Uniwersytet Warszawski
Wydział Fizyki
Instytut Fizyki Teoretycznej
Wst˛ep do supersymetrii
Notatki do wykładu
Zygmunt Lalak
DRAFT 1
Warszawa 2005
Rozdział
1
Wprowadzenie
Supersymetria jest maksymalnym (je´sli pomin ˛
a´c przekształcenia skalowania) rozsz-
erzeniem algebry Poincare w czterech wymiarach czasoprzestrzennych. Reprezen-
tacje supersymetrii zawieraj ˛
a zarówno bozony jak i fermiony, poniewa˙z generatory
supersymetrii transformuj ˛
a si˛e jak fermiony wzgl˛edem algebry Lorentza. Zjawisko
to nasuwa natychmiast my´sl o u˙zyciu supersymetrii jako symetrii unifikuj ˛
acej bo-
zony i fermiony. Współczesna teoria oddziaływa´n elementarnych rzeczywi´scie ko-
rzysta z tej mo˙zliwo´sci. Jednak˙ze supersymetryczna unifikacja cz ˛
astek o ró˙znych
spinach jest tylko cz˛e´sciowa. Supersymetria nie mo˙ze by´c bowiem dokładn ˛
a, nien-
aruszon ˛
a, symetri ˛
a przyrody, gdy˙z przewiduje dla ka˙zdej cz ˛
astki istnienie part-
nera o innym spinie, ale dokładnie takiej samej masie. Na przykład, powinni´smy
widzie´c w do´swiadczeniach akceleratorowych skalarne elektrony o takiej samej
masie jak zwykłe elektrony – jest to przewidywanie niezgodne z do´swiadcze-
niem. Supersymetria traktuje równorz˛ednie bozony i fermiony, nie sugeruj ˛
ac, który
rodzaj cz ˛
astek mo˙ze by´c bardziej podstawowym składnikiem materii. W szczegól-
no´sci, wła´snie supersymetria w równie fundamentalny sposób traktuje chiralne
fermiony jak i cz ˛
astki o spinie zero - skalary. Jest to ciekawe o tyle, ˙ze z jednej
strony nie odkryto jak dot ˛
ad ani w laboratoriach ani w kosmosie ˙zadnych elemen-
tarnych skalarów, a z drugiej strony współczesna fizyka potrzebuje skalarów do
wyja´snienia struktury fizycznej pró˙zni (efekt Higgsa i cz ˛
astki Higgsa). W teoriach
rozszerzaj ˛
acych Model Standardowy, zwłaszcza w teoriach u˙zywaj ˛
acych wiekszej
ni˙z cztery liczby wymiarów czasoprzestrzennych, oprócz pól Higgsa wyst˛epuj ˛
a
licznie dodatkowe fundamentalne skalary, które determinuj ˛
a struktur˛e fizycznej
pró˙zni - tak zwane pola modułów. Wyja´snienie sposobu w jaki jest ustalana warto´s´c
oczekiwana pól modułów (dylatonu, radionu i temu podobnych pól) jest obecnie
kluczowym, a ci ˛
agle nierozwi ˛
azanym, problemem supersymetrycznych teorii pola
unifikuj ˛
acych oddziaływania fundamentalne.
Pot˛ega supersymetrii widoczna jest w całej pełni na poziomie supersymetry-
cznych kwantowych teorii pola. Supersymetria dostarcza naturalnego technicznie
i obfituj ˛
acego w fizyczne implikacje sposobu kontrolowania hierarchii skal ma-
3
Wprowadzenie
sowych w czterowymiarowych teoriach pola, skutecznego we wszystkich rz˛edach
rachunku zaburze´n. Jednak˙ze, supersymetria musi zosta´c naruszona przy niskich
energiach, aby odtworzy´c obserwowaln ˛
a fenomenologi˛e. Najbardziej ekonomicznym
sposobem naruszenia supersymetrii jest sprz˛egni˛ecie, w sposób lokalnie super-
symetryczny, Lagrangianu zawieraj ˛
acego pola cechowania i materi˛e do grawitacji i
naruszenie lokalnej supersymetrii spontanicznie. Po pierwsze, w ten sposób unika
si˛e wprowadzenia do spektrum dodatkowego bezmasowego fermionu – Goldstino
staje si˛e skladow ˛
a o skr˛etno´sci 1/2 masywnego grawitina – cz ˛
astki o spinie 3/2.
Po drugie, słabe sprz˛e˙zenia grawitacyjne zapewniaj ˛
a naturalne stłumienie efektów
komunikowania naruszenia supersymetrii do sektora obserwowalnego. W granicy
płaskiej czasoprzestrzeni ta procedura prowadzi do globalnie supersymetrycznego
Lagran˙zjanu z jawnie ale mi˛ekko naruszon ˛
a supersymetri ˛
a.
Z drugiej strony, w teoriach zdefiniowanych w czasoprzestrzeniach o wy˙zszym
ni˙z cztery wymiarze, np w teoriach superstrun lub w teoriach supergrawitacji, ist-
nieje wiele pól, zarówno bozonowych jak i fermionowych, które nie s ˛
a naładowane
wzgl˛edem grupy symetrii cechowania i tworz ˛
a płaskie b ˛
ad´z ‘uciekaj ˛
ace’ kierunki
w przestrzeni pól. Te pola zwane polami modułów s ˛
a naogół zwi ˛
azane z wy˙zej-
wymiarowymi składowymi metryki, polami tensorów antysymetrycznych i wy˙zej-
wymirowymi składowymi grawitin. Po kompaktyfikacji takie pola mog ˛
a dawa´c
wkład (i naogól daj ˛
a) do efektywnej stałej kosmologicznej w czterech wymiarach,
poprzez swoje potencjały i gradienty wzdłu˙z skompaktyfikowanych wymiarów.
Zatem naprawd˛e przekonuj ˛
acy i pomy´slny mo˙ze by´c tylko taki scenariusz narusze-
nia supersymetrii, który nie tylko przewiduje rozszczepienie mas rz˛edu 1TeV w ob-
serwowalnych multipletach supersymetrycznych, ale tak˙ze przewiduje równoczesn ˛
a
stabilizacj˛e modułów i blisk ˛
a zeru stał ˛
a kosmologiczn ˛
a.
Po˙zód licznych propozycji zmierzaj ˛
acych do realizacji takiego scemariusza
szczególn ˛
a prostot ˛
a odznacza si˛e pomysł u˙zycia dwu lub wi˛ecej kondensatów fer-
mionowych partnerów nieabelowych bozonów cechowania (kondensatów gaugin),
tzn. modeli typu race-track. Z technicznego punktu widzenia dynamiczne formowanie
si˛e takich kondensatów prowadzi do powstania superpotencjału, który zale˙zy ek-
sponencjalnie od modułów wyst˛epuj ˛
acych w funkcjach kinetycznych kondensu-
j ˛
acych grup cechowania. Jak pokazano w ci ˛
agu ostatnich lat, takie eksponenc-
jalne wkłdy do superpotencjału powstawa´c mog ˛
a nie tylko z powodu silnie odd-
ziałuj ˛
acych sektorów grup cechowania, ale tak˙ze z powodu nietrywialnych czyn-
ników skrzywienia (czynników warpowania) wzdłu˙z dodatkowych wymiarów lub
z powodu tła w postaci rozwi ˛
aza´n branowych w wy˙zej-wymiarowych supergraw-
itacjach i teoriach strun.
1.0.1
Dlaczego supersymetria?
Podsumujmy najwa˙zniejsze argumenty przemawiaj ˛
ace za supersymetri ˛
a.
•
Rozwa˙zmy energi˛e pró˙zni dla zespołu pól swobodnych o masach m
j
i spinach
4
j:
E
j
∝
(−1)
2 j
(2 j + 1)
R
d
3
p
q
p
2
+ m
2
j
=
= (−1)
2 j
(2 j + 1)
R
d
3
p|p|(1 +
m
2
j
2p
2
+ O(p
−4
)).
(1.1)
Znikanie kwartycznych i kwadratowych rozbie˙zno´sci w tym wyra˙zeniu mo˙zna
zapewni´c jesłi w zespole b˛edzie tyle samo stopni swobody o spinie całkow-
itym co stopni swobody o spinie połówkowym i masy tych pól b˛ed ˛
a (parami
bozon – fermion) jednakowe.
•
Supersymetria wyja´snia (w sensie technicznym) dlaczego masy skalarów
(np cz ˛
astki Higgsa) mog ˛
a pozostawa´c o wiele rz˛edów wielko´sci mniejsze
ni˙z skala Plancka w obecno´sci poprawek kwantowych. Co prawda masy
skalarów nie s ˛
a chronione przez jak ˛
akolwiek symetri˛e wewn˛etrzn ˛
a (wyj ˛
atkiem
s ˛
a bozony Goldstona), ale masy fermionów i bozonów wektoroch tak: te
pierwsze przez symetrie chiralne za´s te drugie przez symetrie cechowania.
Poniewa˙z supersymetria supersymetria kojarzy w jednym multiplecie skalary
i fermiony (a takze skalary i bozony wektorowe w rozszerzonych teoriach
supersymetrycznych), to tym samym ‘rozszerza’na sektor skalarny efekty
symetrii chiralnych i symetrii cechowania.
•
Inna wa˙zna motywacja, która w praktyce doprowadziła do skonstruowa-
nia i rozwoju teorii supersymetrycznych jest natury teoretycznej. Chodzi o
próby zunifikowania symetrii wewn˛etrznych układów fizycznych z symetri ˛
a
Poincare. W latach 60-tych XXgo wieku wiele wysiłku wło˙zono na przykład
w próby zbudowania jednolitycgo opisu oddziaływa´n silnych, w których
uczestnicz ˛
a zarówno cz ˛
aski fermionowe – hadrony, jak i bozonowe – mezony,
oparte o umieszczanie w tej samej reprezentacji pewnej grupy zawieraj ˛
acej
SU (3) zapachu – na przykład SU (6), zarówno hadronów jak i mezonów.
Oczywi´scie, przekształcenia grupy SU (6) mieszały ze sob ˛
a fermionowe i
bozonowe stopnie swobody. Próby te podsumowane zostały pod koniec lat
60tych kilkoma twierdzeniami ‘no-go’, w szczególno´sci twierdzeniem Cole-
mana-Manduli, które orzekało, ˙ze ka˙zda nietrywialna ci ˛
agła symetria macierzy
rozpraszania musi byc co najwy˙zej iloczynem prostym symetrii wewn˛etrznej
i symetrii Poincare. Dowód twierdzenia CW oparty był na zało˙zeniu, ˙ze gen-
eratory rozpatrywanej symetrii macierzy rozpraszania spełniaj ˛
a pewn ˛
a alge-
br˛e komutatorów.
•
Ostatnio supersymetria stała si˛e wa˙znym narz˛edziem teoretycznym anali-
zowania silnie sprz˛e˙zonych nieabelowych teorii Yanga-Millsa. W szczegól-
no´sci, dzieki supersymetrii udało si˛e zrealizowa´c przykład dualno´sci elek-
tromagnetycznej.
•
Sypersymetria czasoprzestrzenna zdaje si˛e by´c przewidywaniem konsystent-
nych teorii strun, które unifikuj ˛
a na poziomie kwantowym wszystkie znane
oddziaływania, ł ˛
acznie z grawitacj ˛
a.
5
Wprowadzenie
•
Niskoenergetyczna supersymetria, nawet złamana, poprawia znacz ˛
aco zbie-
ganie si˛e stałych sprz˛e˙zenia w ekstrapolacjach Modelu Standardowego powy˙zej
energii 1 TeV.
•
Niskoenergetyczna supersymetria dostarcza kandydatów do roli zimnej ciem-
nej materii we Wszech´swiecie, która umo˙zliwia tworzenie si˛e struktur wielko-
skalowych.
Supersymetria, globalna i lokalna, była przedmiotem intensywnych bada´n teo-
retycznych przez ostatnie 30 lat i jest w tej chwili unikaln ˛
a teori ˛
a pozwalaj ˛
ac ˛
a
uporz ˛
adkowa´c próby rozszerzania Modelu Standardowego do wy˙zszych energii i
unifikowania go z grawitacj ˛
a. Co wi˛ecej, nowe eksperymenty w dziedzinie fizyki
wielkich energii przygotowywane s ˛
a w taki sposób, ˙zeby po´srednio lub bezpo´sred-
nio zaobserwowa´c lekkich partnerów supersymetrycznych znanych cz ˛
astek. Testo-
wanie hipotezy o istnieniu niskoenergetycznej supersymetrii b˛edzie z pewno´sci ˛
a
jednym z głównych motywów fizyki oddziaływa´n fundamentalncyh w najbli˙zszym
dziesi˛ecioleciu.
Zebrane tutaj notatki s ˛
a prób ˛
a zwi˛ezłego podsumowania technicznych podstaw
teorii supersymetrycznych. Nie pretenduj ˛
a do oryginalno´sci i kompletno´sci, b˛ed ˛
a
w miar˛e regularnie poprawiane i uzupełniane. Pierwsza wersja tych notatek pow-
stała przy współpracy doktora Rafała Ciesielskiego.
6
Rozdział
2
Supersymetria
Szczegółowy opis konstrukcji algebry superymetrii zawiera podr˛ecznik Wessa i
Baggera [
], przedstawimy tylko zarys tej konstrukcji. Zacznijmy od wprowadzenia
algebry supersymetrii:
{Q
α
, ¯
Q
˙
β
} = 2
σ
α
˙
β
m
P
m
(2.1)
{Q
α
, Q
β
} = { ¯
Q
˙
α
, ¯
Q
˙
β
} = 0
[P
m
, Q
α
] = [P
m
, ¯
Q
˙
α
] = 0
[P
m
, P
n
] = 0
[Q
α
, M
µ,
ν
] =
1
2
i(
σ
µ
ν
)
β
α
Q
β
gdzie { , } oznacza antykomutator, Q
α
oraz ¯
Q
˙
β
s ˛
a ładunkami supersymetrycznymi,
P
m
jest operatorem czterop˛edu, za´s M
µ,
ν
s ˛
a generatorami bustów i obrotów (bli˙zsze
informacje na temat formalizmu spinorów Weyla zawiera
). Ostatni komutator
generatorów supersymetrii z generatorami obrotów pokazuj˛e, ˙ze generatory Q
α
transformuj ˛
a si˛e jak lewe spinory dwuskładnikowe, a operatory do nich sprz˛e˙zone
jak spinory prawe.
