Temat 3 

Numeryczne metody obliczania całek funkcji jednej 

zmiennej 

 

 
 
 
 
 
 

Tomasz Walocha 

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 

Kierunek Metalurgia 

Wydział odlewnictwa 

Rok I 

Grupa VI 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Obliczanie wartości teoretycznej całki 

 

a) 

Dla wielomianu  czwartego stopnia  

 

W(x)=4-2x=2x

2

=3x

3

-x

4    

 x

1

=-1,3  x

2

=3,5 

  

  (𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 + 𝑒𝑥4)𝑑𝑥 = 𝑎(𝑥2𝑥1) +

12𝑒𝑥 +15𝑑𝑥 −3 5𝑑+4𝑒𝑥  𝑥+30𝑏 𝑥−𝑥 +20𝑐(𝑥−𝑥)

60

𝑥2

𝑥1

 

=4(3,5+1,3)+

12∗ −1 ∗ 3,5 +15∗3∗ 3,5 −[3∗ 5∗3+4∗ −1 ∗ −1,3  +30∗ −2 ∗  3,5 ∗ −1,3  +20,2∗( 3,5 − −1,3 )

60

= 

19*2+

−12∗325,21875 +45∗130,0625− 3∗20,2∗2,8561 + −60 ∗ 12,25+2,197 +40∗(42,875+2,197)

60

= 

19,2+

1213,16784

60

=19,2+20,219464=39,419464 

 

b) 

Dla funkcji          y(x)=ax*sin(bx

2

)     a=4  b=-3    x

1

=1,2   x

2

=4 

   𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥

2

) 

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥 =

𝑎 cos 𝑏𝑥

2

  − cos⁡(𝑏𝑥

2

) 

2𝑏

=

4 cos⁡(−2 ∗  −1,2)

2

  − cos⁡(−2 ∗ 3

2

) 

2 ∗ (−3)

=

4 cos 2 − 2 ∗ 1,44  − cos⁡(−2 ∗ 9) 

−6

=

4 cos −2,88  − cos⁡(−18) 

−6

=

4 0,998736959 − 0,951056516 

−6

= −0,04768044 

 

 

 

c)  Dla funkcji

                 

y(x)=x 𝐬𝐢𝐧⁡

(𝒙) 

 

 

 

Nie istnieje rozwiązanie teoretyczne 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧𝑦𝑤𝑖𝑠𝑡𝑎 −𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑎

𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜 ść 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑎

=

 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑏łę𝑑𝑢 

 

 

a)  Dla wielomianu czwartego stopnia 

W(x)=4-3x+4x

2

+2x

3

-x

4 

 

Liczba przedziałów:10 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    41,3939856317                                 0,03 

Metoda trapezów          43,0576836402                                 0,0665 

Metoda simpsona          44,3403460334                                 0,0985 

 

 

Liczba przedziałów:100 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów     43,2585639213                                 0,0963 

Metoda trapezów           43,9293783633                                 0,0983 

Metoda simpsona           43,3096485431                                 0,0983 

 

 

Liczba przedziałów:1000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    43,3036725463                                 0,0983 

Metoda trapezów          43,3047296243                                 0,0986 

Metoda simpsona          44,3043460000                                 0,0986 

 

Liczba przedziałów:10000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    43,3043498926                                 0,0986 

Metoda trapezów          43,3044621372                                 0,0986 

Metoda simpsona          43,3044640000                                 0,0986 

 

 

Liczba przedziałów:100000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    43,3044536927                                0,0986 

Metoda trapezów          43,3044057253                                0,0986 

Metoda simpsona          43,3044634286                                0,0986 

 

2.Metoda Monte Carlo 

 

Liczba losowao:1000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Wynik 1                              42,8194675230                                 0,0863 

Wynik 2                              44,7304863203                                 0,1273 

Wynik 3                              43,4687123406                                 0,1163 

 

 

 

 

 

Liczba losowao:10000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Wynik 1                              42,8790324156                                 0,0731 

Wynik 2                              42,5670034281                                 0,0801 

Wynik 3                              42,6664320332                                 0,0812 

 

 

Liczba losowao:100000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Wynik 1                              42,7635243401                                 0,0879 

Wynik 2                              42,7324763210                                 0,0825 

Wynik 3                              42,7447262230                                 0,0834 

 

 

b)  Dla funkcji

    

y(x)=ax*sin(bx

2

) 

 

Liczba przedziałów:10 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    1,4243636670                                   -30,8731 

Metoda trapezów         -0,2074358904                                   -0,7925 

Metoda simpsona          1.6379832186                                   -35,3536 

 

 

 

 

 

Liczba przedziałów:100 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów     1,7727709917                                  -38,7208 

Metoda trapezów           1,6095910362                                  -34,4578 

Metoda simpsona           1,6213683789                                  -35,1082 

 

 

Liczba przedziałów:1000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    1,6424474954                                    -35,4469 

Metoda trapezów          1,6261294598                                    -35,1047 

Metoda simpsona          1,6262960216                                    -35,1501 

 

Liczba przedziałów:10000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    1,6279261546                                    -35,1424 

Metoda trapezów          1,6263783531                                    -35,1082 

Metoda simpsona          1,6263960206                                    -35,1088 

 

 

 

 

Liczba przedziałów:100000 

Wartośd rzeczywista                   błąd 

Metoda prostokątów    1,62645918979                                  -35,1116 

Metoda trapezów          1,62629060040                                  -35,1082 

Metoda simpsona          1,62629604745                                  -35,1083 

 

 

 

3.Wnioski 

 

Dla funkcji

 

y(x)=x sin⁡

(𝑥)  𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑤𝑖ą𝑧𝑎𝑛𝑖𝑒 

Najgorszą metoda jest metoda Monte Carlo ponieważ daje ona przypadkowe 
wyniki i na ich podstawie liczy calke, dlatego liczenie błędu jest zbędne 
ponieważ wyniki są wysokie. 

Ta metoda liczy pole względem całego pola a nie  osi X 

 

Najlepszą metodą jest metoda simpsona ponieważ jest prawidłowa dla najwiękrzej ilośdi 

orzedziałów

.