Rozdział

Wprowadzenie

Supersymetria jest maksymalnym (je´sli pomin ˛

a´c przekształcenia skalowania) rozsz-

erzeniem algebry Poincare w czterech wymiarach czasoprzestrzennych. Reprezen-
tacje supersymetrii zawieraj ˛

a zarówno bozony jak i fermiony, poniewa˙z generatory

supersymetrii transformuj ˛

a si˛e jak fermiony wzgl˛edem algebry Lorentza. Zjawisko

to nasuwa natychmiast my´sl o u˙zyciu supersymetrii jako symetrii unifikuj ˛

acej bo-

zony i fermiony. Współczesna teoria oddziaływa´n elementarnych rzeczywi´scie ko-
rzysta z tej mo˙zliwo´sci. Jednak˙ze supersymetryczna unifikacja cz ˛

astek o ró˙znych

spinach jest tylko cz˛e´sciowa. Supersymetria nie mo˙ze by´c bowiem dokładn ˛

a, nien-

aruszon ˛

a, symetri ˛

a przyrody, gdy˙z przewiduje dla ka˙zdej cz ˛

astki istnienie part-

nera o innym spinie, ale dokładnie takiej samej masie. Na przykład, powinni´smy
widzie´c w do´swiadczeniach akceleratorowych skalarne elektrony o takiej samej
masie jak zwykłe elektrony – jest to przewidywanie niezgodne z do´swiadcze-
niem. Supersymetria traktuje równorz˛ednie bozony i fermiony, nie sugeruj ˛

ac, który

rodzaj cz ˛

astek mo˙ze by´c bardziej podstawowym składnikiem materii. W szczegól-

no´sci, wła´snie supersymetria w równie fundamentalny sposób traktuje chiralne
fermiony jak i cz ˛

astki o spinie zero - skalary. Jest to ciekawe o tyle, ˙ze z jednej

strony nie odkryto jak dot ˛

ad ani w laboratoriach ani w kosmosie ˙zadnych elemen-

tarnych skalarów, a z drugiej strony współczesna fizyka potrzebuje skalarów do
wyja´snienia struktury fizycznej pró˙zni (efekt Higgsa i cz ˛

astki Higgsa). W teoriach

rozszerzaj ˛

acych Model Standardowy, zwłaszcza w teoriach u˙zywaj ˛

acych wiekszej

ni˙z cztery liczby wymiarów czasoprzestrzennych, oprócz pól Higgsa wyst˛epuj ˛

licznie dodatkowe fundamentalne skalary, które determinuj ˛

a struktur˛e fizycznej

pró˙zni - tak zwane pola modułów. Wyja´snienie sposobu w jaki jest ustalana warto´s´c
oczekiwana pól modułów (dylatonu, radionu i temu podobnych pól) jest obecnie
kluczowym, a ci ˛

agle nierozwi ˛

azanym, problemem supersymetrycznych teorii pola

unifikuj ˛

acych oddziaływania fundamentalne.

Pot˛ega supersymetrii widoczna jest w całej pełni na poziomie supersymetry-

cznych kwantowych teorii pola. Supersymetria dostarcza naturalnego technicznie
i obfituj ˛

acego w fizyczne implikacje sposobu kontrolowania hierarchii skal ma-

Wprowadzenie

sowych w czterowymiarowych teoriach pola, skutecznego we wszystkich rz˛edach
rachunku zaburze´n. Jednak˙ze, supersymetria musi zosta´c naruszona przy niskich
energiach, aby odtworzy´c obserwowaln ˛

a fenomenologi˛e. Najbardziej ekonomicznym

sposobem naruszenia supersymetrii jest sprz˛egni˛ecie, w sposób lokalnie super-
symetryczny, Lagrangianu zawieraj ˛

acego pola cechowania i materi˛e do grawitacji i

naruszenie lokalnej supersymetrii spontanicznie. Po pierwsze, w ten sposób unika
si˛e wprowadzenia do spektrum dodatkowego bezmasowego fermionu – Goldstino
staje si˛e skladow ˛

a o skr˛etno´sci 1/2 masywnego grawitina – cz ˛

astki o spinie 3/2.

Po drugie, słabe sprz˛e˙zenia grawitacyjne zapewniaj ˛

a naturalne stłumienie efektów

komunikowania naruszenia supersymetrii do sektora obserwowalnego. W granicy
płaskiej czasoprzestrzeni ta procedura prowadzi do globalnie supersymetrycznego
Lagran˙zjanu z jawnie ale mi˛ekko naruszon ˛

a supersymetri ˛

Z drugiej strony, w teoriach zdefiniowanych w czasoprzestrzeniach o wy˙zszym

ni˙z cztery wymiarze, np w teoriach superstrun lub w teoriach supergrawitacji, ist-
nieje wiele pól, zarówno bozonowych jak i fermionowych, które nie s ˛

a naładowane

wzgl˛edem grupy symetrii cechowania i tworz ˛

a płaskie b ˛

ad´z ‘uciekaj ˛

ace’ kierunki

w przestrzeni pól. Te pola zwane polami modułów s ˛

a naogół zwi ˛

azane z wy˙zej-

wymiarowymi składowymi metryki, polami tensorów antysymetrycznych i wy˙zej-
wymirowymi składowymi grawitin. Po kompaktyfikacji takie pola mog ˛

a dawa´c

wkład (i naogól daj ˛

a) do efektywnej stałej kosmologicznej w czterech wymiarach,

poprzez swoje potencjały i gradienty wzdłu˙z skompaktyfikowanych wymiarów.
Zatem naprawd˛e przekonuj ˛

acy i pomy´slny mo˙ze by´c tylko taki scenariusz narusze-

nia supersymetrii, który nie tylko przewiduje rozszczepienie mas rz˛edu 1TeV w ob-
serwowalnych multipletach supersymetrycznych, ale tak˙ze przewiduje równoczesn ˛

stabilizacj˛e modułów i blisk ˛

a zeru stał ˛

a kosmologiczn ˛

Po˙zód licznych propozycji zmierzaj ˛

acych do realizacji takiego scemariusza

szczególn ˛

a prostot ˛

a odznacza si˛e pomysł u˙zycia dwu lub wi˛ecej kondensatów fer-

mionowych partnerów nieabelowych bozonów cechowania (kondensatów gaugin),
tzn. modeli typu race-track. Z technicznego punktu widzenia dynamiczne formowanie
si˛e takich kondensatów prowadzi do powstania superpotencjału, który zale˙zy ek-
sponencjalnie od modułów wyst˛epuj ˛

acych w funkcjach kinetycznych kondensu-

j ˛

acych grup cechowania. Jak pokazano w ci ˛

agu ostatnich lat, takie eksponenc-

jalne wkłdy do superpotencjału powstawa´c mog ˛

a nie tylko z powodu silnie odd-

ziałuj ˛

acych sektorów grup cechowania, ale tak˙ze z powodu nietrywialnych czyn-

ników skrzywienia (czynników warpowania) wzdłu˙z dodatkowych wymiarów lub
z powodu tła w postaci rozwi ˛

aza´n branowych w wy˙zej-wymiarowych supergraw-

itacjach i teoriach strun.

1.0.1

Dlaczego supersymetria?

Podsumujmy najwa˙zniejsze argumenty przemawiaj ˛

ace za supersymetri ˛

•

Rozwa˙zmy energi˛e pró˙zni dla zespołu pól swobodnych o masach m

i spinach

∝

(−1)

2 j

(2 j + 1)

+ m

= (−1)

2 j

(2 j + 1)

p|p|(1 +

+ O(p

−4

)).

(1.1)

Znikanie kwartycznych i kwadratowych rozbie˙zno´sci w tym wyra˙zeniu mo˙zna
zapewni´c jesłi w zespole b˛edzie tyle samo stopni swobody o spinie całkow-
itym co stopni swobody o spinie połówkowym i masy tych pól b˛ed ˛

a (parami

bozon – fermion) jednakowe.

•

Supersymetria wyja´snia (w sensie technicznym) dlaczego masy skalarów
(np cz ˛

astki Higgsa) mog ˛

a pozostawa´c o wiele rz˛edów wielko´sci mniejsze

ni˙z skala Plancka w obecno´sci poprawek kwantowych. Co prawda masy
skalarów nie s ˛

a chronione przez jak ˛

akolwiek symetri˛e wewn˛etrzn ˛

a (wyj ˛

atkiem

s ˛

a bozony Goldstona), ale masy fermionów i bozonów wektoroch tak: te

pierwsze przez symetrie chiralne za´s te drugie przez symetrie cechowania.
Poniewa˙z supersymetria supersymetria kojarzy w jednym multiplecie skalary
i fermiony (a takze skalary i bozony wektorowe w rozszerzonych teoriach
supersymetrycznych), to tym samym ‘rozszerza’na sektor skalarny efekty
symetrii chiralnych i symetrii cechowania.

•

Inna wa˙zna motywacja, która w praktyce doprowadziła do skonstruowa-
nia i rozwoju teorii supersymetrycznych jest natury teoretycznej. Chodzi o
próby zunifikowania symetrii wewn˛etrznych układów fizycznych z symetri ˛

Poincare. W latach 60-tych XXgo wieku wiele wysiłku wło˙zono na przykład
w próby zbudowania jednolitycgo opisu oddziaływa´n silnych, w których
uczestnicz ˛

a zarówno cz ˛

aski fermionowe – hadrony, jak i bozonowe – mezony,

oparte o umieszczanie w tej samej reprezentacji pewnej grupy zawieraj ˛

acej

SU (3) zapachu – na przykład SU (6), zarówno hadronów jak i mezonów.
Oczywi´scie, przekształcenia grupy SU (6) mieszały ze sob ˛

a fermionowe i

bozonowe stopnie swobody. Próby te podsumowane zostały pod koniec lat
60tych kilkoma twierdzeniami ‘no-go’, w szczególno´sci twierdzeniem Cole-
mana-Manduli, które orzekało, ˙ze ka˙zda nietrywialna ci ˛

agła symetria macierzy

rozpraszania musi byc co najwy˙zej iloczynem prostym symetrii wewn˛etrznej
i symetrii Poincare. Dowód twierdzenia CW oparty był na zało˙zeniu, ˙ze gen-
eratory rozpatrywanej symetrii macierzy rozpraszania spełniaj ˛

a pewn ˛

a alge-

br˛e komutatorów.

•

Ostatnio supersymetria stała si˛e wa˙znym narz˛edziem teoretycznym anali-
zowania silnie sprz˛e˙zonych nieabelowych teorii Yanga-Millsa. W szczegól-
no´sci, dzieki supersymetrii udało si˛e zrealizowa´c przykład dualno´sci elek-
tromagnetycznej.