Aby sformułowa´c supersymetryczn ˛
a teori˛e pola, musimy znale´z´c reprezentacj˛e
algebry SUSY, wzór (
), w przestrzeni pól nieograniczonych ˙zadnymi warunk-
ami, (poza powłok ˛
a masy). Aby tego dokona´c definiujemy antykomutuj ˛
ace spinorowe
parametry
ξ
α
, ¯
ξ
˙
α
, spełniaj ˛
ace warunki:
{
ξ
α
,
ξ
β
} = {
ξ
α
, Q
β
} = . . . = [P
m
,
ξ
α
] = 0
(2.2)
U˙zywaj ˛
ac tych zmiennych mo˙zemy zapisa´c algebr˛e supersymetrii w nast˛epuj ˛
acy
sposób:
[
ξ
Q, ¯
ξ
¯
Q]
= 2
ξσ
m
¯
ξ
P
m
(2.3)
[
ξ
Q,
ξ
Q]
= [¯
ξ
¯
Q, ¯
ξ
¯
Q] = 0
[P
m
,
ξ
Q]
= [P
m
, ¯
ξ
¯
Q] = 0
7
Supersymetria
gdzie stosuj˛e konwencj˛e sumacyjn ˛
a:
ξ
Q =
ξ
α
Q
α
¯
ξ
¯
Q = ¯
ξ
˙
α
¯
Q
˙
α
(2.4)
Zauwa˙zmy, ˙ze:
dim[
ξ
] = −
1
2
oraz, ˙ze:
dim[Q]
=
1
2
Q
α
posiada spin
1
2
Poniewa˙z Q transformuje si˛e jak spinor zatem mamy
Q|bozon i = | f ermion i
(2.5)
Supersymetria transformuje wi˛ec bozony (spin całkowity) 7−→ fermiony (spin połówkowy)
i odwrotnie. Ogólnie mówi ˛
ac pola o spinie l 7−→ l ±
1
2
.
Skonstruujemy teraz najprostszy supersymetryczny multiplet zło˙zony z pól bo-
zonowch i fermionowych. Zaczniemy konstrukcj˛e od skalarnego pola bozonowego
A:
Definiujemy spinor
ψ
poprzez transformacj˛e pola bozonowego A
δ
ξ
A
:=
√
2
ξψ
(2.6)
Pole fermionowe
ψ
transformuje si˛e w pole bozonowe F o wy˙zszym wymiarze
oraz w pochodn ˛
a pola A .
δ
ξ
ψ
=: i
√
2
σ
m
¯
ξ∂
m
A +
√
2
ξ
F
(2.7)
Wzór (
) jest jednocze´snie definicj ˛
a pola F . U˙zywaj ˛
ac wyra˙ze´n (
otrzymujemy
δ
η
δ
ξ
A
= 2i
ξσ
m
¯
η∂
m
A + 2
ξη
F
(2.8)
co pokazuje, ˙ze antykomutator dwu kolejnych transformacji daje pochodn ˛
a pola A .
To samo powinno mie´c miejsce dla pozostałych pól multipletu. W szczególno´sci
dla pola fermionowego
ψ
mamy:
[
δ
η
δ
ξ
]
ψ
= (
δ
η
δ
ξ
−
δ
ξ
δ
η
)
ψ
(2.9)
= −2i(
ησ
n
¯
ξ
−
ξσ
n
¯
η
)
∂
n
ψ
= −i
σ
n
¯
σ
m
ψ
[
ησ
n
¯
ξ
−
ξσ
n
¯
η
] −
√
2(
ξδ
η
F −
ηδ
ξ
F)
8
2.1 Superprzestrze ´n
Wida´c, ˙ze ten komutator redukuje si˛e do pełnej pochodnej, gdy:
δ
ξ
F
= i
√
2¯
ξ
¯
σ
m
∂
m
ψ
(2.10)
Tak wi˛ec pola A ,
ψ
, F wraz z (
) stanowi ˛
a reprezentacj˛e algebry
supersymetrii (
2.1
Superprzestrze ´n
Wygodnym narz˛edziem do opisu supersymetrycznych teorii pola jest superprzestrze´n.
Powstaje one przez dodanie do zwykłuch czterech bozonowych współrz˛ednych
czasoprzestrzennych x
m
dodatkowych antykomutuj ˛
acych współrz˛ednych
θ
α
¯
θ
˙
α
trans-
formuj ˛
acych si˛e jak generatory supersymetrii. W superprzestrzeni transformacje
supersymetrii reprezentowane s ˛
a przez ruchy ‘geometryczne’, które z kolei in-
dukuj ˛
a transformacje funkcji tego rozszerzonego układu zmiennych – superpól.
Ruch w superprzestrzeni jest generowany przez operatory ró˙zniczkowe Q , ¯
Q :
ξ
Q + ¯
ξ
¯
Q
=
ξ
α
µ
∂
∂θ
α
− i
σ
α
˙
α
m
¯
θ
˙
α
∂
m
¶
+ ¯
ξ
˙
α
µ
∂
∂
¯
θ
˙
α
− i
θ
α
σ
α
˙
β
m
ε
˙
β
˙
α
∂
m
¶
(2.11)
zastosowano tutaj zapis Q oraz ¯
Q dla operatorów ró˙zniczkowych, uto˙zsamiaj ˛
acy je
z genaratorami grupy, poniewa˙z operatory te rzeczywi´scie reprezentuj ˛
a infintyzy-
malne działanie grupowe w przestrzeni parametrów:
{Q
α
, ¯
Q
˙
α
}
=
2i
σ
α
˙
α
m
∂
m
(2.12)
{Q
α
, Q
β
} = { ¯
Q
˙
α
, ¯
Q
˙
β
} =
0
Powy˙zsza obserwacja nasuwa pomysł rozszerzenia zwykłej przestrzenii konfigu-
racyjnej do superprzestrzeni gdzie supersymetria jest translacj ˛
a wspołrz˛ednych:
x
m
7−→ z = (x
m
,
θ
, ¯
θ
)
(2.13)
W szczegółach wygl ˛
ada to nast˛epuj ˛
aco: Pomnó˙zmy dwa elementy grupowe
G(0,
ξ
, ¯
ξ
)
G(x,
θ
, ¯
θ
) =
e
i[P
m
(x
m
+i
θσ
m
¯
ξ
−i
ξσ
m
¯
θ
)]
e
i[(
θ
+
ξ
)Q+(¯
θ
+¯
ξ
) ¯
Q]
⇑
⇑
⇑
SUSY
SUSY +
SUSY z inn ˛
a
translacja
z translacj ˛
a
9
Supersymetria
gdzie baz ˛
a (elementami paramertyzuj ˛
acymi) s ˛
a: zwykła przestrze´n konfiguracyjna
+ 2 elementy antykomutuj ˛
ace. i st ˛
ad mamy naturaln ˛
a drog˛e do superprzestrzeni:
(x
m
,
θ
α
, ¯
θ
˙
α
)
SU SY ⇒
x
m
→ x
m
+ i(
θσ
m
¯
ξ
−
ξσ
m
¯
θ
)
θ
→
θ
+
ξ
¯
θ
→ ¯
θ
+ ¯
ξ
(2.14)
Szukamy generatorow translacji – jawnej reprezentacji operatorów Q , ¯
Q oraz P
m
:
e
ξ
Q+¯
ξ
¯
Q
x
m
= x
m
+ i(
θσ
m
¯
ξ
−
ξσ
m
¯
θ
)
(2.15)
e
ξ
Q+¯
ξ
¯
Q
θ
α
= Q
α
+
ξ
α
e
ξ
Q+¯
ξ
¯
Q
¯
θ
˙
α
=
¯
Q
˙
α
+ ¯
ξ
˙
α
Lewe mno˙zenie
Q
α
=
∂
∂θ
α
− i
σ
α
˙
α
m
¯
θ
˙
α
∂
m
¯
Q
˙
α
=
∂
∂
¯
θ
˙
α
+ i
θ
α
σ
α
˙
β
m
ε
˙
β
˙
α
∂
m
P
m
= i
∂
m
(2.16)
Nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze P
m
= i
∂
m
. Przy czym:
{Q
α
, ¯
Q
˙
α
} = 2
σ
α
˙
α
m
(i
∂
m
)
(2.17)
Prawe mno˙zenie
Działaj ˛
ac z prawej strony :
x
m
e
←−
ξ
Q+¯
ξ
¯
Q
= . . .
(2.18)
jest realizowane poprzez generatory:
D
α
=
∂
∂θ
α
+ i
σ
α
˙
α
m
¯
θ
˙
α
∂
m
¯
D
˙
α
= −
∂
∂
¯
θ
˙
α
− i
θ
α
σ
α
˙
α
m
∂
m
P
m
= −i
∂
m
(2.19)
Przy takiej definicji D and ¯
D spełniaj ˛
a antykomutacyjne relacje:
{D
α
, ¯
D
˙
α
}
=
−2i
σ
α
˙
α
m
∂
m
(2.20)
{D
α
, D
β
} = { ¯
D
˙
α
, ¯
D
˙
β
} =
0
gdzie D oraz Q antykomutuj ˛
a
{D
α
, Q
β
} = {D
α
, ¯
Q
˙
β
} = { ¯
D
˙
α
, Q
β
} = { ¯
D
˙
α
, ¯
Q
˙
β
} = 0
(2.21)
Obiekty D
α
, ¯
D
˙
α
nazywamy supersymetrycznymi pochodnymi kowariantnymi.
10
2.2 Własno´sci superpól
2.2
Własno´sci superpól
Superpole skalarne (chiralne)
Skalarne superpole zdefiniowane jest warunkiem:
¯
D
˙
α
Φ
= 0
(2.22)
To równanie mo˙zna w miar˛e prosto rozwi ˛
aza´c stosuj ˛
ac zmienne y
m
= x
m
+
i
θσ
m
¯
θ
oraz
θ
¯
D
˙
α
¡
x
m
+ i
θσ
m
¯
θ
¢
= 0 ,
¯
D
˙
α
θ
= 0
(2.23)
Ogólna funkcja tych zmiennych spełnia warunek (
) i przyjmuje posta´c
Φ
= A(y) +
√
2
θψ
(y) +
θθ
F(y)
(2.24)
= A(x) + i
θσ
m
¯
θ∂
m
A(x) +
1
4
θθ
¯
θ
¯
θ
2A(x)
+
√
2
θψ
(x) −
i
√
2
θθ∂
m
ψ
(x)
σ
m
¯
θ
+
θθ
F(x)
Pola (A,
ψ
, F) tworz ˛
a superpole chiralne. łatwo sprawdzi´c, ˙ze pola te transformuj ˛
a
si˛e w siebie nawzajem w nast˛epuj ˛
acy sposób:
δ
ξ
A
=:
√
2
ξφ
(2.25)
δ
ξ
φ
=: i
√
2
σ
m
¯
ξ∂
m
A +
√
2
ξ
F
(2.26)
δ
ξ
F
=: i
√
2¯
ξ
¯
σ
m
∂
m
φ
(2.27)
Superpole wektorowe (rzeczywiste)
Ogólne superpole transformuje si˛e jak redukowalna reprezentacja supersymetrii.
Aby otrzyma´c nieredukowalne reprezentacje nakłada si˛e wi˛ezy na ogólny super-
multiplet. Wi˛ezy musz ˛
a by´c zgodne z supersymetri ˛
a tzn. kowariantne. Przykładami
11
Supersymetria
wi˛ezów s ˛
a D
Φ
= 0, ¯
D
Φ
= 0, ale tak˙ze V = V
†
, przyczym drugi warunek defini-
uje superpole wektorowe zwane tak˙ze superpolem rzeczywistym. Mo˙zna je przed-
stawi´c w postaci szeregu pot˛egowego w
θ
i ¯
θ
:
V (x,
θ
, ¯
θ
) = C(x) + i
θχ
(x) − i¯
θ
¯
χ
(x)
(2.28)
+
i
2
θθ
[M(x) + iN(x)] −
i
2
¯
θ
¯
θ
[M(x) − iN(x)]
−
θσ
m
¯
θ
v
m
(x) + i
θθ
¯
θ
·
¯
λ
(x) +
i
2
¯
σ
m
∂
m
χ
(x)
¸
−i¯
θ
¯
θθ
·
λ
(x) +
i
2
σ
m
∂
m
¯
χ
(x)
¸
+
1
2
θθ
¯
θ
¯
θ
·
D(x) +
1
2
2C(x)
¸
gdzie składowe pola C, D, M, N oraz v
m
musz ˛
a by´c rzeczywiste aby spełniony był
warunek V = V
†
. Zauwa˙zmy, ˙ze suma superpola chiralnego i pola do´n sprz˛e˙zonego
jest superpolem rzeczywistym postaci:
Φ
+
Φ
†
= A + A
∗
+
√
2(
θφ
+ ¯
θ
¯
φ
) +
θθ
F + ¯
θ
¯
θ
F
∗
(2.29)
+i
θσ
m
¯
θ∂
m
(A − A
∗
) +
i
√
2
θθ
¯
θ
¯
σ
m
∂
m
φ
+
i
√
2
¯
θ
¯
θσ
m
∂
m
¯
φ
+
1
4
θθ
¯
θ
¯
θ
2(A + A
∗
)
W szczególno´sci, współczynnik przy
θσ
m
¯
θ
ma posta´c abelowej transformacji ce-
chowania.
