LISTA 1

ZADANIE 1
a)



41

x

=5

podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:

41

x

=5

x

⋅5

x

przechodzimy na system dziesiętny:

4x

1

1=25

4x

=24

x

=6

ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6.

b)



22

x

=4

podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:

22

x

=4

x

⋅4

x

przechodzimy na system dziesiętny:

2x

1

2=16

2x

=14

x

=7

ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7.

c)

a

2

=301

x

Zauważmy, że:

–

x

3 ponieważ użyto cyfry “3” co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (0, 1, 2, 3...),

–

a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby
miało 3 cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5),

–

a jest liczbą całkowitą.

Przejdźmy na zapis dziesiętny:

a

2

=3x

2

1

a

2

−1=3x

2

a

2

−1

3

=x

2

x

=



a

2

−1

3

Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że:

x

3

a

2

3 ⋅3

2

1

a

2

28

∣a∣



28

a

≥6

oraz

x

∈Z

x

=



a

2

−1
3

sprawdźmy kolejne liczby a:

a

=6

x

=



36

−1

3

=



35over 3

∉Z

a

=7

x

=



49

−1

3

=



48

3

=



16

=4 ∈Z

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4.

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

1

d)

b

2

=562

x

Zauważmy, że:

–

x>5,

–

b jest dwucyfrowe,

–

pierwszą cyfrą b musi być 2.

Przejdźmy na system dziesiętny:

b

2

=5x

2

6x 2

2xa 

2

=5x

2

6x2

4x

2

4xaa

2

=5x

2

6x 2

x

2

6x −4xa2−a

2

=0

x

2

6−4a x 2−a

2

=0

–

a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x,

–

a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani 0.

Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy:

x

1

x

2

=4a−6

x

1

⋅x

2

=2−a

2

Sprawdźmy kolejne a:

a

=2

x

1

x

2

=2

x

1

⋅x

2

=−2

x

=2 6

a

=3

x

1

x

2

=6

x

1

⋅x

2

=−7

x

=7

Wykonajmy sprawdzenie:

L :

2 ⋅73

2

=17

2

=289

P:5

⋅7

2

6 ⋅7 2 =289

L

=P

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7.

ZADANIE 2

5



x

2

−50



x

125



=0

x

1

=5



, x

2

=8



Ze wzorów Viete'y:

5



8



=

50



5



5



8



=10



5

8=

=13

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 13.

ZADANIE 4

Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie

 x

Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie



)

x

−1

jest stałe (niezależne od x):

x

−1 = x⋅−x = x −−x =  x−1 −x

Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie



, w której:

–

 x−1

jest pierwszą cyfrą,

–

−x

jest drugą cyfrą.

Suma cyfr tej liczby to oczywiście:

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

2

 x−1−x = x−1−x = −1

a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.

TABLICZKI:
Aby ułatwić sobie obliczenia korzystamy z kilku własności:

–

suma cyfr iloczynu największej cyfry i dowolnej innej jest stała i równa największej cyfrze (np. w systemie dziesiętnym
9*4=36 – suma cyfr wyniku to 9)

–

kwadrat dowolnej liczby x wynosi (x-1)(x+1)+1 (np. w systemie dziesiętnym 4

2

=3*5+1=15+1=16)

–

aby uzyskać kolejną liczbę w rzędzie/kolumnie wystarczy dodać stałą różnicę w tym rzędzie równą mnożnikowi

ZADANIE 5
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie

 x

Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w

systemie naturalnym o podstawie

 )

x

 −1

k

−1 

k

−1

.. −1−1 (czyli inaczej liczby złożonej z samych najwyższych cyfr w danym

systemie) jest stałe (niezależne od x):

x

 −1

k

−1 

k

−1

.. −1−1=

=x 

k

1

−

k



k

−

k

−1



 k−1

−

k

−2

..