•

Sypersymetria czasoprzestrzenna zdaje si˛e by´c przewidywaniem konsystent-
nych teorii strun, które unifikuj ˛

a na poziomie kwantowym wszystkie znane

oddziaływania, ł ˛

acznie z grawitacj ˛

Rozdział

Supersymetria

Szczegółowy opis konstrukcji algebry superymetrii zawiera podr˛ecznik Wessa i
Baggera [

], przedstawimy tylko zarys tej konstrukcji. Zacznijmy od wprowadzenia

algebry supersymetrii:

, ¯

} = 2

(2.1)

, Q

} = { ¯

, ¯

} = 0

, Q

] = [P

, ¯

] = 0

, P

] = 0

, M

µ,

] =

)

gdzie { , } oznacza antykomutator, Q

oraz ¯

s ˛

a ładunkami supersymetrycznymi,

jest operatorem czterop˛edu, za´s M

µ,

s ˛

a generatorami bustów i obrotów (bli˙zsze

informacje na temat formalizmu spinorów Weyla zawiera

3.1

). Ostatni komutator

generatorów supersymetrii z generatorami obrotów pokazuj˛e, ˙ze generatory Q

transformuj ˛

a si˛e jak lewe spinory dwuskładnikowe, a operatory do nich sprz˛e˙zone

jak spinory prawe.

Aby sformułowa´c supersymetryczn ˛

a teori˛e pola, musimy znale´z´c reprezentacj˛e

algebry SUSY, wzór (

2.1

), w przestrzeni pól nieograniczonych ˙zadnymi warunk-

ami, (poza powłok ˛

a masy). Aby tego dokona´c definiujemy antykomutuj ˛

ace spinorowe

parametry

, ¯

, spełniaj ˛

ace warunki:

{

} = {

, Q

} = . . . = [P

] = 0

(2.2)

U˙zywaj ˛

ac tych zmiennych mo˙zemy zapisa´c algebr˛e supersymetrii w nast˛epuj ˛

acy

sposób:

[

Q, ¯

= 2

ξσ

(2.3)

[

= [¯

Q, ¯

Q] = 0

= [P

, ¯

Q] = 0

Supersymetria

gdzie stosuj˛e konwencj˛e sumacyjn ˛

Q =

Q = ¯

(2.4)

Zauwa˙zmy, ˙ze:

dim[

] = −

oraz, ˙ze:

dim[Q]

posiada spin

1
2

Poniewa˙z Q transformuje si˛e jak spinor zatem mamy

Q|bozon i = | f ermion i

(2.5)

Supersymetria transformuje wi˛ec bozony (spin całkowity) 7−→ fermiony (spin połówkowy)
i odwrotnie. Ogólnie mówi ˛

ac pola o spinie l 7−→ l ±

1
2

Skonstruujemy teraz najprostszy supersymetryczny multiplet zło˙zony z pól bo-

zonowch i fermionowych. Zaczniemy konstrukcj˛e od skalarnego pola bozonowego
A:
Definiujemy spinor

poprzez transformacj˛e pola bozonowego A

√

ξψ

(2.6)

Pole fermionowe

transformuje si˛e w pole bozonowe F o wy˙zszym wymiarze

oraz w pochodn ˛

a pola A .

=: i

√

ξ∂

A +

√

(2.7)

Wzór (

2.7

) jest jednocze´snie definicj ˛

a pola F . U˙zywaj ˛

ac wyra˙ze´n (

2.6

) i (

2.7

)

otrzymujemy

= 2i

ξσ

η∂

A + 2

ξη

(2.8)

co pokazuje, ˙ze antykomutator dwu kolejnych transformacji daje pochodn ˛

a pola A .

To samo powinno mie´c miejsce dla pozostałych pól multipletu. W szczególno´sci
dla pola fermionowego

mamy:

[

]

= (

−

)

(2.9)

= −2i(

ησ

−

ξσ

)

∂

= −i

[

ησ

−

ξσ

] −

√

ξδ

F −

ηδ

2.1 Superprzestrze ´n

Wida´c, ˙ze ten komutator redukuje si˛e do pełnej pochodnej, gdy:

= i

√

2¯

∂

(2.10)

Tak wi˛ec pola A ,

, F wraz z (

), (

) stanowi ˛

a reprezentacj˛e algebry

supersymetrii (

2.1

2.1

Superprzestrze ´n

Wygodnym narz˛edziem do opisu supersymetrycznych teorii pola jest superprzestrze´n.
Powstaje one przez dodanie do zwykłuch czterech bozonowych współrz˛ednych
czasoprzestrzennych x

dodatkowych antykomutuj ˛

acych współrz˛ednych

trans-

formuj ˛

acych si˛e jak generatory supersymetrii. W superprzestrzeni transformacje

supersymetrii reprezentowane s ˛

a przez ruchy ‘geometryczne’, które z kolei in-

dukuj ˛

a transformacje funkcji tego rozszerzonego układu zmiennych – superpól.

Ruch w superprzestrzeni jest generowany przez operatory ró˙zniczkowe Q , ¯

Q :

Q + ¯

∂

∂θ

− i

∂

+ ¯

∂

− i

∂

(2.11)

zastosowano tutaj zapis Q oraz ¯

Q dla operatorów ró˙zniczkowych, uto˙zsamiaj ˛

acy je

z genaratorami grupy, poniewa˙z operatory te rzeczywi´scie reprezentuj ˛

a infintyzy-

malne działanie grupowe w przestrzeni parametrów:

, ¯

}

∂

(2.12)

, Q

} = { ¯

, ¯

} =

Powy˙zsza obserwacja nasuwa pomysł rozszerzenia zwykłej przestrzenii konfigu-
racyjnej do superprzestrzeni gdzie supersymetria jest translacj ˛

a wspołrz˛ednych:

7−→ z = (x

, ¯

)

(2.13)

W szczegółach wygl ˛

ada to nast˛epuj ˛

aco: Pomnó˙zmy dwa elementy grupowe

G(0,

, ¯

)

G(x,

, ¯

) =

i[P

θσ

−i

ξσ

)]

i[(

)Q+(¯

+¯

) ¯

⇑

SUSY

SUSY +

SUSY z inn ˛

translacja

z translacj ˛

Supersymetria

gdzie baz ˛

a (elementami paramertyzuj ˛

acymi) s ˛

a: zwykła przestrze´n konfiguracyjna

+ 2 elementy antykomutuj ˛

ace. i st ˛

ad mamy naturaln ˛

a drog˛e do superprzestrzeni:

, ¯

)

SU SY ⇒







→ x

+ i(

θσ

−

ξσ

)

→

→ ¯

+ ¯

(2.14)

Szukamy generatorow translacji – jawnej reprezentacji operatorów Q , ¯

Q oraz P

Q+¯

= x

+ i(

θσ

−

ξσ

)

(2.15)

Q+¯

= Q

Q+¯

+ ¯

Lewe mno˙zenie











∂

∂θ

− i

∂

+ i

∂

= i

∂

(2.16)

Nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze P

= i

∂

. Przy czym:

, ¯

} = 2

∂

)

(2.17)

Prawe mno˙zenie

Działaj ˛

ac z prawej strony :

←−

Q+¯

= . . .

(2.18)

jest realizowane poprzez generatory:











∂

∂θ

+ i

∂

= −

∂

− i

∂

= −i

∂

(2.19)

Przy takiej definicji D and ¯

D spełniaj ˛

a antykomutacyjne relacje:

, ¯

}

−2i

∂

(2.20)

, D

} = { ¯

, ¯

} =

gdzie D oraz Q antykomutuj ˛

, Q

} = {D

, ¯

} = { ¯

, Q

} = { ¯

, ¯

} = 0

(2.21)

Obiekty D

, ¯

nazywamy supersymetrycznymi pochodnymi kowariantnymi.

2.2 Własno´sci superpól

2.2

Własno´sci superpól

Superpole skalarne (chiralne)

Skalarne superpole zdefiniowane jest warunkiem:

= 0

(2.22)

To równanie mo˙zna w miar˛e prosto rozwi ˛

aza´c stosuj ˛

ac zmienne y

= x

θσ

oraz

+ i

θσ

= 0 ,

= 0

(2.23)

Ogólna funkcja tych zmiennych spełnia warunek (

2.22

) i przyjmuje posta´c

= A(y) +

√

θψ

(y) +

θθ

F(y)

(2.24)

= A(x) + i

θσ

θ∂

A(x) +

θθ

2A(x)

√

θψ

(x) −

√

θθ∂

(x)

θθ

F(x)

Pola (A,

, F) tworz ˛

a superpole chiralne. łatwo sprawdzi´c, ˙ze pola te transformuj ˛

si˛e w siebie nawzajem w nast˛epuj ˛

acy sposób:

√

ξφ

(2.25)

=: i

√

ξ∂

A +

√

(2.26)

=: i

√

2¯

∂

(2.27)

Superpole wektorowe (rzeczywiste)

Ogólne superpole transformuje si˛e jak redukowalna reprezentacja supersymetrii.
Aby otrzyma´c nieredukowalne reprezentacje nakłada si˛e wi˛ezy na ogólny super-
multiplet. Wi˛ezy musz ˛

a by´c zgodne z supersymetri ˛

a tzn. kowariantne. Przykładami

Supersymetria

wi˛ezów s ˛

a D

= 0, ¯

= 0, ale tak˙ze V = V

†

, przyczym drugi warunek defini-

uje superpole wektorowe zwane tak˙ze superpolem rzeczywistym. Mo˙zna je przed-
stawi´c w postaci szeregu pot˛egowego w

i ¯

V (x,

, ¯

) = C(x) + i

θχ

(x) − i¯

(x)

(2.28)

θθ

[M(x) + iN(x)] −

[M(x) − iN(x)]

−

θσ

(x) + i

θθ

(x) +

∂

(x)

−i¯

θθ

(x) +

∂

(x)

θθ

D(x) +

2C(x)

gdzie składowe pola C, D, M, N oraz v

musz ˛

a by´c rzeczywiste aby spełniony był

warunek V = V

†

. Zauwa˙zmy, ˙ze suma superpola chiralnego i pola do´n sprz˛e˙zonego

jest superpolem rzeczywistym postaci:

†

= A + A

∗

√

θφ

+ ¯

) +

θθ

F + ¯

∗

(2.29)

θσ

θ∂

(A − A

∗

) +

√

θθ

∂

√

θσ

∂

θθ

2(A + A

∗

)

W szczególno´sci, współczynnik przy

θσ

ma posta´c abelowej transformacji ce-

chowania.
Nasuwa to pomysł, aby abelowe transformacje cechowania rozszerzy´c na pełne
superpole wektorowe w nast˛epuj ˛

acy sposób:

−→ V +

†

(2.30)

Transformacje składowych maj ˛

a wtedy posta´c:

−→ C + A + A

∗

(2.31)

−→

− i

√

M + iN

−→ M + iN − 2iF

−→ v

− i

∂

(A − A

∗

)

−→

−→ D

Widzimy, ˙ze mo˙zna dokona´c takiej transformacji cechowania, która wyzeruje skład-
owe C ,

, M , N . Ten wybór cechowania nazywamy cechowaniem Wessa – Zu-

mino. Stosuj ˛

ac powy˙zsze cechowanie pozbyli´smy si˛e swobodnych pól, pozostała

2.2 Własno´sci superpól

jeszcze swoboda wyboru cz˛e´sci urojonej A , która odpowiada wykonaniu standard-
owej abelowej transformacji cechowania na polu wektorowym V (inaczej mówi ˛

jest to symetria cechowania), v

−→ v

− i

∂

(A − A

∗

) . W cechowaniu tym skład-

owe

oraz D s ˛

a niezmiennicze. Cechowanie Wessa–Zumino łamie niestety jawn ˛

supersymetri˛e, ale za to superpole wektorowe V dane wzorem (

2.28

) przybiera

bardzo prost ˛

a posta´c :

= −

θσ

(x) + i

θθ

(x) − i¯

θθλ

(x) +

θθ

D(x)

(2.32)

Warto jeszcze przedstawi´c jak wygl ˛

adaj ˛

a wy˙zsze pot˛egi superpola wektorowego w

cechowaniu Wessa–Zumino :

= −

θθ

(2.33)

= 0

2.2.1

Niezmienniczo´s´c wzgl˛edem cechowania

Omówmy teraz pewne własno´sci superpola skalarnego (chiralnego) i wektorowego
(rzeczywistego). Zobaczmy jak zachowuj ˛

a si˛e superpola skalarne i wektorowe pod

działaniem wewn˛etrznej symetrii

= U(1).

