1

METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH.

Spośród metod numerycznych dotyczących rozwiązywania r. r. zw.,

metody korzystające z różnic skończonych są najbardziej zrozumiałe,
najczęściej używane i najbardziej uniwersalne.

…………………………………………………………………………

Techniki różnic skończonych oparte są na przybliżeniach, które pozwalają
na zastąpienie równania różniczkowego przez równania różnic skończonych.
Te przybliżenia mają formę algebraiczną, wiążą wartość zmiennej zależnej
w punkcie przedziału rozwiązania z wartościami w sąsiednich punktach (węzłach).

……………………………………………………………………………..

Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych można podzielić na kilka etapów:

(1) podzielenie przedziału rozwiązania na przedziały częściowe z krokiem

h,

(2) przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne,

równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej

w punkcie przedziału rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich,

(3) rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom

początkowym lub brzegowym.

……………………………………………………………………………

Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego
problemu, przedział rozwiązania i warunki początkowe lub brzegowe.

………………………………………………………………………

Metoda budowy schematu różnicowego dla równań różniczkowych cząstkowych
jest zbliżony do schematu r. r. zw. - "obszar całkowania" nie dotyczy jednak przedziału
całkowania lecz zbiorów z przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej.

………………………………………………………………………

2

Konstrukcja przybliżenia (aproksymacji) danego równania różniczkowego
różnicami skończonymi.

Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną ( nachylenie, lub tangens)
w punkcie P przez

1.

nachylenie łuku PB dane przez formułę przedniej różnicy funkcji

2.

przez nachylenie łuku AP dane przez lub formułę wstecznej różnicy funkcji

=

lub
3.

przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji

3

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Drugą pochodną można aproksymować za pomocą różnicy centralnej:

.

Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów
nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Zaprezentowana interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna.
Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor’a.

oraz gdy

, otrzymamy:

.

Dodając te równania otrzymamy:

gdzie O(x)

4

jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu.

Mówimy, że ten błąd jest rzędu (x)

4

lub po prostu o(x)

4

.

Oznacza to, że o(x)

4

jest nie większy niż (x)

4

.

Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy:

Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych.

4

Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażenia
rzędu (x)

3

otrzymamy:

Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby
elementów szeregu.
Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne.
Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego.
W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje błąd.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego I-rz.)

)

x

(

q

)

x

(

y

)

x

(

p

)

x

(

y

/







dla

,

y

)

x

a

(

y

,

b

x

a

x

o

o

o











idea: na siatce argumentu x: x

i

, i=1,2, ..., n

dyskretyzujemy równanie wyrażając

y

,

y

/

przez

)

x

(

y

y

i

i



;

)

x

(

y

y

1

i

1

i







i

)

x

(

y

y

1

i

1

i







obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora

albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone, np.:





1

i

1

i

i

/

y

y

h

2

1

y









otrzymujemy dla każdego i

)

x

(

q

y

)

x

(

p

h

2

y

y

i

i

i

1

i

1

i























5

albo inaczej

dla i = 1,2, ... , n-1 , czyli n-1 równań na n niewiadomych oraz warunkiem
początkowym

.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Otrzymamy układ liniowych równań algebraicznych i = 2, ...., n-1

B

y 

A

możemy rozwiązać znanymi już metodami.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

6

METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego II-rzędu.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

)

x

(

r

y

)

x

(

q

y

)

x

(

p

y

/

//



















)

b

(

y

,

)

a

(

y

,

b

x

a

idea:

Na siatce argumentu x : x

i

, i=1,2, ..., n dyskretyzujemy równanie wyrażając

y

,

y

,

y

/

//

przez

)

x

(

y

y

i

i



,

)

x

(

y

y

1

i

1

i







)

x

(

y

y

1

i

1

i







obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora

albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone





1

i

1

i

i

/

y

y

h

2

1

y









oraz





1

i

i

1

i

2

i

//

y

y

2

y

h

1

y











otrzymujemy dla każdego i

)

x

(

r

y

)

x

(

q

h

2

y

y

)

x

(

p

h

y

y

2

y

i

i

i

1

i

1

i

i

2

1

i

i

1

i













































dla i = 2, ... , n-1 , czyli n-2 równań na n niewiadomych;
pozostałe 2 równania to













)

b

(

y

y

,

)

a

(

y

y

n

1

wstawiając wartości









n

1

y

,

y

do naszego równania różnicowego, otrzymamy układ n-2 liniowych równań

algebraicznych na n-2 niewiadomych

,

y

i

i = 2, ...., n-1

B

y 

A

,

który możemy rozwiązać znanymi już metodami.

7

PRZYKŁAD.

PRZYKŁAD:

8

PRZYKŁAD.

(Z wytrzymałości materiałów).

Znaleźć ugięcie belki opisanej równaniem różniczkowym:

dla

z warunkami brzegowymi: y(0) = 0 i y(1) = 0.

(belka podparta na końcach).

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)

x

(

r

y

)

x

(

q

h

2

y

y

)

x

(

p

h

y

y

2

y

i

i

i

1

i

1

i

i

2

1

i

i

1

i













































Przyjmijmy h = 0,2.

Z założenia mamy, że q = p= 0.

Zatem odpowiadające równanie różnicowe przyjmie postać:

z krokiem h = 0,2 dla 1 = 1,2,3,4.

Więc dla

i = 0

y( ) = y(0) =

0

i = 1:

,

i = 2:

,4

i = 3:

,6

i = 4:

,8

i = 5:

y(

= = y(1) = 0

i = 0

y( ) = y(0) =

0

i = 1:

i = 2:

,4

i = 3:

,6

i = 4:

,8

i = 5:

y(

= = y(1) = 0

9

i = 0

y( ) = y(0) =

0

i = 1:

i = 2:

,4

i = 3:

,6

i = 4:

,8

i = 5:

y(

= = y(1) = 0

Możemy teraz zapisać równanie macierzowe:

A X = B

gdzie A =

B =

skąd otrzymujemy:

y

0

= 0,0

y

1

= 0,032

y

2

= 0,056

y

3

= 0,064

y

4

= 0,048

y

5

= 0,0.