2. Interpretacja probabilistyczna mechaniki kwantowej, zasada nieoznaczoności 

Heisenberga i ich ilustracja na przykładzie cząstki uwięzionej w studni potencjału. 

INTERPRETACJA PROBABILISTYCZNA. 

Na  przykładzie  elektronu  chcemy  zilustrować  jak  można  zjednoczyć  opis  korpuskularny  i 
falowy. 

Przeprowadzamy eksperyment:  

Wiązkę elektronów przepuszczamy przez szczelinę o 
szerokości Δx. Elektron przechodzi przez szczelinę i 
zostaje  ugięty  przez  szczelinę.  Na  ekranie  powstaje 
obraz 

dyfrakcyjny, 

którego 

natężenie 

jest 

proporcjonalne do kwadratu amplitudy. 

Jeśli potraktujemy elektron jak falę i przyjmiemy, że 
jego amplituda wynosi Ψ,  wtedy dla położenia x na 
ekranie w chwili t natężenie będzie wynosiło:   
𝐼 = |𝛹(𝑥, 𝑡)|

2

. 

 

Ekran może być traktowany jako przyrząd służący do detekcji pojedynczych elektronów jako 
cząstek. Ekran fluorescencyjny rozbłyskuje za każdym razem w punkcie, w którym uderza w 
niego elektron. Tym samym elektron jest silnie zlokalizowany i nie powstaje obraz dyfrakcyjny. 
Powtarzając doświadczenie obserwujemy rozbłyski w różnych punktach na ekranie. Jedynie, 
gdy przeprowadzimy wiele doświadczeń z jednym elektronem lub pozwolimy przejść przez 
szczelinę  wielu  elektronom,  zaobserwujemy  obraz  dyfrakcyjny.  Odgrywa  to  główną  rolę  w 
zjawisku  dualizmu  korpuskularno-falowego.  Z  jednej  strony  natężenie  na  obrazie 
dyfrakcyjnym  w  objętości  ΔV  jest  proporcjonalne  do  kwadratu  wartości  bezwzględnej 
amplitudy,  a  z  drugiej  jest  proporcjonalne  do  prawdopodobieństwa  znalezienia  elektronu  w 
objętości  ΔV.  Zgodnie  z  podstawowym  postulatem  teorii  prawdopodobieństwa  suma 
wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1.  Ponieważ trafienie elektronu w dowolny 
punkt ekranu jest tak samo prawdopodobne, wszystkie prawdopodobieństwa muszą być takie 
same. Jeśli wykonany całkowanie po wszystkich punktach przestrzeni to cząstka musi gdzieś  
zostać odnaleziona,  a więc całkowite prawdopodobieństwo musi wynosić 1.  

Interpretacja probabilistyczna funkcji falowej jest niezbędna, gdyż jeżeli uderzenie elektronu 
w ekran wywołałoby jego rozbłysk to oznaczałoby to, że elektron się podzielił, a elektron jest 
NIEPODZIELNY. Jeśli znajdziemy elektron w jednym miejscu, to jesteśmy pewni, że nie ma 
go jednocześnie w innym miejscu.  

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA. 

Zasada nieoznaczoności Heisenberga jest konsekwencją faktu, że elektron czasami zachowuje 
się jak cząstka, a czasem jak fala.  

„Niemożliwe jest równoczesne dokładne określenie pewnych par wielkości fizycznych układu, 

do opisu którego stosuje się mechanikę kwantową.” 

Zasada nieoznaczoności opisuje jedną z podstawowych własności przyrody. Pojawia się ona 
wtedy, gdy opis zachowania cząstek w mikroświecie chcemy przeprowadzić używając pojęć 

wziętych  z  makroświata.  Zasada  nieoznaczoności  mówi  o  tym,  że  pewnych  wielkości 
fizycznych nie można zmierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością.  O wielkościach tych 
mówi  się,  że  nie  komutują.  Taką  własność  mają  położenie  i  pęd  oraz  energia  i  czas.  Z    im 
większą dokładnością znamy pęd cząstki, tym mniejsza jest dokładność określenia położenia. 
Najczęściej  zasadę  nieoznaczoności  Heisenberga  przedstawiamy  w  postaci  dwóch 
nierówności: 



 

jednej dla pędu i położenia cząstki: 

𝛥𝑝

𝑥

∗ 𝛥𝑥 ≥

ℎ

4𝜋

 



  drugą – dla energii i czasu: 

𝛥𝐸 ∗ 𝛥𝑡 ≥

ℎ

2𝜋

, 

gdzie: h=6,63*10

-34

J*s – stała Plancka. 

Zasady nieoznaczoności nie warto stosować dla obiektów makroskopowych – niepewności są 
nieosiągalne. Inaczej wygląda to natomiast w świecie atomów. 

PRZYKŁAD CZĄSTKI UWIĘZIONEJ W STUDNI POTENCJAŁU. 

Umieszczamy cząstkę w polu sił o energii potencjalnej określonej wzorem: 

𝑈(𝑥) = { 0       𝑑𝑙𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙     

∞      𝑑𝑙𝑎 𝑥 < 0 𝑖 𝑥 > 𝑙

  , 

czyli w tzw. studni potencjału o nieskończonej głębokości. 

Z  klasycznego  punktu  widzenia  cząstka  porusza  się  w 
studni  potencjału  ruchem  jednostajnym,  odbijając  się 
kolejno od jej ścianek. Jeśli weźmiemy pod uwagę odbicia 
fal  de  Broglie’a  od  ścian  studni  rozwiązanie  równania 
Schrodingera jest sumą fal poruszających się w kierunku 
osi x.  Funkcję falową wewnątrz studni określa wzór: 

𝛹(𝑥) = 𝐴𝑒

𝑖𝑘𝑥

+ 𝐵𝑒

−𝑖𝑘𝑥

 

dla 

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na 

zewnątrz  studni  powinno  wynosić  0.  Energia  cząstki 

określona jest wzorem: 

𝐸 =

ℎ

2

𝑘

2

2𝑚

 i w studni potencjału jest 

skwantowana.  Minimalna  energia  cząstki  w  studni  potencjału  musi  być  większa  od  zera. 
Zgodnie z klasyczną mechaniką można stwierdzić, że cząstka w studni potencjału nie może 
znajdować się w spoczynku, lecz porusza się swobodnie. Jest to ogólna własność rozwiązania 
R.S.,  opisującego  ruch  cząstki  w  ograniczonym  obszarze  (minimalną  energię  nazywamy 
energią zerową). Konieczność występowania zerowej energii można wytłumaczyć posługując 
się zasadą nieoznaczoności. Jeżeli cząstka jest zamknięta w studni potencjału o szerokości l, 
nieoznaczoność jej położenia ma skończoną wartość 

𝛥𝑥 = 𝑙. Gdyby energia kinetyczna cząstki, 

a co za tym idzie także pęd cząstki były równe 0, nieoznaczoność jej pędu wyniosłaby 0. Ale 
wtedy  iloczyn 

𝛥𝑥 ∗ 𝛥𝑝 = 0  byłby  sprzeczny  z  zasadą  nieoznaczoności.  Największe 

prawdopodobieństwo  znalezienia  cząstki  jest  w  miejscu,  gdzie  funkcja  gęstości 
prawdopodobieństwa przyjmuje największe wartości.