52
MATEMATYKA
ROZDZIAŁ IV
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ
ZMIENNEJ
I . Całka nieoznaczona
Definicja 1.
Funkcję F określoną i różniczkowalną w przedziale
( )
;
a b
nazywamy funkcją pierwotną
danej funkcji f w tym przedziale, jeżeli
( )
;
( )
( )
x
a b
F x
f x
∈
′
=
∀
.
Twierdzenie 1
Jeżeli F oraz G są dowolnymi funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale
( )
;
a b
tj.
( )
;
( )
( )
( )
( )
x
a b
F x
f x
G x
f x
∈
′
′
=
∧
=
∀
.
to
( )
( )
( )
,
;
F x
G x
C
x
a b
−
=
∈
,
(dwie dowolne funkcje pierwotne danej funkcji f różnią się o stałą).
Całkowanie nie jest więc działaniem jednoznacznym (przeciwnie niż różniczkowanie).
Znając jednak jedną całkę F otrzymamy wszystkie inne przez dodanie do niej dowolnej
stałej C (zwanej stałą całkowania).
Definicja 2.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f w przedziale
( )
;
a b
nazywamy
całką
nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
∫
,
gdzie C jest dowolną stałą.
Uwaga.
Krzywą o równaniu
( )
y
F x
=
, gdzie F jest jedną z całek funkcji f , nazywamy
krzywą
całkową funkcji f . Znając jedną krzywą całkową otrzymamy wszystkie inne krzywe
( )
y
F x
C
=
+
przez przesunięcie tej krzywej w kierunku równoległym do osi Oy .
Spośród rodziny krzywych całkowych
( )
y
F x
C
=
+
można zawsze wybrać jedną, która
przechodzi przez z góry ustalony punkt
(
)
0
0
0
,
P x y
.
Funkcję
( )
y
F x
C
=
+
nazywamy
całką ogólną funkcji f .
53
Podstawowe wzory.
1.
1
,
1
1
x
x dx
C
α+
α
=
+
α ≠ −
α +
∫
; 2.
1
ln
dx
x
C
x
=
+
∫
; 3.
sin
cos
xdx
x C
= −
+
∫
;
4.
cos
sin
xdx
x C
=
+
∫
; 5.
2
1
cos
dx
tgx C
x
=
+
∫
; 6.
2
1
sin
dx
ctgx C
x
= −
+
∫
;
7.
ln
x
x
a
a dx
C
a
=
+
∫
,
( ) ( )
0;1
1;
a
∈
∪ ∞
; 8.
x
x
e dx
e
C
= +
∫
,
9.
2
arcsin
arccos
1
dx
x C
x C
x
=
+ = −
+
−
∫
, 10.
2
1
dx
x
=
+
∫
arctg x C
+
=
−
arcctg x C
+
.
Własności całki nieoznaczonej
1.
( )
( )
f x dx
f x
C
′
=
+
∫
.
2.
(
)
( )
( )
f x dx
f x
′ =
∫
.
3.
(
)
( )
( )
( )
( )
f x
g x dx
f x dx
g x dx
+
=
+
∫
∫
∫
.
4.
( )
( )
,
0
k f x dx
k f x dx
k
⋅
=
≠
∫
∫
.
Przykład 1.
Korzystając z podstawowych wzorów rachunku całkowego obliczyć całki:
a)
(
)
4
3
2
5
3
2
7
x
x
x
x
dx
+
−
+
+
∫
; b)
4
3
3
2
1
x
dx
x
+
∫
; c)
3
2
1
x
x
dx
x
+
+
∫
,
d)
2
ctg xdx
∫
; e)
cos 2
cos
sin
x
dx
x
x
−
∫
; f)
4
2
1
1
x
dx
x
−
−
∫
.
Rozwiązanie.
a)
(
)
4
3
2
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
5
1
5
4
5
3
2
7
5
3
2
7
5
3
2
7
7
5
4
3
2
x
x
x
x
dx
x dx
x dx
x dx
xdx
dx
x
x
x
x
x C
x
x
x
x
x C
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
=
+ ⋅
− ⋅
+ ⋅
+
+ =
+
− + +
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
b)
2
3
1
1
2
3
3
4
4
4
3
7
3
3
4
3
2
1
4
3
3
2
7
1
1
4
3
x
x
x
dx
x dx
x
dx
C
x
x
C
x
− +
+
−
+
=
+
=
+
+ =
+
+
+
− +
∫
∫
∫
.
c)
(
)
2
3
2
2
2
1
2
1
1
x x
x
x
x
dx
dx
xdx
C
x
x
+
+
=
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
.
d)
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
1 sin
1
sin
.
sin
sin
sin
sin
x
x
x
ctg x dx
dx
dx
dx
dx
ctgx
dx
ctgx
x C
x
x
x
x
−
=
=
=
−
= −
−
= −
− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
54
e)
(
)(
)
(
)
2
2
cos
sin
cos
sin
cos 2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
.
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
x
x dx
x
x
x
x
x
x
x
x C
−
+
−
=
=
=
+
=
−
−
−
=
−
+
∫
∫
∫
∫
f)
(
)(
)
(
)
2
2
4
3
2
2
2
1
1
1
1
.
3
1
1
x
x
x
x
dx
dx
x
dx
x C
x
x
−
+
−
=
=
+
=
+ +
−
−
∫
∫
∫
Zadanie 1.
Korzystając z podstawowych wzorów rachunku całkowego obliczyć całki:
a)
(
)
5
2
6
5
1
x
x
x
dx
+
−
+
∫
; b)
5
3
2
4
(
)
x
x dx
+
∫
; c)
2
tg xdx
∫
; d)
3
1
1
x
dx
x
−
−
∫
.
Odpowiedzi.
a)
6
3
2
5
2
6
2
x
x
x
x C
+
−
+ +
; b)
5
3
7
7
5
3
7
7
x
x
C
+
+
; c) tgx x C
− +
; d)
3
2
3
2
x
x
x C
+
+ +
.
Wybrane metody całkowania
1. Całkowanie przez podstawienie:
Jeżeli funkcja
f jest ciągła dla
( )
;
t
a b
∈
a funkcja
g ma ciągłą pochodną dla
( )
;
x
∈ α β
,
spełniającą nierówność
( )
a
g x
b
<
<
, to
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
f t dt
f g x g x dx
F g x
C
′
=
=
+
∫
∫
,
gdzie
F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f .
Uwaga. Funkcję
( )
t
g x
=
nazywamy
podstawieniem.
Przykład 2.
Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie:
a)
sin 3
xdx
∫
, b)
2
2
1
x
dx
x
+
∫
, c)
2
4
x x
dx
+
∫
, d) ,
(
)
3
2
2
5
xdx
x
+
∫
,
e)
1
x
x
e dx
e
+
∫
, f)
2
x
xe dx
∫
, g)
sin
(cos )
x
x e
dx
∫
, h)
tgxdx
∫
, i)
2
4 9
dx
x
−
∫
,
j)
2
2
9
dx
x
+
∫
, k)
2
1 ln
dx
x
x
−
∫
, l)
(
)
2
2
1
arctgx
dx
x
+
∫
.
Rozwiązanie.
a)
Stosujemy podstawienie:
3
t
x
=
. Wówczas
( )
3
3
dt
x dx
dx
′
=
=
a stąd
1
3
dx
dt
=
. Mamy:
(
)
1
1
1
sin 3
sin
cos
cos 3
3
3
3
xdx
t dt
t
C
x C
=
=
−
+ = −
+
∫
∫
.
55
b)
Stosujemy podstawienie:
2
1
t
x
=
+
. Wówczas
(
)
2
1
2
dt
x
dx
xdx
′
=
+
=
. Zatem:
(
)
2
2
2
2
ln
ln
1
ln
1
.
1
x
dt
dx
t
C
x
C
x
C
x
t
=
=
+ =
+ + =
+ +
+
∫
∫
c)
Stosujemy podstawienie:
2
4
t
x
=
+
. Wówczas
(
)
2
4
2
dt
x
dx
xdx
′
=
+
=
. Stąd
1
2
xdx
dt
=
.
(
)
1
1
1
3
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
4
4
.
2
2
2
1
3
3
3
t
x x
dx
t dt
t dt
C
t
C
t
C
x
C
+
+
=
=
= ⋅
+ =
+ =
+ =
+
+
+
∫
∫
∫
d)
Stosujemy podstawienie:
2
5
t
x
=
+
. Wówczas
(
)
2
5
2
dt
x
dx
xdx
′
=
+
=
. Zatem:
(
)
(
)
3 1
3
3
2
3
2
2
2
2
1
1
.
3 1
2
5
2
5
xdx
dt
t
t dt
C
C
C
t
t
x
x
− +
−
=
=
=
+ = −
+ = −
+
− +
+
+
∫
∫ ∫
e)
Stosujemy podstawienie:
1
x
t
e
= +
. Wówczas
(
)
1
x
x
dt
e
dx
e dx
′
=
+
=
, oraz
(
)
ln
ln
1
.
1
x
x
x
e dx
dt
t
C
e
C
e
t
=
=
+ =
+ +
+
∫
∫
f)
Podstawiamy:
2
t
x
=
. Wówczas
( )
2
2
dt
x
dx
xdx
′
=
=
. Stąd
1
2
xdx
dt
=
i
2
2
1
1
1
.