3

−

2



2

−−1=

=x 

k

1

−1=x⋅

k

1

−x= x−1 

k

1

 −1

k

−1 

k

−1

...−x

Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie

 , w której:

–

 x−1

jest pierwszą cyfrą,

–

−x jest ostatnią cyfrą,

–

pomiędzy nimi jest k-1 największych cyfr w danym systemie

−1

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

3

3

1

2

1

1

2

2

2

11

5

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

2

4

11 13

3

3

11 14 22

4

4

13 22 31

7

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

11 13 15

3

3

6

12 15 21 24

4

4

11 15 22 26 33

5

5

13 21 26 34 42

6

6

15 24 33 42 51

9

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

2

4

6

8 11 13 15 17

3

3

6 10 13 16 20 23 26

4

4

8 13 17 22 26 31 35

5

5 11 16 22 27 33 38 44

6

6 13 20 26 33 40 46 53

7

7 15 23 31 38 46 54 62

8

8 17 26 35 44 53 62 71

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

2

2

4

6

8

A

11 13 15 17 19

3

3

6

9

11 14 17 1A 22 25 28

4

4

8

11 15 19 22 26 2A 33 37

5

5

A

14 19 23 28 32 37 41 46

6

6

11 17 22 28 33 39 44 4A 55

7

7

13 1A 26 32 39 45 51 58 64

8

8

15 22 2A 37 44 51 59 66 73

9

9

17 25 33 41 4A 58 66 74 82

A

A

19 28 37 46 55 64 73 82 91

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

2

2

4

6

8

A

C

11 13 15 17 19 1B

3

3

6

9

C

12 15 18 1B 21 24 27 2A

4

4

8

C

13 17 1B 22 26 2A 31 35 39

5

5

A

12 17 1C 24 29 31 36 3B 43 48

6

6

C

15 1B 24 2A 33 39 42 48 51 57

7

7

11 18 22 29 33 3A 44 4B 55 5C 66

8

8

13 1B 26 31 39 44 4C 57 62 6A 75

9

9

15 21 2A 36 42 4B 57 63 6C 78 84

A

A

17 24 31 3B 48 55 62 6C 79 86 93

B

B

19 27 35 43 51 5C 6A 78 86 94 A2

C

C 1B 2A 39 48 57 66 75 84 93 A2 B1

Suma cyfr tej liczby to oczywiście:

 x−1−xk −1 −1 = x−1−xk⋅−k −1 = k⋅−k

a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.

ZADANIE 6

mnożenie:

dzielenie:

Druga część zadania jest dla mnie niestety niezrozumiała.

ZADANIE 7

a) 674,581

10

= 2A2,94BC

16

2A2,94BC

16

= 0010 1010 0010,1001

2

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

4

β=5

0, 3 2 4

2, 4 1

3 2 4

2 4 1 1

1 3 0 3

2, 1 0 2 3 4

β=9

0, 3 2 4

2, 4 1

3 2 4

1 4 0 7
6 4 8

0, 7 8 3 0 4

β=13

0, 3 2 4

2, 4 1

3 2 4

C 9 3

6 4 8

0, 7 4 7 5 4

β=11

0, 3 2 4

2, 4 1

3 2 4

1 1 9 5
6 4 8

0, 7 6 9 7 4

β=7

0, 3 2 4

2, 4 1

3 2 4

1 6 3 2
6 5 1

1, 1 5 0 4 4

β=7

1, 2 4

4 3, 4

: 3 2

3 2

1 1 4

6 4

2 0 0
1 6 1

0 0 6

β=9

1, 3 2

4 3, 4

: 3 2

3 2

1 1 4
1 0 6

0 0 7 0

6 4

0 5

β=13

1, 4 6

4 3, 4

: 3 2

3 2

1 1 4

C 8

1 9 0
1 5 C

0 3 1

β=11

1, 3 9

4 3, 4

: 3 2

3 2

1 1 4

9 6

2 9 0
2 6 7

0 2 4

β=5

1, 2

4 3, 4

: 3 2

3 2

1 1 4
1 1 4

0 0 0

część całkowita

/16

reszta:

674

2

42

A

2

2

0

część ułamkowa

cyfra

*16

0,

581

9

296

4

736

B

776

C

416

część ułamkowa

cyfra

*2

0,

94BC

1

2978

0

52F0

0

A5E0

1

4BC0

b) 0CD,12

16

= 1100 1101,0001

2

= 1 + 4 + 8 + 64 + 128 + 1/16 = 205,0625

10

c) 3,012

8

=0011,0

2

=3

16

d) 34,56

10

* 2

-5

= 1000010

2

*2

-5

= 10,0001

2

= 2,1

16

e) 102,21

3

*5

-2

=21,1043

5

:100

5

=0,211

5

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

5

część ułamkowa

cyfra

*2

0,

12

0

24

0

48

0

90

1

20

część ułamkowa

cyfra

*2

0,

012

0

024

0

050

0

120

0

240

część całkowita

/2

reszta:

