest napięciem na
pojemności C:

u

t

C

i t dt U

wy

C

( )

( )

( )

=

+

∫

1

0 .

U

C

(0) - początkowe napięcie na

kondensatorze. Prąd płynący przez
pojemność C jest równy prądowi
płynącemu przez opór R:

10 100

1000

10000

10000

0,01

0,1

1

0

U

wy

/U

we

Częstość [Hz]

2

1/

ν

g

pasmo transmisji

obszar „dobrego

całkowania”

Rysunek 1. Charakterystyka transmisyjna układu
całkującego

i t

u

t

u

R

we

wy

( )

( )

=

−

t

( )

Po podstawieniu:

(

)

u

t dt U

wy

C

( )

( )

( )

=

−

+

0

u

t

RC

u

t

wy

we

( )

∫

1

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 4 -

W przypadku, gdy u

wy

<<u

we

:

)

0

(

C

U

dt

+

)

(

1

)

(

we

wy

t

u

RC

t

u

=

∫

Dla sygnału harmonicznego : u

we

(t)=U

we

e

j

ωt

,

napięcie wyjściowe u

wy

(t)=U

wy

e

j(

ωt+ϕ)

:

Stosunek napięć:

u

t

u

t

j C

R

wy

we

( )
( )

=

+

1

1

ω

ω

j C

, a stosunek

amplitud:

U
U

R C

wy

we

=

+

1

1

2

2

2

ω

;

przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym
i wejściowym:

.

ϕ

ω

=

−

arctan(

)

RC

10 100

1000

10000

10000

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0

[rad]

częstość [Hz]

ν

g

-

π/4

Rysunek 2. Charakterystyka fazowa układu
całkującego

Pasmo transmisji filtru dolnoprzepustowego rozciąga się w skali częstości od zera do

ν

g.

.

Łatwo jest wykazać, że:

2

1

1

πν

ω

τ

g

g

RC

=

= =

.

Dla

ν

=

ν

g

zachodzi:U

U

, oraz :

wy

we

= 1 2

ϕ π

= 4 .

ν

g

jest nazywana częstością graniczną,

ω

g

- graniczną częstością kołową, a

τ =RC jest stałą czasową filtru dolnoprzepustowego.

u

t

we

( )

∫

−

=

dt

t

u

t

u

RC

t

u

WY

WE

WY

))

(

)

(

(

1

)

(

dla

u

u

WY

WE

<<

,

u

t

u

t dt

WY

WE

( )

( )

≈

∫

∝ −

−

1 exp(

)

t RC

Przykłady sygnałów
wejściowych i wyjściowych

Poza filtracją sygnałów układ
całkujący jest
wykorzystywany do
kształtowania ich i uśredniania
- np. w celu eliminacji
zakłóceń.

Obwód różniczkujący (filtr górnoprzepustowy).
Napięcie wyjściowe: u

wy

(t)=Ri(t);

prąd płynący przez kondensator :

(

)

dq

dt

C

d

dt

u

t

u

t

we

wy

( )

( )

( )

=

=

−

i t

.

Po podstawieniu:

(

)

)

(t

)

(

)

(

u

t

u

dt

d

RC

t

u

wy

we

wy

−

=

W przypadku, gdy u

wy

<<u

we

)

(

)

(

t

u

dt

d

RC

t

u

we

wy

=

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 5 -

Gdy napięcie wejściowe: u

we

(t) = U

we

e

j

ω

t

,

wtedy napięcie wyjściowe
u

wy

(t) = U

wy

e

j(

ω

t+

ϕ

)

i

u

t

u

t

R

R

j C

wy

we

( )
( )

=

+ 1 ω

0,1

Stosunek amplitud napięcia:

(

)

U
U

RC

RC

wy

we

=

+

ω

ω

2

1

,

przesunięcie fazowe między sygnałem
wyjściowym a wejściowym :

.