2
2
2
x
t
t
x
xe dx
e dt
e
C
e
C
=
=
+ =
+
∫
∫
g)
Podstawiamy:
sin
t
x
=
. Wówczas
(
)
sin
cos
dt
x dx
x dx
′
=
=
. Stąd
s i n
si n
(cos )
.
x
t
t
x
x e
dx
e dt
e
C
e
C
=
= + =
+
∫
∫
h)
sin
cos
x
tgxdx
dx
x
=
∫
∫
. Podstawiamy:
cos
t
x
=
.Wówczas
(
)
cos
sin
dt
x dx
xdx
′
=
= −
i
sin
ln
ln cos
.
cos
x
dt
tgxdx
dx
t
C
x
C
x
t
=
= −
= −
+ = −
+
∫
∫
∫
i)
( )
2
2
3
2
1
2
4 9
1
dx
dx
x
x
=
−
−
∫
∫
. Podstawiamy
3
2
t
x
=
. Stąd
3
2
dt
dx
=
czyli
2
3
dx
dt
=
.
Po podstawieniu otrzymujemy całkę
2
1 2
1
arcsin
2 3
3
1
dt
t
C
t
⋅
=
+
−
∫
. Ostatecznie
( )
3
2
2
1
arcsin
3
4 9
dx
x
C
x
=
+
−
∫
.
56
j)
( )
2
2
2
3
1
2
9
9
1
dx
dx
x
x
=
+
+
∫
∫
. Podstawiamy
2
3
t
x
=
. Stąd
2
3
dt
dx
=
czyli
3
2
dx
dt
=
.
Po podstawieniu otrzymujemy całkę
2
1
3
1
arc
9
1
2
3 2
dt
tgt
C
t
⋅
=
+
+
∫
. Tak więc
( )
2
3
2
1
arc
2
9
3 2
dx
tg
x
C
x
=
+
+
∫
.
k)
W całce
2
1 ln
dx
x
x
−
∫
podstawiamy
ln
t
x
=
, skąd
dx
dt
x
=
.
Po podstawieniu otrzymujemy :
2
arcsin
1
dt
t
C
t
=
+
−
∫
.
Tak więc
( )
2
arcsin ln
1 ln
dx
x
C
x
x
=
+
−
∫
.
l)
W całce
(
)
2
2
1
arctgx
dx
x
+
∫
podstawiamy
arc
t
tgx
=
, skąd
2
1
dx
dt
x
=
+
.
Otrzymujemy:
2
3
1
3
t dt
t
C
=
+
∫
. Ostatecznie
(
)
(
)
2
3
2
1
1
3
arctgx
dx
arctgx
C
x
=
+
+
∫
.
Zadanie 2.
Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie:
a)
sin 5xdx
∫
; b)
2
4
9
x
dx
x
+
∫
; c)
2
1
x
x dx
+
∫
; d)
(
)
6
2
3
xdx
x
+
∫
; e)
2
1
x
x
e dx
e
+
∫
;
f)
3
2
x
x e dx
∫
; g)
cos
(sin )
x
x e
dx
∫
; h)
ctgxdx
∫
; i)
2
9 16
dx
x
−
∫
; j)
2
4
dx
x
+
∫
;
k)
2
1
x
x
e dx
e
−
∫
; l)
2
arcsin
1
x
dx
x
−
∫
.
Odpowiedzi.
a)
1
cos 5
5
x C
−
+
; b)
(
)
2
1
ln 4
9
8
x
C
+ +
; c)
(
)
3
2
1
1
3
x
C
+
+
; d)
(
)
5
2
1
10
3
C
x
−
+
+
;
e)
(
)
1
ln 2
1
2
x
e
C
+ +
; f)
3
1
3
x
e
C
+
; g)
cos x
e
C
−
+
; h)
ln sin x
C
+
; i)
( )
4
3
1
arcsin
4
x
C
+
;
j)
( )
1
2
1
arc
2
tg
x
C
+
; k)
( )
arcsin
x
e
C
+
; l)
(
)
2
1
arcsin
2
x
C
+
.
57
2. Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x dx
f x g x
f x g x dx
′
′
=
−
∫
∫
.
Przykład 3.
Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć całki:
a)
sin
x
xdx
∫
; b)
ln xdx
∫
; c)
x
xe dx
∫
; d)
2
x
x e dx
∫
; e)
ln
x
xdx
∫
;
f)
cos
x
x e dx
⋅
∫
; g)
arctgx dx
∫
.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x dx
f x g x
f x g x dx
′
′
=
−
∫
∫
.
a)
W całce
sin
x
xdx
∫
przyjmujemy:
( )
sin
,
( )
f x
x
g x
x
′
=
=
. Wówczas
( )
cos
,
( )
1
f x
x
g x
′
= −
=
i
(
)
sin
cos
cos
1
cos
cos
x
xdx
x
x
x
dx
x
x
x dx
= −
−
−
⋅
= −
+
∫
∫
∫
=
=
cos
sin
x
x
x C
−
+
+
.
b)
W całce
ln xdx
∫
przyjmujemy:
( )
1 ,
( )
ln
f x
g x
x
′
=
=
. Wówczas
1
( )
,
( )
f x
x
g x
x
′
=
=
i
1
ln
ln
ln
ln
xdx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x C
x
=
−
⋅
=
−
=
− +
∫
∫
∫
.
c)
W całce
x
xe dx
∫
przyjmujemy:
( )
,
( )
x
f x
e
g x
x
′
=
=
. Wówczas
( )
,
( ) 1
x
f x
e
g x
′
=
=
i
1
x
x
x
x
x
x
x
xe dx
xe
e
dx
xe
e dx
xe
e
C
=
−
⋅
=
−
=
− +
∫
∫
∫
.
d)
W całce
2
x
x e dx
∫
przyjmujemy:
2
( )
,
( )
x
f x
e
g x
x
′
=
=
. Wówczas
( )
,
( )
2
x
f x
e
g x
x
′
=
=
i
2
2
2
2
2
.
x
x
x
x
x
x e dx
x e
e
x dx
x e
xe dx
=
−
⋅
=
−
∫
∫
∫
Ale
x
xe dx
∫
została obliczona w punkcie c) . Wstawiając otrzymany tam wynik
otrzymujemy ostatecznie:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x e dx
x e
e
x dx
x e
xe dx
x e
xe
e
C
e
x
x
C
=
−
⋅
=
−
=
−
−
+ =
−
+ +
∫
∫
∫
e)
W całce
ln
x
xdx
∫
przyjmujemy:
( )
,
( )
ln
f x
x
g x
x
′
=
=
.
58
Wówczas
3
2
2
1
( )
,
( )
3
f x
x
g x
x
′
=
=
i
3
3
3
1
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
4
ln
ln
ln
ln
3
3
3
3
3
9
x
xdx
x
x
x
dx
x
x
x dx
x
x
x
C
x
=
−
⋅
=
−
=
−
+ =
∫
∫
∫
3
3
2
4
ln
3
9
x
x
x
C
=
−
+
.
f)
Oznaczmy przez
(cos )
x
Y
x e dx
=
∫
. W całce
(cos )
x
x e dx
∫
przyjmujemy:
( )
,
( )
cos
x
f x
e
g x
x
′
=
=
. Wówczas ( )
,
( )
sin
x
f x
e
g x
x
′
=
= −
i
(
)
(cos )
(cos )
sin
(cos )
(sin )
x
x
x
x
x
x e dx
x e
x e dx
x e
x e dx
=
−
−
=
+
∫
∫
∫
.
Całkę
(sin )
x
x e dx
∫
obliczamy przez części przyjmując
( )
,
( )
sin
x
f x
e
g x
x
′
=
=
.
Wówczas ( )
,
( )
cos
x
f x
e
g x
x
′
=
=
i
(
)
(sin )
(sin )
cos
x
x
x
x e dx
x e
x e dx
=
−
∫
∫
.
Otrzymujemy równanie:
(
)
(
)
cos
sin
x
x
Y
x e
x e
Y
=
+
−
.
Stąd
(
)
2
sin
cos
x
Y
x
x e
=
+
czyli
(
)
1
(cos )
sin
cos
2
x
x
Y
x e dx
x
x e
C
=
=
+
+
∫
.
g)
Całkę
arctgx dx
∫
obliczamy przez części przyjmując
( )
1 ,
( )
f x
g x
arctgx
′
=
=
.
Wówczas
2
1
( )
,
( )
1
f x
x
g x
x
′
=
=
+
i
2
1
xdx
arctgxdx
x arctgx
dx
x
=
−
+
∫
∫
.
Całkę
2
1
xdx
dx
x
+
∫
obliczamy przez podstawienia
2
1
t
x
= +
. Mamy
2
dt
xdx
=
i
2
2
1
1
1
ln
ln 1
1
2
2
2
xdx
dt
dx
t
C
x
C
x
t
=
=
+ =
+
+
+
∫
∫
.
Ostatecznie
2
1
ln 1
2
arctgxdx
xarctgx
x
C
=
−
+
+
∫
.
Zadanie 3.
Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć całki:
a)
cos
x
x dx
∫
; b)
ln
x
x dx
∫
; c)
2
sin
x
x dx
∫
; d)
2
x
xe dx
∫
e)
x arctgx dx
∫
.
59
Odpowiedzi.
a) sin
cos
x
x
x C
+
+
; b)
2
2
ln
2
4
x
x
x
C
−
+
; c)
2
cos
2 sin
2 cos
x
x
x
x
x C
−
+
+
+
;
d)
2
2
1
1
2
4
x
x
xe
e
C
−
+
; e)
1
1
1
2
2
2
xarctgx
x
arctgx C
−
+
+
.
3. Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcją wymierną nazywamy funkcję, która jest ilorazem dwóch wielomianów tj.
( )
( )
( )
L x
f x
M x
=
,
gdzie
( )
L x
oraz
( )
M x
są wielomianami.
Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci
(
)
(
)
(
)
2
,
,
1, 2,...
n
n
A
Ax
B
n
x a
x
px
q
+
=
−
+
+
gdzie ,
, ,
,
A B a p q są stałe, przy czym
2
4
0
p
q
−
<
.
Twierdzenie
Każdą funkcję wymierną można zawsze rozłożyć na sumę wielomianu i pewnej liczby
ułamków prostych.
Wystarczy zatem umieć całkować ułamki proste by scałkować każdą funkcję wymierną.
1. Całkowanie ułamków prostych
a) Całkę
(
)
n
Adx
x
a
−
∫
obliczamy podstawiając t
x a
= −
. Wówczas dt
dx
=
i
(
)
1
ln
1,
1.
1
n
n
n
A
t
dla n
Adx
dt
A
At
t
x a
dla n
n
− +
=
=
=
−
≠
− +
∫
∫
Zatem
(
)
(
)
1
ln
1,
1
1.
1
n
n
A
x a
dla n
Adx
A
dla n
x a
n
x
a
−
−
=
=
−
⋅
≠
−
−
−
∫
b) Całkowanie ułamka prostego
(
)
2
n
Ax
B
x
px
q
+
+
+
, (
2
4
0
p
q
−
<
), pokażemy na przykładzie
(tylko dla
1
n
=
).
Aby obliczyć całkę
(
)
2
3
5
2
10
x
dx
x
x
+
+
+
∫
funkcję podcałkową rozkładamy w następujący sposób:
(
)
2
2
2
3
5
3
2
2
2
2
10
2
2
10
2
10
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
= ⋅
+
+
+
+
+
+
+
.
Pierwszy składnik ma tę własność, że licznik ułamka jest pochodną jego mianownika.
60
Całkę
(
)
2
2
2
2
10
x
dx
x
x
+
+
+
∫
obliczamy podstawiając
2
2
10
t
x
x
=
+
+
, skąd
(
)
2
2
dt
x
dx
=
+
Zatem
(
)
2
2
2
2
ln
ln
2
10
2
10
x
dx
dt
t
x
x
x
x
t
+
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
.
Całkę
2
2
10
dx
x
x
+
+
∫
przekształcamy do postaci
(
)
2
1
9
dx
x
+
+
∫
i podstawiamy 3
1
t
x
= +
.
Stąd 3dt
dx
=
i
(
)
(
)
1
3
2
2
2
3
1
1
1
(
1)
9
9
3
1
3
3
1
9
dx
dt
dt
arctgt
arctg
x
t
t
x
=
=
=
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
.
Ostatecznie
(
)
(
)
2
1
3
2
3
5
3
2
ln
2
10
(
1)
2
10
2
3
x
dx
x
x
arctg
x
C
x
x
+
=
+
+
+
+
+
+
+
∫
.
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla obliczenia całki ułamka prostego w ogólnej
postaci
2
Ax
B
x
px
q
+
+
+
.
Dla obliczenia całki ułamka prostego w postaci
2
(
)
n
Ax
B
x
px
q
+
+
+
, dla
1
n
>
stosujemy wory
rekurencyjne, których nie będziemy w tym miejscu podawać. Zainteresowanych czytelników
odsyłamy np. do pozycji
[ ]
(F.Leja , Rachunek różniczkowy i całkowy str.260 oraz 264 )
2. Rozkład funkcji wymiernej
( )
( )
( )
L x
f x
M x
=
.
Jeżeli stopień licznika
( )
L x
jest nie mniejszy niż stopień mianownika
( )
M x
, dzielimy
( )
L x
przez
( )
M x
, by otrzymać rozkład
( )
( )
( )
( )
( )
L x
P x
W x
M x
M x
=
+
na sumę wielomianu
( )
W x
i funkcji wymiernej
( )
( )
P x
M x
, w której licznik jest stopnia
niższego niż mianownik. Następnie rozkładamy ułamek
( )
( )
P x
M x
na ułamki proste w
następujący sposób.
Niech mianownik
( )
M x
ma postać
( )
1
2
1
2
...
.
n
n
n
n
M x
x
c x
c x
c
−
−
≡
+
+
+ +
Wielomian ten rozkładamy na czynniki liniowe postaci
x a
−
lub kwadratowe postaci
2
x
px
q
+
+
, gdzie
2
4
0
p
q
−
<
. Rozpatrzymy trzy przypadki zależnie od tego, jakie są
czynniki wielomianu
( )
M x
.
a) Niech
( ) (
)(
) (
)
1
2
...
n
M x
x
a
x a
x a
= −
−
⋅ ⋅ −
, gdzie wszystkie
,
1, 2,...,
i
a
i
n
=
, są różne.
Wówczas rozkład na ułamki proste ma postać:
61
( )
( )
1
2
1
2
...
n
n
P x
A
A
A
M x
x a
x a
x
a
=
+
+ +
−
−
−
,
gdzie
1
2
,
,...,
n
A
A
A są pewnymi stałymi. Stałe te obliczamy mnożąc obie strony tej równości
przez wspólny mianownik i porównując po obu stronach współczynniki wielomianów przy
tych samych potęgach zmiennej
x
.
Przykład 4.
Obliczyć całkę
2
2
7
12
x
dx
x
x
−
−
+
∫
.
Rozwiązanie.
Ponieważ
(
)(
)
2
7
12
3
4
x
x
x
x
−
+ = −
−
, więc funkcja podcałkowa daje rozłożyć się na
ułamki proste:
2
2
7
12
3
4
x
A
B
x
x
x
x
−
=
+
−
+
−
−
.
Mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik otrzymujemy:
(
) (
)
2
4
3
x
A x
B x
− ≡
− +
−
.
Po uporządkowaniu mamy:
(
)
2
4
3
x
x A
B
A
B
− ≡
+
−
−
.
Porównując współczynniki tych wielomianów otrzymujemy układ równań:
1
4
3
2.
A
B
A
B
+
=
−
−
= −
Stąd
1 ,
2
A
B
= −
=
i
2
2
1
2
7
12
3
4
x
x
x
x
x
−
−
=
+
−
+
−
−
.
Zatem
2
2
2
ln
3
2 ln
4
7
12
3
4
x
dx
dx
dx
x
x
C
x
x
x
x
−
= −
+
= −
− +
− +
−
+
−
−
∫
∫
∫
.
b) Miech
( ) (
)
( )
1
k
M x
x
a
M
x
= −
, gdzie k jest liczbą naturalną a
( )
1
M
x
wielomianem
niepodzielnym przez
x a
−
. Wówczas rozkład ułamka
( )
( )
P x
M x
ma postać:
( )
( )
P x
M x
=
(
)
(
)
( )
( )
1
1
2
2
1
...
k
k
P x
A
A
A
x
a
M
x
x
a
x
a
+
+ +
+
−
−
−
,
gdzie
( )
1
P x
jest wielomianem stopnia niższego niż wielomian
( )
1
M
x
. Wystarczy następnie
rozłożyć ułamek
( )
( )
1
1
P x
M
x
.
Przykład 5.
Obliczyć całkę
2
3
2
6
9
x
dx
x
x
−
+
+
∫
.
62
Rozwiązanie.
Ponieważ
(
)
2
2
6
9
3
x
x
x
+
+ = +
, więc funkcja podcałkowa daje rozłożyć się na ułamki
proste:
(
)
2
2
3
2
6
9
3
3
x
A
B
x
x
x
x
−
=
+
+
+
+
+
.
Mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik otrzymujemy:
(
)
3
2
3
x
A x
B
− ≡
+ +
.
Po uporządkowaniu mamy:
3
2
3
x
Ax
A
B
− ≡
+
+
.
Porównując współczynniki tych wielomianów otrzymujemy układ równań:
3
3
2.
A
A
B
=
+ = −
Stąd
3 ,
11
A
B
=
= −
i
(
)
2
2
3
2
3
11
6
9
3
3
x
x
x
x
x
−
=
−
+
+
+
−
.
Zatem
(
)
2
2
3
2
1
11
3
11
3ln
3 11
3ln
3
6
9
3
3
3
3
x
dx
dx
dx
x
C
x
C
x
x
x
x
x
x
−
−
=
+ −
=
− − ⋅
+ =
− +
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
.
c) Niech
( )
(
)
( )
2
1
,
k
M x
x
px
q
M
x
=
+
+
gdzie
2
4
0
p
q
−
<
, k jest liczbą naturalną, a
( )
1
M
x
wielomianem niepodzielnym przez
2
x
px
q
+
+
. Wówczas rozkład ułamka
( )
( )
P x
M x
ma postać:
( )
( )
P x
M x
=
(
)
(
)
( )
( )
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
...
k
k
k
P x
B x C
B x C
B x C
x
px
q
M
x
x
px
q
x
px
q
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
,
gdzie
( )
2
P x
jest wielomianem stopnia niższego niż wielomian
( )
2
M
x
.
Stałe
,
i
i
B C obliczamy podobnie jak poprzednio.
Przykład 6.
Obliczyć całkę
2
3
5
5
6
8
x
x
dx
x
+
+
−
∫
.
Rozwiązanie.
