CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA W R
2
.
Def.
Niech L
= S(x, y) ∈ R
2
: x
= x(t), y = y(t),
t
∈ [α, β] ,
x, y
∈ C
1
([α, β]; R)
lub L
= S(x, y) ∈ R
2
: y
= f(x),
x
∈ [a, b] ,
f
∈ C
1
([a, b]; R)
będzie łukiem regularnym w przestrzeni R
2
(nie mającym punktów wielokrotnych).
Wyróżnijmy na łuku L dwa punkty:
początek
oraz koniec
.
A
(x(α), y(α))
B
(x(β), y(β))
............................................................................................................
Łuk L, w którym wyróżniamy początek i koniec nazywamy łukiem skierowanym.
............................................................................................................
Łuk o początku A i końcu B oznaczamy symbolem
.
AB
Mówimy wtedy, że łuk
są przeciwnie skierowane
AB oraz BA
i piszemy często -AB
zamiast
BA.
.............................................................................................................
Jeżeli wraz ze wzrostem parametru t
przesuwamy się
od
α do β
od początku A łuku L do jego końca B, przyjmować będziemy, że łuk L
ma orientację dodatnią. Fakt ten zwykle oznaczamy L
+
.
.............................................................................................................
W przeciwnym wypadku orientację łuku L uważać będziemy za ujemną
i oznaczać L
-
.
..............................................................................................................
Orientację łuku zamkniętego L uważać będziemy za dodatnią, jeżeli wraz
ze wzrostem parametru t, punkt S(x,y) przebiega ten łuk w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara.
----------------------------------------------------------------------------------------------
.....................................................................................................................
Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku gładkim
L
= S(x, y) ∈ R
2
: x
= x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], x, y ∈ C
1
([α, β], R)
skierowanym, o początku w punkcie A
i końcu w punkcie B
.
(x(α), y(α))
(x(β), y(β))
......................................................................................................................
Całkę krzywoliniową nieskierowaną z iloczynu skalarnego wektora
(siły
) oraz wektora
= [dx,dy] (przesunięcia po
→
F
(x, y) = [P(x, y), Q(x, y)]
→
F
→
dL
łuku L) o składowych dx oraz dy , nazywamy całką krzywoliniową skierowaną
z układu funkcji P,Q wzdłuż łuku gładkiego skierowanego L , którą oznaczamy
następująco:
L
∫
→
F
(x, y)⋅
→
dL
=
AB
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y)dy
------------------------------------------------------------------------------------------------
Tw.
Jeżeli L = S(x, y) ∈ R
2
: x
= x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], x, y ∈ C
1
([α, β], R)
jest łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie A(x( ),y( ))
α
α
i końcu w punkcie B(x( ),y( )) , funkcje P,Q
, to
β
β
∈ C
o
(L, R)
L
+
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y)dy = (+)
α
β
∫
[P(x(t), y(t)) ⋅ x (t) + Q(x(t), y(t)) ⋅ y (t)] ⋅ dt
...........................................................................................................................
1
Analogicznie sformułujmy twierdzenie dla całki krzywoliniowej skierowanej
dla łuku regularnego L :
.
L
= S(x, y) ∈ R
2
: y
= f(x), x ∈ [a, b], f ∈ C
1
([a, b], R)
..........................................................................................................................
Tw.
Jeżeli L
= S(x, y) ∈ R
2
: y
= f(x), x ∈ [a, b], f ∈ C
1
([a, b], R)
jest łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie A(a,f(a))
i końcu w punkcie B(b,f(b)) , funkcje P,Q
, to
∈ C
o
(L, R
2
)
(1')
L
+
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y)dy
=
(+)
a
b
∫
[P(x, f(x)) + Q(x, f(x)) ⋅ f (x)] ⋅ dx
...........................................................................................................................
Tw.
Całka krzywoliniowa układu funkcji P(x,y), Q(x,y) po krzywej regularnej
będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych L,
K
⊂ R
2
które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, jest sumą
całek krzywoliniowych tej funkcji po poszczególnych łukach regularnych.
.............................................................................................................................
Wybrane własności całki krzywoliniowej skierowanej.
1.
Niech L = S(x, y) ∈ R
2
: x
= x(t), y = y(t),
t
∈ [α, β] ,
x, y
∈ C
1
([α, β]; R)
będzie łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie
A
(x(α), y(α))
oraz końcu w punkcie
i niech
będzie dowolnym punktem tego łuku.
B
(x(β), y(β))
C
∈ L
Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku L.
Wówczas
a)
AB
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy =
AC
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy +
(2)
+
CB
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy
b)
(3)
BA
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy =
AB
−
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy
Przykład.
Oblicz całkę:
L
+
∫
xdx
+ 2y dy
gdzie L
+
=
(x, y) ∈ R
2
:
y
= sin x,
x
∈ [0, π]
=
=
=
L
∫
xdx
+ 2y dy +
0
π
∫
[x + 2 sin x ⋅ cos x]dx
+
0
π
∫
[x + sin 2x]dx
=
[0,Pi]=
=
x
2
2
−
cos 2x
2
π
2
2
−
cos 2
π
2
−
0
2
−
cos 0
2
π
2
2
........................................................................................................
lub dla L
+
=
(x, y) ∈ R
2
: x
= t, y = sin t,
t
∈ [0, π]
2
=
.
L
∫
xdx
+ 2y dy = +
π
0
∫
[t ⋅ 1 + 2 sin t ⋅ cos t ]dt
π
2
2
........................................................................................................................
Def.
Niech
o początku w punkcie A
K
⊂ D ⊂ R
2
,
P, Q
∈ C
0
(D, R), α, β ∈ R
i końcu w punkcie B.
