Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

Drgania swobodne układów

o jednym stopniu swobody

wykład 2

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

2

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

m

– masa [kg]

c

– tłumienie [kg/s]

k

– sztywność [N/m]

• swobodne
• wymuszone

( )

( )

i

f t

mu t

 

( )

( )

d

f

t

cu t

 

( )

( )

s

f t

ku t



( )

( )

( )

( )

i

d

s

f t

f

t

f t

p t







Z uwagi na siłę wymuszającą drgania dzielimy na:

Podział drgań z uwagi na siłę wymuszającą

( )

( )

( )

( )

mu t

cu t

ku t

p t











Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

3

przemieszczenie początkowe                     prędkość początkowa

Mówimy, że konstrukcja drga swobodnie, jeżeli przyczyną ruchu jest wytrącenie 
z poziomu równowagi, a drgania odbywają się bez udziału siły wymuszającej.

Drgania swobodne

Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez 
wytrącenie układu z pozycji równowagi, 
to znaczy przez przyłożenie w czasie t = 0
przemieszczenia początkowego u

0

i/lub prędkości początkowej v

0

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

4

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

zagadnienie

własne

Drgania swobodne nietłumione (drgania własne)

0

mu

ku







0

0

(0)

(0)

u

u

u

u









 



2

0

ms

k

 

2

n

k

m





2

2

0

n

s







1

2

, s

n

n

s

i

i







 

1

2

1

2

1

2

( )

n

n

i

t

i

t

s t

s t

u t

A e

A e

A e

A e















( )

cos

sin

n

n

u t

A

t

B

t









cos

sin

cos

sin

n

n

i

t

n

n

i

t

n

n

e

t

i

t

e

t

i

t























Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

5

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

0

mu

ku







0

0

(0)

(0)

u

u

u

u









 



( )

cos

sin

n

n

u t

A

t

B

t









(

0)

u t

A





(0)

A

u



(

0)

n

u t

B









(0)

n

u

B







( )

sin(

)

n

u t

C

t













( )

sin(

)

sin

cos

cos

sin

n

n

n

u t

C

t

C

t

t





















sin

cos

A

C

B

C








2

2

C

A

B





tg

A

B

 

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

6

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

0

mu

ku







0

0

(0)

(0)

u

u

u

u









 



n

k

m





częstość kołowa 
drgań własnych 
nietłumionych 

11

1

n

k

m

m









2

n

n

T







okres 
drgań

1

2

n

n

n

f

T









częstotliwość 
drgań

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

7

( )

sin(

)

n

u t

C

t









n





C

T

[ ]

u m

[ ]

t s

C

– amplituda drgań [m]

n

 – częstość drgań

własnych [rad/s]

n

t







– kąt fazowy [rad]

 – faza początkowa [rad]

n

T

– okres drgań [s]

n

f

– częstotliwość [Hz]

2

n

n

T







1

2

n

n

f

T









u_0 = 0.5;

% [m]

v_0 = 2; % [m/s]

m = 1; % [kg]

k = 2; % [N/m]

wn

= 2; % [rad/s

]

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

8

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

( )

sin(

)

n

u t

C

t









( )

cos(

)

n

n

u t

C

t













2

( )

sin(

)

n

n

u t

C

t







 





0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

czas [s]

am

pl

itud

a

u [m]

v [m/s]

a [m/s

2

]

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

9

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

0

mu

ku







( )

( )

0

i

s

f t

f t





0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-5

0

5

t [s]

si

ła [

N

]

siła bezwładności f

i

siła sprężystości f

s

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

10

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

Drgania swobodne tłumione

0

mu

cu

ku











0

0

(0)

(0)

u

u

u

u









 



2

0

ms

cs

k

  

kr

c

c





2

kr

n

c

m





2

2

2

0

n

n

s

s











2

1,2

1

n

n

s

  

 





Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

11

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

a) 



> 1

– tłumienie nadkrytyczne

1

2

1

2

( )

s t

s t

u t

C e

C e





2

2

1

1

1

2

( )

n

n

n

t

t

t

u t

e

C e

C e











































2

2

0

0

0

2

( )

cosh

1 sinh

1

1

n

t

n

n

n

n

u

u

u t

e

u

t

t













 

































2

1,2

1

n

n

s

  

 





Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

12

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

2

1,2

1

n

n

s

  

 





a) 



= 1

– tłumienie krytyczne





1

2

( )

n

t

u t

e

C

C t









1

2

n

s

s





 

0

0

0

0

0

( )

[

(

) ]

[

(1

)

]

n

n

t

t

n

n

u t

e

u

u

u t

e

u

t

u t





























Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

13

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

2

1,2

1

n

n

s

  

 





a) 



< 1

– tłumienie podkrytyczne

2

1,2

1

n

n

s

i







 





2

1

d

n











2

d

d

T







1

2

1

2

( )

s t

s t

u t

C e

C e









1

2

( )

n

d

d

t

i

t

i

t

u t

e

C e

C e



















( )

cos

sin

n

t

d

d

u t

e

A

t

B

t













0

(

0)

u t

u

A















( )

cos

sin

sin

cos

n

n

t

t

n

d

d

d

d

d

d

u t

e

A

t

B

t

e

A

t

B

t























 











0

0

0

(

0)

n

n

d

d

u

u

u t

u

A

B

B















 













0

0

0

( )

cos

sin

n

t

n

d

d

d

u

u

u t

e

u

t

t

































Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

14

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

u [

m

]

tłumienie podkrytyczne



<1

tłumienie krytyczne



=1

tłumienie nadkrytyczne



>1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t [s]

u [

m

]

tłumienie podkrytyczne



<1

tłumienie krytyczne



=1

tłumienie nadkrytyczne



>1

u_o = 0.5 % [m]

v_o = 2

% [m/s]

w = 2 % [rad/s]

m = 1 % [kg]

c = 3.5 % [kg/s]

c = 4 % [kg/s]

c = 4.5 % [kg/s]

c = 0.5 % [kg/s]

c = 4 % [kg/s]

c = 10 % [kg/s]

2

4

6

8

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

t [s]

u [

m

]

Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

15

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t [s]

si

ła [

N

]

siła bezwładości f

i

siła sprężystości f

s

siła tłumienia f

d

0

mu

cu

ku











( )

( )

( )

0

i

d

s

f t

f

t

f t







Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

16

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

Wyznaczanie liczby tłumienia

2

2

1

1

( )

e

e

(

)

n d

j

T

d

j

u

u t

u t

T

u



















2

1

2

ln

1

j

j

u

u















Logarytmiczny dekrement tłumienia



Dynamika Budowli

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

17

Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody

3

1

1

2

1

2

3

4

1

j

j

j

j

u

u

u

u u

e

u

u u u

u













1

1

1

ln

2

j

u

j

u











2







Dla małego tłumienia, tzn. 



< 0.2