7
Całka krzywoliniowa skierowana
(całka krzywoliniowa funkcji wektorowej)
Niech K – krzywa regularna o początku A i końcu B, zawarta w
3
R
W – pole wektorowe,
3
:
R
→
K
W
3
)]
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
[
)
,
,
(
:
R
∈
→
∋
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
z
y
x
K
W
]
,
,
[
R
Q
P
W
=
Wtedy
•
dzielimy krzywą K na n krzywych punktami:
B
A
A
A
A
n
=
=
...,
,
,
1
0
, gdzie
)
,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
A
dla i=1,2,…,n
•
tworzymy wektory cięciw:
]
,
,
[
1
1
1
1
−
−
−
→
−
−
−
−
=
∆
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
z
y
y
x
x
r
A
A
dla
n
i
,...,
2
,
1
=
•
wybieramy po jednym punkcie
i
M na każdej z krzywych cząstkowych
i
i
A
A
1
−
,
i
i
i
A
A
M
1
−
∈
dla i=1,2,…,n
•
wyznaczamy wektory
)]
(
),
(
),
(
[
)
(
i
i
i
i
M
R
M
Q
M
P
M
W
=
dla i=1,2,…,n
•
tworzymy sumę
)
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
1
1
1
1
1
−
−
=
−
=
−
+
−
+
−
=
∆
=
∑
∑
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
i
n
z
z
M
R
y
y
M
Q
x
x
M
P
r
M
W
ο
σ
,
gdzie „
ο
” oznacza iloczyn skalarny wektorów.
Definicja
Jeśli przy
∞
→
n
i
0
max
,...,
1
→
∆
∞
→
=
n
i
n
i
r
istnieje granica
n
n
σ
∞
→
lim
niezależna od sposobu
podziału krzywej i od wyboru punktów
M
i
, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową
skierowaną funkcji
W wzdłuż krzywej K i oznaczamy
Rdz
Qdy
Pdx
Wdr
K
K
+
+
=
∫
∫
.
x
y
z
A=A
A
A
A
K
B=A
1
2
3
M
M
M
1
2
3
0
A
A
W(M )
W(M )
W(M )
1
2
3
i
i-1
i
n
W(M )
8
Uwagi
1)
∫
∫
−
=
−
K
K
Wdr
Wdr
2) Jeśli krzywa
OXY
K
K
⊂
,
, jest zadana układem
=
=
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
K
,
]
,
[
gdzie
β
α
∈
t
, a na
krzywej
K zadane jest płaskie pole wektorowe W o składowych [P,Q], to wtedy
podobnie definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną i oznaczamy ją
∫
∫
∫
+
=
K
K
K
Qdy
Pdx
Wdr
.
3) Jeśli
n
K
K
K
∪
∪
=
...
1
, gdzie
i
K jest krzywą regularną dla i=1,…,n,
to definiujemy
∫
∑ ∫
=
=
K
n
i
K
i
Wdr
Wdr
1
:
.
Twierdzenie
(o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)
Niech
K – krzywa regularna,
W – pole wektorowe ciągłe na krzywej
( )
.
,
K
C
W
K
∈
Wtedy
[
]
.
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
'
'
'
dt
t
z
t
z
t
y
t
x
R
t
y
t
z
t
y
t
x
Q
t
x
t
z
t
y
t
x
P
Rdz
Qdy
Pdx
K
∫
∫
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
+
+
β
α
Uwaga
Jeśli krzywa K jest płaska, to
[
]
dt
t
y
t
z
t
y
t
x
Q
t
x
t
z
t
y
t
x
P
Qdy
Pdx
K
∫
∫
⋅
+
⋅
=
+
β
α
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
'
'
.
Interpretacja fizyczna
Niech K – krzywa skierowana od A do B,
W – pole sił na krzywej K.
Wtedy
=
∫
Wdr
K
praca siły W wykonana przy przemieszczaniu masy jednostkowej wzdłuż
krzywej K od punktu A do B.
Przykład
(*)
Obliczyć całkę xydx
xdy
K
+
∫
po krzywej K
x
y
: 4
2
2
2
2
+
=
skierowanej ujemnie względem
swego wnętrza.
Zapiszmy równanie określające krzywą K w postaci równoważnej
x
y
2
2
1
2
1
+
=
.
Jest to równanie elipsy.
9
Parametryzacja tej elipsy
[
]
−
=
∈
K
x
t
y
t
t
:
cos
sin
,
=
2
2
, gdzie
0 2
π
jest niezgodna z kierunkiem krzywej. Zatem
xydx
xdy
K
+
=
∫
−
+
= −
⋅
⋅ −
+
⋅
=
−
∫
∫
xydx
xdy
t
t
t
t
t dt
K
2
2
2
2
2
2
0
2
cos
sin
sin
cos
cos
π
=
⋅
−
=
∫
∫
1
2
2
2
2
0
2
2
0
2
sin
cos
cos
t
tdt
tdt
π
π
1
6
2
4
1
2
2
3
0
2
0
2
sin
sin
t
t
t
π
π
−
+
= −
2
2
π
Definicja
Obszar płaski ograniczony jedną krzywą (Jordana) nazywamy
jednospójnym
, a obszar
ograniczony p nieprzecinającymi się krzywymi obszarem
p-spójnym
.
obszar jednospójny
obszar p-spójny
Umowa
Całkę krzywoliniową skierowaną po krzywej zamkniętej K oznaczamy też Pdx
Qdy
K
+
∫
.