Superpole skalarne – globalna symetria

= U(1)

Superpole skalarne pod działaniem grupy

= U(1) zachowuje si˛e nast˛epuj ˛

aco:

−→

= e

−i

(2.34)

gdzie

jest parametrem przekształcenia.

Łatwo pokaza´c, ˙ze

jest tak˙ze superpolem chiralnym je´sli

jest superpolem

chiralnym:

(

− i

ΛΦ

+ . . .)

(2.35)

− i [( ¯

)

( ¯

)] + . . . = 0

<=> ¯

= 0

Je´sli

jest rzeczywiste i stałe ( ¯

= D

= 0) to korzystaj ˛

ac z reguły Haus-

dorffa otrzymujemy:

0†

†

−i

(2.36)

†

−

)

†

Ta obserwacja pozwala skonstruowa´c lagran˙zjan chiralny, niezmienniczy wzgl˛e-
dem globalnej grupy symetrii

= U(1) transformuj ˛

acej pole skalarne zgodnie ze

Supersymetria

wzorem (

2.34

K.E

(2.37)

K.E

†

θθ

i j

i jl

θθ

+ h.c.

gdzie przez

K.E

oznaczamy wyrazy kinetyczne, natomiast W jest superpotenc-

jałem.

Superpole skalarne – lokalna symetria

= U(1)

Niezmiennicze działanie z niejednorodnym, zale˙znym od x , parametrem

mo˙zna

skonstruowa´c uogólniaj ˛

ac działanie grupy

= U(1)

−→ e

−i

= 0

(2.38)

†

−→ e

†

= 0

Otó˙z przy takich warunkach cały lagran˙zjan

, dany wzorem (

2.37

), przestaje by´c

niezmienniczy, poniewa˙z:

0†

†

(

†

−

)

†

(2.39)

Wprowadzaj ˛

ac wektorowe superpole V , transformuj ˛

ace si˛e zgodnie z warunkiem:

= V + i

−

†

(2.40)

Mo˙zemy napisa´c pełny lagran˙zjan niezmienniczy wzgl˛edem lokalnej grupy symetrii

= U(1) w postaci :

θθ

+ ¯

†

θθ

(2.41)

·µ

i j

i jl

θθ

+ h.c.

gdzie superpole

, które jest uogólnieniem nat˛e˙zenia pola cechowania definiu-

jemy nast˛epuj ˛

aco:

:= −

D ¯

:= −

DD ¯

(2.42)

Superpole,

( ¯

) jest niezmienniecze ze wzgl˛edu na transformacj˛e cechowa-

nia, oraz spełnia warunek chiralno´sci (antychiraln´sci):

= 0

(2.43)

2.2 Własno´sci superpól

Niezmienniczo´s´c tego superpola wzgl˛edem cechowania pokazujemy nast˛epuj ˛

aco:

= −

D ¯

V + i

−

†

¢¢

(2.44)

−

D ¯

−

{ ¯

, D

}

Wzór (

2.41

) daje ogóln ˛

a posta´c renormalizowalnego lagran˙zjanu niezmienniczego

wgl˛edem lokalnej transformacji cechowania grupy

= U(1). W cechowaniu Wessa–

Zumino omówionym szerzej w rozdziale

2.2

, gdzie jak pami˛etamy V

= 0, zmody-

fikowany wyraz kinetyczny dla pól skalarnych przyjmuje posta´c:

†

θθ

= FF

∗

+ A2A

∗

+ i

∂

(2.45)

∗

∂

A −

∂

∗

−

√

A¯

− A

∗

λφ

D −

∗

Lagran˙zjan wyra˙zony w tym cechowaniu nie b˛edzie zawierał członów o wymiarze
wy˙zszym ni˙z cztery.

Na koniec zajmiemy si˛e jeszcze konstrukcj ˛

a lagran˙zjanu dla elektrodynamiki.

Otó˙z najprostsze supersymetryczne rozszerzenia elektrodynamiki uzyskujemy za-
kładaj ˛

ac, ˙ze mamy dwa superpola skalarne o przeciwnych ładunkach wzgl˛edem

grupy U (1) , to znaczy transformuj ˛

ace si˛e nast˛epuj ˛

aco:

−→ e

−ie

−

−→ e

+ie

−

(2.46)

Lagran˙zjan dla elektrodynamiki z masywnymi elektronami i ich partnerami przyj-
muje zatem posta´c:

θθ

+ ¯

†

θθ

†

−

θθ

(2.47)

−

θθ

†

−

Rozszerzenie tej konstrukcji do lagran˙zjanu niezmienniczego wzgl˛edem nieabe-
lowej grupy cechowania jest stosunkowo proste, za´s szczegóły mo˙zna znale´z´c w
[

2.2.2

Energia kinetyczna superpola wektorowego

Chc ˛

ac znale´z´c energi˛e kinetyczn ˛

a dla superpola wektorowego, nale˙zy znale´z´c su-

perpole

( ¯

) niezmiennicze wzgl˛edem transformacji V

= V + i

−

†

Cz˛e´s´c kinetyczna lagran˙zjanu dla pól wektorowych:

K.E

−

θθ

+ h.c

(2.48)

Supersymetria

Korzystaj ˛

ac z to˙zsamo´sci

= −

1
4

D ¯

V mo˙zemy bowiem napisa´c

w cechowaniu Wessa–Zumino:

K.E

−

+ i

λσ

∂

(2.49)

gdzie interpretacja poszczególnych członów jest nast˛epuj ˛

aca: −

1
4

jest en-

ergi ˛

a kinetyczn ˛

a superpola wektorowego, −i

λσ

∂

jest energi ˛

a kinetyczn ˛

a gau-

gin, za´s

1
2

jest wkładem do potencjału, oraz gdzie v

∂

−

∂

My chcemy doda´c jeszcze człon masowy, postaci m

, do lagran˙zjanu (

2.48

Ten nowy człon nie jest ju˙z niezmienniczy ze wzgledu na cechowanie. Musimy go
zatem dopisa´c do uogólnionego superpotencjału wektorowego:

θθ

= −

−

χλ

− ¯

+ N

(2.50)

−

χσ

∂

−

∂

C2C +CD

Co jest interesuj ˛

ace, ten wyraz nie tylko nadaje mas˛e owemu wektorowemu polu

, ale równie˙z pozostałym wyrazom supermultipletu, których teraz nie mo˙zemy

ju˙z “wycechowa´c”.
Lagran˙zjan (

2.48

) wraz z członem (

2.50

) opisuje :

•

jedno pole wektorowe v

•

dwa pola o spinie

1
2

•

jedno pole skalarne C

2.2.3

Naruszenie supersymetrii

Z oczywistych wzgl˛edów w realistycznych modelach supersymetria musi by´c zła-
mana. Przekonuj ˛

a nas do tego przesłanki eksperymentalne na przykład nie ob-

serwujemy supersymetrycznego partnera elektronu e (powinien on przy niezła-
manej SUSY mie´c mas˛e równ ˛

a masie elektronu), brak równie˙z obserwacyjnych

przesłanek potwierdzaj ˛

acych istnienie cz ˛

astek które miały by dokładnie takie same

liczby kwantowe i mas˛e jak cz ˛

astki Modelu Standardowego i ró˙zniły si˛e od nich

tylko spinem. Tak wi˛ec supersymetraia nie mo´ze by´c dokładn ˛

a symetri ˛

a efekty-

wnego niskoenergetycznego lagran˙zjanu opisuj ˛

acego lekkie stany fizyczne.

Kryterium wyst˛epowania spontanicznego łamania sypersymetrii, jest niezmi-

enniczo´s´c stanu fizycznej pró˙zni, | 0 i , wzgl˛edem ogólnej transformacji super-
symetrii, co przekłada si˛e na twierdzenie, ˙ze spontaniczne łamanie supersymetrii
nastepuje wówczas gdy warto´s´c oczekiwana operatora Hamiltona H jest wi˛eksza

2.2 Własno´sci superpól

od zera: h

|H|

i > 0 . Przyjrzyjmy si˛e bli˙zej temu stwierdzeniu. Skorzystajmy z

algebry SUSY i rozpatrzmy antykomutator generatorów supersymetrii:

, ¯

} = 2

(2.51)

Je´sli we´zmiemy ´slad obu stron i zauwa˙zymy, ˙ze tylko macierz

ma ´slad ró˙zny od

zera, to otrzymamy:

= H =

, ¯

˙1

} +

, ¯

˙2

}

(2.52)

˙1

+ ¯

˙1

+ Q

˙2

+ ¯

˙2

Operator Hamiltona H jest dodatnio okre´slony, tzn. dla dowolnego fizycznego
stanu |

|H|

i =

1
2

∑

| Q

+ |h

| Q

i |

≥ 0

(2.53)

Oznacza to, ˙ze warto´s´c oczekiwana operatora H nie mo˙ze by´c ujemna. St ˛

wnioskujemy, i˙z stan o najni˙zszej mo˙zliwej energii to stan o energi ˛

a zerowej, przy

czym E = h

|H|

i . Wtedy

i=1,2

⇒ h

|H|

i = 0

(2.54)

co oznacza, ˙ze stan o energii zerowej, o ile mo˙ze by´c zrealizowany przez układ
fizyczny, nie łamie spontanicznie supersymetrii. Ze wzoru (

2.54

) widzimy, ˙ze aby

SUSY została złamana spontanicznie musi istanie´c taki stan |

>, ˙ze h

|H|

i >

0 Tzn:

|H|

i > 0 ⇐⇒ ∼

i 6= 0

(2.55)

Przyjmijmy, ˙ze stan |

> jest kreowany z pró˙zni przez pole

, |

To oznacza, ˙ze musi istnie´c takie pole

, ˙ze < 0|(

Q + ¯

|0 >6= 0, a poniewa˙z

ka˙zde pole

jest składow ˛

a pewnego superpola X , wi˛ec warunek złamanej super-

symetrii to po prostu

< 0|(

Q + ¯

Q)X |0 >=< 0|

X |0 >6= 0

(2.56)

dla pewnego superpola X . Aby złama´c supersymetri˛e bez naruszenia symetrii Lorentza
kondensowa´c mog ˛

a tylko wariacje fermionów, poniewa˙z tylko te wariacje zawier-

aj ˛

a składowe, których współczynniki s ˛

a skalarami (nie zawieraj ˛

a pochodnyuch i

składowych pól fermionowych):

√

F + ...,

= i

D + ....

