7

Całka krzywoliniowa skierowana

(całka krzywoliniowa funkcji wektorowej)

Niech K – krzywa regularna o początku A i końcu B, zawarta w

3

R

W – pole wektorowe,

3

:

R

→

K

W

3

)]

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

[

)

,

,

(

:

R

∈

→

∋

z

y

x

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

z

y

x

K

W

]

,

,

[

R

Q

P

W

=

Wtedy

•

dzielimy krzywą K na n krzywych punktami:

B

A

A

A

A

n

=

=

...,

,

,

1

0

, gdzie

)

,

,

(

i

i

i

i

z

y

x

A

dla i=1,2,…,n

•

tworzymy wektory cięciw:

]

,

,

[

1

1

1

1

−

−

−



 →



−

−

−

−

=

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

z

y

y

x

x

r

A

A

dla

n

i

,...,

2

,

1

=

•

wybieramy po jednym punkcie

i

M na każdej z krzywych cząstkowych

i

i

A

A

1

−

,

i

i

i

A

A

M

1

−

∈

dla i=1,2,…,n

•

wyznaczamy wektory

)]

(

),

(

),

(

[

)

(

i

i

i

i

M

R

M

Q

M

P

M

W

=

dla i=1,2,…,n

•

tworzymy sumę

)

)(

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

1

1

1

1

1

−

−

=

−

=

−

+

−

+

−

=

∆

=

∑

∑

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

n

z

z

M

R

y

y

M

Q

x

x

M

P

r

M

W

ο

σ

,

gdzie „

ο

” oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Definicja

Jeśli przy

∞

→

n

i

0

max

,...,

1



 →



∆

∞

→

=

n

i

n

i

r

istnieje granica

n

n

σ

∞

→

lim

niezależna od sposobu

podziału krzywej i od wyboru punktów

M

i

, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową

skierowaną funkcji

W wzdłuż krzywej K i oznaczamy

Rdz

Qdy

Pdx

Wdr

K

K

+

+

=

∫

∫

.

x

y

z

A=A

A

A

A

K

B=A

1

2

3

M

M

M

1

2

3

0

A

A

W(M )

W(M )

W(M )

1

2

3

i

i-1

i

n

W(M )

8

Uwagi

1)

∫

∫

−

=

−

K

K

Wdr

Wdr

2) Jeśli krzywa

OXY

K

K

⊂

,

, jest zadana układem







=

=

)

(

)

(

:

t

y

y

t

x

x

K

,

]

,

[

gdzie

β

α

∈

t

, a na

krzywej

K zadane jest płaskie pole wektorowe W o składowych [P,Q], to wtedy

podobnie definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną i oznaczamy ją

∫

∫

∫

+

=

K

K

K

Qdy

Pdx

Wdr

.

3) Jeśli

n

K

K

K

∪

∪

=

...

1

, gdzie

i

K jest krzywą regularną dla i=1,…,n,

to definiujemy

∫

∑ ∫

=

=

K

n

i

K

i

Wdr

Wdr

1

:

.

Twierdzenie

(o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)

Niech

K – krzywa regularna,

W – pole wektorowe ciągłe na krzywej

( )

.

,

K

C

W

K

∈

Wtedy

[

]

.

)

(

))

(

),

(

),

(

(

)

(

))

(

),

(

),

(

(

)

(

))

(

),

(

),

(

(

'

'

'

dt

t

z

t

z

t

y

t

x

R

t

y

t

z

t

y

t

x

Q

t

x

t

z

t

y

t

x

P

Rdz

Qdy

Pdx

K

∫

∫

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

+

+

β

α

Uwaga

Jeśli krzywa K jest płaska, to

[

]

dt

t

y

t

z

t

y

t

x

Q

t

x

t

z

t

y

t

x

P

Qdy

Pdx

K

∫

∫

⋅

+

⋅

=

+

β

α

)

(

))

(

),

(

),

(

(

)

(

))

(

),

(

),

(

(

'

'

.

Interpretacja fizyczna
Niech K – krzywa skierowana od A do B,

W – pole sił na krzywej K.

Wtedy

=

∫

Wdr

K

praca siły W wykonana przy przemieszczaniu masy jednostkowej wzdłuż

krzywej K od punktu A do B.

Przykład

(*)

Obliczyć całkę xydx

xdy

K

+

∫

po krzywej K

x

y

: 4

2

2

2

2

+

=

skierowanej ujemnie względem

swego wnętrza.

Zapiszmy równanie określające krzywą K w postaci równoważnej

x

y

2

2

1

2

1

+

=

.

Jest to równanie elipsy.

9

Parametryzacja tej elipsy

[

]

−

=











∈

K

x

t

y

t

t

:

cos

sin

,

=

2

2

, gdzie

0 2

π

jest niezgodna z kierunkiem krzywej. Zatem

xydx

xdy

K

+

=

∫

−

+

= −

⋅

⋅ −













+

⋅

















=

−

∫

∫

xydx

xdy

t

t

t

t

t dt

K

2

2

2

2

2

2

0

2

cos

sin

sin

cos

cos

π

=

⋅

−

=

∫

∫

1

2

2

2

2

0

2

2

0

2

sin

cos

cos

t

tdt

tdt

π

π

1

6

2

4

1

2

2

3

0

2

0

2

sin

sin

t

t

t

π

π

−

+







= −

2

2

π

Definicja

Obszar płaski ograniczony jedną krzywą (Jordana) nazywamy

jednospójnym

, a obszar

ograniczony p nieprzecinającymi się krzywymi obszarem

p-spójnym

.

obszar jednospójny

obszar p-spójny

Umowa

Całkę krzywoliniową skierowaną po krzywej zamkniętej K oznaczamy też Pdx

Qdy

K

+

∫

.

