Całki nieoznaczone
mgr Zofia Makara
21 maja 2004
1
Całki nieoznaczone - wprowadzenie
Całką nieoznaczoną (niokerśloną) funkcji f :
Z
f (x)dx
nazywa się rodzinę funkcji różniących się o stałą, zatem:
Z
f (x)dx = F (x) + C,
C ∈ R.
F (x) jest funkcją pierwotną, zaś C jest dowolną stałą, takimi, że:
(F (x) + C)
0
= F
0
(x) + C
0
= F
0
(x) = f (x).
1.1
Podstawowe wzory
1.
Z
x
α
dx =
1
α + 1
· x
α+1
+ C;
Uwaga. Dziedzina funkcji zależy od α - dla α ∈ N , x > 0, zaś dla
α ∈ W − {−1}, x 6= 0.
2.
Z
1
x
dx = ln |x| + C,
gdzie x 6= 0;
3.
Z
e
x
dx = e
x
+ C;
4.
Z
a
x
dx =
Z
e
ln a
x
dx =
Z
e
x ln a
dx =
a
x
ln a
+ C,
gdzie a ∈ R
+
− {1};
1
5.
Z
cos xdx = sin x + C;
6.
Z
sin xdx = − cos x + C;
7.
Z
1
cos
2
x
dx = tg x + C,
gdzie cos x 6= 0;
8.
Z
1
sin
2
x
dx = − ctg x + C,
gdzie sin x 6= 0;
9.
Z
1
√
1 − x
2
dx = arc sin x + C,
gdzie x ∈ (−1, 1);
10.
Z
1
1 + x
2
dx = arc tg x + C;
gdzie C ∈ R.
2
Własności całek
1. Własność addytywności funkcji podcałkowych:
Z
f (x) + g(x)dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx;
2. Wyciąganie stałej przed znak całki:
Z
αf (x)dx = α
Z
f (x)dx;
3. Całkowanie przez części:
Z
f (x) · g
0
(x)dx = g(x) · f (x) −
Z
f
0
(x) · g(x)dx;
4. Całkowanie przez podstawainie:
Z
f (g(x)) · g
0
(x)dx =
Z
f (g(x))d[g(x)],
co można również zapisać, podstawiając pod t = g(x), jako:
Z
f (t)dt;
2
