Ekonomia matematyczna
semestr letni, 2010/2011
Materiały dodatkowe 2 – Warunkowe ekstrema funkcji
grupy 441, 451, 452, 481
1
METODA MNOŻNIKA LAGRANGE’A
Dana jest funkcja f
określona na płaszczyźnie oraz pewien zbiór A opisany za pomocą równania
( )
,
.
g x y
c
=
M
ożemy postawić pytanie: jak znaleźć ekstrema funkcji f kiedy funkcję rozpatrujemy tylko w zbiorze A ?
Służy temu metoda mnożnika Lagrange'a.
Definiujemy
funkcję Lagrange'a:
(
)
( )
( )
(
)
, ,
,
,
.
L
x y
f x y
c
g x y
λ
λ
=
+
−
Możemy tę funkcję traktować jako funkcję trzech zmiennych: , x
λ
oraz .
y
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w zbiorze A jest:
0
0.
0
L
L
x
L
y
λ
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
Podobnie jak w przypadku ekstremum lokalnego (bezwarunkowego) funkcji trzech zmiennych tworzymy hessjan
funkcji L :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
L
L
L
x
y
L
L
L
H
x
x
x y
L
L
L
y
y x
y
λ
λ
λ
λ
λ
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
który
możemy zapisać w postaci:
2
2
2
2
2
2
.
0
g
g
x
y
g
L
L
H
x
x
x y
g
L
L
y
y x
y
∂
∂
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ ∂
∂
Macierz H nazywamy
hessjanem obrzeżonym.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum mówi, że:
a)
jeżeli
0
H
> , to
( )
,
f x y
osiąga maksimum warunkowe,
b)
jeżeli
0
H
< , to
( )
,
f x y
osiąga minimum warunkowe.
