Politechnika Gdańska Teoria
Sprężystości i Plastyczności M-SE4
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
sem. VI KBI r. 2005/2006
Katedra Mechaniki Budowli
prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek
ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 7
- płyty, teoria plastyczności -
1. Wyznaczyć momenty w płycie kołowej o promieniu a, całkowicie utwierdzonej na brzegu,
obciążonej równomiernie. Podać szkic wykresów i wartości charakterystyczne. Dane: E,
ν
, a,
h, q = const
……………………………………………………………………………………………………….
Funkcja ugięcia, całka ogólna:
( )
4
2
2
1
2
3
ln
ln
64
qr
w r
C r
r C r
C
r C
D
4
=
+
+
+
+
Warunki brzegowe i warunki ograniczające:
( )
( )
( )
( )
0,
0
0
rr
rr
w a
M
a
w
i M
skończone
=
=
Stałe całkowania:
2
4
1
3
2
4
0,
,
32
64
qa
qa
C
C
C
C
D
D
=
=
= −
=
Rozwiązanie szczególne:
( )
2
4
2 2
4
4
2
2
1
64
32
64
64
qr
qa r
qa
qa
r
w r
D
D
D
D
a
⎡
⎤
=
−
+
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
Momenty płytowe:
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
16
1
1
1 3
16
rr
w
w
qa
r
M
r
D
r
r r
a
w
w
qa
r
M
r
D
r r
r
a
ϕϕ
ν
ν
ν
ν
ν
2
2
ν
⎡
⎤
⎡
⎤
∂
∂
= −
+
=
+ − +
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
∂
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
∂
∂
= −
+
=
+ − +
⎤
⎢
⎥
⎢
∂
∂
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
Wartości:
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
0
0
1
,
,
16
8
8
rr
rr
qa
qa
qa
M
M
M
a
M
a
ϕϕ
ϕϕ
ν
ν
=
=
+
= −
= −
2
2. Określić graniczną wartość naprężenia k, ze względu na hipotezy Treski i H-M-H. Dane jest
σ
0
.
0
0
0
0
0
k
k
k
k
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
σ
Wskazówka dot. hipotezy Treski: obliczyć naprężenia główne, wykorzystując niezmienniki
tensora naprężeń.
...............................................................................................................................................................
Obliczenia wg hipotezy Treski:
Niezmienniki tensora naprężeń:
2
0,
2 ,
0
I
II
k
III
σ
σ
σ
=
= −
=
Równanie charakterystyczne:
3
2
1
2
3
2
0
2,
0,
k
k
σ
σ
σ
σ
σ
−
=
⇒
=
=
= −
2
k
(zadanie: sprawdzić, że wielkości
σ
1
,
σ
2
i
σ
3
faktycznie są wartościami własnymi tensora
σ
).