10

Twierdzenie Greena

Z: Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar
jednospójny D,

P, Q -

funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.

T:

P x y dx

Q x y dy

Q

x

P

y

dxdy

K

D

( , )

( , )

+

=

−











+

∫

∫∫

∂

∂

∂

∂

Przykład

(*) c.d.

K

jest krzywą zorientowaną ujemnie, K

K

=

−

,

( )
( )

Q x y

x

Q

x

P x y

xy

P

y

x

,

,

=

⇒

=

=

⇒

=

∂

∂

∂

∂

1

i z twierdzenia Greena otrzymujemy

(

)

P x y dx

Q x y dy

P x y dx

Q x y dy

Q

x

P

y

dxdy

x dxdy

K

K

D

D

( , )

( , )

( , )

( , )

...

+

= −

+

= −

−











= −

−

=

∫

∫

∫∫

∫∫

−

∂

∂

∂

∂

1

Zastosujemy

uogólnione współrzędne biegunowe

x

ar

y

br

=

=







cos

sin

ϕ

ϕ

, gdzie

a, b – stałe, r

≥

0 ,

ϕ

π

∈

[ ,

).

0 2

Jakobian powyższego odwzorowania wynosi J

abr

=

.

W naszym przypadku wybieramy a

b

=

=

2

2

1

i

, aby otrzymać obszar D ograniczony

elipsą

x

y

2

2

1

2

1

+

=

.Stąd

[ ]

[

]

...

cos

sin

,

,

=

=

=

∈

∈

x

r

y

r

r

2

2

0 1

0 2

ϕ

ϕ

ϕ

π

= −

−













=

∫ ∫

d

r

rdr

ϕ

ϕ

π

0

2

0

1

1

2

2

2

2

cos

11

= −

−

⋅













=

∫

2

2

1

2

2

2

1

3

2

0

1

3

0

1

0

2

r

r

d

cos

ϕ

ϕ

π

= −

−













=

∫

2

2

1

2

2

6

0

2

cos

ϕ ϕ

π

d

= −

−













=

2

2

1

2

2

6

0

2

0

2

ϕ

ϕ

π

π

sin

= −

−

⋅













= −

2

2

2

6

0

2

2

π

π

Twierdzenie

(

o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowanej

)

Z: Niech D - obszar jednospójny

P, Q - funkcje ciągłe, mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D

AB - krzywa regularna , AB

D

⊂

T:

∂

∂

∂

∂

Q

x

P

y

Pdx

Qdy

AB

=

⇔

+

∫

- nie zleży od kształtu krzywej AB a tylko od punktów A i B,

t

i wtedy oznaczamy ją

Pdx

Qdy

A

B

+

∫

.

Dowód

( )

⇒

Niech K

K

1

2

,

będą krzywymi regularnymi zawartymi w obszarze D, łączącymi punkty A i B,

i skierowanymi od punktu A do B.

Wtedy krzywa

( )

C

K

K

=

∪ −

1

2

jest krzywą zamkniętą regularną, zorientowaną dodatnio,

C

C

=

+

. Oznaczmy przez D

0

obszar jednospójny ograniczony przez krzywą C. Na podstawie

twierdzenia Greena mamy

Pdx

Qdy

Q

x

P

y

dxdy

C

D

+

=

−











=

+

∫

∫∫

∂

∂

∂

∂

0

0 bo

∂

∂

∂

∂

Q

x

P

y

−

=

0 , więc

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

K

K

+

+

+

=

∫

∫

−

1

2

0

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

K

K

+

−

+

=

∫

∫

1

2

0

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

K

K

+

=

+

∫

∫

1

2

( )

⇐

12

Aby udowodnić implikację

( )

⇐

wystarczy wykazać jej kontrapozycję, czyli udowodnić

implikację

∂

∂

∂

∂

Q

x

P

y

Pdx

Qdy

AB

≠

⇒

+

∫

zależy od kształtu krzywej AB .

Bez straty ogólności możemy założyć, że

(

)

(

)

(

)

∃

∈

−

>

x

y

D

Q

x

x y

P

y

x

y

0

0

0

0

0

0

0

,

:

,

,

∂

∂

∂

∂

.

Zatem

( )

( )

∃ >

−

>

r

Q

x

x y

P

y

x y

0

0

:

,

,

∂

∂

∂

∂

dla

( )

(

)

(

)

x y

D

K x y

r

,

,

,

∈

=

0

0

0

.

Niech C

K

K

=

∪

1

2

będzie brzegiem koła D

0

skierowanym dodatnio.

Wtedy na podstawie twierdzenia Greena mamy

Pdx

Qdy

Q

x

P

y

dxdy

C

D

+

=

−











>

+

∫

∫∫

∂

∂

∂

∂

0

0 .

Stąd

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

K

K

+

+

+

>

∫

∫

1

2

0 ,

czyli

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

K

K

+

>

+

∫

∫

1

2

.

Zatem całka po krzywej łączącej punkty A i B zależy od kształtu tej krzywej.

Wniosek

Niech D - obszar jednospójny,
C – krzywa zamknięta regularna, C

D

⊂

,

P Q

,

- funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w D.

Wtedy

∂

∂

∂

∂

Q

x

P

y

Pdx

Qdy

C

=

⇔

+

=

∫

0

.