10
Twierdzenie Greena
Z: Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar
jednospójny D,
P, Q -
funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.
T:
P x y dx
Q x y dy
Q
x
P
y
dxdy
K
D
( , )
( , )
+
=
−
+
∫
∫∫
∂
∂
∂
∂
Przykład
(*) c.d.
K
jest krzywą zorientowaną ujemnie, K
K
=
−
,
( )
( )
Q x y
x
Q
x
P x y
xy
P
y
x
,
,
=
⇒
=
=
⇒
=
∂
∂
∂
∂
1
i z twierdzenia Greena otrzymujemy
(
)
P x y dx
Q x y dy
P x y dx
Q x y dy
Q
x
P
y
dxdy
x dxdy
K
K
D
D
( , )
( , )
( , )
( , )
...
+
= −
+
= −
−
= −
−
=
∫
∫
∫∫
∫∫
−
∂
∂
∂
∂
1
Zastosujemy
uogólnione współrzędne biegunowe
x
ar
y
br
=
=
cos
sin
ϕ
ϕ
, gdzie
a, b – stałe, r
≥
0 ,
ϕ
π
∈
[ ,
).
0 2
Jakobian powyższego odwzorowania wynosi J
abr
=
.
W naszym przypadku wybieramy a
b
=
=
2
2
1
i
, aby otrzymać obszar D ograniczony
elipsą
x
y
2
2
1
2
1
+
=
.Stąd
[ ]
[
]
...
cos
sin
,
,
=
=
=
∈
∈
x
r
y
r
r
2
2
0 1
0 2
ϕ
ϕ
ϕ
π
= −
−
=
∫ ∫
d
r
rdr
ϕ
ϕ
π
0
2
0
1
1
2
2
2
2
cos
11
= −
−
⋅
=
∫
2
2
1
2
2
2
1
3
2
0
1
3
0
1
0
2
r
r
d
cos
ϕ
ϕ
π
= −
−
=
∫
2
2
1
2
2
6
0
2
cos
ϕ ϕ
π
d
= −
−
=
2
2
1
2
2
6
0
2
0
2
ϕ
ϕ
π
π
sin
= −
−
⋅
= −
2
2
2
6
0
2
2
π
π
Twierdzenie
(
o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowanej
)
Z: Niech D - obszar jednospójny
P, Q - funkcje ciągłe, mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D
AB - krzywa regularna , AB
D
⊂
T:
∂
∂
∂
∂
Q
x
P
y
Pdx
Qdy
AB
=
⇔
+
∫
- nie zleży od kształtu krzywej AB a tylko od punktów A i B,
t
i wtedy oznaczamy ją
Pdx
Qdy
A
B
+
∫
.
Dowód
( )
⇒
Niech K
K
1
2
,
będą krzywymi regularnymi zawartymi w obszarze D, łączącymi punkty A i B,
i skierowanymi od punktu A do B.
Wtedy krzywa
( )
C
K
K
=
∪ −
1
2
jest krzywą zamkniętą regularną, zorientowaną dodatnio,
C
C
=
+
. Oznaczmy przez D
0
obszar jednospójny ograniczony przez krzywą C. Na podstawie
twierdzenia Greena mamy
Pdx
Qdy
Q
x
P
y
dxdy
C
D
+
=
−
=
+
∫
∫∫
∂
∂
∂
∂
0
0 bo
∂
∂
∂
∂
Q
x
P
y
−
=
0 , więc
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
K
K
+
+
+
=
∫
∫
−
1
2
0
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
K
K
+
−
+
=
∫
∫
1
2
0
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
K
K
+
=
+
∫
∫
1
2
( )
⇐
12
Aby udowodnić implikację
( )
⇐
wystarczy wykazać jej kontrapozycję, czyli udowodnić
implikację
∂
∂
∂
∂
Q
x
P
y
Pdx
Qdy
AB
≠
⇒
+
∫
zależy od kształtu krzywej AB .
Bez straty ogólności możemy założyć, że
(
)
(
)
(
)
∃
∈
−
>
x
y
D
Q
x
x y
P
y
x
y
0
0
0
0
0
0
0
,
:
,
,
∂
∂
∂
∂
.
Zatem
( )
( )
∃ >
−
>
r
Q
x
x y
P
y
x y
0
0
:
,
,
∂
∂
∂
∂
dla
( )
(
)
(
)
x y
D
K x y
r
,
,
,
∈
=
0
0
0
.
Niech C
K
K
=
∪
1
2
będzie brzegiem koła D
0
skierowanym dodatnio.
Wtedy na podstawie twierdzenia Greena mamy
Pdx
Qdy
Q
x
P
y
dxdy
C
D
+
=
−
>
+
∫
∫∫
∂
∂
∂
∂
0
0 .
Stąd
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
K
K
+
+
+
>
∫
∫
1
2
0 ,
czyli
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
K
K
+
>
+
∫
∫
1
2
.
Zatem całka po krzywej łączącej punkty A i B zależy od kształtu tej krzywej.
Wniosek
Niech D - obszar jednospójny,
C – krzywa zamknięta regularna, C
D
⊂
,
P Q
,
- funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w D.
Wtedy
∂
∂
∂
∂
Q
x
P
y
Pdx
Qdy
C
=
⇔
+
=
∫
0
.