Ponieważ
(
)
(
)
3
2
8
2
2
4
x
x
x
x
− = −
+
+
, więc funkcja podcałkowa daje rozłożyć się na
ułamki proste:
2
3
2
5
5
6
8
2
2
4
x
x
A
Bx C
x
x
x
x
+
+
+
=
+
−
−
+
+
.
Mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik otrzymujemy:
(
)
(
)(
)
2
2
5
5
6
2
4
2
x
x
A x
x
Bx C
x
+
+ ≡
+
+ +
+
−
.
Po uporządkowaniu mamy:
(
)
(
)
2
2
5
5
6
2
2
4
2
x
x
A
B x
A
B C x
A
C
+
+ ≡
+
+
−
+
+
−
.
Porównując współczynniki tych wielomianów otrzymujemy układ równań:
63
5,
2
2
5,
4
2
6.
A B
A
B C
A
C
+ =
−
+ =
−
=
Stąd
3 ,
2 ,
3
A
B
C
=
=
=
i
2
3
2
5
5
6
3
2
3
8
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
+
−
−
+
+
. .
Zatem
(
)
2
3
2
2
3
5
5
6
3
8
2
2
4
x
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
+
+
+
=
+
−
−
+
+
∫
∫
∫
.
Mamy:
ln
2
2
dx
x
x
=
−
−
∫
oraz
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
ln
2
4
2
4
2
4
2
4
1
3
x
dx
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
=
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
.
Całkę
(
)
2
1
3
dx
x
+
+
∫
obliczamy przez podstawienie 3
1
t
x
⋅ = +
. Stąd
3
dx
dt
=
.
Otrzymujemy więc
(
)
(
)
1
2
2
3
3
3
3
1
3
1
3
3
1
3
dx
dt
arctgt
arctg
x
t
x
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
.
Ostatecznie
(
)
2
2
1
3
3
5
5
6
3
3ln
2
4
1
8
3
x
x
dx
x
x
arctg
x
C
x
+
+
=
+
+ +
+
+
−
∫
.
Zadanie 4
Obliczyć całki:
a)
2
3
4
6
x
dx
x
x
−
− −
∫
; b)
2
2
3
4
5
x
dx
x
x
−
−
+
∫
; c)
2
3
3
2
8
x
x
dx
x
+ +
+
∫
Odpowiedzi.
a)
ln
3
2 ln
2
x
x
C
− +
+ +
; b)
(
)
2
ln
4
5
2
x
x
arctg x
C
−
+ +
− +
;
c)
2
ln
2
ln
2
4
x
x
x
+ +
−
+ +
(
)
1
3
3
1
3
arctg
x
C
−
+
.
Uwaga.
Istnieje wiele funkcji elementarnych, których całki nie wyrażają się przez funkcje, które
zaliczamy do elementarnych. Całki takie definiują zatem nowe funkcje (nieelementarne).
Należą do nich, między innymi:
2
sin
cos
1
1
,
,
,
,
,
ln
sin
x
x
e
x
dx
dx
dx
dx
e
dx
dx
x
x
x
x
x
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
64
II. Całka oznaczona
Całka Riemanna
Przedstawimy teraz definicję całki oznaczonej podaną przez B.Riemanna (1826-1864).
Załóżmy, że funkcja f jest określona i ograniczona ( niekoniecznie ciągła) w przedziale
domkniętym
;
a b
, a
b
<
.
Dzielimy przedział
;
a b
na
n
dowolnych części punktami:
0
1
2
1
...
n
n
a
x
x
x
x
x
b
−
=
< <
< <
<
=
,
i oznaczamy przez
i
x
∆
długość przedziału
1
;
i
i
x
x
−
tj.
1
i
i
i
x
x
x
−
∆ = −
.
Tak określony podział oznaczamy przez
.
n
P
Zauważmy, że
1
2
...
n
x
x
x
b a
∆ + ∆ + + ∆ = −
.
Ś
rednicą podziału
nazywamy liczbę
{
}
1,2,...,
(
)
max
n
n
i
i
n
P
x
∈
δ
=
∆
(najdłuższy z przedziałów
1
;
i
i
x
x
−
).
Niech M będzie kresem górnym funkcji f w przedziale
;
a b
tzn.
;
sup
( )
x
a b
M
f x
∈
=
,
a
m
będzie kresem dolnym funkcji f w przedziale
;
a b
tzn.
;
inf
( )
x
a b
m
f x
∈
=
.
Oznaczmy jeszcze odpowiednio przez
,
i
i
M
m
−
kres górny i kres dolny funkcji f w
przedziale
1
;
i
i
x
x
−
tj.
1
;
sup
( )
i
i
i
x
x
x
M
f x
−
∈
=
,
1
;
inf
( )
i
i
i
x
x
x
m
f x
−
∈
=
, oraz przez
1
;
i
i
i
c
x
x
−
∈
−
dowolny punkt tego przedziału (punkt pośredni).
Tworzymy trzy następujące sumy :
1
1
2
2
...
n
n
n
s
m x
m
x
m
x
= ∆ + ∆ + + ∆
,
1
1
2
2
( )
( )
...
( )
n
n
n
f c
x
f c
x
f c
x
σ =
∆ +
∆ + +
∆
,
1
1
2
2
...
n
n
n
S
M
x
M
x
M
x
=
∆ +
∆ + +
∆
.
Nazywamy je odpowiednio sumą dolną , sumą pośrednią i sumą górną.
Zachodzą następujące nierówności:
(
)
(
)
n
n
n
m b a
s
S
M b a
−
≤
≤ σ ≤
≤
−
.
Interpretację geometryczną sum
n
s
oraz
n
S
dla
4
n
=
przedstawia rysunek:
Utwórzmy ciąg
( )
n
P
podziałów przedziału
;
a b
dla
1, 2,...
n
=
. Odpowiadają mu trzy
ciągi sum:
( ) ( ) ( )
,
,
n
n
n
s
S
σ
.
65
Definicja 3.
Ciąg
{ }
n
P
podziałów przedziału
;
a b
nazywamy normalnym ciągiem podziałów,
jeżeli lim
(
)
0
n
n
n
P
→∞
δ
=
.
Definicja 4.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału
;
a b
ciąg sum pośrednich jest
zbieżny zawsze do tej samej granicy niezależnie od doboru ciągów podziałów i punktów
pośrednich, to granicę tę nazywamy
całką oznaczona Riemanna funkcji f w przedziale
;
a b
i oznaczamy symbolem:
( )
b
a
f x dx
∫
.
Uwaga.
O funkcji f mówimy, że jest całkowalna w sensie Riemanna lub całkowalna.
Całka oznaczona spełnia następującą nierówność:
(
)
(
)
( )
b
a
m b a
f x dx
M b a
− ≤
≤
−
∫
.
Granice ciągów
( )
n
s
i
( )
n
S
odpowiadających normalnym ciągom podziałów przedziału
;
a b
nazywamy odpowiednio całką dolną i całką górną funkcji f w przedziale
;
a b
i oznaczamy: lim
( )
,
lim
( )
b
b
n
n
n
n
a
a
s
f x dx
S
f x dx
→∞
→∞
=
=
∫
∫
.
Nazywamy je też całkami Darboux.
Twierdzenie 2.
Całka oznaczona istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy całka dolna równa się całce górnej.
Twierdzenie 3.
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna.
Twierdzenie 4. (Newtona i Leibniza)
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f określonej i ciągłej w przedziale
;
a b
, to
[
]
( )
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F x
F b
F a
=
=
−
∫
.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Jeżeli funkcja ( )
f x
jest ciągła w przedziale
;
a b
przyjmuje wartości nieujemne w tym
przedziale, to całka oznaczona
( )
b
a
f x dx
∫
jest równa polu ograniczonego wykresem funkcji
( )
y
f x
=
, prostymi
,
x
a
x
b
=
=
oraz osią Ox.
66
Własności całek oznaczonych
Twierdzenie 5.
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale
;
a b
, to funkcje
,
,
f
g
f
g
c f
+
−
⋅
,
( c
−
dowolna stała) są też całkowalne w
;
a b
i zachodzą równości:
(
)
( )
( )
( )
( )
b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx
+
=
+
∫
∫
∫
,
(
)
( )
( )
( )
( )
b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx
−
=
−
∫
∫
∫
,
( )
( )
b
b
a
a
c f x dx
c
f x dx
⋅
= ⋅
∫
∫
.
( )
( )
b
a
a
b
f x dx
f x dx
= −
∫
∫
.
( )
0
a
a
f x dx
=
∫
.
Twierdzenie 6. (addytywność całki)
Jeżeli f jest całkowalna w przedziale
;
a b
oraz
( )
;
a b
α∈
, to f jest całkowalna w
przedziałach
;
a
α
oraz
;b
α
i zachodzi wzór:
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
f x dx
f x dx
α
α
=
+
∫
∫
∫
.
Interpretację geometryczną przedstawia rysunek:
Twierdzenie 7. (o wartości średniej dla całki oznaczonej)
Jeżeli f jest ciągła w przedziale
;
a b
to istnieje
( )
;
c
a b
∈
takie, że
(
)
( )
( )
b
a
f x dx
f c b
a
=
−
∫
.
Uwaga.
Równość z tw. 7 można zapisać w równoważnej postaci:
1
( )
( )
b
a
f c
f x dx
b a
=
−
∫
.
Liczbę
1
( )
b
a
f x dx
b a
−
∫
nazywamy
wartością średnią funkcji f w przedziale
;
a b
.
