Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Rozpatrzmy tarczę o małej wysokości w porównaniu z długością.

Tarcza spoczywa na powierzchni płaskiej.

Powierzchnie styku tarczy i podłoża są szorstkie.

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Układ sił (tarcza w spoczynku)
Q —

ciężar tarczy,

g

m

Q 

N —

nacisk

podłoża na tarczę (reakcja podłoża)

Q

N

N

Q

P

iy













0

:

0

Σ

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Układ sił (tarcza w ruchu)
Q —

ciężar tarczy,

g

m

Q 

N —

nacisk

podłoża na tarczę (reakcja podłoża)

P —

siła pozioma przyłożona do tarczy

T —

siła tarcia ślizgowego

T

P

T

P

P

ix











0

:

0

Σ

Q

N

N

Q

P

iy













0

:

0

Σ

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Prawo Coulomba (w warunkach równowagi granicznej)

N

μ

T 

μ —

współczynnik tarcia ślizgowego

(statycznego rozwiniętego),

z zakresu

1

0



 μ

N —

nacisk

podłoża na tarczę (wypadkowa)

Siła tarcia T ma zwrot przeciwny do siły P
(przeciwny do kierunku ruchu tarczy)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Po przekroczeniu równowagi granicznej następuje ruch ciała
w kierunku działania siły P.

Siłę przesuwającą

gr

P

P 

wyznaczamy w każdym zadaniu oddzielnie

N

μ

T

P





gr

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Rozpatrzmy tarczę spoczywającą
na równi pochyłej.

Przy pewnej wartości kąta φ
tarcza zacznie się zsuwać.

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Rozpatrzmy tarczę spoczywającą
na równi pochyłej.

Przy pewnej wartości kąta φ
tarcza zacznie się zsuwać.

Warunki równowagi układu

φ

Q

T

P

ix

sin

:

0

Σ





φ

Q

N

P

iy

cos

:

0

Σ





Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie ślizgowe

Rozpatrzmy tarczę spoczywającą
na równi pochyłej.

Przy pewnej wartości kąta φ
tarcza zacznie się zsuwać.

Warunki równowagi układu

φ

Q

T

P

ix

sin

:

0

Σ





φ

Q

N

P

iy

cos

:

0

Σ





N

μ

T 

φ

Q

μ

φ

Q

cos

sin



φ

φ

φ

μ

tg

cos

sin





φ — kąt tarcia, kąt nachylenia równi pochyłej, przy którym

ciało (tarcza) zaczyna się zsuwać

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Rozpatrzmy ciało sztywne typu walec, kula, baryłka.

Model płaski — krążek o promieniu r.

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

O — geometryczny

środek krążka

A — teoretyczny punkt podparcia krążka (punkt styku z podłożem)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Układ sił (ciało w spoczynku)
Q

—

ciężar tarczy,

g

m

Q 

N

—

nacisk

podłoża na krążek (reakcja podłoża)

Q

N

N

Q

P

iy













0

:

0

Σ

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Przesunięcie teoretycznego punktu podparcia A w kierunku
działania siły P o wielkość f

Pochylenie reakcji podłoża (pojawienie się składowej poziomej H)

f —

współczynnik tarcia tocznego

(ramię oporu toczenia) [m]

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Układ sił (ciało w ruchu)
Q

—

ciężar tarczy,

g

m

Q 

N

—

nacisk

podłoża na krążek (reakcja podłoża)

P

—

siła pozioma przyłożona do krążka w punkcie O

H

— składowa pozioma reakcji podłoża

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Układ sił (ciało w ruchu)

P

H

H

P

P

ix











0

:

0

Σ

Q

N

N

Q

P

iy













0

:

0

Σ

r

f

Q

r

f

N

H

r

H

f

N

M

i

















0

:

0

Σ

O

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Warunek toczenia

N

μ

H 

W przeciwnym przypadku nastąpi poślizg krążka

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie toczne (opór toczenia)

Po przekroczeniu równowagi granicznej następuje toczenie się krążka
w kierunku działania siły P.
Siłę

gr

P

P 

wyznaczamy w każdym zadaniu oddzielnie

r

f

N

H

P





gr

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Rozważmy nieruchomy krążek.

