Temat 3

Numeryczne metody obliczania całek funkcji jednej

zmiennej

Tomasz Walocha

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Kierunek Metalurgia

Wydział odlewnictwa

Rok I

Grupa VI

1. Obliczanie wartości teoretycznej całki

a)

Dla wielomianu czwartego stopnia

W(x)=4-2x=2x

2

=3x

3

-x

4

x

1

=-1,3 x

2

=3,5

(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 + 𝑒𝑥4)𝑑𝑥 = 𝑎(𝑥2𝑥1) +

12𝑒𝑥 +15𝑑𝑥 −3 5𝑑+4𝑒𝑥 𝑥+30𝑏 𝑥−𝑥 +20𝑐(𝑥−𝑥)

60

𝑥2

𝑥1

=4(3,5+1,3)+

12∗ −1 ∗ 3,5 +15∗3∗ 3,5 −[3∗ 5∗3+4∗ −1 ∗ −1,3 +30∗ −2 ∗ 3,5 ∗ −1,3 +20,2∗( 3,5 − −1,3 )

60

=

19*2+

−12∗325,21875 +45∗130,0625− 3∗20,2∗2,8561 + −60 ∗ 12,25+2,197 +40∗(42,875+2,197)

60

=

19,2+

1213,16784

60

=19,2+20,219464=39,419464

b)

Dla funkcji y(x)=ax*sin(bx

2

) a=4 b=-3 x

1

=1,2 x

2

=4

𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥

2

)

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥 =

𝑎 cos 𝑏𝑥

2

− cos⁡(𝑏𝑥

2

)

2𝑏

=

4 cos⁡(−2 ∗ −1,2)

2

− cos⁡(−2 ∗ 3

2

)

2 ∗ (−3)

=

4 cos 2 − 2 ∗ 1,44 − cos⁡(−2 ∗ 9)

−6

=

4 cos −2,88 − cos⁡(−18)

−6

=

4 0,998736959 − 0,951056516

−6

= −0,04768044

c) Dla funkcji

y(x)=x 𝐬𝐢𝐧⁡

(𝒙)

Nie istnieje rozwiązanie teoretyczne

𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧𝑦𝑤𝑖𝑠𝑡𝑎 −𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑎

𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑎

=

𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑏łę𝑑𝑢

a) Dla wielomianu czwartego stopnia

W(x)=4-3x+4x

2

+2x

3

-x

4

Liczba przedziałów:10

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 41,3939856317 0,03

Metoda trapezów 43,0576836402 0,0665

Metoda simpsona 44,3403460334 0,0985

Liczba przedziałów:100

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,2585639213 0,0963

Metoda trapezów 43,9293783633 0,0983

Metoda simpsona 43,3096485431 0,0983

Liczba przedziałów:1000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3036725463 0,0983

Metoda trapezów 43,3047296243 0,0986

Metoda simpsona 44,3043460000 0,0986

Liczba przedziałów:10000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3043498926 0,0986

Metoda trapezów 43,3044621372 0,0986

Metoda simpsona 43,3044640000 0,0986

Liczba przedziałów:100000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3044536927 0,0986

Metoda trapezów 43,3044057253 0,0986

Metoda simpsona 43,3044634286 0,0986

2.Metoda Monte Carlo

Liczba losowao:1000

Wartośd rzeczywista błąd

Wynik 1 42,8194675230 0,0863

Wynik 2 44,7304863203 0,1273

Wynik 3 43,4687123406 0,1163

Liczba losowao:10000

Wartośd rzeczywista błąd

Wynik 1 42,8790324156 0,0731

Wynik 2 42,5670034281 0,0801

Wynik 3 42,6664320332 0,0812

Liczba losowao:100000

Wartośd rzeczywista błąd

Wynik 1 42,7635243401 0,0879

Wynik 2 42,7324763210 0,0825

Wynik 3 42,7447262230 0,0834

b) Dla funkcji

y(x)=ax*sin(bx

2

)

Liczba przedziałów:10

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,4243636670 -30,8731

Metoda trapezów -0,2074358904 -0,7925

Metoda simpsona 1.6379832186 -35,3536

Liczba przedziałów:100

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,7727709917 -38,7208

Metoda trapezów 1,6095910362 -34,4578

Metoda simpsona 1,6213683789 -35,1082

Liczba przedziałów:1000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,6424474954 -35,4469

Metoda trapezów 1,6261294598 -35,1047

Metoda simpsona 1,6262960216 -35,1501

Liczba przedziałów:10000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,6279261546 -35,1424

Metoda trapezów 1,6263783531 -35,1082

Metoda simpsona 1,6263960206 -35,1088

Liczba przedziałów:100000

Wartośd rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,62645918979 -35,1116

Metoda trapezów 1,62629060040 -35,1082

Metoda simpsona 1,62629604745 -35,1083

3.Wnioski

Dla funkcji

y(x)=x sin⁡

(𝑥) 𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑒

Najgorszą metoda jest metoda Monte Carlo ponieważ daje ona przypadkowe
wyniki i na ich podstawie liczy calke, dlatego liczenie błędu jest zbędne
ponieważ wyniki są wysokie.

Ta metoda liczy pole względem całego pola a nie osi X

Najlepszą metodą jest metoda simpsona ponieważ jest prawidłowa dla najwiękrzej ilośdi

orzedziałów

.