Nasuwa to pomysł, aby abelowe transformacje cechowania rozszerzy´c na pełne
superpole wektorowe w nast˛epuj ˛
acy sposób:
V
−→ V +
Φ
+
Φ
†
(2.30)
Transformacje składowych maj ˛
a wtedy posta´c:
C
−→ C + A + A
∗
(2.31)
χ
−→
χ
− i
√
2
φ
M + iN
−→ M + iN − 2iF
v
m
−→ v
m
− i
∂
m
(A − A
∗
)
λ
−→
λ
D
−→ D
Widzimy, ˙ze mo˙zna dokona´c takiej transformacji cechowania, która wyzeruje skład-
owe C ,
χ
, M , N . Ten wybór cechowania nazywamy cechowaniem Wessa – Zu-
mino. Stosuj ˛
ac powy˙zsze cechowanie pozbyli´smy si˛e swobodnych pól, pozostała
12
2.2 Własno´sci superpól
jeszcze swoboda wyboru cz˛e´sci urojonej A , która odpowiada wykonaniu standard-
owej abelowej transformacji cechowania na polu wektorowym V (inaczej mówi ˛
ac
jest to symetria cechowania), v
m
−→ v
m
− i
∂
m
(A − A
∗
) . W cechowaniu tym skład-
owe
λ
oraz D s ˛
a niezmiennicze. Cechowanie Wessa–Zumino łamie niestety jawn ˛
a
supersymetri˛e, ale za to superpole wektorowe V dane wzorem (
) przybiera
bardzo prost ˛
a posta´c :
V
= −
θσ
m
¯
θ
v
m
(x) + i
θθ
¯
θ
¯
λ
(x) − i¯
θ
¯
θθλ
(x) +
1
2
θθ
¯
θ
¯
θ
D(x)
(2.32)
Warto jeszcze przedstawi´c jak wygl ˛
adaj ˛
a wy˙zsze pot˛egi superpola wektorowego w
cechowaniu Wessa–Zumino :
V
2
= −
1
2
θθ
¯
θ
¯
θ
v
m
v
m
(2.33)
V
3
= 0
2.2.1
Niezmienniczo´s´c wzgl˛edem cechowania
Omówmy teraz pewne własno´sci superpola skalarnego (chiralnego) i wektorowego
(rzeczywistego). Zobaczmy jak zachowuj ˛
a si˛e superpola skalarne i wektorowe pod
działaniem wewn˛etrznej symetrii
G
= U(1).
Superpole skalarne – globalna symetria
G
= U(1)
Superpole skalarne pod działaniem grupy
G
= U(1) zachowuje si˛e nast˛epuj ˛
aco:
Φ
−→
Φ
0
= e
−i
Λ
Φ
(2.34)
gdzie
Λ
jest parametrem przekształcenia.
Łatwo pokaza´c, ˙ze
Φ
0
jest tak˙ze superpolem chiralnym je´sli
Λ
jest superpolem
chiralnym:
¯
D
˙
α
Φ
0
=
¯
D
˙
α
(
Φ
− i
ΛΦ
+ . . .)
(2.35)
=
¯
D
˙
α
Φ
− i [( ¯
D
˙
α
Λ
)
Φ
+
Λ
( ¯
D
˙
α
Φ
)] + . . . = 0
<=> ¯
D
˙
α
Λ
= 0
2
Je´sli
Λ
jest rzeczywiste i stałe ( ¯
D
˙
α
Λ
= D
α
Λ
= 0) to korzystaj ˛
ac z reguły Haus-
dorffa otrzymujemy:
Φ
0†
Φ
0
=
Φ
†
e
i
Λ
†
e
−i
Λ
Φ
(2.36)
=
Φ
†
e
i(
Λ
†
−
Λ
)
Φ
=
Φ
†
Φ
Ta obserwacja pozwala skonstruowa´c lagran˙zjan chiralny, niezmienniczy wzgl˛e-
dem globalnej grupy symetrii
G
= U(1) transformuj ˛
acej pole skalarne zgodnie ze
13
Supersymetria
wzorem (
L
=
L
K.E
+W
(2.37)
L
K.E
=
Φ
†
k
Φ
k
|
θθ
¯
θ
¯
θ
W
=
·
1
2
m
i j
Φ
i
Φ
j
+
1
3
g
i jl
Φ
i
Φ
j
Φ
l
¸
|
θθ
+ h.c.
gdzie przez
L
K.E
oznaczamy wyrazy kinetyczne, natomiast W jest superpotenc-
jałem.
Superpole skalarne – lokalna symetria
G
= U(1)
Niezmiennicze działanie z niejednorodnym, zale˙znym od x , parametrem
Λ
mo˙zna
skonstruowa´c uogólniaj ˛
ac działanie grupy
G
= U(1)
Φ
−→ e
−i
Λ
Φ
,
¯
D
˙
α
Λ
= 0
(2.38)
Φ
†
−→ e
i
Λ
†
Φ
†
,
D
α
Λ
†
= 0
Otó˙z przy takich warunkach cały lagran˙zjan
L
, dany wzorem (
), przestaje by´c
niezmienniczy, poniewa˙z:
Φ
0†
Φ
0
=
Φ
†
e
i
(
Λ
†
−
Λ
)
Φ
6=
Φ
†
Φ
(2.39)
Wprowadzaj ˛
ac wektorowe superpole V , transformuj ˛
ace si˛e zgodnie z warunkiem:
V
0
= V + i
¡
Λ
−
Λ
†
¢
(2.40)
Mo˙zemy napisa´c pełny lagran˙zjan niezmienniczy wzgl˛edem lokalnej grupy symetrii
G
= U(1) w postaci :
L
=
1
4
³
W
α
W
α
|
θθ
+ ¯
W
˙
α
¯
W
˙
α
|
¯
θ
¯
θ
´
+
Φ
†
k
e
V
Φ
k
|
θθ
¯
θ
¯
θ
(2.41)
+
·µ
1
2
m
i j
Φ
i
Φ
j
+
1
3
g
i jl
Φ
i
Φ
j
Φ
l
¶
|
θθ
+ h.c.
¸
gdzie superpole
W
α
, które jest uogólnieniem nat˛e˙zenia pola cechowania definiu-
jemy nast˛epuj ˛
aco:
W
α
:= −
1
4
¯
D ¯
DD
α
V
¯
W
˙
α
:= −
1
4
DD ¯
D
˙
α
V
(2.42)
Superpole,
W
α
( ¯
W
˙
α
) jest niezmienniecze ze wzgl˛edu na transformacj˛e cechowa-
nia, oraz spełnia warunek chiralno´sci (antychiraln´sci):
¯
D
˙
β
W
α
= 0
D
β
¯
W
˙
α
= 0
(2.43)
14
2.2 Własno´sci superpól
Niezmienniczo´s´c tego superpola wzgl˛edem cechowania pokazujemy nast˛epuj ˛
aco:
W
α
0
= −
1
4
¯
D ¯
DD
α
¡
V + i
¡
Λ
−
Λ
†
¢¢
(2.44)
=
W
α
−
i
4
¯
D ¯
DD
α
Λ
=
W
α
−
i
4
¯
D
˙
α
{ ¯
D
˙
α
, D
α
}
Λ
=
W
α
Wzór (
) daje ogóln ˛
a posta´c renormalizowalnego lagran˙zjanu niezmienniczego
wgl˛edem lokalnej transformacji cechowania grupy
G
= U(1). W cechowaniu Wessa–
Zumino omówionym szerzej w rozdziale
, gdzie jak pami˛etamy V
3
= 0, zmody-
fikowany wyraz kinetyczny dla pól skalarnych przyjmuje posta´c:
Φ
†
k
e
V
Φ
k
|
θθ
¯
θ
¯
θ
= FF
∗
+ A2A
∗
+ i
∂
n
¯
φ
¯
σ
n
φ
(2.45)
v
n
µ
1
2
¯
φ
¯
σ
n
φ
+
i
2
A
∗
∂
n
A −
i
2
∂
n
A
∗
A
¶
−
i
√
2
¡
A¯
λ
¯
φ
− A
∗
λφ
¢
+
i
2
µ
D −
i
2
v
n
v
n
¶
A
∗
A
Lagran˙zjan wyra˙zony w tym cechowaniu nie b˛edzie zawierał członów o wymiarze
wy˙zszym ni˙z cztery.
Na koniec zajmiemy si˛e jeszcze konstrukcj ˛
a lagran˙zjanu dla elektrodynamiki.
Otó˙z najprostsze supersymetryczne rozszerzenia elektrodynamiki uzyskujemy za-
kładaj ˛
ac, ˙ze mamy dwa superpola skalarne o przeciwnych ładunkach wzgl˛edem
grupy U (1) , to znaczy transformuj ˛
ace si˛e nast˛epuj ˛
aco:
Φ
0
+
−→ e
−ie
Λ
Φ
+
,
Φ
0
−
−→ e
+ie
Λ
Φ
−
(2.46)
Lagran˙zjan dla elektrodynamiki z masywnymi elektronami i ich partnerami przyj-
muje zatem posta´c:
L
ED
=
1
4
³
W
α
W
α
|
θθ
+ ¯
W
˙
α
¯
W
˙
α
|
¯
θ
¯
θ
´
+
Φ
†
+
e
V
Φ
+
|
θθ
¯
θ
¯
θ
+
Φ
†
−
e
V
Φ
−
|
θθ
¯
θ
¯
θ
(2.47)
+m
¡
Φ
+
Φ
−
|
θθ
+
Φ
†
+
Φ
†
−
|
¯
θ
¯
θ
¢
Rozszerzenie tej konstrukcji do lagran˙zjanu niezmienniczego wzgl˛edem nieabe-
lowej grupy cechowania jest stosunkowo proste, za´s szczegóły mo˙zna znale´z´c w
[
2.2.2
Energia kinetyczna superpola wektorowego
Chc ˛
ac znale´z´c energi˛e kinetyczn ˛
a dla superpola wektorowego, nale˙zy znale´z´c su-
perpole
W
α
( ¯
W
˙
α
) niezmiennicze wzgl˛edem transformacji V
0
= V + i
¡
Λ
−
Λ
†
¢
.
Cz˛e´s´c kinetyczna lagran˙zjanu dla pól wektorowych:
L
V
K.E
:=
−
1
4
W
α
W
α
|
θθ
+ h.c
(2.48)
15
Supersymetria
Korzystaj ˛
ac z to˙zsamo´sci
W
α
W
α
= −
1
4
¯
D ¯
D
W
α
D
α
V mo˙zemy bowiem napisa´c
w cechowaniu Wessa–Zumino:
L
V
K.E
:=
−
1
4
v
mn
v
mn
+ i
λσ
m
∂
m
¯
λ
+
1
2
D
2
(2.49)
gdzie interpretacja poszczególnych członów jest nast˛epuj ˛
aca: −
1
4
v
mn
v
mn
jest en-
ergi ˛
a kinetyczn ˛
a superpola wektorowego, −i
λσ
m
∂
m
¯
λ
jest energi ˛
a kinetyczn ˛
a gau-
gin, za´s
1
2
D
2
jest wkładem do potencjału, oraz gdzie v
mn
=
∂
m
v
n
−
∂
n
v
m
.
My chcemy doda´c jeszcze człon masowy, postaci m
2
V
2
, do lagran˙zjanu (
Ten nowy człon nie jest ju˙z niezmienniczy ze wzgledu na cechowanie. Musimy go
zatem dopisa´c do uogólnionego superpotencjału wektorowego:
V
2
|
θθ
¯
θ
¯
θ
= −
1
2
v
m
v
m
−
χλ
− ¯
χ
¯
λ
+
1
2
¡
M
2
+ N
2
¢
(2.50)
−
i
2
χσ
m
∂
m
¯
χ
−
i
2
¯
χ
¯
σ
m
∂
m
χ
+
1
2
C2C +CD
Co jest interesuj ˛
ace, ten wyraz nie tylko nadaje mas˛e owemu wektorowemu polu
v
m
, ale równie˙z pozostałym wyrazom supermultipletu, których teraz nie mo˙zemy
ju˙z “wycechowa´c”.
Lagran˙zjan (
) wraz z członem (
) opisuje :
•
jedno pole wektorowe v
m
•
dwa pola o spinie
1
2
:
χ
,
λ
•
jedno pole skalarne C
2.2.3
Naruszenie supersymetrii
Z oczywistych wzgl˛edów w realistycznych modelach supersymetria musi by´c zła-
mana. Przekonuj ˛
a nas do tego przesłanki eksperymentalne na przykład nie ob-
serwujemy supersymetrycznego partnera elektronu e (powinien on przy niezła-
manej SUSY mie´c mas˛e równ ˛
a masie elektronu), brak równie˙z obserwacyjnych
przesłanek potwierdzaj ˛
acych istnienie cz ˛
astek które miały by dokładnie takie same
liczby kwantowe i mas˛e jak cz ˛
astki Modelu Standardowego i ró˙zniły si˛e od nich
tylko spinem. Tak wi˛ec supersymetraia nie mo´ze by´c dokładn ˛
a symetri ˛
a efekty-
wnego niskoenergetycznego lagran˙zjanu opisuj ˛
acego lekkie stany fizyczne.
Kryterium wyst˛epowania spontanicznego łamania sypersymetrii, jest niezmi-
enniczo´s´c stanu fizycznej pró˙zni, | 0 i , wzgl˛edem ogólnej transformacji super-
symetrii, co przekłada si˛e na twierdzenie, ˙ze spontaniczne łamanie supersymetrii
nastepuje wówczas gdy warto´s´c oczekiwana operatora Hamiltona H jest wi˛eksza
16
2.2 Własno´sci superpól
od zera: h
ψ
|H|
ψ
i > 0 . Przyjrzyjmy si˛e bli˙zej temu stwierdzeniu. Skorzystajmy z
algebry SUSY i rozpatrzmy antykomutator generatorów supersymetrii:
{Q
α
, ¯
Q
˙
β
} = 2
σ
α
˙
β
m
P
m
.
(2.51)
Je´sli we´zmiemy ´slad obu stron i zauwa˙zymy, ˙ze tylko macierz
σ
0
ma ´slad ró˙zny od
zera, to otrzymamy:
P
0
= H =
1
4
{Q
1
, ¯
Q
˙1
} +
1
4
{Q
2
, ¯
Q
˙2
}
(2.52)
=
1
4
¡
Q
1
¯
Q
˙1
+ ¯
Q
˙1
Q
1
+ Q
2
¯
Q
˙2
+ ¯
Q
˙2
Q
2
¢
Operator Hamiltona H jest dodatnio okre´slony, tzn. dla dowolnego fizycznego
stanu |
ψ
i
h
ψ
|H|
ψ
i =
1
2
∑
n
¡
|h
ψ
n
| Q
1
|
ψ
i|
2
+ |h
ψ
n
| Q
2
|
ψ
i |
2
¢
≥ 0
(2.53)
Oznacza to, ˙ze warto´s´c oczekiwana operatora H nie mo˙ze by´c ujemna. St ˛
ad
wnioskujemy, i˙z stan o najni˙zszej mo˙zliwej energii to stan o energi ˛
a zerowej, przy
czym E = h
ψ
|H|
ψ
i . Wtedy
|Q
i
ψ
i
=
i=1,2
0
⇒ h
ψ
|H|
ψ
i = 0
(2.54)
co oznacza, ˙ze stan o energii zerowej, o ile mo˙ze by´c zrealizowany przez układ
fizyczny, nie łamie spontanicznie supersymetrii. Ze wzoru (
) widzimy, ˙ze aby
SUSY została złamana spontanicznie musi istanie´c taki stan |
ψ
>, ˙ze h
ψ
|H|
ψ
i >
0 Tzn:
h
ψ
|H|
ψ
i > 0 ⇐⇒ ∼
³
W
ψ
Q
i
|
ψ
i 6= 0
´
(2.55)
Przyjmijmy, ˙ze stan |
ψ
> jest kreowany z pró˙zni przez pole
Ψ
, |
ψ
>=
Ψ
|
ψ
>.