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Przez krążek przełożono (lub owinięto) cięgno (pas, lina),
element wiotki przenoszący

tylko

siłę rozciągającą

— zakładamy, że cięgno jest

nieodkształcalne

— cięgno przełożone przez krążek przyjmuje kształt krążka

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Przez krążek przełożono (lub owinięto) cięgno (pas, lina),
element wiotki przenoszący

tylko

siłę rozciągającą

— zakładamy, że cięgno jest

nieodkształcalne

— cięgno przełożone przez krążek przyjmuje kształt krążka
— krążek zmienia kierunek siły przenoszonej przez cięgno

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Pomiędzy cięgnem a powierzchnią krążka występuje tarcie

μ — współczynnik tarcia ślizgowego (rozwiniętego) cięgna o krążek



— kąt opasania [rad]

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Naciągi lin po obu stronach krążka są

różne

.

R

P



siła bierna  siła czynna

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

Naciągi lin po obu stronach krążka są

różne

.

R

P 

siła czynna  siła bierna

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)



μ

P

R



 e

e

P

R





Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

e

P

R





e

R

P







Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

W przypadku cięgna przerzuconego przez krążek, który może się
obracać, siły po obu stronach są

jednakowe

.

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie cięgna o krążek (tarcie opasania)

W przypadku cięgna przerzuconego przez krążek, który może się
obracać, siły po obu stronach są

jednakowe

.

Krążek obraca się, dzięki sile tarcia wywiązującej się na styku

cięgno – krążek

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

Wyznaczyć wartości ciężaru krążka

min

G

i

max

G

w punktach

równowagi granicznej.

Dane:

Q

,

R

,

R

f

05

,

0



,

5

,

0



μ

,

2

,

0

1



μ

,

5

3

sin



β

,

5

4

cos



β

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

Wyznaczmy graniczną wartości ciężaru krążka

min

G

.

Bloczek o ciężarze Q zsuwa się w dół, natomiast krążek
porusza się do góry

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

:

0

Σ



ix

P

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

:

0

Σ



iy

P

0

cos

1





β

G

N

(2)

:

0

Σ

O



i

M

0

2

1

1













R

H

R

S

f

N

(3)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

1

2

S

S 



1

e

2

1

μ

S

S





(4)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

:

0

Σ



ix

P

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

:

0

Σ



iy

P

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

R

S

f

N

(3)



1

e

2

1

μ

S

S





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

z (2):

β

G

N

cos

1



(8)

(8) do (3):

0

2

cos

1







H

S

β

R

f

G

(9)

(1) + (9) =





















sin

cos

3 R

f

G

H

(10)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

R

S

f

N

(3)



1

e

2

1

μ

S

S





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

(10) do (9):



























cos

sin

2

3

sin

1

R

f

G

H

G

S

(11)

z (6):

β

Q

N

sin

2



(12)

(12) do (7):

β

Q

μ

T

sin



(13)

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

R

S

f

N

(3)



1

e

2

1

μ

S

S





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

(13) do (5):

)

sin

(cos

2

β

μ

β

Q

S





(14)

(11) i (14) do (4):



1

e

)

sin

(cos

cos

sin

2

3

μ

β

μ

β

Q

β

R

f

β

G





















Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład



1

e

cos

sin

2

sin

cos

3

min

μ

Q

β

R

f

β

β

μ

β

G

G











po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Q

Q

R

R

G

π

8836

,

0

e

5

4

05

,

0

5

3

2

5

3

5

,

0

5

4

3

2

2

,

0

min





































Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

Analogicznie wyznaczamy graniczną wartości ciężaru krążka

max

G

.

Bloczek o ciężarze Q porusza się do góry, natomiast krążek
stacza się w dół

Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład



1

e

cos

sin

2

sin

cos

3

max

μ

Q

β

R

f

β

β

μ

β

G

G









po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Q

Q

R

R

G

π

8949

,

3

e

5

4

05

,

0

5

3

2

5

3

5

,

0

5

4

3

2

2

,

0

max



































Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

układ będzie pozostawał w równowadze, jeśli spełnione będzie

Q

G

Q

8949

,

3

8836

,

0





Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

układ będzie poruszał się „w prawo”, jeśli spełnione będzie

Q

G

8836

,

0



Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Tarcie — przykład

układ będzie poruszał się „w lewo”, jeśli spełnione będzie

Q

G

8949

,

3



Tarcie w układach płaskich.

mechanika techniczna | statyka

4

Bibliografia

Klasztorny M., Niezgoda T., Mechanika ogólna. Podstawy teoretyczne,
zadania z rozwiązaniami, OW PW, Warszawa 2006.
Klasztorny M., Mechanika ogólna, DWE, Wrocław 2005.