











+

=













−

=













−

=

=

3

2

t

sin

E

3

4

t

sin

E

e

3

2

t

sin

E

e

t

sin

E

e

mW

mW

W

mV

V

mU

U

π

ω

π

ω

π

ω

ω

1.

 

Część teoretyczna 

 
1.1.  Rodzaje  połączeń  źródeł  energii  i  odbiorników  w  układach  trójfazowych.  Związki 

między napięciami i prądami. 

Podstawowe  rodzaje  połączeń  źródeł  energii  i  odbiorników  w  układach  trójfazowych  to 

gwiazda  i  trójkąt.  Źródła  i  odbiorniki  mogą  być  kojarzone  w  układy  gwiazda-gwiazda,  gwiazda-

trójkąt, trójkąt-trójkąt i trójkąt-gwiazda. 

 W  układach  trójfazowych  występują  siły  elektromotoryczne,  napięcia  i  prądy  w 

poszczególnych  fazach,  zwane  wielkościami  fazowymi,  a  także  siły  elektromotoryczne  i  napięcia 

przewodowe  (międzyfazowe)  oraz  prądy  przewodowe,  płynące  w  przewodach  łączących  źródło  z 

odbiornikiem. W układach symetrycznych napięcia i prądy w poszczególnych fazach przesunięte są 

względem siebie o kąt elektryczny 120

0

. 

 

 

 

(1.1) 

 

 

 

Dla odbiornika trójfazowego, którego elementy połączone są w gwiazdę: 

 

                                                                                   

(1.2)           

 
 

 

Dla odbiornika trójfazowego, którego elementy połączone są w trójkąt: 

 

                                                                                   

(1.3)           

 
 

gdzie:  U

p

  -  napięcie  przewodowe  lub  międzyfazowe  (napięcie  pomiędzy  przewodami  należącymi 

do dwóch różnych faz) 

I

p

  -  prąd  przewodowy  (prąd  płynący  przez  przewód  fazowy,  łączący  źródło  zasilania  z 

odbiornikiem)    

U

f

 - napięcie fazowe (napięcie na odbiorniku jednej fazy) 

I

f 

 - prąd fazowy (prąd płynący przez odbiornik jednej fazy)       

f

p

f

p

I

I

U

3

U

=

⋅

=

f

p

f

p

I

3

I

U

U

⋅

=

=

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys.1.1. Schemat połączenia trzech źródeł energii w gwiazdę i w trójkąt 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys.1.2. Schemat układu trójfazowego gwiazda-gwiazda z zaznaczonymi napięciami i prądami 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

Rys.1.3. Schemat układu trójfazowego gwiazda-gwiazda (z przewodem neutralnym)  

z zaznaczonymi napięciami i prądami 

 

3

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 

 

Rys.1.4. Schemat układu trójfazowego gwiazda-trójkąt z zaznaczonymi napięciami i prądami 

 

 

1.2. Pomiar i obliczanie mocy w obwodach trójfazowych 

Na rys. 1.5 przedstawione są układy do pomiaru mocy czynnej. Na rys. 1.5 a przedstawiony jest 

układ  do  pomiaru  mocy  czynnej  w  układzie  symetrycznym  czteroprzewodowym,  a  na  rys.  1.5  b 

układ do pomiaru mocy czynnej w układzie symetrycznym trójprzewodowym. Moc wyznaczana w 

tych układach wynosi: 

w

P

3

P

⋅

=

                                                          (1.4) 

gdzie: P

w

- wskazanie watomierza 

 

Układ  przedstawiony  na  rys.  1.5c  (tzw.  układ  Arona)  służy  do  pomiaru  mocy  czynnej  w 

układzie trójprzewodowym symetrycznym lub niesymetrycznym. Moc odbiornika wynosi: 

2

1

P

P

P

+

=

                                                        (1.5) 

gdzie: P

1

, P

2

 - wskazania watomierzy 

 

 

W układzie niesymetrycznym czteroprzewodowym (rys. 1.5 d) moc wynosi: 

 

3

2

1

P

P

P

P

+

+

=

                                            (1.6) 

 
gdzie: 

P

1

, P

2

, P

3

 - 

wskazania watomierzy 

 

 

 

4

 

 

Rys.1.5. Schematy układów do pomiaru mocy czynnej w obwodach trójfazowych 

czteroprzewodowych i trójprzewodowych 

 
 
 

Odbiornik  trójfazowy  w  obwodzie  prądu  zmiennego  pobiera  moc  czynną  oraz  bierną.  Moc 

całkowita (pozorna) odbiornika jest sumą geometryczną mocy czynnej oraz biernej i  dla odbiornika 

symetrycznego wynosi: 

 

(1.7) 

 

 

Moc pozorną odbiornika można także obliczyć z równoważnej zależności: 

 

(1.8) 

 

(

) (

)

f

f

2

f

f

2

f

f

2

2

I

U

3

sin

I

U

3

cos

I

U

3

Q

P

S

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

+

=

ϕ

ϕ

(

) (

)

p

p

2

p

p

2

p

p

2

2

I

U

3

sin

I

U

3

cos

I

U

3

Q

P

S

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

+

=

ϕ

ϕ