Na rysunku

2.1

zilustrowano sytuacje w modelu, w których stan podstawowy

nie łamie supersymetrii (a), oraz kiedy stan podstawawy łamie supersymetrie (b).
Przejdzmy do omówienia konkretnych modeli, w których łamanie supersymetrii
dokonuje si˛e w sektorze pól chiralnych (model O’Raifeartaigh’a), b ˛

ad´z w sektorze

gauge (scenariusz Fayeta–Iliopoulosa).

Supersymetria

Rysunek 2.1: Stan podstawawy nie łamie supersymetri (a), oraz stan podstawowy
łamie supersymetrie (b).

Model O’Raifeartaigh’a

Jako pierwszy omówimy model, który zbudowany jest wył ˛

acznie z pól chiral-

nych. Kiedy zajmowali´smy si˛e supersymetrycznym lagran˙zjanem (Rozdział ??),
wprowadzili´smy energi˛e potencjaln ˛

, A

∗

) = F

∗

(2.57)

Z równa´n ruchu,

∂

∗

= 0 oraz

∂

= 0 , otrzymali´smy:

= −

∗

+ m

∗

∗
i

+ g

∗
i jk

∗

(2.58)

∗

= −

+ m

+ g

i jk

(2.59)

Wyst ˛

apienie takiego rozwi ˛

azania równa´n Eulera-Lagrange’a, które odpowiada

∗

= 0 , sygnalizuje wyst˛epowanie supersymetrycznego minimum dla potencjału

, A

∗

Chc ˛

ac zatem złama´c SUSY musimy tak dobra´c parametry :

, m

, g

i jk

aby

równania F

∗

= 0 dla k = 1, . . ., n nie mogły by´c dla wszystkich k spełnione. Tzn.:

∗

6= 0 =⇒

+ m

+ g

i jk

6= 0

(2.60)

Konstrukcja takich modeli nie jest łatwa .

Dla k=1 , mamy tylko jedno superpole skalarne

. Wtedy F

∗

= −

6= 0 ,

∂

= F

∗

+ m

+ g

i jk

= 0 Ale w takim wypadku, co łatwo

wida´c, złamanie SUSY nie oznacza nadania masy ˙zadnej z cz ˛

astek, jest za-

tem nieskuteczne.

Dla dwóch superpól (k=1,2) zawsze mo˙zna spełni´c warunek F

∗

= 0 czyli na

mocy wcze´sniej przedstawionych zało˙ze´n, nie wyst˛epuje tutaj spontaniczne
łamanie SUSY.

2.2 Własno´sci superpól

Zachodzi wi˛ec potrzeba wprowadzenia co najmniej 3 superpól k=1,2,3. To
wła´snie zaproponował O’Raifeartaigh [

Model O’Raifeartaigh [

] jest jednocze´snie najprostszym z wprowadzonych mod-

eli spontanicznego łamania SUSY. Czysto chiralna cze´s´c lagran˙zjanu,

zwana

superpotencjałem

P.E.

, w tym wypadku ma posta´c:

012

+ h.c.

(2.61)

Model O’Raifeartaigh opisany został w wielu miejscach np. w monografii [

W tej pracy interesuje nas jednak przede wszystkim drugi sposób łamania super-
symetrii, tzw. metoda Fayeta – Iliopoulosa Przyjrzyjmy si˛e jej nieco dokładniej.

Model Fayeta–Iliopoulosa

Drugim mechanizmen spontanicznego łamania SUSY, który jest głównym przed-
miotem zainteresowania w tej pracy jest mechanizm Fayeta – Iliopoulosa [

]. Fayet

i Iliopoulos zauwa˙zyli, ˙ze człon

θθ

w superpolu wektorowym jest supersymetryczny

i niezmiennniczy ze wzgl˛edu na cechowanie tylko dla grup abelowych.
Ów wyraz ma posta´c:

V |

θθ

(2.62)

gdzie

jest parametrem Fayeta–Iliopoulosa.

Dodajmy do lagran˙zjanu dla QED danego wzorem (

2.63

) człon

podany wy˙zej,

i znajd´zmy spontaniczne łamanie supersymetrii.
Otrzymujemy:

θθ

+ ¯

†

θθ

†

−

θθ

(2.63)

−

θθ

†

−

+ 2

V |

θθ

W obecno´sci pól cechowania potencjał pól skalarnych (

2.57

) modyfikuje si˛e o tak

zwany D –term, przybieraj ˛

ac posta´c

, A

∗

) = F

∗

(2.64)

Pola D =

θθ

, F

znajdujemy z równa´n Eulera–Lagrangéa:

D +

∗
1

− A

∗
2

) = 0

(2.65)

+ mA

∗
2

= 0

+ mA

∗
1

= 0

Rozwi ˛

azanie równa´n ruchu dla tego lagran˙zjanu pokazuje, ˙ze brak jest rozwi ˛

aza´n,

dla których D = 0 i F

= 0 , (równania s ˛

a sprzeczne), wyst ˛

api wi˛ec spontaniczne

Supersymetria

łamanie SUSY. Poniewa˙z jest to do´s´c istotna cz˛e´s´c teorii, maj ˛

aca du˙ze znacze-

nie dla zrozumienia dalszej cz˛e´sci pracy, dlatego postaramy si˛e j ˛

a nieco rozwin ˛

a´c.

Szukamy rozwi ˛

aza´n rowna´n (

2.65

), takich które dawały by

= 0. Potencjał

przybiera posta´c:

∗
1

−

∗
2

(2.66)

∗
1

− A

∗
2

)

powinni´smy przedyskutowa´c dwa przypadki : m

1
2

oraz m

1
2

Omówmy je po kolei:

1
2

w tym pierwszym przypadku oba pola A

oraz A

maja rzeczy-

wiste masy. Minimum jest dla A

= 0 = A

. Model ten opisuje dwa zespolone

pola skalarne, odpowiednio z masami: m

= m

1
2

oraz m

= m

−

1
2

przy czym pomi˛edzy tymi masami zachodzi zwi ˛

azek m

+ m

= 2m

. Pole

wektorowe v

pozostaje bezmasowe.

Bezmasowy spinor

odgrywa rol˛e fermionowej cz ˛

astki Goldstonéa, tak

zwanego Goldstina, zwi ˛

azanej ze spontanicznie złaman ˛

a supersymetri ˛

a. Wida´c

to z prawa transformacji dla

= i

D +

(2.67)

Dostrzegamy, ˙ze

transformuje si˛e niejednorodnie, je´sli tylko D osi ˛

aga

niezerow ˛

a warto´s´c oczekiwan ˛

a pró˙zni. Patrz ˛

ac na równania Eulera–Lagrangéa

(

2.65

), D = −

−

e
2

∗
1

− A

∗
2

). Tak wi c ec:

= −i

ξκ

− i

∗
1

− A

∗
2

) +

(2.68)

Sytuacje t˛e przedstawia rysunek (

2.2

), (a).

Je˙zeli m

1
2

to A

= 0 = A

nie jest ju˙z minimum potencjału (

2.66

). Aby

znale´z´c nowe minimum rozwi ˛

azujemy równania:

∂

∗
1

− A

∗
2

) A

= 0

(2.69)

∂

∗
2

−

∗
1

− A

∗
2

) A

= 0

Otrzymujemy minimum w punkcie A

= 0 , A

gdzie

1
4

−

1
2

= 0. Mo˙zemy tak dobra´c transformacj˛e cechowa-

nia a˙zeby

było rzeczywiste.

2.2 Własno´sci superpól

Rozwijaj ˛

ac potencjał wokół miminum, spontanicznie łamiemy symetri˛e wzgl˛e-

dem grupy

= U(1). Otrzymujemy :

A = A

−

(2.70)

Potencjał(

2.66

) przybiera posta´c:

− m

+ 2A

∗

(2.71)

¶ µ

√

A + ˜

∗

gdzie stała

− m

jest dodatnia. Zarówno supersymetria jak i syme-

tria cechowania s ˛

a złamane. Wektorowe superpole v

nabiera masy “zjada-

jac” bozon Goldstona

√

A + ˜

∗

, lecz całkowita liczba stopni swobody

pozostaje niezmieniona.

Podczas łamania symetrii, modyfikacji ulegaj ˛

a równie˙z wkłady do mas spinorów:

= . . . − m

+ ¯

√

−

(2.72)

Zdefiniujmy teraz liniowe kombinacje:

(2.73)

1
2

√

1
2

√

Zastosujemy powy˙zsze podstawienia do lagran˙zjanu dla fermionów

, i

jeszcze raz przyjrzymy si˛e masom fermionów, ale teraz wyra˙zonych w nowych
zmiennych :

= . . . −

Ãr

+ ¯

¯˜

(2.74)

Pole ˜

pozostaje bezmasowe, i transformuje si˛e niejednorodnie czego oczeku-

jemy od pól Goldstonowskich:

= −2i

− m

+ . . .

(2.75)

Jest to zatem pole Goldstina. Policzmy stopnie swobody cz ˛

astek:

Supersymetria

Rysunek 2.2: W przypadku kiedy m

1
2

, złamana jest tylko supersymetria (a),

natomiast gdy m

1
2

złamana jest supersymetria i symetrai cechowania (b).

•

2 pola spinorowe z masami: m

= m

1
2

•

1 pole wektorowe v

i jedno pole pole skalarne– rzeczywiste

√

A + ˜

∗

z mas ˛

= m

√

[

A+ ˜

∗

] =

1
2

•

jeden zespolony skalar A z mas ˛

a: m

√

•

1 bezmasowy spinor Goldstone’a ˜

= 0

Wida´c wi˛ec, ˙ze liczba stopni swobody dla fermionów (

, ˜

), pozostaje równa

liczbie stopnii swobody dla bozonów, tutaj reprezentowanych przez pola:
v

√

A + ˜

∗

, A. Mamy tak˙ze zwi ˛

azek:

= (3 + 1)

+ 2

(2.76)

Relacja ta jest przykładem ogólnej relacji:

∑

f ermiony

(#st.swobody) m

f ermiony

∑

bozony

(#st.swobody) m

2
bozony

(2.77)

zachodz ˛

acej w przypadku globalnie supersymetrycznych modeli z SUSY

złaman ˛

a spontanicznie. Ten przypadek islustruje rysunek (

2.2

) (b).