34

0

17

1

8

0

4

0

2

0

1

0

0

1

część ułamkowa

cyfra

*16

0,

0001

1

0

część całkowita

/12

reszta:

102

1

2

2

0

0

część ułamkowa

cyfra

*12

0,

21

1

01

0

12

4

11

3

02

f) (alternatywnym sposobem):
0BACA

16

*5

-3

=47818

10

*5

-3

=382,544

10

g) 6745,81c20345,621

7

= 2⋅7

4

3⋅7

2

4⋅75

6

7



2

7

2



1

7

3

= 4982

10



309
343

= 4982,9008

10

h) 0AA,12

11

= 10⋅1110

1

11



1

121

= 120

10



13

121

= 120,1074

10

= 143,0862

9

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

6

część całkowita

/A

reszta:

BACA

8

12AD

1

01DE

8

002F

7

0004

4

0

0

część całkowita

/7

reszta:

6745

5

0870

4

0122

3

0015

0

0002

2

0

część ułamkowa

cyfra

*7

0,

81

6

27

2

14

1

11

0

77

część całkowita

/9

reszta:

120

3

13

4

1

1

0

0

część ułamkowa

cyfra

*9

0,

1074

0

9666

8

6994

6

2946

2

6514

i)

102,21

3

×15

−2

=102,21

3

×3

−2

×5

−2

=1,0221

3

×5

−2

= 1,0334

5

×5

−2

=0,0103

5

j)

34

7

56

7

=

11001

2

101001

2

=0,1001

2

k) 234,

56

9

=

23456

9

−234

9

88

9

=

23222

9

88

9

=

63110

7

143

7

=511,4552

7

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

7

część ułamkowa

cyfra

*12

0,

0221

0

2022

10

2111

10

2102

11

0001

licznik

/2

reszta:

34

1

15

0

6

0

3

1

1

1

0

mianownik

/2

reszta:

56

1

26

0

13

0

5

1

2

0

1

1

0

0,

1

0

0

1

1

1

0

0

1

2

:

1

0

1

0

0

1

2

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

licznik

/7

reszta:

23222

0

03028

1

00381

1

00050

3

00006

6

0

mianownik

/7

reszta:

88

3

12

4

01

1

0

5

1 1,

4

5

5

2

6

3

1

1 0

7

:

1

4 3

7

6

1

1

0

2

0

1

1

4

3

0

2

5

0

1

4

3

1

0

5

0

6

3

5

1

1

2

0

1

0

1

1

0

1

0

6

0

1

0

1

1

0

0

4

6

0

3

1

6

1

4

1

l)

12,3

45

7

=

12345

7

−123

7

660

7

=

12222

7

660

7

=

7

4

2⋅7

3

2⋅7

2

2⋅72

6

⋅7

2

6⋅7

=

3201

336

=9,5267

10

9,5267

10

=9,588

11

ZADANIE 9

a) 0,

 27

10

=

27

10

99

10

=

3

10

11

10

=0,3

11

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 11.

b) 0,

101

2

=

101

2

111

2

=

5

10

7

10

=0,5

7

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 7.

c) 1

−0,56

9

=0,8

9

−0, 56

9

=0,32

9

=

32

9

88

9

=

29

10

80

10

=0, X

80

gdzie X to 29-ta cyfra w systemie o podstawie 80

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 80.

d) 0,0

0011

2

=

11

2

11110

2

=

3

10

30

10

=

1

10

10

10

=0,1

10

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 10.

e) 0,

35

11

−0,2

11

=0,13

11

=

13

11

AA

11

=

14

120

−

7

60

=0,7

60

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 60.

f) 0,1

23

7

=

122

7

660

7

=

65

336

=0, X

33

gdzie X to 65-ta cyfra w systemie o podstawie 336

ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 336.

