CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA W R

2

.

Def.

Niech L

= S(x, y) ∈ R

2

: x

= x(t), y = y(t),

t

∈ [α, β] ,

x, y

∈ C

1

([α, β]; R)

lub L

= S(x, y) ∈ R

2

: y

= f(x),

x

∈ [a, b] ,

f

∈ C

1

([a, b]; R)

będzie łukiem regularnym w przestrzeni R

2

(nie mającym punktów wielokrotnych).

Wyróżnijmy na łuku L dwa punkty:
początek

oraz koniec

.

A

(x(α), y(α))

B

(x(β), y(β))

............................................................................................................
Łuk L, w którym wyróżniamy początek i koniec nazywamy łukiem skierowanym.
............................................................................................................
Łuk o początku A i końcu B oznaczamy symbolem

.

AB

Mówimy wtedy, że łuk

są przeciwnie skierowane

AB oraz BA

i piszemy często -AB

zamiast

BA.

.............................................................................................................
Jeżeli wraz ze wzrostem parametru t

przesuwamy się

od

α do β

od początku A łuku L do jego końca B, przyjmować będziemy, że łuk L
ma orientację dodatnią. Fakt ten zwykle oznaczamy L

+

.

.............................................................................................................
W przeciwnym wypadku orientację łuku L uważać będziemy za ujemną
i oznaczać L

-

.

..............................................................................................................
Orientację łuku zamkniętego L uważać będziemy za dodatnią, jeżeli wraz
ze wzrostem parametru t, punkt S(x,y) przebiega ten łuk w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara.
----------------------------------------------------------------------------------------------
.....................................................................................................................
Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku gładkim

L

= S(x, y) ∈ R

2

: x

= x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], x, y ∈ C

1

([α, β], R)

skierowanym, o początku w punkcie A

i końcu w punkcie B

.

(x(α), y(α))

(x(β), y(β))

......................................................................................................................
Całkę krzywoliniową nieskierowaną z iloczynu skalarnego wektora

(siły

) oraz wektora

= [dx,dy] (przesunięcia po

→



F

(x, y) = [P(x, y), Q(x, y)]

→

F

→

dL

łuku L) o składowych dx oraz dy , nazywamy całką krzywoliniową skierowaną
z układu funkcji P,Q wzdłuż łuku gładkiego skierowanego L , którą oznaczamy
następująco:

L

∫

→



F

(x, y)⋅

→

dL

=

AB

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y)dy

------------------------------------------------------------------------------------------------

Tw.

Jeżeli L = S(x, y) ∈ R

2

: x

= x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], x, y ∈ C

1

([α, β], R)

jest łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie A(x( ),y( ))

α

α

i końcu w punkcie B(x( ),y( )) , funkcje P,Q

, to

β

β

∈ C

o

(L, R)

L

+

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y)dy = (+)

α

β

∫

[P(x(t), y(t)) ⋅ x (t) + Q(x(t), y(t)) ⋅ y (t)] ⋅ dt

...........................................................................................................................

1

Analogicznie sformułujmy twierdzenie dla całki krzywoliniowej skierowanej
dla łuku regularnego L :

.

L

= S(x, y) ∈ R

2

: y

= f(x), x ∈ [a, b], f ∈ C

1

([a, b], R)

..........................................................................................................................

Tw.

Jeżeli L

= S(x, y) ∈ R

2

: y

= f(x), x ∈ [a, b], f ∈ C

1

([a, b], R)

jest łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie A(a,f(a))
i końcu w punkcie B(b,f(b)) , funkcje P,Q

, to

∈ C

o

(L, R

2

)

(1')

L

+

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y)dy

=

(+)

a

b

∫

[P(x, f(x)) + Q(x, f(x)) ⋅ f (x)] ⋅ dx

...........................................................................................................................

Tw.

Całka krzywoliniowa układu funkcji P(x,y), Q(x,y) po krzywej regularnej

będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych L,

K

⊂ R

2

które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, jest sumą
całek krzywoliniowych tej funkcji po poszczególnych łukach regularnych.
.............................................................................................................................
Wybrane własności całki krzywoliniowej skierowanej.
1.

Niech L = S(x, y) ∈ R

2

: x

= x(t), y = y(t),

t

∈ [α, β] ,

x, y

∈ C

1

([α, β]; R)

będzie łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie

A

(x(α), y(α))

oraz końcu w punkcie

i niech

będzie dowolnym punktem tego łuku.

B

(x(β), y(β))

C

∈ L

Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku L.
Wówczas

a)

AB

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy =

AC

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy +

(2)

+

CB

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy

b)

(3)

BA

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy =

AB

−

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy

Przykład.

Oblicz całkę:

L

+

∫

xdx

+ 2y dy

gdzie L

+

=

(x, y) ∈ R

2

:

y

= sin x,

x

∈ [0, π]

=

=

=

L

∫

xdx

+ 2y dy +

0

π

∫

[x + 2 sin x ⋅ cos x]dx

+

0

π

∫

[x + sin 2x]dx

=

[0,Pi]=

=





x

2

2

−

cos 2x

2









π

2

2

−

cos 2

π

2



 −





0

2

−

cos 0

2





π

2

2

........................................................................................................
lub dla L

+

=

(x, y) ∈ R

2

: x

= t, y = sin t,

t

∈ [0, π]

2

=

.

L

∫

xdx

+ 2y dy = +

π

0

∫

[t ⋅ 1 + 2 sin t ⋅ cos t ]dt

π

2

2

........................................................................................................................

Def.

Niech

o początku w punkcie A

K

⊂ D ⊂ R

2

,

P, Q

∈ C

0

(D, R), α, β ∈ R

i końcu w punkcie B.
Całka krzywoliniowa skierowana

AB

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy

nie zależy od drogi całkowania w obszarze D, jeżeli ma jednakową wartość

wzdłuż każdej krzywej leżącej w tym obszarze łączącej punkt początkowy A

i końcowy B.
...........................................................................................................................