Przedstawimy teraz model, w którym jest złamana tylko symetria cechowa-

nia. Przy omawianiu modelu O’Raifeartaigh uzyskali´smy warunki nienaruszonej
supersymetrii:

∗

= 0 =⇒

+ m

+ g

i jk

= 0

(2.78)

Warto´sc oczekiwana pro˙zni dla A

oznaczymy poprzez a

. Poszukujemy rozwi ˛

aza´n

powy˙zszego równania, czyli chcemy znale´z´c a

, które nie s ˛

a niezmienicze wzgl˛e-

dem wewn˛etrznej grupy symetrii.

Dla potrzeb tego przykładu skonstruujemy prosty model, z grup ˛

a ˜

= ˜

U (1)

oraz trzema superpolami skalarnymi:

2.2 Własno´sci superpól

•

jedno neutralne

•

pole o dodatnim ładunku wzgl˛edem grupy ˜

= ˜

U (1)

•

−

pole o ujemnym ładunku wzgl˛edem grupy ˜

= ˜

U (1)

Lagran˙zjan, niezmienniczy wzgl˛edem grupy ˜

= ˜

U (1), b˛edzie miał posta´c:

+ µ

−

λΦ

+ g

ΦΦ

−

+ h.c.

(2.79)

a równanie (

2.78

) przybierze posta´c:

+ ma

+ ga

−

= 0

(2.80)

−

(µ + ga) = 0

Mamy wtedy dwa rozwi ˛

azania:

= a

−

= 0 , a = −

−

= −

1
g

−

mµ

, a = −

µ
g

Pierwsze rozwi ˛

azanie nie łamie symetrii ˜

= ˜

U (1), w drugim łamanie symetrii

wyst˛epuje. Skupimy wiec swoj ˛

a uwag˛e na drugim rozwi ˛

azaniu. Wyznaczany jest

teraz tylko człon a

−

, a nie warto´s´c pró˙zniowa ka˙zdego z pól osobno. Superpo-

tencjał W jest niezmienniczy nie tylko wzgl˛edem grupy ˜

= ˜

U (1), lecz równie˙z

wzgl˛edem jej rozszerzenia zespolonego ˜

= ˜

U (1)

. To oznacza, ˙ze dla ka˙zdego

rozwi ˛

azania a

, a

−

równania (

2.80

), istnieje cała klasa rozwi ˛

aza´n przy dowolnym

zespolonym. Wobec tego istnieje niesko´nczona rodzina supersymetrycznych pró˙zni:

−→ e

, a

−

−→ e

−

∈ C

(2.81)

Tak wi˛ec stan podstawowy ma wi˛eksz ˛

a degeneracj˛e ni˙z ta, która wynika z wewn˛etrznej

grupy symetrii.Jest to wynikiem faktu, ˙ze W jest holomorficzn ˛

a funkcj ˛

a superpól.

Je˙zeli symetria U (1) ma by´c lokalna to powinni´smy wprowadzi´c wektorowe

superpole V , które b˛edzie sprz˛e˙zone do superpól skalarnych

−

tak jak

to było w przypadku grup abelowych (rozdział

2.2.3

, wzór (

2.63

)), gdzie dodal-

i´smy człon postaci 2

V do lagran˙zjanu. W rezultacie otrzymujemy trójliniowe

sprz˛e˙zenie pomi˛edzy superpolami skalarnymi A

oraz wektorowym multipletem

V :

∗

− A

∗

−

(2.82)

To znaczy :

−→

P.E.

†

θθ

†

−

θθ

· · · +W + . . .

(2.83)

. . . + eV

∗

− A

∗

−

. . .

Supersymetria

Ten wyraz wygl ˛

ada jak wyraz F-I. Dodaje si˛e do niego równie˙z zwykły drzewowy

wyraz Fayeta-Iliopoulosa (F-I) (podobnie jak poprzednio a

jest warto´sci ˛

a oczeki-

wan ˛

a pró˙zni dla A

, a

−

dla A

−

, itd.):

⊃ eV

∗

− a

∗

−

+ 2

(2.84)

Ten człon mo˙ze zwyczajnie łama´c SUSY. Ale poniewa˙z wyst˛epuje degenaracja
a

−→ e

, mo˙zliwa jest transformacja, która zeruje a

∗

− a

∗

−

+ 2

dla

dowolnego

∗

− a

∗

−

+ 2

−→

∗

− e

−(

∗

)

−

+ 2

= 0

(2.85)

Poniewa˙z zawsze istnieje rozwi ˛

azanie równania: e

2Re(

)

|x|

− e

−2Re(

)

|y|

+ 2

0. Zatem tutaj D -term nie indukuje łamania SUSY. Rozwijaj ˛

ac e

otrzymujemy

natomiast supersymetryczny wyraz

masowy dla superpola wektorowego. Jest on

zwi ˛

azany z równaniem (

2.2.3

) i ma posta´c:

P.E.

⊃ e

∗

+ a

∗

−

+ 2

(2.86)

Członu

∗

+ a

∗

−

+ 2

nie mo˙zna “odtransformowa´c”.Nale˙zy zauwa˙zy´c,

˙ze człon ten nadaje mas˛e dla całago superpola wektorowego v

Je˙zeli zestawimy powy˙zszy wzór (

2.86

), z równaniem (

2.50

), to zobaczymy,

˙ze spontaniczne łamanie symetrii cechowania w tej teorii powoduje, ˙ze pojawi si˛e

pełny masowy wektorowy supermultiplet. Powy˙zszy model mo˙zna łatwo rozsz-
erzy´c na przypadek grup nieabelowych. Opieraj ˛

ac si˛e na materiale z (rozdziału

2.2.3

)

˙z ˛

adamy supersymetrycznego rozwi ˛

azania:

∗

= 0 =⇒

+ m

+ g

i jk

= 0

(2.87)

equat Parametry

, m , g s ˛

a ograniczone przez wewn˛etrzn ˛

a grup˛e symetrii. Ogól-

nie w teorii z cechowaniem, supersymetryczne minima musz ˛

a spełnia´c rownie˙z

warunek:

= a

†
i

= 0 i F = 0

(2.88)

Nieabelowy D-term nie jest niezmienniczy ze wzgl˛edu na transformacje ce-

chowania. Okazuje si˛e, ˙ze równanie (??) tzn.: F

∗

+ m

+ g

i jk

= 0 całkowicie

determinuje łamanie SUSY, w przypadku nieabelowej teorii. Je˙zeli równanie (??)
posiada rozwi ˛

azanie a

, to zawsze mo˙zna znale´z´c takie rozwi ˛

azanie, nazwijmy je

umownie ˆ

, które spełnia jednocze´snie (

2.88

). Dowód tego faktu dla prostej grupy

znajduje si˛e w ksi ˛

a˙zce J.Wessa i J.Baggera [

Powtórzmy raz jeszcze, ˙ze spontaniczne łamanie supersymetrii nieabelowych

modeli jest kontrolowane poprzez F –termy. Supersymetria jest spontanicznie zła-
mana wtedy i tylko wtedy, gdy równanie F

∗

= 0 nie ma rozwi ˛

aza´n . Innymi słowy

dla grup nieabelowych tylko cz˛e´s´c chiralna decyduje o łamaniu SUSY, tj.: je´sli
F

∗

= 0 to mo˙zna znale´z´c takie rozwi ˛

azanie F

∗

= 0, ˙ze D

= a

†
i

= 0 dla

warto´sci tego rozwi ˛

azania.

Korzystamy z rozwini˛ecia e

= 1 + eV +

+ . . .

2.2 Własno´sci superpól

2.2.4

Macierz masy fermionów – goldstino

Ogólna macierz masy fermionów w teorii z niezmienniczo´sci ˛

a wzgl˛edem cechowa-

nia ma posta´c:

(

)

¶ µ

(2.89)

W tym wyra˙zeniu ¯

= −

∂

W /

∂φ

∂

∂φ

, oraz D

∂

∂φ

. Mo˙zna

pokaza´c, ˙ze stan opisany kombinacj ˛

a liniow ˛

g =< F

+ < D

(2.90)

jest wektorem własnym macierzy masy fermionów z warto´sci ˛

a własn ˛

a 0. Stan

ten nazywany jest goldstinem. Aby pokaza´c, ˙ze masa goldstina znika, nale˙zy za-
uwa˙zy´c, ˙ze zró˙zniczkowanie postencjału skalarnego, V = |F

1
2

)

, po polu

chiralnym

prowadzi do równo´sci F

< F

> +D

< D

>= 0, za´s niezmoi-

enniczo´s´c superpotencjału wzgl˛edem przekształce´n cechowania prowadzi do 0 =

W =

∂

W /

∂φ

δφ

= i

∂

W /

∂φ

= 0, co po uwzgl˛ednieniu, ˙ze D

= ¯

daje

∂

W /

∂φ

= 0.

Korzystaj ˛

ac z podanej postaci macierzy masy fermionów i potencjału skalarnego,

zauwa˙zywszy, ˙ze kwadrat macierzy masy bozonów cechowania ma posta´c (m

j=1

)

αβ

+ D

), łatwo pokaza´c, ˙ze w zupełnie ogólnym przypadku zachodzi

nast˛epuj ˛

aca reguła sum, je´sli tylko generatory wszystkich symetrii cechowania s ˛

bez´sladowe:

∑

j=0,1/2,1

(2 j + 1)(−1)

2 j

Tr(m

)

= 0.

(2.91)

2.2.5

Ogólne własno´sci naruszenia supersymetrii w sektorze chiral-
nym

Je˙zeli pomin ˛

a´c wyrazy Fayeta-Iliopoulosa, to konieczne warunki naruszenia glob-

alnej supersymetrii wyra˙zaj ˛

a si˛e przez pochodne uperpotencjału:

∂

∂φ

= 0.

(2.92)

Je˙zeli na superpotencjał nie narzucimy ˙zadnych symetrii, to oczekujemy, ˙ze su-
persymetria pozostanie niezłamana: ponie"wa˙z superpotencjał jest holomorficzn ˛

funkcj ˛

a superpól, to mamy N równa´n na N warto´sci oczekiwanych pól, które maj ˛

jakie´s rozwi ˛

azanie. Podobnie jest w przypadku, gdy na oddziaływania narzucimy

pewn ˛

a symetri˛e, która nie jest R-symetri ˛

a. Je˙zeli taka symetria ma L generatorów,

to za pomoc ˛

a L równa´n (wi˛ezów) mo˙zemy wyeliminowa´c L zmiennych, i po-

zostanie układ (N-L) równa´n na (N-L) niewiadomych, który równie˙z ma rozwi ˛

azanie.

Jako´sciowo nowa sytuacja powstaje, gdy narzucimy na superpotencjał spon-

tanicznie złaman ˛

a R-symetri˛e, powiedzmy U (1). Powiedzmy, ˙ze superpole

Supersymetria

r-ładunek q

→ e

. Przypu´s´cmy, ˙ze <

>6= 0. Wtedy mo˙zemy zapisa´c

superpotencjał w postaci

W = (

)

2/q

f (X

), i < n,

(2.93)

gdzie nowe superpola X

maj ˛

a ładunek zero wzgl˛edem R-symetrii.

Warunki na niezłaman ˛

a supersymetri˛e wygl ˛

adaj ˛

a teraz nast˛epuj ˛

aco:

∂

= 0, f (X

) = 0,

(2.94)

co daje N równa´n na (N-1) zmiennych X

– układ, który mo˙ze nie mie´c rozwi ˛

azania.

