Zadania z oryginalną numeracją pochodzą z Informatora o egzaminie maturalnym od 2010 roku z
matematyki (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) – Zbiór przykładowych zadań maturalnych.

Tydzień 2.

Możesz sprawdzić każdą z podanych liczb

Podobnie będzie z liczbą

, otrzymamy wynik ujemny, czyli różny od .

Analogicznie, ponieważ liczba jest liczbą mniejszą od 1, licznik będzie liczba ujemną a mianownik

dodatnią stąd wartość wyrażenia jest liczbą ujemną czyli różną od .
Ponieważ w każdym zadaniu tylko jedna odpowiedź jest poprawna stąd wynika, że należy wybrać odp. D

lub rozwiązać równanie

odp. D

Znów możesz sprawdzić, które z liczb spełniają równanie i wybrać mniejszą
(–6)

2

+ 5 (–6) + 6 = 36 – 30 + 6 = 12 0

(–3)

2

+ 5 (–3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0

(–2)

2

+ 5 (–2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

Nie sprawdzam trzeciej, ponieważ równanie ma tylko dwa rozwiązania i oba zostały znalezione. Stąd
mniejsza z nich to (–3).

lub rozwiązać równanie kwadratowe, przy jego rozwiązywaniu możesz skorzystać z

tablic

matematycznych (Funkcja kwadratowa).

Odp. B

W tym miejscu należy przypomnieć definicję miejsca zerowego funkcji – jest to argument x dla którego
wartość funkcji f(x) jest równa 0.
Skoro 1 jest miejscem zerowym funkcji to f(1) = 0. Zatem do wzoru funkcji musimy podstawić za x
liczbę 1.
(2 – m) 1 + 1 = 0 otrzymaliśmy proste równanie, którego rozwiązaniem jest m = 3

Możemy również sprawdzić kolejne odpowiedzi.

Odp. D

Korzystając z definicji miejsca zerowego należy rozwiązać dwa równania i sprawdzić czy ich
rozwiązania spełniają warunek dla zmiennej x.
–3x + 4 = 0
–3x = –4

x = > 1 zatem liczba nie jest miejscem zerowym

2x – 1 = 0
2x = 1

x = liczba ta nie spełnia warunku

zatem nie jest miejscem zerowym tej funkcji.

Podsumowując funkcja ta nie posiada miejsc zerowych.

Odp. A

Przy tego rodzaju zadaniach warto pamiętać jakim przekształceniom mogą podlegać wykresy funkcji.
Jeśli dany jest wykres funkcji y = f(x), to wykres funkcji y = f(x – a) + b powstaje przez przesunięcie
danego wykresu o wektor [a,b].
W przepadku tego zadania wykres funkcji y = f(x) należy przesunąć o wektor [–1,0], co oznacza
przesunięcie w lewo o jedną jednostkę.

Można również sprawdzić wartość „nowej” funkcji dla wybranego argumentu. W tym przypadku
„dobrym” do sprawdzania argumentem jest np. x = 1, ponieważ, w każdym przypadku, odpowiada mu
inna wartość.
W przypadku A. f(1) = 2

B. f(1) = 3,5

C. f(1) = 1,5

D. f(1) = 3

Zatem sprawdzamy f(x + 1) dla x = 1, f(1 + 1) = f(2) = 3 (odczytujemy z wykresu funkcji y = f(x)).

Odp. D

Najpierw musisz znaleźć miejsca zerowe funkcji y = x

2

+ 6x – 7

Teraz musisz naszkicować wykres, pamiętając o kierunku ramion paraboli. W tym przypadku
współczynnik a jest równy 1, czyli dodatni zatem ramiona paraboli są skierowane do góry.







Teraz pozostaje już tylko odczytać rozwiązanie nierówności.

Rozwiązując równania, których jedną ze stron jest wielomian musisz zamienić sumę algebraiczną na
iloczyn czynników najniższego stopnia (jeśli to tylko możliwe na czynniki liniowe). Są różne sposoby,
którymi to zrobisz np. stosowanie wzorów skróconego mnożenia, wyłączając wspólny czynnik przed
nawias lub grupując wyrazy. W tym przypadku zastosujemy grupowanie wyrazów i wyłączanie
wspólnego czynnika przed nawias.
Z dwóch pierwszych wyrazów wyłączymy x

2

przed nawias, a z dwóch ostatnich –3.

Ponieważ wyrażenie 2x – 1 powtarza się wyłączymy go znów przed nawias.

Drugi czynnik możemy rozłożyć na czynniki liniowe korzystają ze wzorów skróconego mnożenia (

tablice

matematyczne).

Teraz rozwiązujemy trzy równania liniowe

Równanie posiada trzy rozwiązania:

Własności funkcji kwadratowej wynika, że wykresem danej funkcji jest parabola o ramionach
skierowanych do góry (współczynnik a = 1). Sprawdzamy najpierw czy pierwsza współrzędna
wierzchołka należy do podanego przedziału.

–

•

1

•

–7

+

+

Ponieważ pierwsza współrzędna wierzchołka nie należy do danego przedziału sprawdzamy wartości tej
funkcji na krańcach tego przedziału.

Najmniejsza wartość funkcji w tym przedziale jest równa (–4).

Dowód może wyglądać np. tak.
Obie strony nierówności są liczbami dodatnimi, mogę więc ponieść obie strony nierówności do potęgi
drugiej nie zmieniając znaku nierówności.

Ponieważ znów obie strony nierówności są liczbami dodatnimi, powtarzamy podnoszenie do kwadratu.

Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa wnioskujemy, że pierwsza również, a to należało
udowodnić.