Całka krzywoliniowa skierowana
AB
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy
nie zależy od drogi całkowania w obszarze D, jeżeli ma jednakową wartość
wzdłuż każdej krzywej leżącej w tym obszarze łączącej punkt początkowy A
i końcowy B.
...........................................................................................................................
Tw.
Jeżeli
, gdzie D jest obszarem jednospójnym w R
2
,
P, Q
∈ C
0
(D, R)
to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby całka krzywoliniowa
skierowana nie zależała od drogi całkowania jest, aby wyrażenie
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy
było różniczką zupełną funkcji F = F(x,y), tzn., że
oraz
(4)
∂F(x, y)
∂x
= P(x, y)
∂F(x, y)
∂y
= Q(x, y)
Wówczas
(5)
AB
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy = F(B) − F(A
--------------------------------------------------------------------------------------------
Natomiast warunek konieczny i wystarczający na to, aby funkcja F spełniająca (4)
istniała, zawiera
Tw.
Jeżeli
, gdzie D jest obszarem jednospójnym w R
2
,
P, Q
∈ C
1
(D, R)
to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby istniała funkcja F,
której różniczką zupełną jest wyrażenie
,
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy
jest spełnienie równości
(6)
∂P(x, y)
∂y
=
∂Q(x, y)
∂x
----------------------------------------------------------------------------------------
W przypadku, gdy L jest krzywą regularną, zamkniętą, ograniczającą
pewien jednospójny obszar D ( krzywa Jordana), wówczas istnieje związek
między całką krzywoliniową skierowaną po tej krzywej, a całką podwójną
po tym obszarze.
Sformułujmy mianowicie
Tw. Greena
Jeżeli
i D jest obszarem jednospójnym normalnym względem
P, Q
∈ C
1
(D, R)
obu osi układu
współrzędnych, wówczas całka krzywoliniowa skierowana
po zamkniętym dodatnio zorientowanym brzegu L obszaru D
.
L
∫
P
(x, y)dx + Q(x, y) dy =
D
∫∫
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy
3
Przykład.
Oblicz całkę:
, gdzie L
+
:
L
∫
(2xy − y)dx + x
2
dy
jest
brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= 4
Ponieważ krzywa L jest zamkniętym brzegiem jednospójnego i normalnego
względem obu osi układu współrzędnych, to wykorzystując twierdzenie Greena
oraz uwzględniając dodatnią orientację linii L mamy
= +
= 4 .
L
∫
(2xy − y)dx + x
2
dy
D
∫∫
[2x − 2x + 1]dD
π
Przykład.
L
+
∫
ydx
+ xdy
gdzie L jest częścią linii o równaniu
y = ln x dla x
∈[1, e]
Metoda I.
=
= e.
L
∫
ydx
+ xdy =
1
e
∫
ln x + x ⋅
1
x
dx [x ln x − x + x]
e
1
Metoda II.
Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym
nie zawierającym osi OY, zatem istnieje taka funkcja F = F(x,y),
ż
e
F
oraz F'
y
(x,y) = Q(x,y),
x
(x, y) = P(x, y)
tzn.
F'
x
(x,y) = y
więc F(x,y) =
xy +C(y)
∫
ydx
=
oraz F'
y
(x,y) = x ,
tzn.
czyli
[xy + C(y)]
y
= x
x
+
dC
(y)
dy
= x
stąd
zatem C(y) = C, gdzie C
dC
(y)
dy
= 0
∈ R.
Zatem
F(x,y) = xy +C(y) = xy +C, gdzie C
∈ R
oraz
=
=
L
∫
ydx
+ xdy
F
(B) − F(A)
= [xy + C]
(e,1
(1,0
e
4
Metoda III.
Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek
∂P
∂x
=
∂Q
∂x
niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym
D
⊂ R
2
nie zawierającym osi OY, zatem wartość całki będzie niezmienna
dla dowolnej krzywej L leżącej w obszarze D , w szczególności ,
gdy L będzie np odcinkiem łączącym początek i koniec krzywej L.
dla x
y
− y
0
y
1
− y
0
=
x
− x
0
x
1
− x
0
⇔
y
− 0
1
− 0
= x − 1
e
− 1
⇔ y =
1
e
− 1
(x − 1
∈ [1, e]
Zatem
=
L
∫
ydx
+ xdy =
e
1
∫
1
e
−1
(x − 1) + x
1
e
−1
d
1
e
− 1
e
1
∫
[2x − 1]dx =
1
e
− 1
x
2
− x
e
1
=
=
= e .
1
e
− 1
e
2
− e −
1
2
− 1
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
a) w opisie jawnym,
b) w opisie parametrycznym.
1.
, gdzie K
+
: x
2
+ y
2
= 2x
K
+
∫
(x − y)dx + (x − y)dy
2.
, gdzie :
,
L
−
∫
e
x
dx
L
−
jest brzegiem
obszaru ograniczonego liniami
x
= 0,
y
= 2,
x
= ln x
3.
, gdzie
,
K
+
∫
2ydx
+ 2xdy
K
+
jest brzegiem
obszaru ograniczonego liniami
y
= x ,
y
= 0,
x
+ y = 2
4.
, gdzie
,
K
+
∫
x
2
+ y
2
dx + d
K
+
jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= 4
5.
, gdzie
,
K
+
∫
2dy
K
+
jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= 2x
5
6.
. gdzie
,
L
−
∫
dx
L
−
jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= −2x + 2y
7.
, gdzie
L
−
∫
ydx
− xdy
x
2
+ y
2
a)
L
−
jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= 1
b)
.
L
−
jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x
2
+ y
2
= 6x − 8
6