Przykłady:

W =

, R-symetria: R(S) = 0, R(X ) = 1, Q-symetria: Q(S) = 2, Q(X ) =

1. W minimum potencjału skalarnego Q złamana, R niezłamana, supersyme-
tria niezłamana.

W = SX

+ SXY + X

Y + mY ¯

Y , R(S) = R( ¯

Y ) = 2. W tym przypadku istnij ˛

pró˙znie ze złaman ˛

a spontanicznie R-symetri ˛

a i niezłaman ˛

a supersymetri ˛

Powód jet taki, ˙ze podany wy˙zej superpotencjał nie jest generyczny (natu-
ralny), to znaczy nie jest maksymalnym superpotencjałem zgodnym z narzu-
conymi symetriami. Na przykład mo˙zna dodac nowy wyraz W → W + S, co
spowoduje odtworzenie R-symetrii w supersymetrycznym minimum.

Model O’Raifeartaigh – generyczny, niezłamana R-symetria i złamana su-
persymetria. We´zmy W = µ

S +SQ

+mPQ, R(S) = R(P) = 2, P, Q → −P, −Q.

Wszystkie pró˙znie łami ˛

a supersymetri˛e.

Na koniec przykład, w którym nie ma R-symetrii, superpotencjał jest niegen-
eryczny i supersymetria jest złamana (cho´c mo˙zna doda´c wyrazy, które przy-
wróc ˛

a supersymetri˛e): W =

X Q

Y (Q

− µ

) +

+ m

Twierdzenie Ovruta–Wessa

Je´sli superpotencjał jest niezmienniczy wzgl˛edem pewnej symetrii globalnej lub
lokalnej U , to chiralny lagran˙zjan jest niezmienniczy wzgl˛edem wi˛ekszej grupy
symetrii, która jest kompleksyfikacj ˛

a grupy U , przykład tego zjawiska widzieli´smy

w jednym z wcze´sniejszych przykładów. Powodem tego jest holomorficzno´s´c su-
perpotencjału. Wynika st ˛

ad, ˙ze je´sli w modelu z symetri ˛

a wyst˛epuje supersymetryczna

pró˙znia, to jest ona zdegenerowana - nale˙zy ona do płaskiego kierunku potencjału
skalarnego (udowodnij to twierdzenie).

2.2.6

Naruszenie supersymetrii w sektorze ukrytym

Wyobra´zmy sobie, ˙ze w teorii supersymetrycznej pola mo˙zna podzieli´c na dwa
sektory: widzialny, zawieraj ˛

acy lekkie obserwowalne cz ˛

astki (q,e,H,...) i ukryty,

2.2 Własno´sci superpól

składaj ˛

acy si˛e z cz ˛

astek cie˙zkich lub słabo odziałuj ˛

acych z ektorem widzialnym,

X. W tym przypadku operatorem sprz˛egaj ˛

acym oba sektory mo˙ze by´c operator

(

†

X )

+ ... ,

(2.95)

który daje jawne masy dla lekkich skalarów, je´sli supersymetria łamie si˛e przy
odpowiedniej skali w sektorze ci˛e˙zkim. Taki operator mo˙ze by´c nierenormalizowal-
nym operatorem drzewowym, lub pojawi´c sie w poprawkach radiacyjnych (to jest
D-term, nie jest on chroniony twierdzeniem o nierenormalizacji). Je´sli charak-
terystyczn ˛

a skal ˛

a sektora ci˛e˙zkiego jest M = 10

GeV , za´s masy lekkich skalarów

nie przekraczaj ˛

a skali 10

GeV , to skala naruszenia supersymetrii µ, zdefiniowana

relacj ˛

a µ

= |F

|, musi by´c niewi˛eksz ˛

a ni˙z 10

GeV . Skal˛e tego rz˛edu okre´slamy

jako skal˛e po´sredni ˛

a. Zadaniem porz ˛

adnego modelu supersymetrycznego jest natu-

ralne wytłumaczenie pojawiania si˛e skali po´sredniej. Nie jest to łatwe. Dotychczas
naturalne wyja´snienia dla takich skal oparte s ˛

a o efekty nieperturbacyjne w nieabe-

lowych teoriach z cechowaniem, co ma t˛e słabo´s´c, ˙ze teoria efektów nieperturba-
cyjnych w teorii pola wci ˛

a˙z jeszcze nie jest zadowalaj ˛

aca.

Wa˙znym problemem teoretycznym jest pojawianie si˛e goldstina przy spontan-

icznym naruszeniu supersymetrii. Musiałoby si˛e ono sprz˛ega´c do pól widzialnych
nawet wtedy, gdyby naruszenie supersymetrii odbywało si˛e w sektorze ukrytym
(ci˛e˙zkim). Jedynym znanym w tej chwili sposobem pozbycia si˛e z lekkiego spek-
trum bezmasowego fermionu – goldstina – jest sprz˛egni˛ecie teorii globalnie su-
persymetrycznej do grawitacji. Wówczas skala Plancka pojawia si˛e jako naturalna
skala tłumi ˛

aca przenoszenie naruszenia supersymetrii mi˛edzy sektorem ukrytym

a sektorem widzialnym. Supergrawitacji po´swi˛econa jest ko´ncowa cz˛e´s´c tych no-
tatek.

Mi˛ekkie łamanie supersymetrii

Oprócz spontanicznego łamania supersymetrii opisywanego w poprzednich rozdzi-
ałach, po˙zyteczne okazuje si˛e rozwa˙zenie jawnego łamania supersymetrii na poziomie
lagran˙zjanu. Okazuje si˛e, ˙ze istnieje zbiór operatorów wymiaru ≤ 3 , które łami ˛

wprawdzie SUSY jawnie, ale nie powoduj ˛

a pojawiania si˛e kwadratowych roz-

bie˙zno´sci przy obliczaniu poprawek kwantowych. Innymi słowy, dodanie do su-
persymetrycznego lagran˙zjanu tych wyrazów zachowuje techniczne rozwi ˛

azanie

problemu hierarchii dostarczane przez supersymetri˛e.

Operatory nale˙z ˛

ace do tego zbioru nazywa si˛e operatorami mi˛ekko łami ˛

acymi

supersymetri˛e. W tym rozdziale wypiszemy te wyrazy:

φφ

, m

(

φφ

+ h.c.)

(2.96)

λλ

+ h.c.

gdzie m jest parametrem o wymiarze masy, za´s

jest nowym parametrem

bezwymiarowym,

reprezentuje dowolne pole chiralne, za´s

oznacza fermiony

w reprezentacji doł ˛

aczonej grupy cechowania (gaugina).

Supersymetria

Wyrazy mi˛ekko łami ˛

ace globaln ˛

a supersymetri˛e pojawiaj ˛

a si˛e w niskoener-

getycznej granicy lagran˙zjanu supergrawitacji.

Inne wyrazy łami ˛

ace supersymetri˛e wprowadzaj ˛

a kwadratowo rozbie˙zne poprawki

kwantowe. Do takich “twardych” wyrazów nale˙z ˛

a masy fermionów chiralnych,

ψψ

, oraz np. wyrazy typu m

+ ¯

2.3

Supergrawitacja

W lokalnej supersymetrii parametry transformacji nie s ˛

a stałymi lecz zale˙z ˛

a od

współrz˛ednych czasoprzestrzennych. Z postaci algebry lokalnej supersymetrii

(x)Q, ¯

Q¯

(x)

= 2

(x)

(x)P

(2.97)

gdzie z prawej strony mamy czasoprzestrzenn ˛

a translacj˛e, która zmienia si˛e od

punktu do punktu, wnioskujemy, ˙ze lokalna supersymetria zawiera teori˛e lokalnych
translacji, czyli zwykł ˛

a grawitacj˛e. Tak wi˛ec lokaln ˛

a supersymetri˛e nazywamy

spergrawitacj ˛

a (SUGRA). Supersymetrycznym partnerem grawitonu (cz ˛

astki o spinie

2) jest tu grawitino, fermion o spinie 3/2.

Lagran˙zjan supergrawitacji

Zajmijmy si˛e przedstawieniem lagran˙zjanu supergrawitacji

SU GRA

, który zaw-

iera´c b˛edzie: chiraln ˛

a materi˛e, pola cechowania oraz par˛e pól o spinach

2 ,

3
2

w supergrawitacyjnym multiplecie. Ograniczymy si˛e tylko do analizy potencjału
skalarnego, którego b˛edziemy potrzebowa´c w pó´zniejszej dyskusji

Ogólny Lagran˙zjan supergrawitacji sparametryzowany jest przez trzy nieza-

le˙zne funkcje:
Pierwsza z tych funkcji, to funkcja kinetyczna dla pól cechowania, mo˙ze by´c dowoln ˛

holomorficzn ˛

a funkcj ˛

a superpól chiralnych:

αβ

(

(2.98)

gdzie

oraz

s ˛

a indeksami reprezentacji doł ˛

aczonej grupy cechowania.

Druga to rzeczywista funkcja Kählera: K = K

, nazywana rzeczywistym

potencjałem Kählera, przez któr ˛

a wyra˙zaj ˛

a si˛e wyrazy kinetyczne dla pól chiral-

nych.

j∗

≡

∂

j∗

(2.99)

gdzie z

jest najni˙zsz ˛

a składow ˛

a chiralnego superpola

Wreszcie trzecia funkcja, to u˙zywany wcze´sniej superpotencjał W (

), który wraz

Ogólny lagran˙zjan supergrawitacji został podany w pracy [

]

2.3 Supergrawitacja

z potencjałem Kählera tworzy funkcj˛e G:

G = K + M

log

|W |

(2.100)

zwan ˛

a cz˛esto równie˙z funkcj ˛

a Kählera.

Potencjał skalarny V w supergrawitacji zapisujemy w postaci:

= M

exp

¶ µ

−1

k
l

− 3

−1

αβ

(2.101)

Rozpatrzmy minimalne wyrazy kinetyczne:

(2.102)

Potencjał Kählera przybierze wtedy posta´c:

= z

i∗

+ M

log

|W |

(2.103)

Gdzie M

jest mas ˛

a Plancka.

Pierwsza pochodna potencjału Kählera jest dana wzorem :

= z

i∗

+ M

)

W (z)

(2.104)

Za´s potencjał skalarny przyjmuje posta´c:

= exp

i∗

¶ " ¯

¯W

i∗

−

|W |

(2.105)

W przeciwie´nstwie do globalnej SUSY, potencjał ten nie jest dodatnio okre´slony.

