1
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH.
Spośród metod numerycznych dotyczących rozwiązywania r. r. zw.,
metody korzystające z różnic skończonych są najbardziej zrozumiałe,
najczęściej używane i najbardziej uniwersalne.
…………………………………………………………………………
Techniki różnic skończonych oparte są na przybliżeniach, które pozwalają
na zastąpienie równania różniczkowego przez równania różnic skończonych.
Te przybliżenia mają formę algebraiczną, wiążą wartość zmiennej zależnej
w punkcie przedziału rozwiązania z wartościami w sąsiednich punktach (węzłach).
……………………………………………………………………………..
Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych można podzielić na kilka etapów:
(1) podzielenie przedziału rozwiązania na przedziały częściowe z krokiem
h,
(2) przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne,
równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej
w punkcie przedziału rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich,
(3) rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom
początkowym lub brzegowym.
……………………………………………………………………………
Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego
problemu, przedział rozwiązania i warunki początkowe lub brzegowe.
………………………………………………………………………
Metoda budowy schematu różnicowego dla równań różniczkowych cząstkowych
jest zbliżony do schematu r. r. zw. - "obszar całkowania" nie dotyczy jednak przedziału
całkowania lecz zbiorów z przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej.
………………………………………………………………………
2
Konstrukcja przybliżenia (aproksymacji) danego równania różniczkowego
różnicami skończonymi.
Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną ( nachylenie, lub tangens)
w punkcie P przez
1.
nachylenie łuku PB dane przez formułę przedniej różnicy funkcji
2.
przez nachylenie łuku AP dane przez lub formułę wstecznej różnicy funkcji
=
lub
3.
przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji
3
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Drugą pochodną można aproksymować za pomocą różnicy centralnej:
.
Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów
nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Zaprezentowana interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna.
Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor’a.
oraz gdy
, otrzymamy:
.
Dodając te równania otrzymamy:
gdzie O(x)
4
jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu.
Mówimy, że ten błąd jest rzędu (x)
4
lub po prostu o(x)
4
.
Oznacza to, że o(x)
4
jest nie większy niż (x)
4
.
Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy:
Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych.
4
Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażenia
rzędu (x)
3
otrzymamy:
Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby
elementów szeregu.
Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne.
Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego.
W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje błąd.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego I-rz.)
)
x
(
q
)
x
(
y
)
x
(
p
)
x
(
y
/
dla
,
y
)
x
a
(
y
,
b
x
a
x
o
o
o
idea: na siatce argumentu x: x
i
, i=1,2, ..., n
dyskretyzujemy równanie wyrażając
y
,
y
/
przez
)
x
(
y
y
i
i
;
)
x
(
y
y
1
i
1
i
i
)
x
(
y
y
1
i
1
i
obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora
albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone, np.:
1
i
1
i
i
/
y
y
h
2
1
y
otrzymujemy dla każdego i
)
x
(
q
y
)
x
(
p
h
2
y
y
i
i
i
1
i
1
i
5
albo inaczej
dla i = 1,2, ... , n-1 , czyli n-1 równań na n niewiadomych oraz warunkiem
początkowym
.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Otrzymamy układ liniowych równań algebraicznych i = 2, ...., n-1
B
y
A
możemy rozwiązać znanymi już metodami.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
6
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego II-rzędu.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
)
x
(
r
y
)
x
(
q
y
)
x
(
p
y
/
//
)
b
(
y
,
)
a
(
y
,
b
x
a
idea:
Na siatce argumentu x : x
i
, i=1,2, ..., n dyskretyzujemy równanie wyrażając
y
,
y
,
y
/
//
przez
)
x
(
y
y
i
i
,
)
x
(
y
y
1
i
1
i
)
x
(
y
y
1
i
1
i
obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora
albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone
1
i
1
i
i
/
y
y
h
2
1
y
oraz
1
i
i
1
i
2
i
//
y
y
2
y
h
1
y
otrzymujemy dla każdego i
)
x
(
r
y
)
x
(
q
h
2
y
y
)
x
(
p
h
y
y
2
y
i
i
i
1
i
1
i
i
2
1
i
i
1
i
dla i = 2, ... , n-1 , czyli n-2 równań na n niewiadomych;
pozostałe 2 równania to
)
b
(
y
y
,
)
a
(
y
y
n
1
wstawiając wartości
n
1
y
,
y
do naszego równania różnicowego, otrzymamy układ n-2 liniowych równań
algebraicznych na n-2 niewiadomych
,
y
i
i = 2, ...., n-1
B
y
A
,
który możemy rozwiązać znanymi już metodami.
7
PRZYKŁAD.
PRZYKŁAD:
8
PRZYKŁAD.
(Z wytrzymałości materiałów).
Znaleźć ugięcie belki opisanej równaniem różniczkowym:
dla
z warunkami brzegowymi: y(0) = 0 i y(1) = 0.
(belka podparta na końcach).
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)
x
(
r
y
)
x
(
q
h
2
y
y
)
x
(
p
h
y
y
2
y
i
i
i
1
i
1
i
i
2
1
i
i
1
i
Przyjmijmy h = 0,2.
Z założenia mamy, że q = p= 0.
Zatem odpowiadające równanie różnicowe przyjmie postać:
z krokiem h = 0,2 dla 1 = 1,2,3,4.
Więc dla
i = 0
y( ) = y(0) =
0
i = 1:
,
i = 2:
,4
i = 3:
,6
i = 4:
,8
i = 5:
y(
= = y(1) = 0
i = 0
y( ) = y(0) =
0
i = 1:
i = 2:
,4
i = 3:
,6
i = 4:
,8
i = 5:
y(
= = y(1) = 0
9
i = 0
y( ) = y(0) =
0
i = 1:
i = 2:
,4
i = 3:
,6
i = 4:
,8
i = 5:
y(
= = y(1) = 0
Możemy teraz zapisać równanie macierzowe:
A X = B
gdzie A =
B =
skąd otrzymujemy:
y
0
= 0,0
y
1
= 0,032
y
2
= 0,056
y
3
= 0,064
y
4
= 0,048
y
5
= 0,0.