67
Interpretacja geometryczna:
Załóżmy, że ( )
0
f x
≥
dla
;
x
a b
∈
. Pole trapezu krzywoliniowego (pole ograniczone
wykresem funkcji
( )
y
f x
=
, prostymi
,
x
a
x
b
=
=
oraz osią
0x) jest równe polu
prostokąta o długości podstawy b a
−
i drugim boku o długości ( )
f c
.
Całkowanie przez części dla całek oznaczonych
Niech funkcje f i g mają ciągłe pochodne w przedziale
;
a b
. Wówczas:
[
]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
b
b
b
a
a
a
f x g x dx
f x g x
f x g x dx
′
′
=
−
∫
∫
.
Całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze wartości
( )
t
x
= ϕ
funkcji
ϕ
, ciągłej i mającej
ciągłą pochodną w przedziale
;
α β
i jeżeli
( )
a
= ϕ α
,
( )
b
= ϕ β
, to
(
)
( )
( )
( )
b
a
f t dt
f
x
x dx
β
α
′
=
ϕ
⋅ϕ
∫
∫
.
Powyższe twierdzenie nosi nazwę
twierdzenia o zamianie zmiennej w całce oznaczonej.
Przykład 7.
Obliczyć następujące całki oznaczone:
a)
1
3
0
(
)
x
x
e dx
+
∫
; b)
3
0
sin 5xdx
π
∫
; c)
1
ln
e
x
dx
x
∫
; d)
4
2
0
cos
sin
x
xdx
π
∫
,
e)
3
2
0
sin 2
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
; f)
1
0
x
xe dx
∫
; g)
5
2
3
4
xdx
x
−
∫
; h)
1
2
1
2
2
dx
x
x
−
∫
.
Rozwiązanie:
a)
Funkcja podcałkowa:
3
( )
x
f x
x
e
= +
, funkcja pierwotna
(
)
3
4
1
( )
4
x
x
F x
x
e
dx
x
e
=
+
=
+
∫
.
68
Zatem
1
1
3
4
4
1
4
0
0
0
1
1
1
3
(
)
1
0
4
4
4
4
x
x
x
e dx
x
e
e
e
e
+
=
+
=
⋅ +
−
⋅ +
= −
∫
;
b) Funkcja podcałkowa: ( )
sin 5
f x
x
=
, funkcja pierwotna
1
( )
sin 5
cos 5
5
F x
x dx
x
=
= −
∫
.
A więc
3
3
5
3
0
0
1
1
1
1
1
1
sin 5
cos 5
cos
cos 0
5
5
5
10
5
10
xdx
x
π
π
= −
= −
π − −
= −
+ =
∫
.
Przykład ten można również rozwiązać, stosując wzór na zamianę zmiennej w całce
oznaczonej. W całce
3
0
sin 5xdx
π
∫
podstawiamy
5
t
x
=
. Wówczas
5
dt
dx
=
czyli
1
5
dx
dt
=
. Jeżeli
x
zmienia się od 0 do
1
3
π
to zmienna
t zmienia się od 0 do
5
3
π
i
5
5
3
3
3
5
3
0
0
0
1
1
1
1
1
sin 5
sin
cos
cos
cos 0
5
5
5
5
10
xdx
tdt
t
π
π
π
=
= −
= −
π − −
=
∫
∫
.
c)
Funkcja podcałkowa:
ln
( )
x
f x
x
=
. Funkcję pierwotną
ln
( )
x
F x
dx
x
=
∫
obliczamy
podstawiając
ln
t
x
=
.Wówczas
dx
dt
x
=
. Mamy:
( )
2
2
1
ln
2
2
t
t dt
x
=
=
∫
. Zatem
( )
2
1
( )
ln
2
F x
x
=
i
( )
( )
( )
2
2
2
1
1
ln
1
1
1
1
ln
ln
ln1
2
2
2
2
e
e
x
dx
x
e
x
=
=
−
=
∫
.
Przykład ten można również rozwiązać, stosując wzór na zamianę zmiennej w całce
oznaczonej. W całce
1
ln
e
x
dx
x
∫
podstawiamy
ln
t
x
=
. Wówczas
dx
dt
x
=
.
Jeżeli
x
zmienia się od 1 do
e
to zmienna t zmienia się od ln1
0
=
do ln
1
e
=
i
1
1
2
2
2
0
1
0
ln
1
1
1
1
1
0
2
2
2
2
e
x
dx
tdt
t
x
=
=
=
⋅
−
⋅
=
∫
∫
.
d)
W całce
4
2
0
cos
sin
x
xdx
π
∫
podstawiamy
cos
t
x
=
. Wówczas
sin
dt
xdx
= −
. Jeżeli
x
zmienia się od 0 do
1
4
π
to zmienna t zmieni się od cos 0
1
=
do
( )
1
1
4
2
cos
2
π =
.
69
Zatem
( )
2
1
4
2
1
3
2
2
2
2
0
1
2
2
2
1
2
cos
sin
3
3
12
t
x
xdx
t
dt
t dt
π
=
−
=
=
= −
∫
∫
∫
.
e)
Stosujemy wzór: sin 2
2 sin cos
x
x
x
=
. Wówczas
3
3
2
2
0
0
sin 2
2sin cos
1 sin
1 sin
x
x
x
dx
dx
x
x
π
π
=
+
+
∫
∫
.
Podstawiamy teraz
2
1 sin
t
x
= +
. Mamy
2 sin cos
dt
x
xdx
=
. Jeżeli
x
zmienia się od 0 do
1
3
π
to zmienna
t zmienia się od
2
1 sin 0 1
+
=
do
( )
2
1
3
5
1 sin
4
+
π =
i
5
3
3
4
5
4
2
2
1
0
0
1
sin 2
2sin cos
5
2
2
2
5
2
4
1 sin
1 sin
x
x
x
dt
dx
dx
t
t
x
x
π
π
=
=
=
=
− =
−
+
+
∫
∫
∫
.
f)
Do całki
1
0
x
xe dx
∫
zastosujemy wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.
Przyjmujemy
( )
,
( )
x
f x
e
g x
x
′
=
=
. Stąd ( )
,
( )
1
x
f x
e
g x
′
=
=
.
(
)
(
)
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
x
x
x
x
xe dx
xe
e
dx
e
e
e
e e
=
−
⋅
= − −
= − −
=
∫
∫
.
g)
W całce
5
2
3
4
xdx
x
−
∫
podstawiamy:
2
4
t
x
=
−
.Stąd
2
dt
xdx
=
czyli
1
2
xdx
dt
=
. Jeżeli
x
zmienia się od 3 do 5 , to zmienna t zmienia się od
2
3
4
5
− =
do
2
5
4
21
− =
. Zatem
5
21
21
2
5
3
5
1
1
1
1
1
21
ln
ln 21
ln 5
ln
4
2
2
2
2
2
5
xdx
dt
t
x
t
=
=
=
−
=
−
∫
∫
.
h)
Zauważmy, że
(
)
2
2
2
1
1
x
x
x
−
= − −
. Zatem
(
)
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
dx
dx
x
x
x
=
−
− −
∫
∫
.
Stosujemy następnie podstawienie
1
t
x
= −
. Stąd dt
dx
=
.Wówczas jeżeli x zmienia się od
1
2
do 1 to zmienna t zmienia się od
1
1
2
2
1
− = −
do 1 1
0
− =
.
Mamy więc
(
)
[
]
(
)
( )
(
)
1
2
1
1
2
2
1
0
0
1
1
1
2
6
6
2
2
arcsin
arcsin 0
arcsin
0
1
1
1
dx
dt
t
t
x
−
−
=
=
=
−
− = − − π = π
−
− −
∫
∫
.
70
Zadanie 5.
Obliczyć następujące całki oznaczone:
a)
3
0
sin 3xdx
π
∫
; b)
1
2
0
2
1
x
dx
x
+
∫
; c)
5
2
0
1
x x
dx
+
∫
; d)
1
ln
e
x
x dx
∫
; e)
3
2
2
4
dx
x
x
−
∫
.
Wskazówka.
Skorzystać z obliczonych całek nieoznaczonych dla tych funkcji w przykładzie
2, zadania a) ,
b) , c) oraz w przykładzie 3 zadanie e) .
Odpowiedzi.
a)
2
3
; b) ln 2 ; c)
19
3
; d)
3
2
4
9
9
e
+
; e)
1
6
π
.
III. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej
1. Pole obszaru płaskiego
Załóżmy, że funkcje
f i g są funkcjami ciągłymi w przedziale
;
a b
takimi, że
( )
( )
f x
g x
≤
dla
;
x
a b
∈
, (rysunek) . Wówczas pole
S
P obszaru S ograniczonego
wykresami tych funkcji oraz prostymi
,
x
a
x
b
=
=
wyraża się wzorem:
(
)
( )
( )
b
S
a
P
g x
f x dx
=
−
∫
.
Przykład 8.
Znaleźć pole P figury ograniczonej:
a)
wykresem funkcji
2
1
y
x
= −
i osią Ox ;
b)
prostą
1
y
=
i parabolą
2
y
x
=
;
c)
prostą
1
y
=
i parabolą
2
y
x
=
.
Rozwiązanie.
a) Wykres funkcji
2
1
y
x
= −
przecina oś Ox w punktach
1 ,
1
x
x
= −
=
(rysunek).
