Ekonomia matematyczna
semestr letni, 2010/2011
Materiały dodatkowe 2 – Warunkowe ekstrema funkcji
grupy 441, 451, 452, 481
1
METODA MNOŻNIKA LAGRANGE’A
Dana jest funkcja f
określona na płaszczyźnie oraz pewien zbiór A opisany za pomocą równania
( )
,
.
g x y
c
=
M
ożemy postawić pytanie: jak znaleźć ekstrema funkcji f kiedy funkcję rozpatrujemy tylko w zbiorze A ?
Służy temu metoda mnożnika Lagrange'a.
Definiujemy
funkcję Lagrange'a:
(
)
( )
( )
(
)
, ,
,
,
.
L
x y
f x y
c
g x y
λ
λ
=
+
−
Możemy tę funkcję traktować jako funkcję trzech zmiennych: , x
λ
oraz .
y
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w zbiorze A jest:
0
0.
0
L
L
x
L
y
λ
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
Podobnie jak w przypadku ekstremum lokalnego (bezwarunkowego) funkcji trzech zmiennych tworzymy hessjan
funkcji L :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
L
L
L
x
y
L
L
L
H
x
x
x y
L
L
L
y
y x
y
λ
λ
λ
λ
λ
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
który
możemy zapisać w postaci:
2
2
2
2
2
2
.
0
g
g
x
y
g
L
L
H
x
x
x y
g
L
L
y
y x
y
∂
∂
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ ∂
∂
Macierz H nazywamy
hessjanem obrzeżonym.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum mówi, że:
a)
jeżeli
0
H
> , to
( )
,
f x y
osiąga maksimum warunkowe,
b)
jeżeli
0
H
< , to
( )
,
f x y
osiąga minimum warunkowe.
Ekonomia matematyczna
semestr letni, 2010/2011
Materiały dodatkowe 2 – Warunkowe ekstrema funkcji
grupy 441, 451, 452, 481
2
Przykład.
Wyznacz maksimum funkcji
( )
,
2
f x y
xy
x
=
+
przy warunku 4
2
60.
x
y
+
=
Najpierw zapiszemy
funkcję Lagrange'a postaci:
(
)
(
)
, ,
2
60
4
2
.
L
x y
xy
x
x
y
λ
λ
=
+
+
−
−
Poszukujemy teraz
punktów spełniających warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego, czyli:
(
)
(
)
(
)
, ,
0
60
4
2
0
4
, ,
0
2
4
0
8
2
0
14
, ,
.
0
L
x y
x
y
L
x y
y
x
x
x
y
L
x y
y
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
⇔
⇔
∂
=
∂
−
−
=
=
∂
=
+ −
=
=
∂
−
=
=
∂
=
∂
Następnie wyznaczymy macierz drugich pochodnych funkcji
(
)
, ,
L
x y
λ
:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
4
2
4
0
1
2
1
0
L
L
x
y
L
L
L
H
x
x
x y
L
L
L
y
y x
L
y
λ
λ
λ
λ
λ
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
−
−
∂
∂
∂
=
= −
∂ ∂
∂
∂ ∂
−
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
Możemy teraz zbadać warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego, czyli:
(
)
(
)
0
4
2
, ,
4, 8, 14
4
0
1
16
0
2
1
0
H
x y
H
λ
−
−
=
= −
=
>
−
Zatem w punkcie
(
)
(
)
, ,
4, 8, 14
x y
λ
=
funkcja L ma maksimum. Czyli
(
)
max
4, 8, 14
128,
L
=
co j
ednocześnie
stanowi maksimum funkcji f
przy nałożonym warunku.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
FUNKCJONOWANIE ORGANIZMU CZŁOWIEKA W WARUNKACH EKSTREMALNYCH
5 ekstrema funkcji id 40709 Nieznany (2)
4 5 Ekstrema funkcji dwoch zmiennych
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Zestaw 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu Asymptoty
05 Rozdział 03 Wzór Taylora i ekstrema funkcji
Ekstrema funkcji, Analiza matematyczna
Pochodna i ekstrema funkcji, Analiza matematyczna
Ekstrema i funkcja uwikłana
Ekstremum funkcji Zadanie dom Zadanie domowe id 683497
ekstrema funkcji
Llista 4 Ekstremum funkcji wielu zmiennych
Ekstremum funkcji Zadanie dom Rozwiazanie zadania domowego id
CZYNNIKI WARUNKUJĄCE PRAWIDŁOWE FUNKCJONOWANIE DZIECKA AUTYSTYCZNEGO W SZKOLE INTEGRACYJNEJ
AM23 w08 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Ekstrema funkcji kwadratowej
Sciaga19 Ekstrema-funkcji-uwiklanej-jednej-zmiennej, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ś
Ekstremum funkcji
więcej podobnych podstron