To oznacza, ˙ze musi istnie´c takie pole
Ψ
, ˙ze < 0|(
ξ
Q + ¯
ξ
¯
Q)
Ψ
|0 >6= 0, a poniewa˙z
ka˙zde pole
Ψ
jest składow ˛
a pewnego superpola X , wi˛ec warunek złamanej super-
symetrii to po prostu
< 0|(
ξ
Q + ¯
ξ
¯
Q)X |0 >=< 0|
δ
ξ
X |0 >6= 0
(2.56)
dla pewnego superpola X . Aby złama´c supersymetri˛e bez naruszenia symetrii Lorentza
kondensowa´c mog ˛
a tylko wariacje fermionów, poniewa˙z tylko te wariacje zawier-
aj ˛
a składowe, których współczynniki s ˛
a skalarami (nie zawieraj ˛
a pochodnyuch i
składowych pól fermionowych):
δ
ξ
ψ
=
√
2
ξ
F + ...,
δ
ξ
λ
= i
ξ
D + ....
Na rysunku
zilustrowano sytuacje w modelu, w których stan podstawowy
nie łamie supersymetrii (a), oraz kiedy stan podstawawy łamie supersymetrie (b).
Przejdzmy do omówienia konkretnych modeli, w których łamanie supersymetrii
dokonuje si˛e w sektorze pól chiralnych (model O’Raifeartaigh’a), b ˛
ad´z w sektorze
gauge (scenariusz Fayeta–Iliopoulosa).
17
Supersymetria
A
V
a
A
V
b
Rysunek 2.1: Stan podstawawy nie łamie supersymetri (a), oraz stan podstawowy
łamie supersymetrie (b).
Model O’Raifeartaigh’a
Jako pierwszy omówimy model, który zbudowany jest wył ˛
acznie z pól chiral-
nych. Kiedy zajmowali´smy si˛e supersymetrycznym lagran˙zjanem (Rozdział ??),
wprowadzili´smy energi˛e potencjaln ˛
a,
V
(A
k
, A
∗
k
) = F
∗
k
F
k
(2.57)
Z równa´n ruchu,
∂
L
∂
F
∗
k
= 0 oraz
∂
L
∂
F
k
= 0 , otrzymali´smy:
F
k
= −
¡
λ
∗
k
+ m
∗
ik
A
∗
i
+ g
∗
i jk
A
∗
i
A
∗
j
¢
(2.58)
F
∗
k
= −
¡
λ
k
+ m
ik
A
i
+ g
i jk
A
i
A
j
¢
(2.59)
Wyst ˛
apienie takiego rozwi ˛
azania równa´n Eulera-Lagrange’a, które odpowiada
F
∗
k
= 0 , sygnalizuje wyst˛epowanie supersymetrycznego minimum dla potencjału
V
(A
k
, A
∗
k
).
Chc ˛
ac zatem złama´c SUSY musimy tak dobra´c parametry :
λ
k
, m
ik
, g
i jk
aby
równania F
∗
k
= 0 dla k = 1, . . ., n nie mogły by´c dla wszystkich k spełnione. Tzn.:
F
∗
k
6= 0 =⇒
λ
k
+ m
ik
A
i
+ g
i jk
A
i
A
j
6= 0
(2.60)
Konstrukcja takich modeli nie jest łatwa .
1.
Dla k=1 , mamy tylko jedno superpole skalarne
φ
. Wtedy F
∗
= −
λ
6= 0 ,
∂
L
∂
F
k
= F
∗
k
+
λ
k
+ m
ik
A
i
+ g
i jk
A
i
A
j
= 0 Ale w takim wypadku, co łatwo
wida´c, złamanie SUSY nie oznacza nadania masy ˙zadnej z cz ˛
astek, jest za-
tem nieskuteczne.
2.
Dla dwóch superpól (k=1,2) zawsze mo˙zna spełni´c warunek F
∗
k
= 0 czyli na
mocy wcze´sniej przedstawionych zało˙ze´n, nie wyst˛epuje tutaj spontaniczne
łamanie SUSY.
18
2.2 Własno´sci superpól
3.
Zachodzi wi˛ec potrzeba wprowadzenia co najmniej 3 superpól k=1,2,3. To
wła´snie zaproponował O’Raifeartaigh [
Model O’Raifeartaigh [
] jest jednocze´snie najprostszym z wprowadzonych mod-
eli spontanicznego łamania SUSY. Czysto chiralna cze´s´c lagran˙zjanu,
L
zwana
superpotencjałem
L
P.E.
, w tym wypadku ma posta´c:
W
=
λ
0
Φ
0
+
1
2
m
12
Φ
1
Φ
2
+
1
3
g
012
Φ
0
Φ
1
Φ
2
+ h.c.
(2.61)
Model O’Raifeartaigh opisany został w wielu miejscach np. w monografii [
W tej pracy interesuje nas jednak przede wszystkim drugi sposób łamania super-
symetrii, tzw. metoda Fayeta – Iliopoulosa Przyjrzyjmy si˛e jej nieco dokładniej.
Model Fayeta–Iliopoulosa
Drugim mechanizmen spontanicznego łamania SUSY, który jest głównym przed-
miotem zainteresowania w tej pracy jest mechanizm Fayeta – Iliopoulosa [
]. Fayet
i Iliopoulos zauwa˙zyli, ˙ze człon
θθ
¯
θ
¯
θ
w superpolu wektorowym jest supersymetryczny
i niezmiennniczy ze wzgl˛edu na cechowanie tylko dla grup abelowych.
Ów wyraz ma posta´c:
L
FI
=
κ
V |
θθ
¯
θ
¯
θ
=
κ
D
(2.62)
gdzie
κ
jest parametrem Fayeta–Iliopoulosa.
Dodajmy do lagran˙zjanu dla QED danego wzorem (
) człon
L
FI
podany wy˙zej,
i znajd´zmy spontaniczne łamanie supersymetrii.
Otrzymujemy:
L
=
1
4
¡
W
α
W
α
|
θθ
+ ¯
W
˙
α
¯
W
˙
α
|
¯
θ
¯
θ
¢
+
Φ
†
+
e
V
Φ
+
|
θθ
¯
θ
¯
θ
+
Φ
†
−
e
V
Φ
−
|
θθ
¯
θ
¯
θ
(2.63)
m
¡
Φ
+
Φ
−
|
θθ
+
Φ
†
+
Φ
†
−
|
¯
θ
¯
θ
¢
+ 2
κ
V |
θθ
¯
θ
¯
θ
W obecno´sci pól cechowania potencjał pól skalarnych (
) modyfikuje si˛e o tak
zwany D –term, przybieraj ˛
ac posta´c
V
(A
k
, A
∗
k
) = F
∗
k
F
k
+
1
2
D
2
(2.64)
Pola D =
V
|
θθ
¯
θ
¯
θ
, F
1
, F
2
znajdujemy z równa´n Eulera–Lagrangéa:
D +
κ
+
e
2
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
) = 0
(2.65)
F
1
+ mA
∗
2
= 0
F
2
+ mA
∗
1
= 0
Rozwi ˛
azanie równa´n ruchu dla tego lagran˙zjanu pokazuje, ˙ze brak jest rozwi ˛
aza´n,
dla których D = 0 i F
i
= 0 , (równania s ˛
a sprzeczne), wyst ˛
api wi˛ec spontaniczne
19
Supersymetria
łamanie SUSY. Poniewa˙z jest to do´s´c istotna cz˛e´s´c teorii, maj ˛
aca du˙ze znacze-
nie dla zrozumienia dalszej cz˛e´sci pracy, dlatego postaramy si˛e j ˛
a nieco rozwin ˛
a´c.
Szukamy rozwi ˛
aza´n rowna´n (
), takich które dawały by
V
= 0. Potencjał
V
przybiera posta´c:
V
=
1
2
κ
2
+
µ
m
2
+
1
2
e
κ
¶
A
∗
1
A
1
+
µ
m
2
−
1
2
e
κ
¶
A
∗
2
A
2
(2.66)
+
e
2
8
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
)
2
powinni´smy przedyskutowa´c dwa przypadki : m
2
>
1
2
e
κ
oraz m
2
<
1
2
e
κ
.
Omówmy je po kolei:
1.
m
2
>
1
2
e
κ
w tym pierwszym przypadku oba pola A
1
oraz A
2
maja rzeczy-
wiste masy. Minimum jest dla A
1
= 0 = A
2
. Model ten opisuje dwa zespolone
pola skalarne, odpowiednio z masami: m
1
2
= m
2
+
1
2
e
κ
oraz m
2
2
= m
2
−
1
2
e
κ
,
przy czym pomi˛edzy tymi masami zachodzi zwi ˛
azek m
1
2
+ m
2
2
= 2m
2
. Pole
wektorowe v
m
pozostaje bezmasowe.
Bezmasowy spinor
λ
odgrywa rol˛e fermionowej cz ˛
astki Goldstonéa, tak
zwanego Goldstina, zwi ˛
azanej ze spontanicznie złaman ˛
a supersymetri ˛
a. Wida´c
to z prawa transformacji dla
λ
δ
ξ
λ
= i
ξ
D +
σ
mn
ξ
v
mn
(2.67)
Dostrzegamy, ˙ze
λ
transformuje si˛e niejednorodnie, je´sli tylko D osi ˛
aga
niezerow ˛
a warto´s´c oczekiwan ˛
a pró˙zni. Patrz ˛
ac na równania Eulera–Lagrangéa
), D = −
κ
−
e
2
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
). Tak wi c ec:
δ
ξ
λ
= −i
ξκ
− i
ξ
e
2
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
) +
σ
mn
ξ
v
mn
(2.68)
Sytuacje t˛e przedstawia rysunek (
), (a).
2.
Je˙zeli m
2
<
1
2
e
κ
to A
1
= 0 = A
2
nie jest ju˙z minimum potencjału (
). Aby
znale´z´c nowe minimum rozwi ˛
azujemy równania:
∂
V
∂
A
∗
1
=
µ
m
2
+
1
2
e
κ
¶
A
1
+
e
2
4
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
) A
1
= 0
(2.69)
∂
V
∂
A
∗
2
=
µ
m
2
−
1
2
e
κ
¶
A
2
−
e
2
4
(A
∗
1
A
1
− A
∗
2
A
2
) A
2
= 0
Otrzymujemy minimum w punkcie A
1
= 0 , A
2
=
ν
,
gdzie
1
4
e
2
ν
2
+
¡
m
2
−
1
2
e
κ
¢
= 0. Mo˙zemy tak dobra´c transformacj˛e cechowa-
nia a˙zeby
ν
było rzeczywiste.
20
2.2 Własno´sci superpól
Rozwijaj ˛
ac potencjał wokół miminum, spontanicznie łamiemy symetri˛e wzgl˛e-
dem grupy
G
= U(1). Otrzymujemy :
½
A = A
1
˜
A = A
2
−
ν
(2.70)
) przybiera posta´c:
V
=
2m
2
e
2
¡
e
κ
− m
2
¢
+ 2A
∗
A
(2.71)
+
1
2
µ
1
2
e
2
ν
2
¶ µ
1
√
2
£
˜
A + ˜
A
∗
¤
¶
2
+
1
2
µ
1
2
e
2
ν
2
¶
v
m
v
m
gdzie stała
2m
2
e
2
¡
e
κ
− m
2
¢
jest dodatnia. Zarówno supersymetria jak i syme-
tria cechowania s ˛
a złamane. Wektorowe superpole v
m
nabiera masy “zjada-
jac” bozon Goldstona
1
√
2
¡
˜
A + ˜
A
∗
¢
, lecz całkowita liczba stopni swobody
pozostaje niezmieniona.
Podczas łamania symetrii, modyfikacji ulegaj ˛
a równie˙z wkłady do mas spinorów:
L
φ
= . . . − m
¡
φ
1
φ
2
+ ¯
φ
1
¯
φ
2
¢
+
ie
ν
√
2
¡
¯
φ
2
¯
λ
−
φ
2
λ
¢
(2.72)
Zdefiniujmy teraz liniowe kombinacje:
ψ
=
ψ
2
(2.73)
˜
ψ
=
1
q
m
2
+
1
2
e
2
ν
2
µ
m
ψ
1
+
ie
ν
√
2
λ
¶
˜
λ
=
1
q
m
2
+
1
2
e
2
ν
2
µ
m
λ
+
ie
ν
√
2
ψ
1
¶
Zastosujemy powy˙zsze podstawienia do lagran˙zjanu dla fermionów
L
φ
, i
jeszcze raz przyjrzymy si˛e masom fermionów, ale teraz wyra˙zonych w nowych
zmiennych :
L
φ
= . . . −
Ãr
m
2
+
1
2
e
2
ν
2
!
¡
ψ
˜
ψ
+ ¯
ψ
¯˜
ψ
¢
(2.74)
Pole ˜
λ
pozostaje bezmasowe, i transformuje si˛e niejednorodnie czego oczeku-
jemy od pól Goldstonowskich:
δ
ξ
˜
λ
= −2i
m
e
ξ
p
e
κ
− m
2
+ . . .
(2.75)
Jest to zatem pole Goldstina. Policzmy stopnie swobody cz ˛
astek:
21
Supersymetria
A
2
V
a
A
2
V
b
Rysunek 2.2: W przypadku kiedy m
2
>
1
2
e
κ
, złamana jest tylko supersymetria (a),
natomiast gdy m
2
<
1
2
e
κ
złamana jest supersymetria i symetrai cechowania (b).