Stąd
(
)
1
1
3
2
1
1
1
1
4
1
1
1
3
3
3
3
x
P
x
dx
x
−
−
−
=
−
=
−
= −
− − −
=
∫
.
71
b) Rozwiązaniami układu równań
2
1
y
x
y
=
=
są pary liczb:
1 ,
1
x
y
=
=
lub
1,
1
x
y
= −
=
.
W przedziale
(
)
1;1
−
prosta
1
y
=
leży nad parabolą
2
y
x
=
.
Stąd
(
)
1
1
3
2
1
1
4
1
3
3
x
P
x
dx
x
−
−
=
−
=
−
=
∫
, (patrz: punkt a) )
c) Rozwiązaniami układu równań
2
y
x
y
x
=
=
są pary liczb:
0 ,
0
x
y
=
=
lub
1,
1
x
y
=
=
.
Rozważaną figurą jest
( )
{
}
2
,
: 0
1
S
x y
x
x
y
x
=
≤ ≤ ∧
≤ ≤
.
Pole
S
P
=
(
)
1
1
2
3
2
0
0
1
1
1
2
3
2
3
6
x
x
x
x
dx
−
=
−
= − =
∫
.
Zadanie 6.
Obliczyć pola figur ograniczonych :
a) osią Ox i wykresem funkcji ( )
sin
f x
x
=
,
0;
x
∈
π
;
b) parabolami
2
4
y
x
= −
i
2
4
y
x
=
−
,
2; 2
x
∈ −
;
c) parabolą
2
y
x
=
, prostą pionową
2
x
=
, osia Ox i leżącą w pierwszej ćwiartce gałęzi
hiperboli
1
y
x
=
.
Odpowiedzi. a)
2
P
=
; b)
64
3
P
=
; c)
1
ln 2
3
P
= +
.
72
2. Długość krzywej
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną w przedziale
;
a b
. Wtedy długość L krzywej
(
)
{
}
, ( ) :
;
x f x
x
a b
Γ =
∈
wyraża się wzorem
( )
2
1
b
a
L
f
x
dx
′
=
+
∫
.
Krzywa
Γ
Przykład 9.
Obliczyć długości podanych krzywych:
a)
2
2
2
x
y
r
+
=
, (długość okręgu o promieniu )
r
;
b)
3
2
, 0
11
y
x
x
=
≤ ≤
.
Rozwiązanie.
a) Ze względu na symetrię w/m osi Ox weźmiemy pod uwagę tylko półokrąg o równaniu
2
2
y
r
x
=
−
, r
x
r
− ≤ ≤
.
Dla funkcji
( )
2
2
y x
r
x
=
−
mamy
( )
2
2
x
y x
r
x
−
′
=
−
.
Zatem długość półokręgu jest równa
( )
2
2
2
2
2
2
1
1
r
r
r
r
r
x
r
r
r
r
L
y x
dx
dx
dx
r
x
−
−
−
−
−
′
=
+
=
+
=
−
∫
∫
∫
.
Całkę
2
2
r
r
r
dx
r
x
−
−
∫
obliczymy przez podstawienie
r t
x
⋅ =
, czyli
x
t
r
=
. Stąd
rdt
dx
=
.
Jeżeli
x
zmienia się od r
−
do r to zmienna t zmienia się od 1
−
do 1 .Mamy wiec
[
]
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
2
2
2 2
2
1
1
1
1
2
2
arcsin
arcsin1 arcsin( 1)
1
(
.
r
r
r
r dt
rdt
L
dx
r
t
r
r
x
r
r t
t
r
r
−
−
−
−
=
=
=
=
=
−
−
=
−
−
−
=
π − − π = π
∫
∫
∫
Zatem długość okręgu wynosi 2
2
L
r
= π
.
73
b) Dla funkcji
( )
3
2
y x
x
=
mamy
( )
3
1
2
2
3
2
2
3
2
y x
x
x
x
′
′
=
= ⋅
=
.
Zatem długość krzywej jest równa
( )
( )
11
11
11
2
2
0
0
0
1
1
3
1 9
L
y x
dx
x
dx
x dx
′
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫
.
Całkę
11
0
1 9x dx
+
∫
obliczymy przez podstawienie
1 9
t
x
= +
. Stąd
9
dt
dx
=
.
Jeżeli
x
zmienia się od 0 do 11 to zmienna
t zmienia się od 1 do 100 .Mamy więc
11
0
1 9
L
x dx
=
+
∫
=
100
1
1
9
t dt
∫
(
)
100
3
3
3
1
1 2
2
2
100
1
999
74
9 3
27
27
t
=
−
=
⋅
=
.
3. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej
1. Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła w przedziale
;
a b
. Ponadto niech
T oznacza
trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji
f , osią Ox oraz prostymi
,
x
a x
b
=
=
.
Wtedy objętość V bryły powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Ox
wyraża się wzorem:
( )
2
b
a
V
f
x dx
= π
∫
Bryła powstała z obrotu trapezu krzywoliniowego wokół osi Ox
2. Niech funkcja f ma ciągłą pochodną w przedziale
;
a b
. Wtedy pole powierzchni P bryły
powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Ox wyraża się wzorem:
( )
( )
2
2
1
b
a
P
f x
f
x
dx
′
= π
+
∫
.
74
Przykład 10.
Obliczyć objętość i pole powierzchni kuli o promieniu długości r .
Rozwiązanie.
Możemy kulę traktować jako bryłę obrotową powstałą przez obrót półokręgu
2
2
y
r
x
=
−
,
r
x
r
− ≤ ≤
, dookoła osi Ox .
Jej objętość
( )
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
4
(
)
(
)
.
3
r
r
r
r
r
r
V
y
x dx
r
x dx
r x
x
r
r
r
r
r
−
−
−
= π
= π
−
= π
−
= π
−
− −
− −
= π
∫
∫
Mamy
( )
2
2
x
y x
r
x
−
′
=
−
.
Zatem pole powierzchni
( )
( )
[ ]
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
4
.
r
r
r
r
r
x
r
r
r
r
r
r
r
r r
x
P
y x
y x
dx
r
x
dx
dx
r
x
r
dx
r x
r r
r
r
−
−
−
−
−
−
−
−
′
= π
+
= π
− ⋅ +
= π
=
−
= π
= π
= π
− −
= π
∫
∫
∫
∫
.
III. Całki niewłaściwe
Całki niewłaściwe 1-go rodzaju
1. Załóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale
)
;
a
+∞
i całkowalna w każdym
przedziale
;
a M
, M
a
>
.
Definicja 5.
Jeżeli istnieje skończona granica
lim
( )
M
M
a
f x dx
→+∞
∫
, to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f
w przedziale
;
a
+∞
i zapisujemy:
( )
lim
( )
M
M
a
a
f x dx
f x dx
∞
→∞
=
∫
∫
.
Mówimy wtedy, że całka
( )
a
f x dx
+∞
∫
jest
zbieżna.
Jeżeli granica lim
( )
M
M
a
f x dx
→+∞
∫
jest niewłaściwa (
±∞
) , to mówimy, że całka
( )
a
f x dx
+∞
∫
jest
rozbieżna.
75
Ilustracja do definicji całki niewłaściwej w przedziale
)
;
a
+∞
2. Załóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale
(
;b
−∞
i całkowalna w każdym
przedziale
;
m b
, m
b
<
.
Definicja 6.
Jeżeli istnieje skończona granica
lim
( )
b
m
m
f x dx
→−∞
∫
, to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f
w przedziale
(
;b
−∞
i zapisujemy:
( )
lim
( )
b
b
m
m
f x dx
f x dx
→−∞
−∞
=
∫
∫
.
Mówimy wtedy, że całka
( )
b
f x dx
−∞
∫
jest
zbieżna. Jeżeli granica lim
( )
b
m
m
f x dx
→−∞
∫
jest
niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka
( )
b
f x dx
−∞
∫
jest
rozbieżna.
Ilustracja do definicji całki niewłaściwej w przedziale
(
;b
−∞
3. Definicja 7.
Jeżeli funkcja jest określona w przedziale
(
)
;
−∞ +∞
i jest całkowalna w każdym skończonym
przedziale, to
( )
( )
( )
a
a
f x dx
f x dx
f x dx
∞
∞
−∞
−∞
=
+
∫
∫
∫
,
gdzie a
R
∈
jest dowolnie ustaloną liczbą.
76
Przykład 11.
Obliczyć następujące całki niewłaściwe:
a)
2
1
1
dx
x
+∞
∫
; b)
2
0
x
xe
dx
+∞
−
∫
; c)
0
2 x
e dx
−∞
∫
; d)
1
1
dx
x
+∞
∫
; e)
2
1
dx
x
+∞
−∞
+
∫
.
Rozwiązanie.
a)
2
2
1
1
1
1
lim
M
M
dx
dx
x
x
+∞
→+∞
=
∫
∫
. Funkcja pierwotna
2 1
2
2
1
1
( )
2 1
x
F x
dx
x dx
x
x
− +
−
=
=
=
= −
− +
∫
∫
, oraz
( )
2
1
1
1
1
1
1
1
1
M
M
dx
x
x
M
M
= −
= −
− − = −
+
∫
. Zatem
2
1
1
1
lim
1
1
M
dx
x
M
+∞
→+∞
=
−
+ =
∫
.