2.3.1

Łamanie supersymetrii w supergrawitacji

Teraz postaramy si˛e przedstawi´c warunki konieczne i wystarczaj ˛

ace dla spontan-

icznego naruszenia lokalnej supersymetrii. W porównaniu z globaln ˛

a supersymetri ˛

w polu pomocniczym ˜

F , którego niezerowa warto´s´c pró˙zniowa mierzy łamanie

supersymetrii, pojawia si˛e dodatkowy wyraz:

= e

MP2

(2.106)

i∗

Przy czym w granicy M

−→

∞

odtwarzamy wynik globalny. Skal˛e przy której

nast˛epuje łamanie supergrawitacji znajdujemy z:

= h F i exp

i∗

(2.107)

Mo˙zemy rozwa˙zy´c trzy przypadki:

Supersymetria

•

vac

< 0 — Anty de Sitter

•

vac

= 0 — Super–Poincaré

•

vac

> 0 — de Sitter zawsze implikuje złaman ˛

a N = 1 SUGRA.

gdzie E

vac

= hV i Aby łama´c SUGRA ze znikaj ˛

ac ˛

a energi ˛

a pró˙zni (stał ˛

a kosmo-

logiczn ˛

a) potrzebujemy by:

∑

∗

|W |

(2.108)

Je˙zeli

∑

∗

|W |

oraz M

6= 0, to grawitino staje si˛e masywne w wyniku

efektu super-Higgsa:

3/2

≡ M

exp

−

¶ À

exp

i∗

¶ À

(2.109)

wynika st ˛

ad wa˙zna relacja:

3/2

√

(2.110)

w wypadku znikaj ˛

acej stałej kosmologicznej

c.c.

= 0. Obserwujemy, ˙ze energia

pró˙zni nie jest ju˙z parametrem porz ˛

adku.

Przedyskutujmy prosty przykład pokazuj ˛

acy, ˙ze mo˙ze by´c złamana SUSY oraz

vac

= 0 “Odgrzejemy” przykład, zawieraj ˛

acy jedno pole z oraz stały superpotenc-

jał W = m

. Potencjał jest dany przez:

= m

exp

∗

¶ ·

|z|

−

(2.111)

z punktami stacjonarnymi:

•

w z = 0 SUGRA jest złamana, lecz jest to tylko lokalne minimum potencjalu,

V = −m

6 3

•

oraz w |z| =

√

, przy czym jest to prawdziwe mimimum złamanej su-

persymetrii,

V = −m

exp(

√

≈ −m

4.11 . . .

, za´s E

vac

< 0 dla z = ±

√

Rozwa˙zmy teraz bardziej skomplikowany przykład. B˛edzie to prosty model ze

spontanicznie złaman ˛

a supersymetri ˛

a oraz E

vac

= 0. Skupmy si˛e na superpotenc-

jale:

W (z)

= m

(z +

) .

(2.112)

Nieznikaj ˛

aca warto´s´c pró˙zniowa dla

F =

∂

∗

= m

1 +

∗

(z +

)

(2.113)

2.3 Supergrawitacja

b˛edzie sygnalizowa´c łamanie supersymetrii.
Równanie:

+ zz

∗

+ z

∗

= 0

(2.114)

ma rozwi ˛

azanie:

= −

− 4M

(2.115)

Poniewa˙z równanie M

+ zz

∗

+ z

∗

= 0 dopuszcza tylko rzeczywiste rozwi ˛

azania

przyjmujemy, ˙ze

jest rzeczywiste. To równanie (

2.115

) implikuje, ˙ze SUSY jest

złamana dopóki zachodzi zwi ˛

azek

< 2M

Skupmy si˛e najpierw na przypadku

= 0 , kiedy potencjał jest proporcjonalny

do:

V ∼

+ |z|

− 3M

|z|

(2.116)

i jest dodatni dla minimum w z = 0. Zwi˛ekszanie

implikuje zmniejszenie energii

pró˙zni. Je˙zeli chcemy zwi˛eksza´c

dopóki potencjał nie “dotknie” zera. Zobaczmy

co si˛e dzieje dla

= (2 −

√

3)M

, dla której z osi ˛

aga warto´s´c M

(

√

3 − 1) .

Okazuje si˛e, ˙ze potencjał jest dodatnio okre´slony przez E

vac

= 0, i poniewa˙z |

| <

, SUSY jest złamana. Wyst˛epuje tutaj efekt super-Higgsa. W skutek efektu su-

perhiggsa grawitino staje si˛e masywne (grawitino pochłania fermion z chiralnego
superpola), za´s jego masa dana jest przez:

3/2

exp

Ã ¡√

3 − 1

(2.117)

Pole z rozpada si˛e na dwa pola skalarne o masach odpowiednio:

2
1

= 2

√

3(m

3/2

)

(2.118)

2
2

= 2

2 −

√

3/2

)

Supersymetria jest złamana i E

vac

= 0 Obserwowana tutaj sytuacja nie jest mo˙zliwa

w przypadku globalnej SUSY. Ten ostatni przykład to tzw. model Polony’ego.

Zanim zamkniemy ten rozdział przedyskutujmy jeszcze jeden interesuj ˛

acy model.

Dotychczas zajmowali´smy si˛e tylko modelami z minimalnym wyrazem kinety-
cznym dla pól skalarnych. Modele z nieminimalnym wyrazem kinetycznym s ˛

równie˙z bardzo interesuj ˛

ace. Rozpatrzmy funkcj˛e Kälera w postaci:

G = 3M

log

∗

− M

log

|W |

(2.119)

przy stałej warto´sci superpotencjału W = m

. Potencjał dany przez:

V = M

exp

−

¶ µ

−1

k
l

− 3

(2.120)

Rozdział

Uzupełnienie techniczne

3.1

Formalizm spinorów Weyla

Przedstawimy dwukomponentow ˛

a notacj˛e spinorow ˛

a. Dwukomponentowe spinory

s ˛

a niezwykle przydatne w teoriach z chiralnymi fermionami. U˙zywamy metryki

= diag(1, −1, −1, −1).

Zacznimy od zdefiniowania dwuwymiarowej macierzy M ∈ SL(2,C) . Macierz

M , jej sprz˛e˙zenie zespolone M

∗

, odwrotno´s´c wraz z transpozycja (M

)

−1

, oraz

sprz˛e˙zenie hermitowskie i odwrotno´s´c (M

†

)

−1

, te˙z nale˙z ˛

a do grupy SL(2,C) .

Dwukomponentowe spinory z górnymi i dolnymi “kropkowanymi” wska´znikami

s ˛

a definiowane przez transformacj˛e wzgl˛edem grupy SL(2,C)

= M

∗

= M

−1

0 ˙

= (M

∗

)

−1

(3.1)

Greckie wska´zniki odnosz ˛

a si˛e do spinorów. Spinory z kropkowanymi wska˙znikami

transformuj ˛

a si˛e jak (0,

1
2

)reprezentacja grupy Lotentza, podczas gdy niekropkowane

– zwykłe wska´zniki transformuj ˛

a si˛e jak (

1
2

, 0) – sprz˛e˙zona reprezentacja.

Macierze–

, to dwuwymiarowe zespolone macierze:

−i

−1

(3.2)

Ka˙zda macierz hermitowska mo˙ze by´c przedstawiona w postaci:

P ≡ (p

) =

+ p

− ip

+ ip

− p

(3.3)

Uzupełnienie techniczne

gdzie p

jest rzeczywiste. Z dowolnej macierzy hermitowskiej mo˙zemy otrzyma´c

inn ˛

a macierz hermitowsk ˛

a dzi˛eki transformacji

= MPM

†

(3.4)

obie macierze P i P

mo˙zna przedstawi´c poprzez macierze

(

0
m

) = M (

) M

†

(3.5)

przy czym p

i p

s ˛

a rzeczywiste.

Dopóki macierz M jest unimodularna (det M = 1), dopóty p

s ˛

a powi ˛

azane

transformacj ˛

a Lorentza:

det(

0
m

) = det(

) = p

0 2

− ~p

0 2

= p

2
0

− ~p

(3.6)

Z wzorów (

3.1

) oraz (

3.4

), łatwo dostrzec, ˙ze

ma nast˛epuj ˛

aca struktur˛e wska´zników

(3.7)

W tej konwencji,

, ¯

oraz

∂

s ˛

a skalarami Lorentzowskimi.

Poniewa˙z M jest macierz ˛

a unimodularn ˛

a, to całkowicie antysymetryczne ten-

sory

αβ

oraz

αβ

(

= −1,

= 1,

= 0) s ˛

a niezmiennicze

wzgl˛edem transformacji Lorentza:

αβ

= M

γδ

αβ

γδ

(3.8)

Dzi˛eki temu spinory z górnymi i dolnymi indeksami mo˙zemy poł ˛

aczy´c przez

tensor

αβ

(3.9)

gdzie

αβ

oraz

αβ

spełniaj ˛

a zwi ˛

azek:

αβ

βγ

. Analogicznie post˛epujemy dla

kropkowanych wska˙zników.

Tensora

u˙zywamy równie˙z do podnoszenia wska´zników macierzy

m ˙

αα

αβ

(3.10)

Łatwo otrzyma´c relacje mi˛edzy dwukomponentowymi a czterokomponentowymi

spinorami. Rol˛e macierzy Pauliego przejmuj ˛

a macierze Diraca

(3.11)

W tej notacji ¯

, ¯

. Nazywamy t˛e reprezentacj˛e macierzy Diraca reprezen-

tacj ˛

a Weyla. Je˙zeli zapiszemy w tej reprezentacji spinory Diraca, składa´c si˛e one

b˛ed ˛

a z dwu spinorów Weyla:

(3.12)

3.2 Algebra Poincare

Spinory Majorany zawieraj ˛

a tylko jeden spinor Weyla:

(3.13)

W notatkach stosowali´smy konwencj˛e sumacyjn ˛

ψχ

= −

χψ

= ¯

= − ¯

= ¯

(3.14)

gdzie nale˙zy pami˛eta´c, ˙ze spinory antykomutuj ˛

a. Definicja ¯

jest dana przez:

(

χψ

)

†

= (

)

†

= ¯

(3.15)

3.2

Algebra Poincare

Algebra grupy Poincare składa si˛e z 10-ciu generatorów: 3 generatorów pchni˛e´c
K

, 3 generatorów obrotów J

oraz 4 generatorów translacji P

= H i P

, gdzie

i = 1, 2, 3 . Generatory translacji reprezentowa´c mo˙zna przez pochodne,

= i

∂

t, P

= −i

∂

(3.16)

Dowoln ˛

a wła´sciw ˛

transformacj˛e Poincare mo˙zna zapisa´c w postaci

−i

−iHt+ix

(3.17)

gdzie generatory spełniaj ˛

a nast˛epuj ˛

ace relacje komutacyjne

, J

] = i

i jk

, K

] = i

i jk

, K

] = −i

i jk

(3.18)

[H, J

] = 0 ,

[H, K

] = −iP

, P

] = i

i jk

, K

] = −iH

i j

Algebr˛e t˛e mo˙zna zapisa´c w sposób kowariantny

, P

] = 0

(3.19)

, M

ρσ

] = (−i) (

−

)

, M

ρσ

] = (−i) (

νρ

−

νσ

−

νσ

νρ

) .