•
2 pola spinorowe z masami: m
ψ
= m
˜
ψ
=
q
m
2
+
1
2
e
2
ν
2
•
1 pole wektorowe v
m
i jedno pole pole skalarne– rzeczywiste
1
√
2
£
˜
A + ˜
A
∗
¤
z mas ˛
a
m
v
m
= m
1
√
2
[
˜
A+ ˜
A
∗
] =
q
1
2
e
2
ν
2
•
jeden zespolony skalar A z mas ˛
a: m
A
=
√
2m
2
•
1 bezmasowy spinor Goldstone’a ˜
λ
m
˜
λ
= 0
Wida´c wi˛ec, ˙ze liczba stopni swobody dla fermionów (
ψ
, ˜
ψ
), pozostaje równa
liczbie stopnii swobody dla bozonów, tutaj reprezentowanych przez pola:
v
m
,
1
√
2
£
˜
A + ˜
A
∗
¤
, A. Mamy tak˙ze zwi ˛
azek:
4
µ
m
2
+
1
2
e
2
ν
2
¶
= (3 + 1)
µ
1
2
e
2
ν
2
¶
+ 2
¡
2m
2
¢
(2.76)
Relacja ta jest przykładem ogólnej relacji:
∑
f ermiony
(#st.swobody) m
2
f ermiony
=
∑
bozony
(#st.swobody) m
2
bozony
(2.77)
zachodz ˛
acej w przypadku globalnie supersymetrycznych modeli z SUSY
złaman ˛
a spontanicznie. Ten przypadek islustruje rysunek (
) (b).
Przedstawimy teraz model, w którym jest złamana tylko symetria cechowa-
nia. Przy omawianiu modelu O’Raifeartaigh uzyskali´smy warunki nienaruszonej
supersymetrii:
F
∗
k
= 0 =⇒
λ
k
+ m
ik
A
i
+ g
i jk
A
i
A
j
= 0
(2.78)
Warto´sc oczekiwana pro˙zni dla A
n
oznaczymy poprzez a
n
. Poszukujemy rozwi ˛
aza´n
powy˙zszego równania, czyli chcemy znale´z´c a
n
, które nie s ˛
a niezmienicze wzgl˛e-
dem wewn˛etrznej grupy symetrii.
Dla potrzeb tego przykładu skonstruujemy prosty model, z grup ˛
a ˜
G
= ˜
U (1)
oraz trzema superpolami skalarnymi:
22
2.2 Własno´sci superpól
•
jedno neutralne
φ
•
φ
+
pole o dodatnim ładunku wzgl˛edem grupy ˜
G
= ˜
U (1)
•
φ
−
pole o ujemnym ładunku wzgl˛edem grupy ˜
G
= ˜
U (1)
Lagran˙zjan, niezmienniczy wzgl˛edem grupy ˜
G
= ˜
U (1), b˛edzie miał posta´c:
W
=
1
2
m
Φ
2
+ µ
Φ
+
Φ
−
+
λΦ
+ g
ΦΦ
+
Φ
−
+ h.c.
(2.79)
a równanie (
) przybierze posta´c:
λ
+ ma
i
+ ga
+
a
−
= 0
(2.80)
a
−
(µ + ga) = 0
a
+
(µ + ga) = 0
Mamy wtedy dwa rozwi ˛
azania:
1.
a
+
= a
−
= 0 , a = −
λ
m
2.
a
+
a
−
= −
1
g
³
λ
−
mµ
g
´
, a = −
µ
g
Pierwsze rozwi ˛
azanie nie łamie symetrii ˜
G
= ˜
U (1), w drugim łamanie symetrii
wyst˛epuje. Skupimy wiec swoj ˛
a uwag˛e na drugim rozwi ˛
azaniu. Wyznaczany jest
teraz tylko człon a
+
a
−
, a nie warto´s´c pró˙zniowa ka˙zdego z pól osobno. Superpo-
tencjał W jest niezmienniczy nie tylko wzgl˛edem grupy ˜
G
= ˜
U (1), lecz równie˙z
wzgl˛edem jej rozszerzenia zespolonego ˜
G
= ˜
U (1)
C|
. To oznacza, ˙ze dla ka˙zdego
rozwi ˛
azania a
+
, a
−
równania (
), istnieje cała klasa rozwi ˛
aza´n przy dowolnym
λ
zespolonym. Wobec tego istnieje niesko´nczona rodzina supersymetrycznych pró˙zni:
a
+
−→ e
Λ
a
+
, a
−
−→ e
−
Λ
a
−
,
Λ
∈ C
|
(2.81)
Tak wi˛ec stan podstawowy ma wi˛eksz ˛
a degeneracj˛e ni˙z ta, która wynika z wewn˛etrznej
grupy symetrii.Jest to wynikiem faktu, ˙ze W jest holomorficzn ˛
a funkcj ˛
a superpól.
Je˙zeli symetria U (1) ma by´c lokalna to powinni´smy wprowadzi´c wektorowe
superpole V , które b˛edzie sprz˛e˙zone do superpól skalarnych
φ
−
,
φ
+
tak jak
to było w przypadku grup abelowych (rozdział
)), gdzie dodal-
i´smy człon postaci 2
κ
V do lagran˙zjanu. W rezultacie otrzymujemy trójliniowe
sprz˛e˙zenie pomi˛edzy superpolami skalarnymi A
±
oraz wektorowym multipletem
V :
eV
¡
A
∗
+
A
+
− A
∗
−
A
−
¢
(2.82)
To znaczy :
L
−→
L
P.E.
+
φ
†
+
e
V
φ
+
|
θθ
¯
θ
¯
θ
+
φ
†
−
e
V
φ
−
|
θθ
¯
θ
¯
θ
· · · +W + . . .
(2.83)
=
. . . + eV
¡
A
∗
+
A
+
− A
∗
−
A
−
¢
. . .
23
Supersymetria
Ten wyraz wygl ˛
ada jak wyraz F-I. Dodaje si˛e do niego równie˙z zwykły drzewowy
wyraz Fayeta-Iliopoulosa (F-I) (podobnie jak poprzednio a
+
jest warto´sci ˛
a oczeki-
wan ˛
a pró˙zni dla A
+
, a
−
dla A
−
, itd.):
L
⊃ eV
D
h
a
∗
+
a
+
− a
∗
−
a
−
+ 2
κ
e
i
(2.84)
Ten człon mo˙ze zwyczajnie łama´c SUSY. Ale poniewa˙z wyst˛epuje degenaracja
a
±
−→ e
±
Λ
a
±
, mo˙zliwa jest transformacja, która zeruje a
∗
+
a
+
− a
∗
−
a
−
+ 2
κ
e
dla
dowolnego
κ
.
h
a
∗
+
a
+
− a
∗
−
a
−
+ 2
κ
e
i
−→
h
e
Λ
∗
+
Λ
|a
+
0
|
2
− e
−(
Λ
∗
+
Λ
)
|a
−
0
|
2
+ 2
κ
e
i
= 0
(2.85)
Poniewa˙z zawsze istnieje rozwi ˛
azanie równania: e
2Re(
Λ
)
|x|
2
− e
−2Re(
Λ
)
|y|
2
+ 2
κ
e
=
0. Zatem tutaj D -term nie indukuje łamania SUSY. Rozwijaj ˛
ac e
eV
otrzymujemy
natomiast supersymetryczny wyraz
masowy dla superpola wektorowego. Jest on
zwi ˛
azany z równaniem (
) i ma posta´c:
L
P.E.
⊃ e
2
³
a
∗
+
a
+
+ a
∗
−
a
−
+ 2
κ
e
´
V
2
(2.86)
Członu
¡
a
∗
+
a
+
+ a
∗
−
a
−
+ 2
κ
e
¢
V
2
nie mo˙zna “odtransformowa´c”.Nale˙zy zauwa˙zy´c,
˙ze człon ten nadaje mas˛e dla całago superpola wektorowego v
m
.
Je˙zeli zestawimy powy˙zszy wzór (
), z równaniem (
), to zobaczymy,
˙ze spontaniczne łamanie symetrii cechowania w tej teorii powoduje, ˙ze pojawi si˛e
pełny masowy wektorowy supermultiplet. Powy˙zszy model mo˙zna łatwo rozsz-
erzy´c na przypadek grup nieabelowych. Opieraj ˛
ac si˛e na materiale z (rozdziału
˙z ˛
adamy supersymetrycznego rozwi ˛
azania:
F
∗
k
= 0 =⇒
λ
k
+ m
ik
a
i
+ g
i jk
a
i
a
j
= 0
(2.87)
equat Parametry
λ
, m , g s ˛
a ograniczone przez wewn˛etrzn ˛
a grup˛e symetrii. Ogól-
nie w teorii z cechowaniem, supersymetryczne minima musz ˛
a spełnia´c rownie˙z
warunek:
D
l
= a
†
i
T
l
ik
a
k
= 0 i F = 0
(2.88)
Nieabelowy D-term nie jest niezmienniczy ze wzgl˛edu na transformacje ce-
chowania. Okazuje si˛e, ˙ze równanie (??) tzn.: F
∗
k
=
λ
k
+ m
ik
a
i
+ g
i jk
a
i
a
j
= 0 całkowicie
determinuje łamanie SUSY, w przypadku nieabelowej teorii. Je˙zeli równanie (??)
posiada rozwi ˛
azanie a
i
, to zawsze mo˙zna znale´z´c takie rozwi ˛
azanie, nazwijmy je
umownie ˆ
a
i
, które spełnia jednocze´snie (
). Dowód tego faktu dla prostej grupy
`
G
znajduje si˛e w ksi ˛
a˙zce J.Wessa i J.Baggera [
Powtórzmy raz jeszcze, ˙ze spontaniczne łamanie supersymetrii nieabelowych
modeli jest kontrolowane poprzez F –termy. Supersymetria jest spontanicznie zła-
mana wtedy i tylko wtedy, gdy równanie F
∗
k
= 0 nie ma rozwi ˛
aza´n . Innymi słowy
dla grup nieabelowych tylko cz˛e´s´c chiralna decyduje o łamaniu SUSY, tj.: je´sli
F
∗
k
= 0 to mo˙zna znale´z´c takie rozwi ˛
azanie F
∗
k
= 0, ˙ze D
l
= a
†
i
T
l
ik
a
k
= 0 dla
warto´sci tego rozwi ˛
azania.
1
Korzystamy z rozwini˛ecia e
eV
= 1 + eV +
e
2
V
2
2
+ . . .
24
2.2 Własno´sci superpól
2.2.4
Macierz masy fermionów – goldstino
Ogólna macierz masy fermionów w teorii z niezmienniczo´sci ˛
a wzgl˛edem cechowa-
nia ma posta´c:
(
ψ
a
λ
α
)
µ
¯
F
ab
D
a
β
D
α
,b
0
¶ µ
ψ
b
λ
β
¶
.
(2.89)
W tym wyra˙zeniu ¯
F
ab
= −
∂
2
W /
∂φ
a
∂φ
b
=
∂
¯
F
b
/
∂φ
a
, oraz D
α
b
=
∂
D
α
/
∂φ
b
. Mo˙zna
pokaza´c, ˙ze stan opisany kombinacj ˛
a liniow ˛
a
g =< F
a
>
ψ
a
+ < D
α
>
λ
α
(2.90)
jest wektorem własnym macierzy masy fermionów z warto´sci ˛
a własn ˛
a 0. Stan
ten nazywany jest goldstinem. Aby pokaza´c, ˙ze masa goldstina znika, nale˙zy za-
uwa˙zy´c, ˙ze zró˙zniczkowanie postencjału skalarnego, V = |F
a
|
2
+
1
2
(D
α
)
2
, po polu
chiralnym
φ
a
prowadzi do równo´sci F
ab
< F
b
> +D
a
α
< D
α
>= 0, za´s niezmoi-
enniczo´s´c superpotencjału wzgl˛edem przekształce´n cechowania prowadzi do 0 =
δ
W =
∂
W /
∂φ
a
δφ
a
= i
θ
a
∂
W /
∂φ
a
T
α
ab
φ
b
= 0, co po uwzgl˛ednieniu, ˙ze D
α
= ¯
φ
a
T
α
ab
φ
b
daje
∂
W /
∂φ
a
¯
D
α
a
= 0.
Korzystaj ˛
ac z podanej postaci macierzy masy fermionów i potencjału skalarnego,
zauwa˙zywszy, ˙ze kwadrat macierzy masy bozonów cechowania ma posta´c (m
j=1
)
2
αβ
=
(D
α
a
D
a
β
+ D
α
a
D
β
a
), łatwo pokaza´c, ˙ze w zupełnie ogólnym przypadku zachodzi
nast˛epuj ˛
aca reguła sum, je´sli tylko generatory wszystkich symetrii cechowania s ˛
a
bez´sladowe:
∑
j=0,1/2,1
(2 j + 1)(−1)
2 j
Tr(m
j
)
2
= 0.
(2.91)
2.2.5
Ogólne własno´sci naruszenia supersymetrii w sektorze chiral-
nym
Je˙zeli pomin ˛
a´c wyrazy Fayeta-Iliopoulosa, to konieczne warunki naruszenia glob-
alnej supersymetrii wyra˙zaj ˛
a si˛e przez pochodne uperpotencjału:
∂
W
∂φ
i
= 0.
(2.92)
Je˙zeli na superpotencjał nie narzucimy ˙zadnych symetrii, to oczekujemy, ˙ze su-
persymetria pozostanie niezłamana: ponie"wa˙z superpotencjał jest holomorficzn ˛
a
funkcj ˛
a superpól, to mamy N równa´n na N warto´sci oczekiwanych pól, które maj ˛
a
jakie´s rozwi ˛
azanie. Podobnie jest w przypadku, gdy na oddziaływania narzucimy
pewn ˛
a symetri˛e, która nie jest R-symetri ˛
a. Je˙zeli taka symetria ma L generatorów,
to za pomoc ˛
a L równa´n (wi˛ezów) mo˙zemy wyeliminowa´c L zmiennych, i po-
zostanie układ (N-L) równa´n na (N-L) niewiadomych, który równie˙z ma rozwi ˛
azanie.
Jako´sciowo nowa sytuacja powstaje, gdy narzucimy na superpotencjał spon-
tanicznie złaman ˛
a R-symetri˛e, powiedzmy U (1). Powiedzmy, ˙ze superpole
Φ
n
ma
25
Supersymetria
r-ładunek q
n
:
Φ
n
→ e
iq
n
α
Φ
n
. Przypu´s´cmy, ˙ze <
Φ
n
>6= 0. Wtedy mo˙zemy zapisa´c
superpotencjał w postaci
W = (
Φ
n
)
2/q
n
f (X
i
), i < n,
(2.93)
gdzie nowe superpola X
i
=
Φ
i
/
Φ
q
i
/q
n
n
maj ˛
a ładunek zero wzgl˛edem R-symetrii.