Całka ta jest więc zbieżna.
b)
2
2
0
lim
M
x
x
M
o
xe
dx
xe
dx
+∞
−
−
→+∞
=
∫
∫
.Funkcję pierwotną
2
( )
x
F x
xe
dx
−
=
∫
obliczymy, podstawiając
2
t
x
= −
. Mamy
2
dt
xdx
= −
, skąd
1
2
xdx
dt
= −
.
Zatem
2
2
2
1
1
1
1
( )
2
2
2
2
x
t
t
x
x
F x
xe
dx
e dt
e
e
e
−
−
=
= −
= −
= −
= −
∫
∫
.
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
M
M
x
x
M
M
xe
dx
e
e
e
e
−
= −
= −
− −
= −
+
∫
2
2
2
0
0
1
1
1
lim
lim
2
2
2
M
x
x
M
M
M
xe
dx
xe
dx
e
+∞
−
−
→+∞
→+∞
=
=
−
+
=
∫
∫
, gdyż
2
1
lim
0
2
M
M
e
→+∞
−
=
.
Całka ta jest zbieżna.
c)
0
0
2
2
lim
x
x
m
m
e dx
e dx
→−∞
−∞
=
∫
∫
. Funkcja pierwotna
2
2
1
( )
2
x
x
F x
e dx
e
=
=
∫
.
0
0
2
2
0
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
x
x
m
m
m
m
e dx
e
e
e
e
=
=
−
= −
∫
. Tak więc
0
2
2
1
1
1
lim
2
2
2
x
m
m
e dx
e
→−∞
−∞
=
−
=
∫
,
gdyż
2
lim
0
m
m
e
→−∞
=
. Całka zbieżna.
d)
1
1
1
1
lim
M
M
dx
dx
x
x
+∞
→+∞
=
∫
∫
. . Funkcja pierwotna
1
( )
ln
F x
dx
x
x
=
=
∫
, oraz
77
(
) ( )
1
1
1
ln
ln
ln1
ln
M
M
dx
x
M
M
x
=
=
−
=
∫
. Zatem
1
1
lim (ln
)
M
dx
M
x
+∞
→+∞
=
= +∞
∫
.
Całka ta jest więc rozbieżna.
e)
[
]
[
]
[
]
[
]
(
) ( )
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
2
2
lim
lim
1
1
1
1
1
lim
lim
lim (
0) (
)
lim (
) (
0)
0
0
.
M
m
M
m
M
m
m
M
m
M
dx
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
arctgx
arctgx
arctg
arctgm
arctgM
arctg
+∞
+∞
→−∞
→+∞
−∞
−∞
→−∞
→+∞
→−∞
→+∞
=
+
=
+
=
+
+
+
+
+
=
+
=
−
+
−
=
= − − π + π − = π
∫
∫
∫
∫
∫
Zadanie 5.
Obliczyć następujące całki niewłaściwe:
a)
3
1
1
dx
x
+∞
∫
; b)
0
x
e dx
+∞
−
∫
; c)
0
3x
e dx
−∞
∫
; d)
1
1
2
dx
x
+∞
∫
; e)
2
3
9
dx
x
+∞
+
∫
.
Odpowiedzi.
a)
1
2
; b) 1 ; c)
1
3
; d)
+∞
, (całka rozbieżna); e)
1
1
1
1
1
3
2
3
6
9
⋅ π − ⋅ π = π
.
Całki niewłaściwe 2-go rodzaju
1. Załóżmy, że
a) funkcja
f jest określona w przedziale
(
;
a b
, a
b
<
,
b) całkowalna w każdym przedziale
;
, 0
a
b
b a
+ ε
< ε ≤ −
,
c)
( )
( )
lim
x
a
f x
+
→
= +∞ −∞
, (funkcja jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie
punktu
a
).
Definicja 8.
Jeżeli istnieje skończona granica
0
lim
( )
b
a
f x dx
+
ε→
+ε
∫
, to nazywamy ją całką niewłaściwą drugiego
rodzaju funkcji f w przedziale
(
;
a b i zapisujemy:
0
( )
lim
( )
b
b
a
a
f x dx
f x dx
ε→ +
+ε
=
∫
∫
.
Mówimy wtedy, że całka
( )
b
a
f x dx
∫
jest
zbieżna.
78
Jeżeli granica
0
lim
( )
b
a
f x dx
+
ε→
+ε
∫
jest niewłaściwa (
±∞
) , to mówimy, że całka
( )
b
a
f x dx
∫
jest
rozbieżna.
Ilustracja do definicji całki niewłaściwej drugiego rodzaju w przedziale
(
;
a b .
2. Załóżmy, że
a) funkcja
f jest określona w przedziale
)
;
a b
, a
b
<
,
b) całkowalna w każdym przedziale
;
, 0
a b
b a
− ε
< ε ≤ −
,
c)
( )
( )
lim
x
b
f x
−
→
= +∞ −∞
, (funkcja jest nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie
punktu b ).
Definicja 9.
Jeżeli istnieje skończona granica
0
lim
( )
b
a
f x dx
+
−ε
ε→
∫
, to nazywamy ją całką niewłaściwą drugiego
rodzaju funkcji
f w przedziale
)
;
a b
i zapisujemy:
0
( )
lim
( )
b
b
a
a
f x dx
f x dx
−ε
ε→ +
=
∫
∫
.
Mówimy wtedy, że całka
( )
b
a
f x dx
∫
jest
zbieżna.
Jeżeli granica
0
lim
( )
b
a
f x dx
+
−ε
ε→
∫
jest niewłaściwa (
±∞
) , to mówimy, że całka
( )
b
a
f x dx
∫
jest
rozbieżna.
79
Ilustracja do definicji całki niewłaściwej drugiego rodzaju w przedziale
)
;
a b .
3. Załóżmy, że
a) funkcja f jest określona na zbiorze
)
(
;
;
a c
c b
∪
,
b) jest nieograniczona na obu jednostronnych sąsiedztwach punktu
c
.
Definicja 10.
Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f w przedziale
;
a b
określamy wzorem:
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
=
+
∫
∫
∫
.
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka
( )
b
a
f x dx
∫
jest
zbieżna.
Jeżeli co najmniej jedna z całek po prawej stronie jest rozbieżna, to
( )
b
a
f x dx
∫
jest
rozbieżna.
Ilustracja do definicji całki niewłaściwej drugiego rodzaju z funkcji nieograniczonej
na obu jednostronnych sąsiedztwach punktu c.
80
Przykład 12.
Obliczyć całki niewłaściwe drugiego rodzaju:
a)
4
0
2
dx
x
∫
; b)
1
2
3
2
1
dx
x
−
∫
; c)
1
0
dx
x
∫
.
Rozwiązanie.
a) Funkcja podcałkowa
( )
1
2
f x
x
=
jest nieograniczona w prawostronnym otoczeniu
punktu 0, gdyż
0
1
lim
2
x
x
+
→
= +∞
. Funkcja pierwotna
( )
2
dx
F x
x
x
=
=
∫
. Zatem
(
)
4
4
4
0
0
0
0
0
lim
lim
lim
4
2
2
2
dx
dx
x
x
x
+
+
+
ε
ε→
ε→
ε→
+ε
=
=
=
− ε =
∫
∫
.
b) Funkcja podcałkowa
( )
2
1
1
f x
x
=
−
jest nieograniczona w lewostronnym otoczeniu
punktu 1, gdyż
2
1
1
lim
1
x
x
−
→
= +∞
−
. Funkcja pierwotna
( )
2
arcsin
1
dx
F x
x
x
=
=
−
∫
. Zatem
[
]
1
1
1
3
2
3 / 2
2
2
0
0
0
3
3
2
2
3
2
lim
lim arcsin
lim arcsin(1
) arcsin
1
1
arcsin1 arcsin
.
2
3
6
dx
dx
x
x
x
+
+
+
−ε
−ε
ε→
ε→
ε→
=
=
=
− ε −
=
−
−
π π π
=
−
= − =
∫
∫
c) Funkcja podcałkowa
( )
1
f x
x
=
jest nieograniczona w prawostronnym otoczeniu punktu 0,
gdyż
0
1
lim
x
x
+
→
= +∞
. Funkcja pierwotna
( )
ln
dx
F x
x
x
=
=
∫
. Mamy więc
(
)
( )
1
1
1
0
0
0
0
0
lim
lim ln
lim ln1 ln
0
dx
dx
x
x
x
+
+
+
ε
ε→
ε→
ε→
+ε
=
=
=
− ε = − −∞ = +∞
∫
∫
.
Całka jest więc rozbieżna.
Zadanie 6.
Obliczyć całki niewłaściwe drugiego rodzaju:
a)
1
3
0
dx
x
∫
; b)
1
2
1
2
1
dx
x
−
∫
; c)
2
1
1
dx
x
−
∫
.
Odpowiedzi.
a)
3
2
; b)
3
π
; c)
+∞
(całka rozbieżna).
81
IV. Przykłady zastosowania rachunku całkowego funkcji jednej
zmiennej w ekonomii
Jedno z podstawowych zastosowań rachunku całkowego w ekonomii wynika z faktu, że
całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania z dokładnością do stałej. Znając
funkcje kosztu, utargu czy zysku krańcowego jesteśmy w stanie wyznaczyć odpowiednio
funkcje kosztu, utargu i zysku całkowitego:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
.
K x
K x dx
U x
U
x dx
Z x
Z x dx
′
=
′
=
′
=
∫
∫
∫
Szerokie zastosowanie w ekonomii ma całka oznaczona, jak również związana z nią wartość
ś
rednia funkcji. Przypomnijmy, że
wartością średnią funkcji ( )
f x
w przedziale
;
a b
nazywamy wyrażenie:
1
( )
b
a
f x dx
b a
−
∫
.
