1
Dynamika
ruchu kulistego
Ćwiczenia 13
dr inż. Monika Kwacz
Ruch kulisty – kinematyka
Wstęp
w
w
wł
w
prec
wł
prec
w
w
w
oś
pre
cesji
chwilowa
oś obrotu
Ruch kulisty – dynamika
Wstęp
zew
M
I
uwzględniając:
dt
d
w
zew
M
dt
d
I
w
oznaczając:
w
I
K
kręt
zew
M
dt
I
d
w
zew
M
dt
K
d
w
w
wł
w
prec
Dynamiczne równanie ruchu obrotowego:
przy czym:
K
wł
prec
w
w
w
K
1
K
2
K
prec
prec
I
w
wł
wł
I
w
2
1
K
K
otrzymujemy:
Kinematyczna interpretacja
pochodnej wektora
Wstęp
zew
M
dt
K
d
pochodna wektora =
prędkości liniowej
z jaką porusza się koniec wektora
u
u
w
w
w
w
r
r
r
k
j
i
r
r
dt
d
r
dt
d
r
dt
r
r
d
dt
r
d
y
x
x
y
0
0
0
,
cos
,
sin
]
sin
,
cos
[
r
w
x
y
?
dt
K
d
Kinematyczna interpretacja
pochodnej wektora
Wstęp
pochodna wektora =
prędkości liniowej
z jaką porusza się koniec wektora
u
r
w
x
y
r
dt
r
d
w
u
zew
M
dt
K
d
K
dt
K
d
w
?
dt
K
d
wł
prec
w
w
w
w ruchu kulistym:
Wstęp
zew
M
dt
K
d
w
w
wł
w
prec
K
1
K
2
K
wł
prec
w
w
w
wł
wł
prec
prec
I
I
K
w
w
wł
wł
I
w
K
dt
K
d
w
K
dt
K
d
w
wł
wł
wł
prec
I
w
w
w
wł
wł
wł
wł
wł
prec
I
I
w
w
w
w
0
wł
wł
prec
I
w
w
wł
prec
wł
I
w
w
Ruch kulisty dla
w
wł
»
w
prec
(żyroskop)
Ruch kulisty dla
w
wł
»
w
prec
(żyroskop)
Wstęp
zew
M
dt
K
d
w
w
wł
w
prec
K
1
K
2
K
wł
prec
w
w
w
wł
prec
wł
I
dt
K
d
w
w
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewnętrznych np. wzgl. środka ruchu kulistego)
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności wzgl. osi obrotu własnego)
4. obliczyć
wł
prec
wł
I
w
w
5.
)
(O
zew
wł
prec
wł
M
I
w
w
Zadanie 1
Dane: m, r, R,
w
prec
Szukane:
N
– nacisk koła na podłoże
Zadanie 1
N
w
prec
Zadanie 1
N
oś
pre
cesji
O
oś obrotu
własnego
w
prec
w
wł
w
1. Wyznaczenie
w
wł
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
wł
prec
tg
w
w
R
r
tg
r
R
tg
prec
prec
wł
w
w
w
przy czym:
zatem:
Zadanie 1
N
oś
pre
cesji
O
oś obrotu
własnego
w
prec
w
wł
w
2. Obliczenie
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
r
R
prec
wł
w
w
)
(O
zew
M
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
mg
R
mg
R
N
M
O
zew
)
(
Zadanie 1
N
oś
pre
cesji
O
oś obrotu
własnego
w
prec
w
wł
w
3. Obliczenie
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
r
R
prec
wł
w
w
wł
I
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
mg
R
mg
R
N
M
O
zew
)
(
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
2
2
mr
I
I
wł
y
Zadanie 1
N
oś
pre
cesji
O
oś obrotu
własnego
w
prec
w
wł
w
4. Obliczenie
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
r
R
prec
wł
w
w
wł
prec
wł
I
w
w
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
mg
R
mg
R
N
M
O
zew
)
(
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
2
2
mr
I
I
wł
y
4. obliczyć
wł
prec
wł
I
w
w
wł
prec
wł
I
w
w
90
sin
2
2
wł
prec
mr
w
w
r
R
mr
prec
prec
w
w
2
2
r
R
mr
prec
2
2
2
w
Zadanie 1
N
oś
pre
cesji
O
oś obrotu
własnego
w
prec
w
wł
w
5. Obliczenie
N
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
r
R
prec
wł
w
w
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
mg
R
mg
R
N
M
O
zew
)
(
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
4. obliczyć
wł
prec
wł
I
w
w
r
R
mr
I
prec
wł
prec
wł
2
2
2
w
w
w
5.