Warunki na niezłaman ˛
a supersymetri˛e wygl ˛
adaj ˛
a teraz nast˛epuj ˛
aco:
∂
f
∂
X
i
= 0, f (X
i
) = 0,
(2.94)
co daje N równa´n na (N-1) zmiennych X
i
– układ, który mo˙ze nie mie´c rozwi ˛
azania.
Przykłady:
1.
W =
λ
SX
2
, R-symetria: R(S) = 0, R(X ) = 1, Q-symetria: Q(S) = 2, Q(X ) =
1. W minimum potencjału skalarnego Q złamana, R niezłamana, supersyme-
tria niezłamana.
2.
W = SX
2
+ SXY + X
2
¯
Y + mY ¯
Y , R(S) = R( ¯
Y ) = 2. W tym przypadku istnij ˛
a
pró˙znie ze złaman ˛
a spontanicznie R-symetri ˛
a i niezłaman ˛
a supersymetri ˛
a.
Powód jet taki, ˙ze podany wy˙zej superpotencjał nie jest generyczny (natu-
ralny), to znaczy nie jest maksymalnym superpotencjałem zgodnym z narzu-
conymi symetriami. Na przykład mo˙zna dodac nowy wyraz W → W + S, co
spowoduje odtworzenie R-symetrii w supersymetrycznym minimum.
3.
Model O’Raifeartaigh – generyczny, niezłamana R-symetria i złamana su-
persymetria. We´zmy W = µ
2
S +SQ
2
+mPQ, R(S) = R(P) = 2, P, Q → −P, −Q.
Wszystkie pró˙znie łami ˛
a supersymetri˛e.
4.
Na koniec przykład, w którym nie ma R-symetrii, superpotencjał jest niegen-
eryczny i supersymetria jest złamana (cho´c mo˙zna doda´c wyrazy, które przy-
wróc ˛
a supersymetri˛e): W =
λ
1
X Q
2
+
λ
2
Y (Q
2
− µ
2
) +
λ
Q
3
+ m
1
Q
2
+ m
2
2
Q.
Twierdzenie Ovruta–Wessa
Je´sli superpotencjał jest niezmienniczy wzgl˛edem pewnej symetrii globalnej lub
lokalnej U , to chiralny lagran˙zjan jest niezmienniczy wzgl˛edem wi˛ekszej grupy
symetrii, która jest kompleksyfikacj ˛
a grupy U , przykład tego zjawiska widzieli´smy
w jednym z wcze´sniejszych przykładów. Powodem tego jest holomorficzno´s´c su-
perpotencjału. Wynika st ˛
ad, ˙ze je´sli w modelu z symetri ˛
a wyst˛epuje supersymetryczna
pró˙znia, to jest ona zdegenerowana - nale˙zy ona do płaskiego kierunku potencjału
skalarnego (udowodnij to twierdzenie).
2.2.6
Naruszenie supersymetrii w sektorze ukrytym
Wyobra´zmy sobie, ˙ze w teorii supersymetrycznej pola mo˙zna podzieli´c na dwa
sektory: widzialny, zawieraj ˛
acy lekkie obserwowalne cz ˛
astki (q,e,H,...) i ukryty,
26
2.2 Własno´sci superpól
składaj ˛
acy si˛e z cz ˛
astek cie˙zkich lub słabo odziałuj ˛
acych z ektorem widzialnym,
X. W tym przypadku operatorem sprz˛egaj ˛
acym oba sektory mo˙ze by´c operator
1
M
2
(
Φ
†
Φ
X
†
X )
D
=
|F
X
|
2
M
2
φ
?
φ
+ ... ,
(2.95)
który daje jawne masy dla lekkich skalarów, je´sli supersymetria łamie si˛e przy
odpowiedniej skali w sektorze ci˛e˙zkim. Taki operator mo˙ze by´c nierenormalizowal-
nym operatorem drzewowym, lub pojawi´c sie w poprawkach radiacyjnych (to jest
D-term, nie jest on chroniony twierdzeniem o nierenormalizacji). Je´sli charak-
terystyczn ˛
a skal ˛
a sektora ci˛e˙zkiego jest M = 10
19
GeV , za´s masy lekkich skalarów
nie przekraczaj ˛
a skali 10
3
GeV , to skala naruszenia supersymetrii µ, zdefiniowana
relacj ˛
a µ
2
= |F
X
|, musi by´c niewi˛eksz ˛
a ni˙z 10
11
GeV . Skal˛e tego rz˛edu okre´slamy
jako skal˛e po´sredni ˛
a. Zadaniem porz ˛
adnego modelu supersymetrycznego jest natu-
ralne wytłumaczenie pojawiania si˛e skali po´sredniej. Nie jest to łatwe. Dotychczas
naturalne wyja´snienia dla takich skal oparte s ˛
a o efekty nieperturbacyjne w nieabe-
lowych teoriach z cechowaniem, co ma t˛e słabo´s´c, ˙ze teoria efektów nieperturba-
cyjnych w teorii pola wci ˛
a˙z jeszcze nie jest zadowalaj ˛
aca.
Wa˙znym problemem teoretycznym jest pojawianie si˛e goldstina przy spontan-
icznym naruszeniu supersymetrii. Musiałoby si˛e ono sprz˛ega´c do pól widzialnych
nawet wtedy, gdyby naruszenie supersymetrii odbywało si˛e w sektorze ukrytym
(ci˛e˙zkim). Jedynym znanym w tej chwili sposobem pozbycia si˛e z lekkiego spek-
trum bezmasowego fermionu – goldstina – jest sprz˛egni˛ecie teorii globalnie su-
persymetrycznej do grawitacji. Wówczas skala Plancka pojawia si˛e jako naturalna
skala tłumi ˛
aca przenoszenie naruszenia supersymetrii mi˛edzy sektorem ukrytym
a sektorem widzialnym. Supergrawitacji po´swi˛econa jest ko´ncowa cz˛e´s´c tych no-
tatek.
Mi˛ekkie łamanie supersymetrii
Oprócz spontanicznego łamania supersymetrii opisywanego w poprzednich rozdzi-
ałach, po˙zyteczne okazuje si˛e rozwa˙zenie jawnego łamania supersymetrii na poziomie
lagran˙zjanu. Okazuje si˛e, ˙ze istnieje zbiór operatorów wymiaru ≤ 3 , które łami ˛
a
wprawdzie SUSY jawnie, ale nie powoduj ˛
a pojawiania si˛e kwadratowych roz-
bie˙zno´sci przy obliczaniu poprawek kwantowych. Innymi słowy, dodanie do su-
persymetrycznego lagran˙zjanu tych wyrazów zachowuje techniczne rozwi ˛
azanie
problemu hierarchii dostarczane przez supersymetri˛e.
Operatory nale˙z ˛
ace do tego zbioru nazywa si˛e operatorami mi˛ekko łami ˛
acymi
supersymetri˛e. W tym rozdziale wypiszemy te wyrazy:
m
2
¯
φφ
, m
2
(
φφ
+ h.c.)
(2.96)
m
λλ
,
α
¡
φ
3
+ h.c.
¢
gdzie m jest parametrem o wymiarze masy, za´s
α
jest nowym parametrem
bezwymiarowym,
φ
reprezentuje dowolne pole chiralne, za´s
λ
oznacza fermiony
w reprezentacji doł ˛
aczonej grupy cechowania (gaugina).
27
Supersymetria
Wyrazy mi˛ekko łami ˛
ace globaln ˛
a supersymetri˛e pojawiaj ˛
a si˛e w niskoener-
getycznej granicy lagran˙zjanu supergrawitacji.
Inne wyrazy łami ˛
ace supersymetri˛e wprowadzaj ˛
a kwadratowo rozbie˙zne poprawki
kwantowe. Do takich “twardych” wyrazów nale˙z ˛
a masy fermionów chiralnych,
m
ψψ
, oraz np. wyrazy typu m
¡
φ
+ ¯
φ
¢
3
.
2.3
Supergrawitacja
Supergrawitacja
W lokalnej supersymetrii parametry transformacji nie s ˛
a stałymi lecz zale˙z ˛
a od
współrz˛ednych czasoprzestrzennych. Z postaci algebry lokalnej supersymetrii
£
ε
(x)Q, ¯
Q¯
ε
(x)
¤
= 2
ε
(x)
σ
µ
¯
ε
(x)P
µ
(2.97)
gdzie z prawej strony mamy czasoprzestrzenn ˛
a translacj˛e, która zmienia si˛e od
punktu do punktu, wnioskujemy, ˙ze lokalna supersymetria zawiera teori˛e lokalnych
translacji, czyli zwykł ˛
a grawitacj˛e. Tak wi˛ec lokaln ˛
a supersymetri˛e nazywamy
spergrawitacj ˛
a (SUGRA). Supersymetrycznym partnerem grawitonu (cz ˛
astki o spinie
2) jest tu grawitino, fermion o spinie 3/2.
Lagran˙zjan supergrawitacji
Zajmijmy si˛e przedstawieniem lagran˙zjanu supergrawitacji
L
SU GRA
, który zaw-
iera´c b˛edzie: chiraln ˛
a materi˛e, pola cechowania oraz par˛e pól o spinach
¡
2 ,
3
2
¢
w supergrawitacyjnym multiplecie. Ograniczymy si˛e tylko do analizy potencjału
skalarnego, którego b˛edziemy potrzebowa´c w pó´zniejszej dyskusji
.
Ogólny Lagran˙zjan supergrawitacji sparametryzowany jest przez trzy nieza-
le˙zne funkcje:
Pierwsza z tych funkcji, to funkcja kinetyczna dla pól cechowania, mo˙ze by´c dowoln ˛
a
holomorficzn ˛
a funkcj ˛
a superpól chiralnych:
L
K
=
f
αβ
(
φ
)W
α
W
β
(2.98)
gdzie
α
oraz
β
s ˛
a indeksami reprezentacji doł ˛
aczonej grupy cechowania.
Druga to rzeczywista funkcja Kählera: K = K
¡
¯
φ
e
gV
,
φ
¢
, nazywana rzeczywistym
potencjałem Kählera, przez któr ˛
a wyra˙zaj ˛
a si˛e wyrazy kinetyczne dla pól chiral-
nych.
K
i
j
D
µ
z
i
D
mu
z
j∗
≡
∂
2
K
∂
z
i
∂
z
j∗
D
µ
z
i
D
mu
z
j∗
(2.99)
gdzie z
i
jest najni˙zsz ˛
a składow ˛
a chiralnego superpola
φ
.
Wreszcie trzecia funkcja, to u˙zywany wcze´sniej superpotencjał W (
φ
), który wraz
2
Ogólny lagran˙zjan supergrawitacji został podany w pracy [
28
2.3 Supergrawitacja
z potencjałem Kählera tworzy funkcj˛e G:
G = K + M
P
2
log
|W |
2
M
P
6
(2.100)
zwan ˛
a cz˛esto równie˙z funkcj ˛
a Kählera.
Potencjał skalarny V w supergrawitacji zapisujemy w postaci:
V
= M
P
4
exp
µ
G
M
P
2
¶ µ
1
M
P
2
G
k
¡
G
−1
¢
k
l
G
l
− 3
¶
+
1
2
f
−1
αβ
D
α
D
β
(2.101)
Rozpatrzmy minimalne wyrazy kinetyczne:
G
i
j
=
δ
i
j
(2.102)
Potencjał Kählera przybierze wtedy posta´c:
G
= z
i
z
i∗
+ M
P
2
log
|W |
2
M
P
6
(2.103)
Gdzie M
P
jest mas ˛
a Plancka.
Pierwsza pochodna potencjału Kählera jest dana wzorem :
G
i
= z
i∗
+ M
P
2
W
i
(z
i
)
W (z)
(2.104)
Za´s potencjał skalarny przyjmuje posta´c:
V
= exp
µ
z
i
z
i∗
M
2
P
¶ " ¯
¯
¯
¯W
i
+
z
i∗
M
2
P
W
¯
¯
¯
¯
2
−
3
M
2
P
|W |
2
#
(2.105)
W przeciwie´nstwie do globalnej SUSY, potencjał ten nie jest dodatnio okre´slony.
2.3.1
Łamanie supersymetrii w supergrawitacji
Teraz postaramy si˛e przedstawi´c warunki konieczne i wystarczaj ˛
ace dla spontan-
icznego naruszenia lokalnej supersymetrii. W porównaniu z globaln ˛
a supersymetri ˛
a,
w polu pomocniczym ˜
F , którego niezerowa warto´s´c pró˙zniowa mierzy łamanie
supersymetrii, pojawia si˛e dodatkowy wyraz:
˜
F
i
= e
G
MP2
F
i
(2.106)
F
i
=
µ
W
i
+
z
i∗
M
P
2
W
¶
Przy czym w granicy M
P
−→
∞
odtwarzamy wynik globalny. Skal˛e przy której
nast˛epuje łamanie supergrawitacji znajdujemy z:
M
2
S
= h F i exp
µ
z
i
z
i∗
M
P
2
¶
(2.107)
Mo˙zemy rozwa˙zy´c trzy przypadki:
29
Supersymetria
•
E
vac
< 0 — Anty de Sitter
•
E
vac
= 0 — Super–Poincaré
•
E
vac
> 0 — de Sitter zawsze implikuje złaman ˛
a N = 1 SUGRA.
gdzie E
vac
= hV i Aby łama´c SUGRA ze znikaj ˛
ac ˛
a energi ˛
a pró˙zni (stał ˛
a kosmo-
logiczn ˛
a) potrzebujemy by:
∑
i
F
i
F
∗
i
=
3
M
P
2
|W |
2
(2.108)
Je˙zeli
∑
i
F
i
F
∗
i
=
3
M
P
2
|W |
2
oraz M
S
6= 0, to grawitino staje si˛e masywne w wyniku
efektu super-Higgsa:
m
3/2
≡ M
P
¿
exp
µ
−
G
2M
P
2
¶ À
=
¿
g
M
P
2
exp
µ
z
i
z
i∗
M
P
2
¶ À
(2.109)
wynika st ˛
ad wa˙zna relacja:
m
3/2
=
M
2
S
√
3M
P
(2.110)
w wypadku znikaj ˛
acej stałej kosmologicznej
κ
c.c.
= 0. Obserwujemy, ˙ze energia
pró˙zni nie jest ju˙z parametrem porz ˛
adku.