Poniżej podane są przykłady tych zastosowań.
Przykład 1.
Niech
x
x
x
K
+
=
2
)
(
, gdzie
0
x
>
będzie funkcją kosztów całkowitych. Wyznaczyć
ś
rednią wartość kosztów przeciętnych, jeżeli wielkość produkcji wzrośnie od 9 do 16.
.
Rozwiązanie.
Koszt przeciętny:
2
( )
1
( )
p
K x
x
x
k
x
x
x
x
x
+
=
=
= +
.
Ś
rednia wartość kosztów przeciętnych:
(
)
16
16
2
9
9
1
1
1
1
1 81
2
128 8
6
12,8
16 9
7
2
7
7
2
sred
p
x
k
x
dx
x
x
=
+
=
+
=
+ −
+
≈
−
∫
.
Przykład 2.
Dana jest funkcja kosztów krańcowych produkcji:
11
2
,
0
)
(
+
=
′
x
x
K
, gdzie
0
x
>
oznacza wielkość produkcji, zaś
)
(x
K
- funkcję kosztu całkowitego. Cena
zbytu jest ustalona i wynosi 20 zł za sztukę. Wyznaczyć:
a) funkcję kosztów całkowitych, jeżeli koszt całkowity wyprodukowania 10 sztuk wyrobu
wynosi 260 zł,
b) optimum produkcyjne ,
c) przedział opłacalności produkcji .
Rozwiązanie.
a) Koszt całkowity
(
)
2
( )
( )
0, 2
11
0,1
11
K x
K x dx
x
dx
x
x C
′
=
=
+
=
+
+
∫
∫
.
82
Stałą C wyznaczmy w warunku:
(10)
260
K
=
.
2
(10)
0,1 10
11 10
120
K
C
C
=
⋅
+ ⋅ + =
+
.
120
260
140
C
C
+ =
⇒
=
.
Funkcja kosztów całkowitych
2
( )
0,1
11
140
K x
x
x
=
+
+
.
b)
Optimum produkcyjne jest to taka wielkość produkcji, dla której zysk osiąga wartość
maksymalną . Utarg ze sprzedaży
x
jednostek towaru (po 20zł za sztukę) wynosi:
( )
20
U x
x
=
. Funkcja zysku:
(
)
2
2
( )
( )
( )
20
0,1
11
140
0,1
9
140
Z x
U x
K x
x
x
x
x
x
=
−
=
−
+
+
= −
+
−
.
( )
0
45
Z x
x
′
=
⇔
=
. Zatem funkcja zysku osiąga największą wartość dla wielkości
produkcji
45
x
=
. Jest to optimum produkcyjne.
c) Przedział
(
)
1
2
;
x
x
produkcji dającej zyski dodatnie nazywamy
przedziałem
opłacalności produkcji. W naszym przypadku
(
)
( )
0
20; 70
Z x
x
> ⇔
∈
.
Jest to przedział opłacalności produkcji.
Przykład 3.
Jeżeli w przedziale czasu
1
2
;
t t
w magazynie znajduje się wielkość zapasów opisana
równaniem
( )
I
I t
=
, to stan zapasów utworzony w tym przedziale czasowym wyraża całka
( )
2
1
t
t
Z
I t dt
=
∫
,
natomiast średni poziom zapasów możemy wyznaczyć ze wzoru:
( )
2
1
2
1
1
t
t
t
Z
I t dt
t
t
∆
=
−
∫
,
2
1
t
t
t
∆ = −
.
Zadanie 1.
Zapasy pewnego dobra w ilości 20 ton są wykorzystywane w sposób równomierny i
wystarczają na okres jednego roku. Wyznaczyć i zinterpretować graficznie średni poziom
zapasów w ciągu roku.
Rozwiązanie.
Z treści zadania wynika, że w chwili początkowej
1
0
t
=
wartość zapasów wynosi 20 ton,
natomiast w chwili
2
1
t
=
wartość ta wynosi 0 ton. Skoro zapasy są wykorzystywane w
sposób równomierny, to ich poziom opisuje funkcja liniowa
( )
I t
at
b
= +
.
Współczynniki ,
a b wyznaczamy z układu równań:
( )
( )
0
20
20
20
0
20
1
0
I
b
b
a b
a
I
=
=
=
⇔
⇔
+ =
= −
=
.
Zatem
( )
20
20
I t
t
= −
+
.
Ś
redni poziom zapasów jest równy wartości średniej całki z funkcji opisującej kształtowanie
się poziomu zapasów w analizowanym okresie na przedziale
0;1
i wynosi
( )
(
)
1
1
1
2
1
0
0
0
1
1
20
20
10
20
10
1 0
1 0
Z
I t dt
t
dt
t
t
=
=
−
+
= −
+
=
−
−
∫
∫
.
Zatem średni poziom zapasów jest równy 10 ton.
83
Zadanie 2.
Zapasy pewnego dobra w ilości 16 ton są wykorzystywane w przeciągu dwóch lat, zaś
funkcja opisująca poziom zapasów w chwili t wyraża się wzorem
( ) (
)
4
2
I t
t
= −
.
Wyznaczyć średni poziom zapasów w ciągu tego okresu.
Odpowiedź.
Ś
redni poziom zapasów wynosi 3,2 tony.
Przykład 4.
Pojecie całki oznaczonej wykorzystujemy również w matematycznej analizie rynku jednego
dobra. Znajomość funkcji popytu i podaży, (przy znajomości granicznych cen niskiej oraz
wysokiej jak również ceny równowagi)
pozwala na zdefiniowanie nadwyżki producenta
oraz
nadwyżki konsumenta.
Nadwyżka producenta występuje, gdy cena dobra jest wyższa od granicznej ceny niskiej
oraz niższa od ceny równowagi, zaś jej wielkość równa
( )
*
N
p
p
NP
S p dp
=
∫
określa , jaką kwotę może zarobić dodatkowo producent, gdyby sprzedawał dobro po cenie
równowagi.
Nadwyżka konsumenta występuje, gdy cena dobra jest wyższa od ceny równowagi oraz
niższa od granicznej ceny wysokiej, zaś jej wielkość równa
( )
*
N
p
p
NK
D p dp
=
∫
określa , jaką kwotę może zaoszczędzić dodatkowo konsument, gdyby kupował dobro po
cenie równowagi.
Interpretacja graficzna obydwu nadwyżek przedstawiona jest na poniższym rysunku.
84
Zadanie 3.
Dla funkcji popytu i podaży określonych równaniami:
( )
( )
2
4
6 ,
3
1
D p
p
S p
p
= − +
=
−
wyznaczyć i zinterpretować nadwyżkę producenta oraz nadwyżkę konsumenta.
Rozwiązanie.
Graniczna cen niska, graniczna cena wysoka oraz cena równowagi dla tych funkcji zostały
wyznaczone w przykładzie 19 w części poświęconej zastosowaniom ekonomicznym rachunku
różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Wynoszą one:
•
graniczna cena niska
3
3
N
p
=
,
•
graniczna cena wysoka
1, 5
W
p
=
,
•
cena równowagi * 1
p
=
.
Nadwyżka producenta
( )
(
)
( )
(
)
*
1
1
2
3
1
1
2
3
9
3
9
3
3
3
3
1
1 1
3
3
3
N
p
p
NP
S p dp
p
dp
p
p
=
=
−
=
−
= − −
−
=
∫
∫
,
oraz nadwyżka konsumenta
( )
(
)
(
) (
)
*
1,5
1,5
2
1
1
4
6
2
6
4, 5 9
2 6
0, 5
N
p
p
NK
D p dp
p
dp
p
p
=
=
−
+
= −
+
= −
+ − − + =
∫
∫
.
Zatem kwotę jaką może zaoszczędzić dodatkowo konsument, gdyby kupował dobro po cenie
równowagi wynosi 0,5, zaś kwotę jaką może zarobić dodatkowo producent, gdyby
sprzedawał dobro po cenie równowagi wynosi
2
9
3
.
Zadanie 4.
Dla funkcji popytu i podaży określonych równaniami:
( )
( )
2
3
,
6
4
D p
p
S p
p
= −
=
−
wyznaczyć i zinterpretować nadwyżkę producenta oraz nadwyżkę konsumenta.
Odpowiedź.
Graniczna cena niska
2
3
N
p
=
, graniczna cena wysoka
3
W
p
=
, cena równowagi * 1
p
=
.
Nadwyżka producenta wynosi
1
3
, natomiast nadwyżka konsumenta wynosi
2
3
2 3
2
−
.
Kwotę jaką może zaoszczędzić dodatkowo konsument, gdyby kupował dobro po cenie
równowagi wynosi
2
3
2 3
2
−
. , zaś kwotę jaką może zarobić dodatkowo producent, gdyby
sprzedawał dobro po cenie równowagi wynosi
1
3
.
85
BIBLOGRAFIA
1.
Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2. Dziedzic I., Sozański B., Algebra i analiza w zagadnieniach ekonomicznych,
Wydawnictwo Bila, Rzeszów, 2007.
3. Gawinecki J. , Matematyka dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa
w Warszawie, 2000.
4. Gewert M. , Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław ,2006.
5. Gewert M. , Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław ,2006.
6
.
Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
7. Leja F. , Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1977 ( lub wydania
późniejsze).
Opracował: dr Franciszek Bogowski