(

)

[

]

ϕ

ω

=

−

arctan

RC

1

Pasmo transmisji filtru górnoprzepustowego
rozciąga się w skali częstości od

ν

g

do

nieskończoności. Łatwo jest wykazać, że:

10 100

1000

10000

100

0,01

1

U

wy

/U

we

częstość [Hz]

ν

g

1

2

pasmo transmisji

obszar „dobrego

rózniczkowania”

Rysunek 3. Charakterystyka transmisyjna układu
różniczkującego

000

2

1

1

πν

ω

τ

g

g

RC

=

= =

.

Dla

ν

=

ν

g

zachodzi:U

U

,

oraz:

wy

we

= 1 2

ϕ π

= 4 .

ν

g

jest nazywana częstością

graniczną,

ω

g

- graniczną częstością kołową, a

τ =RC jest stałą czasową filtru

górnoprzepustowego.

10 100

1000

10000

0,0

1,5

100000

ϕ

π

4

częstość [Hz]

ν

g

0,5

1,0

Rysunek 4. Charakterystyka fazowa układu różniczkującego

u

t

WE

( )

))

(

)

(

(

)

(

t

u

t

u

dt

d

RC

t

u

WY

WE

WY

−

=

dla

u

u

WY

WE

<<

u

WY t

d

dt

u

t

WE

( )

( )

≈

∝

−

exp(

)

t RC

Przykłady sygnałów
wejściowych i wyjściowych



Poza filtracją sygnałów układ
różniczkujący
wykorzystywany jest do
kształtowania ich, eliminacji
składowej stałej, wykrywania
zboczy itd.

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 6 -

W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej
pasożytnicze obwody RLC mogą zniekształcać sygnały.

• Przykład 1. Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym.

c

k

kabel

źródło

miernik (oscyloskop)

R

wy

c

m

Rezystancja wyjściowa źródła R

wy

wraz z pojemnościami kabla i miernika (C=C

k

+C

m

) tworzą

obwód całkujący, ograniczający od góry pasmo przenoszenia obwodu pomiarowego do
częstości 1/(2

πR

wy

C).

• Przykład 2. Sprzężenie typu AC.

źródło

miernik (oscyloskop)

C

s

R

we

Pojemność sprzężenia C

s

wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu tworzą obwód

różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe.
• Przykład 3. Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu jest równoważny pojemności,

która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy mogący powodować
różniczkowanie sygnałów wejściowych.

oscyloskop

generator

kabel

R

WE

przerwa

≈1 pF

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 7 -

Oscyloskop.
Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji
zmiennych przebiegów elektrycznych.

OSCYLOSKOP JEDNOKANAŁOWY- uproszczony schemat blokowy

jaskrawość

astygmatyzm

ostrość

działo

elektronowe

płytki odchylania

poziomego

płytki odchylania

pionowego

WZMACNIACZ ODCHYLANIA

PIONOWEGO;

dobór czułości i położenia obrazu

w pionie

WE „X”

WE „Y”

RODZAJ SPRZĘŻENIA:

DC, AC, GND

WZMACNIACZ ODCHYLANIA

POZIOMEGO;

położenie obrazu w poziomie,

rozdzielczość czasowa x5 (czułość),

GENERATOR

PODSTAWY

CZASU

rozdzielczość

czasowa

wygaszanie

napięcie

czas

świecenie

wyga-
szenie

świecenie

wyga-
szenie

Sygnał generatora podstawy czasu

Pracownia Wstępna

styczeń 2007

- 8 -

Sposoby wyzwalania podstawy czasu

GENERATOR

PODSTAWY CZASU

ust. progu wyzwalania

WYBÓR SPOSOBU

WYZWALANIA:

ZEWnętrzny,

WEWnętrzny,

AUTOmatyczny

WE. Synchr. zew

WE Y

Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego

WE Y1

WE Y2

WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y1 I Y2

niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie

PRZEŁĄCZNIK

ELEKTRON.

wybór kanału

(Y1 lub Y2)

albo

przełączanie

między kanałami

typu ALT lub

CHOPP.

GENERATOR

PODSTAWY CZASU

WYBÓR

WYZWALANIA :

z kanału Y1

lub Y2