ZADANIE A

Mamy pokazać, że w systemie naturalnym przeniesienie lub pożyczka w dodawaniu juz zawsze równe 0 lub 1.
Dodawanie i odejmowanie liczb w systemie naturalnym polega na dodawaniu lub odejmowaniu cyfr stojacych przy

odpowiadających sobie wagach.

Rozważmy najpierw dodawanie (a więc występujące w nim przeniesienie). W “najgorszym” wypadku będziemy dodwawać
dwie największe cyfry:

−1 −1=−1−1=2⋅−2=−2=1⋅−2

Jeśli więc dodamy dwie największe cyfry, otrzymamy największy wynik będący liczbą dwucyfrową, której pierwsza cyfra
(przeniesienie) wynosi “1” a druga “

β-2”. Oznacza to, że największą cyfrą przeniesienia może być “1”. Najmniejszą cyfrą

przeniesienia jest “0”, która jest sumą najmniejszych cyfr czyli zer.

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

8

część ułamkowa

cyfra

*11

0,

5267

5

7937

8

7307

8

0377

0

4147

W przypadku odejmowania jest podobnie. Jako,że w systemie naturalnym nie ma ujemnych cyfr, wynik odejmowania musi
być zawsze dodatni. Aby uzyskać największą cyfrę pożyczki musimy odjąć od cyfry najmniejszej cyfrę największą:

0− −1=−1 wynik musi być jednak dodatni więc musimy pożyczyć jeden : −1=1

Widać stąd, że zawsze wystarczy pożyczyć “1”. Pożyczka będzie równa “0” gdy będziemy odejmować od dowolnej cyfry,
cyfrę od niej większą.

ZADANIE B
Liczby zakodowane w systemie znak-moduł (SM) składają się ze znaku (standardowo “0” to minus a “1” to plus) i modułu

(czyli wartości bezwzględnej) liczby. Inaczej mówiąc polega to na zamianie znaków “+” i “-” na cyfry – odpowiednio “1” i
“0”.

Dodawanie i odejmowanie w systemach SM nie różni się więc niczym od tego znanego z podstawówki. Same działania
wykonujemy na modułach, w zależności od cyfr znaku:

–

jeśli dodajemy dwie liczby dodatnie (obie mają pierwszą cyfrę “0”) to dodajemy moduły i jako znak ustawiamy również
cyfrę “0”,

–

jeśli dodajemy liczbę ujemną (pierwsza cyfra “1”) i liczbę dodatnią to wykonujemy odejmowanie na modułach (od
większego odejmujemy mniejszy) a jako znak ustawiamy znak większego z modułów dodawanych liczb,

–

jeśli odejmujemy dwie liczby ujemne to postępujemy jak w przypadku dodawania ale znak ustawiamy na “1”,

–

jeśli odejmujemy liczbę ujemną i dodatnią to postępujemy jak w przypadku dodawania liczby ujemnej i dodatniej.

ZADANIE D
a) system naturalny:

–

najmniejsza liczba całkowita: 0

–

największa liczba całkowita: β

k

-1

b) system negabazowy

–

najmniejsza liczba całkowita:

•

dla k parzystego:

−1⋅−

k

−1

 −1⋅−

k

−3

...−1 −=−

k



k

−1

−

k

−2



k

−3

...−

2

=

∑

i

=1

k

−1

i

1

⋅

i

•

dla k nieparzystego:

−1⋅−

k

−2

 −1⋅−

k

−4

...−1−=−

k

−1



k

−2

−

k

−3



k

−4

...−

2

=

∑

i

=1

k

−1

−1

i

⋅

i

–

największa liczba całkowita:

•

dla k parzystego:

−1⋅−

k

−2

 −1⋅−

k

−4

...−1−

2

−1=

k

−1

−

k

−2



k

−3

−

k

−4

...−

2

−1=

∑

i

=0

k

−1

−1

i

1

⋅

i

•

dla k nieparzystego:

−1⋅−

k

 −1⋅−

k

−1

... −1−

2

 −1=

k

1

−

k



k

−1

−

k

−4

...−1=

∑

i

=0

k

1

−1

i

1

⋅

i

c) system z cyframi znakowanymi:

–

najmniejsza liczba całkowita: -β

k

-1

–

największa liczba całkowita: β

k

-1

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

9