Tw.

Jeżeli

, gdzie D jest obszarem jednospójnym w R

2

,

P, Q

∈ C

0

(D, R)

to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby całka krzywoliniowa
skierowana nie zależała od drogi całkowania jest, aby wyrażenie

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy

było różniczką zupełną funkcji F = F(x,y), tzn., że

oraz

(4)

∂F(x, y)

∂x

= P(x, y)

∂F(x, y)

∂y

= Q(x, y)

Wówczas

(5)

AB

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy = F(B) − F(A

--------------------------------------------------------------------------------------------
Natomiast warunek konieczny i wystarczający na to, aby funkcja F spełniająca (4)
istniała, zawiera

Tw.

Jeżeli

, gdzie D jest obszarem jednospójnym w R

2

,

P, Q

∈ C

1

(D, R)

to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby istniała funkcja F,
której różniczką zupełną jest wyrażenie

,

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy

jest spełnienie równości

(6)

∂P(x, y)

∂y

=

∂Q(x, y)

∂x

----------------------------------------------------------------------------------------
W przypadku, gdy L jest krzywą regularną, zamkniętą, ograniczającą
pewien jednospójny obszar D ( krzywa Jordana), wówczas istnieje związek
między całką krzywoliniową skierowaną po tej krzywej, a całką podwójną
po tym obszarze.

Sformułujmy mianowicie

Tw. Greena

Jeżeli

i D jest obszarem jednospójnym normalnym względem

P, Q

∈ C

1

(D, R)

obu osi układu

współrzędnych, wówczas całka krzywoliniowa skierowana

po zamkniętym dodatnio zorientowanym brzegu L obszaru D

.

L

∫

P

(x, y)dx + Q(x, y) dy =

D

∫∫






∂Q

∂x

−

∂P

∂y




dxdy

3

Przykład.

Oblicz całkę:

, gdzie L

+

:

L

∫

(2xy − y)dx + x

2

dy










jest

brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= 4










Ponieważ krzywa L jest zamkniętym brzegiem jednospójnego i normalnego
względem obu osi układu współrzędnych, to wykorzystując twierdzenie Greena

oraz uwzględniając dodatnią orientację linii L mamy

= +

= 4 .

L

∫

(2xy − y)dx + x

2

dy

D

∫∫

[2x − 2x + 1]dD

π

Przykład.

L

+

∫

ydx

+ xdy

gdzie L jest częścią linii o równaniu

y = ln x dla x

∈[1, e]

Metoda I.

=

= e.

L

∫

ydx

+ xdy =

1

e

∫



ln x + x ⋅

1

x



dx [x ln x − x + x]

e

1

Metoda II.
Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek

∂P

∂y

=

∂Q

∂x

niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym
nie zawierającym osi OY, zatem istnieje taka funkcja F = F(x,y),
ż

e

F

oraz F'

y

(x,y) = Q(x,y),

x

(x, y) = P(x, y)

tzn.

F'

x

(x,y) = y

więc F(x,y) =

xy +C(y)

∫

ydx

=

oraz F'

y

(x,y) = x ,

tzn.

czyli

[xy + C(y)]

y

= x

x

+

dC

(y)

dy

= x

stąd

zatem C(y) = C, gdzie C

dC

(y)

dy

= 0

∈ R.

Zatem

F(x,y) = xy +C(y) = xy +C, gdzie C

∈ R

oraz

=

=

L

∫

ydx

+ xdy

F

(B) − F(A)

= [xy + C]

(e,1

(1,0

e

4

Metoda III.

Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek

∂P

∂x

=

∂Q

∂x

niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym

D

⊂ R

2

nie zawierającym osi OY, zatem wartość całki będzie niezmienna
dla dowolnej krzywej L leżącej w obszarze D , w szczególności ,
gdy L będzie np odcinkiem łączącym początek i koniec krzywej L.

dla x

y

− y

0

y

1

− y

0

=

x

− x

0

x

1

− x

0

⇔

y

− 0

1

− 0

= x − 1

e

− 1

⇔ y =

1

e

− 1

(x − 1

∈ [1, e]

Zatem

=

L

∫

ydx

+ xdy =

e

1

∫





1

e

−1

(x − 1) + x

1

e

−1







d

1

e

− 1

e

1

∫

[2x − 1]dx =

1

e

− 1

x

2

− x

e

1

=

=

= e .





1

e

− 1







e

2

− e −



1

2

− 1

Ćwiczenia.

Oblicz całki:

a) w opisie jawnym,
b) w opisie parametrycznym.

1.

, gdzie K

+

: x

2

+ y

2

= 2x

K

+

∫

(x − y)dx + (x − y)dy

2.

, gdzie :

,

L

−

∫

e

x

dx










L

−

jest brzegiem

obszaru ograniczonego liniami

x

= 0,

y

= 2,

x

= ln x










3.

, gdzie

,

K

+

∫

2ydx

+ 2xdy










K

+

jest brzegiem

obszaru ograniczonego liniami

y

= x ,

y

= 0,

x

+ y = 2










4.

, gdzie

,

K

+

∫



x

2

+ y

2



 dx + d










K

+

jest brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= 4










5.

, gdzie

,

K

+

∫

2dy










K

+

jest brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= 2x










5

6.

. gdzie

,

L

−

∫

dx










L

−

jest brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= −2x + 2y










7.

, gdzie

L

−

∫

ydx

− xdy

x

2

+ y

2

a)










L

−

jest brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= 1










b)

.










L

−

jest brzegiem

obszaru ograniczonego linia

x

2

+ y

2

= 6x − 8










6