Przedyskutujmy prosty przykład pokazuj ˛
acy, ˙ze mo˙ze by´c złamana SUSY oraz
E
vac
= 0 “Odgrzejemy” przykład, zawieraj ˛
acy jedno pole z oraz stały superpotenc-
jał W = m
3
. Potencjał jest dany przez:
V
= m
6
exp
µ
z
∗
z
M
P
2
¶ ·
|z|
2
M
P
4
−
3
M
P
2
¸
(2.111)
z punktami stacjonarnymi:
•
w z = 0 SUGRA jest złamana, lecz jest to tylko lokalne minimum potencjalu,
V = −m
6 3
M
P
2
•
oraz w |z| =
√
2M
P
, przy czym jest to prawdziwe mimimum złamanej su-
persymetrii,
V = −m
6
exp(
√
2)
1
M
P
2
≈ −m
6
4.11 . . .
1
M
P
2
, za´s E
vac
< 0 dla z = ±
√
2M
P
Rozwa˙zmy teraz bardziej skomplikowany przykład. B˛edzie to prosty model ze
spontanicznie złaman ˛
a supersymetri ˛
a oraz E
vac
= 0. Skupmy si˛e na superpotenc-
jale:
W (z)
= m
2
(z +
β
) .
(2.112)
Nieznikaj ˛
aca warto´s´c pró˙zniowa dla
F =
∂
W
∂
z
+
z
∗
M
P
2
= m
2
µ
1 +
z
∗
(z +
β
)
M
P
2
¶
(2.113)
30
2.3 Supergrawitacja
b˛edzie sygnalizowa´c łamanie supersymetrii.
Równanie:
M
P
2
+ zz
∗
+ z
∗
β
= 0
(2.114)
ma rozwi ˛
azanie:
z
= −
β
2
±
1
2
q
β
2
− 4M
P
2
(2.115)
Poniewa˙z równanie M
P
2
+ zz
∗
+ z
∗
β
= 0 dopuszcza tylko rzeczywiste rozwi ˛
azania
przyjmujemy, ˙ze
β
jest rzeczywiste. To równanie (
) implikuje, ˙ze SUSY jest
złamana dopóki zachodzi zwi ˛
azek
β
< 2M
P
.
Skupmy si˛e najpierw na przypadku
β
= 0 , kiedy potencjał jest proporcjonalny
do:
V ∼
¡
M
P
2
+ |z|
2
¢
2
− 3M
P
2
|z|
2
(2.116)
i jest dodatni dla minimum w z = 0. Zwi˛ekszanie
β
implikuje zmniejszenie energii
pró˙zni. Je˙zeli chcemy zwi˛eksza´c
β
dopóki potencjał nie “dotknie” zera. Zobaczmy
co si˛e dzieje dla
β
= (2 −
√
3)M
P
, dla której z osi ˛
aga warto´s´c M
P
(
√
3 − 1) .
Okazuje si˛e, ˙ze potencjał jest dodatnio okre´slony przez E
vac
= 0, i poniewa˙z |
β
| <
2M
P
, SUSY jest złamana. Wyst˛epuje tutaj efekt super-Higgsa. W skutek efektu su-
perhiggsa grawitino staje si˛e masywne (grawitino pochłania fermion z chiralnego
superpola), za´s jego masa dana jest przez:
m
3/2
=
m
2
M
P
exp
à ¡√
3 − 1
¢
2
2
!
(2.117)
Pole z rozpada si˛e na dwa pola skalarne o masach odpowiednio:
m
2
1
= 2
√
3(m
3/2
)
2
(2.118)
m
2
2
= 2
³
2 −
√
3
´
(m
3/2
)
2
Supersymetria jest złamana i E
vac
= 0 Obserwowana tutaj sytuacja nie jest mo˙zliwa
w przypadku globalnej SUSY. Ten ostatni przykład to tzw. model Polony’ego.
Zanim zamkniemy ten rozdział przedyskutujmy jeszcze jeden interesuj ˛
acy model.
Dotychczas zajmowali´smy si˛e tylko modelami z minimalnym wyrazem kinety-
cznym dla pól skalarnych. Modele z nieminimalnym wyrazem kinetycznym s ˛
a
równie˙z bardzo interesuj ˛
ace. Rozpatrzmy funkcj˛e Kälera w postaci:
G = 3M
P
2
log
µ
φ
+
φ
∗
M
P
¶
− M
P
2
log
|W |
2
M
P
6
(2.119)
przy stałej warto´sci superpotencjału W = m
3
. Potencjał dany przez:
V = M
P
4
exp
µ
−
G
M
P
2
¶ µ
1
M
P
2
G
k
¡
G
−1
¢
k
l
G
l
− 3
¶
(2.120)
31
Supersymetria
znika on to˙zsamo´sciowo. Jednak masa grawitina
m
3/2
= M
P
2
e
G
MP2
=
|g|
2
(
φ
+
φ
∗
)
3
(2.121)
nie znika, co oznacza ,˙ze SUSY jest złamana. Taki model nazywany jest modelem
bezskalowym, no-scale . Modele tego typu pojawiaj ˛
a si˛e zazwyczaj w niskoener-
getycznej granicy w teorii strun.
32
Rozdział
3
Uzupełnienie techniczne
3.1
Formalizm spinorów Weyla
Przedstawimy dwukomponentow ˛
a notacj˛e spinorow ˛
a. Dwukomponentowe spinory
s ˛
a niezwykle przydatne w teoriach z chiralnymi fermionami. U˙zywamy metryki
η
µ
ν
= diag(1, −1, −1, −1).
Zacznimy od zdefiniowania dwuwymiarowej macierzy M ∈ SL(2,C) . Macierz
M , jej sprz˛e˙zenie zespolone M
∗
, odwrotno´s´c wraz z transpozycja (M
T
)
−1
, oraz
sprz˛e˙zenie hermitowskie i odwrotno´s´c (M
†
)
−1
, te˙z nale˙z ˛
a do grupy SL(2,C) .
Dwukomponentowe spinory z górnymi i dolnymi “kropkowanymi” wska´znikami
s ˛
a definiowane przez transformacj˛e wzgl˛edem grupy SL(2,C)
ψ
0
α
= M
α
β
ψ
β
¯
ψ
0
˙
α
= M
∗
˙
α
˙
β
¯
ψ
˙
β
ψ
0
α
= M
−1
β
α
ψ
β
¯
ψ
0 ˙
α
= (M
∗
)
−1
˙
β
˙
α
¯
ψ
˙
β
.
(3.1)
Greckie wska´zniki odnosz ˛
a si˛e do spinorów. Spinory z kropkowanymi wska˙znikami
transformuj ˛
a si˛e jak (0,
1
2
)reprezentacja grupy Lotentza, podczas gdy niekropkowane
– zwykłe wska´zniki transformuj ˛
a si˛e jak (
1
2
, 0) – sprz˛e˙zona reprezentacja.
Macierze–
σ
, to dwuwymiarowe zespolone macierze:
σ
0
=
µ
1
0
0
1
¶
σ
1
=
µ
0
1
1
0
¶
σ
2
=
µ
0
−i
i
0
¶
σ
3
=
µ
1
0
0
−1
¶
,
(3.2)
Ka˙zda macierz hermitowska mo˙ze by´c przedstawiona w postaci:
P ≡ (p
m
σ
m
) =
µ
p
0
+ p
3
p
1
− ip
2
p
1
+ ip
2
p
0
− p
3
¶
.
(3.3)
33
Uzupełnienie techniczne
gdzie p
m
jest rzeczywiste. Z dowolnej macierzy hermitowskiej mo˙zemy otrzyma´c
inn ˛
a macierz hermitowsk ˛
a dzi˛eki transformacji
P
0
= MPM
†
.
(3.4)
obie macierze P i P
0
mo˙zna przedstawi´c poprzez macierze
σ
,
(
σ
m
p
0
m
) = M (
σ
m
p
m
) M
†
,
(3.5)
przy czym p
m
i p
0
m
s ˛
a rzeczywiste.
Dopóki macierz M jest unimodularna (det M = 1), dopóty p
m
p
0
m
s ˛
a powi ˛
azane
transformacj ˛
a Lorentza:
det(
σ
m
p
0
m
) = det(
σ
m
p
m
) = p
0 2
0
− ~p
0 2
= p
2
0
− ~p
2
.
(3.6)
Z wzorów (
), łatwo dostrzec, ˙ze
σ
m
ma nast˛epuj ˛
aca struktur˛e wska´zników
σ
m
α
˙
α
.
(3.7)
W tej konwencji,
ψ
α
ψ
α
, ¯
ψ
˙
α
¯
ψ
˙
α
oraz
ψ
α
σ
m
α
˙
α
∂
m
¯
ψ
˙
α
s ˛
a skalarami Lorentzowskimi.
Poniewa˙z M jest macierz ˛
a unimodularn ˛
a, to całkowicie antysymetryczne ten-
sory
ε
αβ
oraz
ε
αβ
(
ε
21
=
ε
12
= −1,
ε
12
=
ε
21
= 1,
ε
11
=
ε
22
= 0) s ˛
a niezmiennicze
wzgl˛edem transformacji Lorentza:
ε
αβ
= M
α
γ
M
β
δ
ε
γδ
ε
αβ
=
ε
γδ
M
γ
α
M
δ
β
.
(3.8)
Dzi˛eki temu spinory z górnymi i dolnymi indeksami mo˙zemy poł ˛
aczy´c przez
tensor
ε
,
ψ
α
=
ε
αβ
ψ
β
,
ψ
α
=
ε
αβ
ψ
β
.
(3.9)
gdzie
ε
αβ
oraz
ε
αβ
spełniaj ˛
a zwi ˛
azek:
ε
αβ
ε
βγ
=
δ
α
γ
. Analogicznie post˛epujemy dla
kropkowanych wska˙zników.
Tensora
ε
u˙zywamy równie˙z do podnoszenia wska´zników macierzy
σ
¯
σ
m ˙
αα
=
ε
˙
α
˙
β
ε
αβ
σ
m
β
˙
β
.
(3.10)
Łatwo otrzyma´c relacje mi˛edzy dwukomponentowymi a czterokomponentowymi
spinorami. Rol˛e macierzy Pauliego przejmuj ˛
a macierze Diraca
γ
:
γ
m
=
µ
0
σ
m
¯
σ
m
0
¶
.
(3.11)
W tej notacji ¯
σ
0
=
σ
0
, ¯
σ
i
=
σ
i
. Nazywamy t˛e reprezentacj˛e macierzy Diraca reprezen-
tacj ˛
a Weyla. Je˙zeli zapiszemy w tej reprezentacji spinory Diraca, składa´c si˛e one
b˛ed ˛
a z dwu spinorów Weyla:
Ψ
D
=
µ
χ
α
¯
ψ
˙
α
¶
,
(3.12)
34
3.2 Algebra Poincare
Spinory Majorany zawieraj ˛
a tylko jeden spinor Weyla:
Ψ
M
=
µ
χ
α
¯
χ
˙
α
¶
.
(3.13)
W notatkach stosowali´smy konwencj˛e sumacyjn ˛
a:
ψχ
=
ψ
α
χ
α
= −
ψ
α
χ
α
=
χ
α
ψ
α
=
χψ
¯
ψ
¯
χ
= ¯
ψ
˙
α
¯
χ
˙
α
= − ¯
ψ
˙
α
¯
χ
˙
α
= ¯
χ
˙
α
¯
ψ
˙
α
= ¯
χ
¯
ψ
.
(3.14)
gdzie nale˙zy pami˛eta´c, ˙ze spinory antykomutuj ˛
a. Definicja ¯
ψ
¯
χ
jest dana przez:
(
χψ
)
†
= (
χ
α
ψ
α
)
†
= ¯
ψ
˙
α
¯
χ
˙
α
= ¯
χ
¯
ψ
.
(3.15)
3.2
Algebra Poincare
Algebra grupy Poincare składa si˛e z 10-ciu generatorów: 3 generatorów pchni˛e´c
K
i
, 3 generatorów obrotów J
i
oraz 4 generatorów translacji P
0
= H i P
i
, gdzie
i = 1, 2, 3 . Generatory translacji reprezentowa´c mo˙zna przez pochodne,
P
0
= i
∂
/
∂
t, P
i
= −i
∂
/
∂
x
i
.
(3.16)
Dowoln ˛
a wła´sciw ˛
a
transformacj˛e Poincare mo˙zna zapisa´c w postaci
e
i
θ
i
J
i
−i
η
i
K
i
−iHt+ix
i
P
i
,
(3.17)
gdzie generatory spełniaj ˛
a nast˛epuj ˛
ace relacje komutacyjne
[J
i
, J
j
] = i
ε
i jk
J
k
,
[J
i
, K
j
] = i
ε
i jk
K
k
,
[K
i
, K
j
] = −i
ε
i jk
J
k
,
(3.18)
[H, J
i
] = 0 ,
[H, K
i
] = −iP
i
,
[J
i
, P
j
] = i
ε
i jk
P
k
,
[P
i
, K
j
] = −iH
δ
i j
.
Algebr˛e t˛e mo˙zna zapisa´c w sposób kowariantny
[P
µ
, P
ν
] = 0
(3.19)
[P
µ
, M
ρσ
] = (−i) (
η
µ
ρ
P
σ
−
η
µ
σ
P
ρ
)
[M
µ
ν
, M
ρσ
] = (−i) (
η
νρ
M
µ
σ
−
η
νσ
M
µ
ρ
−
η
µ
ρ
M
νσ
+
η
µ
σ
M
νρ
) .
Składowe antysymetrycznego tensora M
µ
ν
zwi ˛
azane s ˛
a z J
i
i K
i
nast˛epuj ˛
aco: K
i
=
M
0i
, J
k
=
1
2
ε
klm
M
lm
. Operatorami Casimira dla algebry Poincaré s ˛
a:
1.
P
µ
P
µ
=: P
2
1
Tzn transformacj˛e deformowaln ˛
a w sposób ci ˛
agły do transformacji to˙zsamo´sciowej
35
Uzupełnienie techniczne
2.
W
µ
W
µ
=: W
2
, gdzie W
µ
jest wektorem Pauli–Lubanskiego (jest to relaty-
wistyczne uogólnienie wektora spinu): W
µ
:=
1
2
ε
µ
νρσ
P
ν
M
ρσ
.
Gdy m
2
= P
2
6= 0
to w układzie spoczynkowym masywnej cz ˛
astki
P
µ
= (m,~0)
(3.20)
W
2
= −m
2
~J
2
,
~J = (M
23
, M
31
, M
12
)
~J
2
= s(s + 1).
Dodatkowymi liczbami kwantowymi numeruj ˛
acymi stany wewn ˛
atrz reprezentacji
o ustalonych m i j s ˛
a składowe p˛edu p
i
oraz warto´sci własne
λ
operatora skr˛etno´sci
ˆ
λ
= ~J~p/|~p|. Operator skr˛etno´sci komutuje ze składowymi p˛edu.
Konstruowanie reprezentacji algebry Poincare’ w przypadku masywnym staje
si˛e proste, je˙zeli we˙zmie si˛e pod uwag˛e izomorficzno´s´c algebry SO(1, 3) i alge-
bry SU (2) ⊕ SU (2). Izomorficzno´s´c t˛e wida´c, gdy zdefiniuje si˛e niehermitowskie
kombinacje generatorów K
i
i J
i
J
i
±
=
1
2
¡
J
i
± i K
i
¢
.
(3.21)
Operatory te spełniaj ˛
a zwi ˛
azki
[J
i
±
, J
j
±
] = i
ε
i jk
J
k
±
,
(3.22)
[J
i
−
, J
j
+
] = 0 .
Reprezentacje o okre´slonych j
±
oznaczamy przez ( j
+
, j
−
). Nietrywialnymi reprezen-
tacjami o najni˙zszym, równym 2, wymiarze s ˛
a (1/2, 0) i (0, 1/2). Pozostałe reprezen-
tacje mo˙zna znale´z´c, tak jak dla algebry SU (2), przez tensorowanie tych reprezen-
tacji spinorowych. Na przykład, (1/2, 0) ⊗ (0, 1/2) = (1/2, 1/2), gdzie ta ostatnia
reprezentacja jest reprezentacj ˛
a zawieraj ˛
ac ˛
a wektor i skalar wzgl˛edem obrotów, to
znaczy wektor wzgl˛edem transformacji Lorentza.
Spinory (1/2, 0) nazywamy spinorami lewymi, a spinory (0, 1/2) – prawymi.
Spinor Dirakowski jest sum ˛
a prost ˛
a reprezentacji (1/2, 0) i (0, 1/2),
ψ
= (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), poniewa˙z ta suma jest najmniejsz ˛
a reprezentacj ˛
a, która
jest niezmiennicza wzgl˛edem parzysto´sci przestrzennej, P. two sprawdzi´c, ˙ze P
zamienia J
i
+
na J
i
−
i odwrotnie. W reprezentacji Weyla dla spinorów Diraka, górna,
wyrzutowywana przez P
L
= (1−
γ
5
)/2, połowa spinora transformuje si˛e jak (1/2, 0),
za´s dolna połowa, wyrzutowywana przez P
R
= (1 +
γ
5
)/2, transformuje si˛e jak
(0, 1/2).
W reprezentacji Weyla dla macierzy Diraka generatory obrotów i pchni˛e´c wygl ˛
a-
daj ˛
a nast˛epuj ˛
aco
J
i
=
µ
σ
i
/2
0
0
σ
i
/2
¶
,
(3.23)
36
3.2 Algebra Poincare
K
i
= −i
µ
σ
i
/2
0
0
−
σ
i
/2
¶
,
(3.24)
gdzie
σ
i
, i = 1, 2, 3 , s ˛
a macierzami Pauliego.
W tej reprezentacji
γ
5
=
µ
−1 0
0
1
¶
,
γ
0
=
µ
0
1
1
0
¶
.
W reprezentacji Diraka
γ
5
=
µ
0
1
1
0
¶
,
γ
0
=
µ
1
0
0
−1
¶
.
Cz˛esto przydatny okazuje si˛e nast˛epuj ˛
acy zwi ˛
azek: e
i~r~
σ
= cos(r)+i
~r~
σ
r
sin(r), gdzie
r = |~r|, za´s
σ
i
to macierze Pauliego.
W przypadku reprezentacji bezmasowych, m = 0, sytuacja jest nieco bardziej
zło˙zona.
Dla cz ˛
astki bezmasowej mo˙zemy przej´s´c do układu odniesienia, w którym
czterop˛ed cz ˛
astki przyjmuje posta´c p
µ
= (p, 0, 0, p), p ≥ 0. W tym układzie skład-
owe czterowektora spinu (czterowektora Pauliego-Lunbanskiego) przyjmuj ˛
a posta´c
W
1
= (J
02
− J
23
)p = −(K
2
+ J
1
)p
(3.25)
W
2
= (J
13
− J
01
)p = (K
1
− J
2
)p
W
0
= W
3
= −pJ
12
= −pJ
3
.
two sprawdzi´c, ˙ze zachodz ˛
a nast˛epuj ˛
ace relacje komutacyjne
[W
0
,W
1
] = −ipW
2
(3.26)
[W
0
,W
2
] = ipW
1
[W
1
,W
2
] = 0 .
Aby upodobni´c t˛e algebr˛e do algebry SU (2) (algebry obrotów), której reprezen-
tacje dobrze znamy, zdefinujemy operatory podnosz ˛
ace i obni˙zaj ˛
ace
λ
±
oraz oper-
ator wagowy
λ
λ
±
= W
1
± iW
2
,
λ
= −
1
p
W
0
= +J
3
=
~p~J
|~p|
,
(3.27)
które spełniaj ˛
a relacje komutacyjne
[
λ
±
,
λ
] = −(±
λ
±
)
(3.28)
[
λ
+
,
λ
−
] = 0 .
Jak wida´c, operatorem wagowym, którego warto´sci własne s ˛
a podwy˙zszane i ob-
ni˙zane przez operatory
λ
±
, jest operator skr˛etno´sci.
37
Uzupełnienie techniczne
Algebra (
) jest algebr ˛
a ruchów w 2-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej,
oznaczan ˛
a zazwyczaj przez E
2
(dwie translacje
λ
±
i obrót
λ
). Operatorem Casimira
dla algebry (
) jest operator A =
λ
+
λ
−
. Poniewa˙z składowe czterowektora W
µ
s ˛
a rzeczywiste, to operator A jest hermitowski i ma rzeczywiste warto´sci własne.
Mo˙zna wybra´c jako baz˛e w przestrzeni Hilberta stany, które s ˛
a stanami włsnymi A
i
λ
(podalgebra Cartana algebry E
2
jest 1-wymiarowa). Niech
λ
u(A, µ) = µu(A, µ).
Wtedy [
λ
+
,
λ
]u(A, µ) = −
λ
+
u(A, µ), co oznacza, ˙ze
λ
(
λ
+
u(A, µ)) = (µ + 1)
λ
+
u(A, µ),
(3.29)
co z kolei oznacza, ˙ze
λ
+
u(A, µ) = a
+
(µ)u(A, µ + 1).
(3.30)
Podobnie
λ
−
u(A, µ) = a
−
(µ)u(A, µ − 1).
(3.31)
Poniewa˙z
hA, µ
0
|
λ
+
|A, µi
∗
= hA, µ|
λ
−
|A, µ
0
i,
(3.32)
i powy˙zsze elementy macierzowe nie znikaj ˛
a tylko dla µ
0
= µ + 1, to zachodzi
równo´s´c a
∗
+
(µ) = a
(
µ + 1). Z kolei
λ
+
λ
−
u(A, µ) =
λ
−
λ
+
u(A, µ),
(3.33)
sk ˛
ad wynika równo´s´c a
−
(µ)a
+
(µ − 1) = a
+
(µ)a
−
(µ + 1). Dlatego, dla ka˙zdego µ
otrzymujemy
|a
+
(µ − 1)|
2
= |a
+
(µ)|
2
(3.34)
|a
−
(µ)|
2
= |a
−
(µ + 1)|
2
.
Poniewa˙z wszystkie stany w danej reprezentacji otrzymujemy przez wielokrotne
działanie operatorami
λ
±
na pewien stan pocz ˛
atkowy, to dla wszystkich stanów w
reprezentacji nieprzywiedlnej |a
+
| =
ν
+
i |a
−
| =
ν
−
dla pewnyh ustalonych rzeczy-
wistych
ν
−
i
ν
+
. Ponadto, a
∗
+
(µ) = a
−
(µ + 1), zatem
ν
−
=
ν
+
=
ν
.
Mo˙zliwe s ˛
a dwa przypadki:
•
ν
6= 0 – w tym przypadku nie ma ˙zadnych ogranicze´n na dozwolone warto´sci
ν
i µ i otrzymujemy nisko´nczenie wymiarowe reprezentacje. Nie znamy real-
izowanych w przyrodzie stanów fizycznych, którym te reprezentacje mogłyby
odpowiada´c.
•
ν
= 0 – reprezentacje nieprzywiedlne s ˛
a jednowymiarowe. Odpowiadaj ˛
a one
na przykład stanom fotonów i grawitonów. W teoriach niezmienniczych wzgl˛e-
dem
C P T
najmniejsz ˛
a reprezentacj ˛
a, która jest niezmiennicza wzgl˛edem
C P T
, jest reprezentacja dwuwymiarowa, która jest sum ˛
a prost ˛
a reprezen-
tacji o skr˛etno´sciach µ i −µ (pod działaniem
C P T
λ
→ −
λ
). Fizyczne fotony,
bezmasowe nautrina i grawitony uto˙zsamiamy z takimi wła´snie dwuwymia-
rowymi reprezentacjami.
38
3.2 Algebra Poincare
Okazuje si˛e, ˙ze skr˛etno´s´c µ jednowymiarowych reprezentacji bezmasowych jest
skwantowana. Skr˛etno´s´c jest generatorem obrotów wokół kierunku ~p. Zatem pod
działaniem obrotu o k ˛
at 2
π
stan skr˛etno´sciowy zmienia si˛e o faz˛e
|µi → e
i2
π
µ
|µi.
(3.35)
Analiza struktury grupy obrotów prowadzi do wniosku, ˙ze 2
π
µ = k
π
, k ∈
Z
, zatem
µ =
k
2
, k ∈
Z
.
Argumentacja przebiega nast˛epuj ˛
aco. Obroty w trzech wymiarch mo˙zna scharak-
teryzowa´c przez podanie kierunku~n i k ˛
ata
φ
≤
π
. Ale obroty o k ˛
at
π
wokół kierunku
~n i −~n prowadz ˛
a do tej samej konfiguracji przestrzennej, trzeba je zatem uto˙zsami´c.
Zatem punkty A i B na rysunku
oznaczaj ˛
a to samo przkształcenie, ale cykle (a)
i (b) nie dadz ˛
a si˛e na siebie przekształci´c w sposób ci ˛
agły. Wykonanie po kolei
wszystkich przekształce´n wzdłu˙z drogi (a) musi da´c w wyniku przekształcenie
to˙zsamo´sciowe, I. Natomiast wykonanie po kolei przekształce´n wzdłu˙z drogi typu
(b) daje w wyniku przekształcenie P, które przekształceniem to˙zsamo´sciowym by´c
nie musi. Natomiast trzeba zauwa˙zy´c, ˙ze zło˙zenie dwu dróg typu (b), na przykład
(b) i (b’) z rysunku
, daje si˛e zdeformowa´c do drogi typu (a). Zatem P
2
= I.
Poniewa˙z w przestrzeni 1-wymiarowej P musi by´c liczb ˛
a zespolon ˛
a o module 1,
to P = e
i
π
lub P = e
i2
π
. Oba wybory s ˛
a dopuszczalne. W szczególno´sci, wybór
pierwszej z tych mo˙zliwo´sci oznacza, ˙ze dopuszczalnymi warto´sciami wielko´sci
2
π
µ s ˛
a oprócz całkowitych wielokrotno´sci 2
π
równie˙z całkowite wielokrotno´sci
π
.
St ˛
ad stanom fizycznym mog ˛
a odpowiada´c połówkowe warto´sci skr˛etno´sci. Stany
o połówkowych skr˛etno´sciach opisuj ˛
a fermiony.
Rysunek 3.1: Obroty A i B s ˛
a tymi samymi przekształceniami w przestrzeni konfig-
uracyjnej, lecz zamkni˛etych dróg (a) i (b) nie mo˙zna w sposób ci ˛
agły przekształci´c
na siebie.
39
Uzupełnienie techniczne
Rysunek 3.2: Zło˙zenie dwu dróg typu (b) jest drog ˛
a typu (a) (cyklem ´sci ˛
agalnym
do punktu).
40
Bibliografia
[1]
J. Wess and J. Bagger,
“Supersymmetry And Supergravity”.
[2]
M. Sohnius,
“Introducing Supersymmetry,” Physics Reports 121.
[3]
M. Drees,
“An introduction to supersymmetry,” arXiv:hep-ph/9611409.
[4]
L. O’Raifeartaigh,
“Spontaneous Symmetry Breaking For Chiral Scalar Superfields,” Nucl.
Phys. B 96 (1975) 331.
[5]
P. Fayet and J. Iliopoulos,
“Spontaneously Broken Supergauge Symmetries And Goldstone Spinors,”
Phys. Lett. B 51 (1974) 461.
[6]
E. Cremmer, S. Ferrara, L. Girardello and A. Van Proeyen,
“Yang-Mills Theories With Local Supersymmetry: Lagrangian, Transfor-
mation Laws And Superhiggs Effect,”
Nucl. Phys. B 212 (1983) 413.
41
Document Outline
- Wprowadzenie
- Supersymetria
- Uzupelnienie techniczne
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Breaking out of the Balkans Ghetto Why IPA should be changed
Miesięczny plan pracy wrzesień, BreakingFree wszystko, studia, planyyy
Breaking the rules
woreczki, BreakingFree wszystko, studia, zabawy
tęcza, BreakingFree wszystko, studia, zabawy
Bezpieczny przedszkolak scenariusze zajec[1], BreakingFree wszystko, studia, aa różne pomoce, scena
fazy rozwoju mowy przez dziecko wg Jurkowskiego, BreakingFree wszystko, studia
teksty do zabaw z dzieciństwa, BreakingFree wszystko, studia, zabawy
meyer o breaking dawn i nie tylko
RODZINA FUNKCJONUJĄCA W POSZCZEGÓLNYCH EPOKACH, BreakingFree wszystko, studia
Breaking out of the Balkans Ghetto Why IPA should be changed
Breaking the habit
Super resolution microscopy breaking the limits
Knapp Thalassocracies in bronze age eastern mediterranean trade making and breaking a myth
Breaking Point rozdział 3
Disconzi Spontaneous symmetry breaking
Breaking Point S L Armstrong
Scottie Blaine Breaking Bear
więcej podobnych podstron