Składowe antysymetrycznego tensora M

zwi ˛

azane s ˛

a z J

i K

nast˛epuj ˛

aco: K

, J

1
2

klm

. Operatorami Casimira dla algebry Poincaré s ˛

=: P

Tzn transformacj˛e deformowaln ˛

a w sposób ci ˛

agły do transformacji to˙zsamo´sciowej

Uzupełnienie techniczne

=: W

, gdzie W

jest wektorem Pauli–Lubanskiego (jest to relaty-

wistyczne uogólnienie wektora spinu): W

1
2

νρσ

ρσ

Gdy m

= P

6= 0

to w układzie spoczynkowym masywnej cz ˛

astki

= (m,~0)

(3.20)

= −m

~J = (M

, M

)

= s(s + 1).

Dodatkowymi liczbami kwantowymi numeruj ˛

acymi stany wewn ˛

atrz reprezentacji

o ustalonych m i j s ˛

a składowe p˛edu p

oraz warto´sci własne

operatora skr˛etno´sci

= ~J~p/|~p|. Operator skr˛etno´sci komutuje ze składowymi p˛edu.

Konstruowanie reprezentacji algebry Poincare’ w przypadku masywnym staje

si˛e proste, je˙zeli we˙zmie si˛e pod uwag˛e izomorficzno´s´c algebry SO(1, 3) i alge-
bry SU (2) ⊕ SU (2). Izomorficzno´s´c t˛e wida´c, gdy zdefiniuje si˛e niehermitowskie
kombinacje generatorów K

i J

± i K

(3.21)

Operatory te spełniaj ˛

a zwi ˛

azki

, J

] = i

i jk

(3.22)

−

, J

] = 0 .

Reprezentacje o okre´slonych j

oznaczamy przez ( j

, j

−

). Nietrywialnymi reprezen-

tacjami o najni˙zszym, równym 2, wymiarze s ˛

a (1/2, 0) i (0, 1/2). Pozostałe reprezen-

tacje mo˙zna znale´z´c, tak jak dla algebry SU (2), przez tensorowanie tych reprezen-
tacji spinorowych. Na przykład, (1/2, 0) ⊗ (0, 1/2) = (1/2, 1/2), gdzie ta ostatnia
reprezentacja jest reprezentacj ˛

a zawieraj ˛

ac ˛

a wektor i skalar wzgl˛edem obrotów, to

znaczy wektor wzgl˛edem transformacji Lorentza.

Spinory (1/2, 0) nazywamy spinorami lewymi, a spinory (0, 1/2) – prawymi.

Spinor Dirakowski jest sum ˛

a prost ˛

a reprezentacji (1/2, 0) i (0, 1/2),

= (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), poniewa˙z ta suma jest najmniejsz ˛

a reprezentacj ˛

a, która

jest niezmiennicza wzgl˛edem parzysto´sci przestrzennej, P. two sprawdzi´c, ˙ze P
zamienia J

na J

−

i odwrotnie. W reprezentacji Weyla dla spinorów Diraka, górna,

wyrzutowywana przez P

= (1−

)/2, połowa spinora transformuje si˛e jak (1/2, 0),

za´s dolna połowa, wyrzutowywana przez P

= (1 +

)/2, transformuje si˛e jak

(0, 1/2).

W reprezentacji Weyla dla macierzy Diraka generatory obrotów i pchni˛e´c wygl ˛

daj ˛

a nast˛epuj ˛

aco

(3.23)

3.2 Algebra Poincare

= −i

−

(3.24)

gdzie

, i = 1, 2, 3 , s ˛

a macierzami Pauliego.

W tej reprezentacji

−1 0

W reprezentacji Diraka

−1

Cz˛esto przydatny okazuje si˛e nast˛epuj ˛

acy zwi ˛

azek: e

i~r~

= cos(r)+i

~r~

sin(r), gdzie

r = |~r|, za´s

to macierze Pauliego.

W przypadku reprezentacji bezmasowych, m = 0, sytuacja jest nieco bardziej

zło˙zona.

Dla cz ˛

astki bezmasowej mo˙zemy przej´s´c do układu odniesienia, w którym

czterop˛ed cz ˛

astki przyjmuje posta´c p

= (p, 0, 0, p), p ≥ 0. W tym układzie skład-

owe czterowektora spinu (czterowektora Pauliego-Lunbanskiego) przyjmuj ˛

a posta´c

= (J

− J

)p = −(K

+ J

(3.25)

= (J

− J

)p = (K

− J

= W

= −pJ

two sprawdzi´c, ˙ze zachodz ˛

a nast˛epuj ˛

ace relacje komutacyjne

] = −ipW

(3.26)

] = ipW

] = 0 .

Aby upodobni´c t˛e algebr˛e do algebry SU (2) (algebry obrotów), której reprezen-
tacje dobrze znamy, zdefinujemy operatory podnosz ˛

ace i obni˙zaj ˛

ace

oraz oper-

ator wagowy

= W

± iW

= −

= +J

~p~J
|~p|

(3.27)

które spełniaj ˛

a relacje komutacyjne

[

] = −(±

)

(3.28)

[

−

] = 0 .

Jak wida´c, operatorem wagowym, którego warto´sci własne s ˛

a podwy˙zszane i ob-

ni˙zane przez operatory

, jest operator skr˛etno´sci.

Uzupełnienie techniczne

Algebra (

3.28

) jest algebr ˛

a ruchów w 2-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej,

oznaczan ˛

a zazwyczaj przez E

(dwie translacje

i obrót

). Operatorem Casimira

dla algebry (

3.28

) jest operator A =

−

. Poniewa˙z składowe czterowektora W

s ˛

a rzeczywiste, to operator A jest hermitowski i ma rzeczywiste warto´sci własne.

Mo˙zna wybra´c jako baz˛e w przestrzeni Hilberta stany, które s ˛

a stanami włsnymi A

(podalgebra Cartana algebry E

jest 1-wymiarowa). Niech

u(A, µ) = µu(A, µ).

Wtedy [

]u(A, µ) = −

u(A, µ), co oznacza, ˙ze

(

u(A, µ)) = (µ + 1)

u(A, µ),

(3.29)

co z kolei oznacza, ˙ze

u(A, µ) = a

(µ)u(A, µ + 1).

(3.30)

Podobnie

−

u(A, µ) = a

−

(µ)u(A, µ − 1).

(3.31)

Poniewa˙z

hA, µ

|A, µi

∗

= hA, µ|

−

|A, µ

(3.32)

i powy˙zsze elementy macierzowe nie znikaj ˛

a tylko dla µ

= µ + 1, to zachodzi

równo´s´c a

∗

(µ) = a

(

µ + 1). Z kolei

−

u(A, µ) =

−

u(A, µ),

(3.33)

sk ˛

ad wynika równo´s´c a

−

(µ)a

(µ − 1) = a

(µ)a

−

(µ + 1). Dlatego, dla ka˙zdego µ

otrzymujemy

(µ − 1)|

= |a

(µ)|

(3.34)

−

(µ)|

= |a

−

(µ + 1)|

Poniewa˙z wszystkie stany w danej reprezentacji otrzymujemy przez wielokrotne
działanie operatorami

na pewien stan pocz ˛

atkowy, to dla wszystkich stanów w

reprezentacji nieprzywiedlnej |a

| =

i |a

−

| =

−

dla pewnyh ustalonych rzeczy-

wistych

−

. Ponadto, a

∗

(µ) = a

−

(µ + 1), zatem

−

Mo˙zliwe s ˛

a dwa przypadki:

•

6= 0 – w tym przypadku nie ma ˙zadnych ogranicze´n na dozwolone warto´sci

i µ i otrzymujemy nisko´nczenie wymiarowe reprezentacje. Nie znamy real-

izowanych w przyrodzie stanów fizycznych, którym te reprezentacje mogłyby
odpowiada´c.

•

= 0 – reprezentacje nieprzywiedlne s ˛

a jednowymiarowe. Odpowiadaj ˛

a one

na przykład stanom fotonów i grawitonów. W teoriach niezmienniczych wzgl˛e-
dem

C P T

najmniejsz ˛

a reprezentacj ˛

a, która jest niezmiennicza wzgl˛edem

C P T

, jest reprezentacja dwuwymiarowa, która jest sum ˛

a prost ˛

a reprezen-

tacji o skr˛etno´sciach µ i −µ (pod działaniem

C P T

→ −

). Fizyczne fotony,

bezmasowe nautrina i grawitony uto˙zsamiamy z takimi wła´snie dwuwymia-
rowymi reprezentacjami.

3.2 Algebra Poincare

Okazuje si˛e, ˙ze skr˛etno´s´c µ jednowymiarowych reprezentacji bezmasowych jest
skwantowana. Skr˛etno´s´c jest generatorem obrotów wokół kierunku ~p. Zatem pod
działaniem obrotu o k ˛

at 2

stan skr˛etno´sciowy zmienia si˛e o faz˛e

|µi → e

|µi.

(3.35)

Analiza struktury grupy obrotów prowadzi do wniosku, ˙ze 2

µ = k

, k ∈

, zatem

µ =

k
2

, k ∈

Argumentacja przebiega nast˛epuj ˛

aco. Obroty w trzech wymiarch mo˙zna scharak-

teryzowa´c przez podanie kierunku~n i k ˛

ata

≤

. Ale obroty o k ˛

wokół kierunku

~n i −~n prowadz ˛

a do tej samej konfiguracji przestrzennej, trzeba je zatem uto˙zsami´c.

Zatem punkty A i B na rysunku

3.1

oznaczaj ˛

a to samo przkształcenie, ale cykle (a)

i (b) nie dadz ˛

a si˛e na siebie przekształci´c w sposób ci ˛

agły. Wykonanie po kolei

wszystkich przekształce´n wzdłu˙z drogi (a) musi da´c w wyniku przekształcenie
to˙zsamo´sciowe, I. Natomiast wykonanie po kolei przekształce´n wzdłu˙z drogi typu
(b) daje w wyniku przekształcenie P, które przekształceniem to˙zsamo´sciowym by´c
nie musi. Natomiast trzeba zauwa˙zy´c, ˙ze zło˙zenie dwu dróg typu (b), na przykład
(b) i (b’) z rysunku

3.2

, daje si˛e zdeformowa´c do drogi typu (a). Zatem P

= I.

Poniewa˙z w przestrzeni 1-wymiarowej P musi by´c liczb ˛

a zespolon ˛

a o module 1,

to P = e

lub P = e

. Oba wybory s ˛

a dopuszczalne. W szczególno´sci, wybór

pierwszej z tych mo˙zliwo´sci oznacza, ˙ze dopuszczalnymi warto´sciami wielko´sci
2

µ s ˛

a oprócz całkowitych wielokrotno´sci 2

równie˙z całkowite wielokrotno´sci

St ˛

ad stanom fizycznym mog ˛

a odpowiada´c połówkowe warto´sci skr˛etno´sci. Stany

o połówkowych skr˛etno´sciach opisuj ˛

a fermiony.

Rysunek 3.1: Obroty A i B s ˛

a tymi samymi przekształceniami w przestrzeni konfig-

uracyjnej, lecz zamkni˛etych dróg (a) i (b) nie mo˙zna w sposób ci ˛

agły przekształci´c

na siebie.

Document Outline