)
(O
zew
wł
prec
wł
M
I
w
w
czyli:
r
R
mr
prec
2
2
2
w
R
mg
R
N
mg
mr
N
prec
2
2
w
Zadanie 2
Dane: m, r, R, l,
u
Szukane:
N
D
– nacisk koła na podłoże
Zadanie 2
N
D
u
Zadanie 2
N
D
w
prec
u
1. Wyznaczenie
w
wł
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
oś
pre
cesji
oś obrotu
własnego
O
w
wł
w
wł
prec
tg
w
w
R
r
tg
r
R
tg
prec
prec
wł
w
w
w
przy czym:
więc:
gdzie:
R
prec
u
w
r
r
R
R
wł
u
u
w
Zadanie 2
N
D
w
prec
u
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
oś
pre
cesji
oś obrotu
własnego
O
w
wł
w
r
wł
u
w
2. Obliczenie
)
(O
zew
M
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
2mg
N
A
R
A
R
D
B
)
(O
zew
M
)
( A
zew
M
l
N
D
2
2
l
mg
r
B
Zadanie 2
N
D
w
prec
u
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
oś
pre
cesji
oś obrotu
własnego
O
w
wł
w
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
2mg
N
A
R
A
R
D
B
r
B
l
mg
l
N
M
D
O
zew
2
2
)
(
3. Obliczenie
wł
I
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
2
2
2
2
mr
mr
I
I
wł
y
r
wł
u
w
Zadanie 2
N
D
w
prec
u
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
oś
pre
cesji
oś obrotu
własnego
O
w
wł
w
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
2mg
N
A
R
A
R
D
B
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
2
mr
I
I
wł
y
4. Obliczenie
wł
prec
wł
I
w
w
r
wł
u
w
r
B
l
mg
l
N
M
D
O
zew
2
2
)
(
4. obliczyć
wł
prec
wł
I
w
w
wł
prec
wł
I
w
w
90
sin
2
wł
prec
mr
w
w
r
R
mr
u
u
2
r
R
mr
2
2
u
Zadanie 2
N
D
w
prec
u
1. z równoległoboku prędkości →
w
wł
oś
pre
cesji
oś obrotu
własnego
O
w
wł
w
2. obliczyć
)
(O
zew
M
(suma momentów sił zewn.
względem osi
x
)
2mg
N
A
R
A
R
D
B
3. obliczyć
wł
I
(moment bezwładności
względem osi obr. własnego y)
2
mr
I
I
wł
y
r
wł
u
w
r
B
l
mg
l
N
M
D
O
zew
2
2
)
(
4. obliczyć
wł
prec
wł
I
w
w
5. Obliczenie
N
D
)
(O
zew
wł
prec
wł
M
I
w
w
czyli:
r
R
mr
2
2
u
r
B
l
mg
l
N
D
2
2
l
r
B
mg
l
R
mr
N
2
u
gdzie:
r
m
B
2
2
u
20
Wstęp
w
w
wł
w
prec
K
1
K
2
K
wł
prec
w
w
w
zatem:
K
prec
prec
I
w
wł
wł
I
w
2
1
K
K
Ruch kulisty – dynamika
przy czym:
zew
M
dt
K
d
dt
K
d
dt
K
d
dt
K
K
d
dt
K
d
2
1
2
1
w
w
wł
w
prec
Ruch kulisty
pochodna wektora krętu
Wstęp
K
1
K
2
K
dt
K
d
dt
K
d
dt
K
d
2
1
wł
prec
w
w
w
1
1
1
1
0
K
K
K
K
wł
wł
prec
wł
prec
w
w
w
w
w
0
2
2
2
2
K
K
K
K
prec
wł
prec
wł
prec
w
w
w
w
w
1
1
K
dt
K
d
w
2
2
K
dt
K
d
w
Wstęp
w
w
wł
w
prec
K
1
K
2
K
wł
prec
w
w
w
dt
K
d
dt
K
d
dt
K
K
d
dt
K
d
2
1
2
1
Ruch kulisty – dynamika c.d.
1
1
1
1
1
1
0
K
K
K
K
K
dt
K
d
wł
wł
prec
wł
prec
w
w
w
w
w
w
0
2
2
2
2
2
2
K
K
K
K
K
dt
K
d
prec
wł
prec
wł
prec
w
w
w
w
w
w
2
1
K
K
dt
K
d
prec
wł
w
w
zatem: