1
1
Materiały dydaktyczne zawieraj
ą
ce 14 slajdów na 7 stronach,
dotycz
ą
ce
ć
wiczenia T3 z przedmiotu „Wytrzymało
ść
materiałów”,
przeznaczone
dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”
na wydz. Energetyki i Paliw w AGH
Autor materiałów i osoba prowadz
ą
ca
ć
wiczenia:
Marek Płachno, dr hab. in
ż
., prof. AGH
Autor nie wyra
ż
a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,
ni
ż
podane w ich przeznaczeniu.
2
Ć
wiczenie T3
Temat
ć
wiczenia :
Obliczanie wytrzymało
ś
ciowe typowych poł
ą
cze
ń
konstrukcyjnych,
w których wyst
ę
puje
ś
cinanie techniczne
(poł
ą
czenia sworzniowe, nitowane, ze spoina-
mi pachwinowymi).
Na
ć
wiczeniu T3 - na przykładzie prostych przypadków wytrzymało
ś
ciowych - studenci
poznaj
ą
praktyczne aspekty
5- tego kroku obliczeniowego
aw., obejmuj
ą
cego sprawdzanie
warunków bezpiecze
ń
stwa
elementów mechanicznych.
Przykład nr 1. –
Temat
Pr
ę
ty
1
i
2
o grubo
ś
ci
2g
i szeroko
ś
ci
b = 30 mm
poł
ą
czono ze sob
ą
za pomoc
ą
zł
ą
cza
ś
rubowe-
go maj
ą
cego dwie identyczne nakładki
3
o gru-
bo
ś
ci
g = 6 mm
oraz dwie
ś
ruby
4
ze sworznia-
mi osadzonymi bez luzu w otworach
d = 12 mm
,
zabezpieczone przed wypadni
ę
ciem nakr
ę
tkami
5
z podkładkami
6
.
Sprawdzi
ć
warunki bezpiecze
ń
stwa
dla elemen-
tów poł
ą
czenia, je
ż
eli:
S
= 30 kN, k
r
= 150 MPa,
k
d
= 190 MPa, k
t
= 90 MPa.
2
3
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. –
obja
ś
nienie
nowych okre
ś
le
ń
1.
Warunek bezpiecze
ń
stwa
elementu mechanicznego
W zagadnieniach wytrzymało
ś
ciowych jest to zapisana algebraicznie
nierówno
ść
:
Najwi
ę
ksza warto
ść
napr
ęż
enia
nominalnego
,
obliczonego dla ka
ż
dego z przypadków
napr
ę
-
ż
e
ń
wyst
ę
puj
ą
cych w tzw.
przekrojach niebez-
piecznych
pr
ę
ta,
≤
Warto
ść
dopuszczalna
napr
ęż
enia no-
minalnego
podana w temacie zadania,
odczytana z
normy
,
poradnika
, innego
wiarygodnego
ź
ródła albo
obliczona
.
2.
Napr
ęż
enie
nominalne
:
•
obci
ąż
enie wewn
ę
trzne
, którego
napr
ęż
enie
nominalne
dotyczy, jest
stałe
w czasie,
• przy obliczaniu
napr
ęż
enia
nominalnego
pomija si
ę
zjawisko tzw.
spi
ę
trzenia napr
ęż
e
ń
.
4. Umowne oznaczenia dla niektórych
napr
ęż
e
ń
dopuszczalnych,
najcz
ęś
ciej stosowane:
•
k
r
–
napr
ęż
enie
dopuszczalne
na rozci
ą
ganie,
•
k
t
–
napr
ęż
enie
dopuszczalne
na
ś
cinanie,
• p
d
-
napr
ęż
enie
dopuszczalne
na do-
cisk
sworznia
do powierzchni pół-
walcowej
otworu
, liczony na rzut
płaski tej powierzchni.
•
k
c
–
napr
ęż
enie
dopuszczalne
na
ś
ciskanie
Jest to
napr
ęż
enie
, które obliczono przy nast
ę
puj
ą
cych zało
ż
eniach
:
3. Przekrój
niebezpieczny
pr
ę
ta:
Przekrój, w którym - dla wskazanego
obci
ąż
enia wewn
ę
trz-
nego -
nominalne
napr
ęż
enie
ma najwi
ę
ksz
ą
warto
ść
.
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. - krok
1
aw. - obliczenie
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
elementów poł
ą
czenia
W przypadku
poł
ą
cze
ń
konstrukcyjnych
, krok
1
aw. obejmuje rozdzielenie
poł
ą
czenia
na pojedyncze pr
ę
ty oraz przyło
ż
enie do ka
ż
dego z nich jego
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
,
zast
ę
puj
ą
cych
oddziaływanie
innych pr
ę
tów.
Poniewa
ż
pr
ę
ty
1
i
2
s
ą
takie same, co
dotyczy tak
ż
e nakładek
3
oraz
ś
rub
4
,
do aw
.
wystarczy wydzieli
ć
z poł
ą
cze-
nia po jednym z tych elementów.
W tym przypadku, oblicze-
nia
sił zewn
ę
trznych
dla
elementów poł
ą
czenia s
ą
tak proste,
ż
e mo
ż
na je
wykona
ć
w pami
ę
ci.
3
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. - krok
2
i
3
. - Obliczenia rozkładu
obci
ąż
e
ń
wewn
ę
trznych
oraz
napr
ęż
e
ń
w elementach poł
ą
czenia – cz
ęść
1 – okre
ś
lenie
przekrojów niebezpiecznych
.
osłabiony otworem
φφφφ
d
oraz
umowny
przekrój A
1D
dla punktu
D
, obli-
czany jako rzut płaski powierzchni półwalcowej otworu
φφφφ
d
:
d
g
2
A
)
d
b
(
g
2
A
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
1D
1C
punktu
D
i przekrój
A
3E
dla punktu
E
, ka
ż
dy osłabiony otworem
φφφφ
d
,
oraz
umowny
przekrój
A
3C
dla punktu
C
i
A
3F
punktu
F
,
ka
ż
dy obli-
czany analogicznie jak przekrój
A
1C
dla punktu
C
pr
ę
ta
1
:
d
g
A
A
d)
(b
g
A
A
⋅
=
=
−
⋅
=
=
3F
3C
3E
3D
oraz przekrój
A
4D
dla punktu
D
, obliczane dla sworznia tej
ś
ruby jako
:
4
d
A
A
2
4D
4C
⋅
=
=
π
ma
dw
a
przekroje niebezpieczne
:
przekrój
A
1C
dla punktu
C
Pr
ę
t
1
ma
cztery
przekroje niebezpieczne
:
przekroje
A
3D
dla
Nakładka
3
ma
dw
a
przekroje niebezpieczne
:
przekrój
A
4C
dla punktu
C
Ś
ruba
4
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. - krok
2
i
3
. - Obliczenia
sił wewn
ę
trznych
oraz
napr
ęż
e
ń
w elementach
poł
ą
czenia
–
cz
ęść
2
–
okre
ś
lenie
przypadków
sił wewn
ę
trznych
i
napr
ęż
e
ń
.
odcinku
DB
,
powoduj
ą
c
ą
w przekroju
A
1C
napr
ęż
enie rozci
ą
gaj
ą
-
ce
σσσσ
1C
,
a w przekroju
umownym
A
1D
-
docisk powierzchniowy
p
1D
:
N
3
=
0
na odcinkach
AC
i
FB
, powoduj
ą
c
ą
w przekrojach
A
3D
i
A
3E
napr
ęż
enia rozci
ą
gaj
ą
ce
σσσσ
3D
i
σσσσ
3E
, a w przekrojach
umownych
A
3C
i
A
3F
-
docisk powierzchniowy
p
3C
oraz
p
3F
:
A
4C
i
A
4D
powoduje tzw.
ś
cinanie techniczne
, tj.
napr
ęż
enia stycz
-
ne
ś
rednie
ττττ
4C
i
ττττ
4D
obliczane jako:
1D
1D
1D
1C
1C
1C
A
N
p
,
A
N
=
=
σ
3F
3F
3F
3C
3C
3C
3E
3E
3E
3D
3D
3D
A
N
p
,
A
N
p
A
N
,
A
N
=
=
=
σ
=
σ
4D
4D
4D
4C
4C
4C
A
T
,
A
T
=
=
τ
τ
ma
sił
ę
wewn
ę
trzn
ą
N
1
=
S
na odcinku
AD
oraz
N
1
=
0
na
Pr
ę
t
1
ma
sił
ę
w ewn
ę
trzn
ą
N
3
=
0,5 S
na odcinku
CF
oraz
Nakładka
3
ma
sił
ę
wewn
ę
trzn
ą
tn
ą
c
ą
T
4
=
0,5 S
,
która w przekrojach
Ś
ruba
4
4
7
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. - krok
2
i
3
. - Obliczenia
sił wewn
ę
trznych
oraz
napr
ęż
e
ń
w elementach
poł
ą
czenia – cz
ęść
3 – tablica
sił wewn
ę
trznych
i
napr
ęż
e
ń
136,4
136,4
-
-
-
-
-
-
ττττ
t
, MPa
-
-
93,8
-
-
214,3
214,3
-
p
d
, MPa
-
-
-
136,4
136,4
-
-
136,4
σσσσ
r
,
MPa
1,1
1,1
0,7
1,1
1,1
0,7
1,4
2,2
A, cm
2
15
15
0
0
0
0
0
0
T
, kN
0
0
15
15
15
15
30
30
N
, kN
4
D
4
C
3
F
3
E
3
D
3
C
1
D
1
C
Kod
przekroju
Ś
ruby
4
Nakładki
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
8
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. – krok
5
. - Sprawdzenie
warunków bezpiecze
ń
stwa
dla elementów poł
ą
-
czenia - cz
ęść
1- zasady formułowania
warunków bezpiecze
ń
stwa
1. Dla ka
ż
dego elementu mechanicznego analizowanego wytrzymało
ś
ciowo nale
ż
y sformułowa
ć
tyle
warunków bezpiecze
ń
stwa
, ile przypadków
napr
ęż
e
ń
dotyczy
tego elementu
.
2. Dla ka
ż
dego przypadku napr
ęż
e
ń
formułuje si
ę
warunek bezpiecze
ń
stwa
jako algebraiczny
zapis nast
ę
puj
ą
cej nierówno
ś
ci (
przypomnienie
):
Ekstremalna warto
ść
napr
ęż
enia
nomi-
nalnego
obliczona dla przypadku
nap
-
r
ęż
e
ń
, którego formułowany warunek
dotyczy,
Zadana warto
ść
dopuszczalna
napr
ęż
enia
nominalnego
odnosz
ą
ca si
ę
do przypadku
napr
ęż
e
ń
, którego formułowany warunek do-
tyczy.
≤
3.
Napr
ęż
enie
nominalne
oblicza si
ę
przy nast
ę
puj
ą
cych zało
ż
eniach (
przypomnienie
)
:
•
obci
ąż
enie wewn
ę
trzne
, którego
napr
ęż
enie
nominalne
dotyczy, jest
stałe
w czasie,
• przy obliczaniu
napr
ęż
enia
nominalnego
pomijane jest zjawisko tzw.
spi
ę
trzenia
napr
ęż
e
ń
.
5
9
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. – krok
5
. - Sprawdzenie
warunków bezpiecze
ń
stwa
dla elementów poł
ą
-
czenia - cz
ęść
2 - tablica
warunków bezpiecze
ń
stwa
Warunek nie jest
spełniony
Warunek nie jest
spełniony
Warunek jest
spełniony
Warunek nie jest
spełniony
Warunek jest
spełniony
136,4 > 90
214,3 > 190
136,4 < 150
214,3 > 190
136,4 < 150
ττττ
t max
≤
k
t
p
d max
≤
k
d
σσσσ
r max
≤
k
r
p
d max
≤
k
d
σσσσ
r max
≤
k
r
Warunek
bezpie-
cze
ń
stwa
90
136,4
190
214,3
150
136,4
190
214,3
150
136,4
k
t
ττττ
t max
k
d
p
d max
k
r
σσσσ
r max
k
d
p
d max
k
r
σσσσ
r max
Napr
ę
-
ż
enie,
MPa
Ś
ruby
4
Nakładki
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
136,4
136,4
-
-
-
-
-
-
ττττ
t
,
MPa
-
-
93,8
-
-
214,3
214,3
-
p
d
, MPa
-
-
-
136,4
136,4
-
-
136,4
σσσσ
r
,
MPa
4
D
4
C
3
F
3
E
3
D
3
C
1
D
1
C
Kod
przekroju
Ś
ruby
4
Nakładki
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
1). Tablic
ę
warunków bezpiecze
ń
stwa
sporz
ą
dza si
ę
na podstawie
tablicy napr
ęż
e
ń
:
2).Tablica
warunków bezpiecze
ń
stwa
dla poł
ą
czenia z przykładu nr 1
Koniec przykładu 1
10
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 2. –
Temat
Sprawdzi
ć
warunki bezpiecze
ń
stwa
dla elementów po-
ł
ą
czenia, je
ż
eli:
S
= 30 kN, k
r
= 150 MPa, k
ts
= 75 MPa.
3.
Grubo
ść
a
spoiny pachwinowej jest
wysoko
ś
ci
ą
trójk
ą
ta równoramiennego, który odwzo-
rowuje przekrój poprzeczny tej spoiny.
1. Spoina pachwinowa w zł
ą
czu spawanym jest
poprzeczna
, je
ż
eli
dłu
ż
szy bok przekroju obli-
czeniowego
tej spoiny jest prostopadły do kierunku
sił zewn
ę
trznych
działaj
ą
cych na poł
ą
-
czone elementy.
Przykład nr 2. – Obja
ś
nienie
poj
ęć
2.
Dłu
ż
szy bok przekroju obliczeniowego
b
o
spoiny pachwinowej oblicza si
ę
jako jej długo
ść
konstrukcyjn
ą
b
pomniejszon
ą
o dwie
grubo
ś
ci
a
tej spoiny:
a
2
b
b
⋅
−
=
oooo
4.
Przekrój obliczeniowy
A
o
spoiny pachwinowej jest iloczy-
nem jej
grubo
ś
ci
a
oraz
dłu
ż
szego boku
b
o
tego przekroju:
)
a
2
b
(
a
b
a
A
⋅
−
⋅
=
⋅
=
o
o
Pr
ę
ty
1
i
2
o grubo
ś
ci
2g
i szeroko
ś
ci
b = 30 mm
poł
ą
-
czono ze sob
ą
za pomoc
ą
zł
ą
cza spawanego maj
ą
ce-
go cztery takie same spoiny pachwinowe
poprzeczne
3
o grubo
ś
ci
a = 4 mm
oraz dwie nakładki
4
o grubo
ś
ci
g = 6 mm.
6
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 2. - krok
1
aw. - obliczenie
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
elementów poł
ą
czenia
Równie
ż
w przypadku poł
ą
czenia spawanego, obliczenia
sił zewn
ę
trznych
dla jego ele-
mentów s
ą
tak proste,
ż
e mo
ż
na je wykona
ć
w pami
ę
ci.
Rozdzielenie
poł
ą
czenia
na pojedyncze pr
ę
ty oraz przyło
ż
enie do ka
ż
dego z nich jego
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
, zast
ę
puj
ą
cych
oddziaływanie
innych pr
ę
tów
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 1. - krok
2
i
3
. - Obliczenia rozkładu
obci
ąż
e
ń
wewn
ę
trznych
oraz
napr
ęż
e
ń
w elementach poł
ą
czenia – cz
ęść
1 - okre
ś
lenie
przypadków
sił wewn
ę
trznych
i
napr
ęż
e
ń
na odcinku
CB
, wskutek czego - w przekrojach odcinka
AC
- ma
napr
ęż
enia roz
-
ci
ą
gaj
ą
ce
σσσσ
1
do obliczenia ze wzoru:
A
N
1
1
1
=
σ
st
ą
d maj
ą
we wszystkich przekrojach takie same
napr
ęż
enia rozci
ą
gaj
ą
ce
σσσσ
4
:
na odcinku
CB
, wskutek czego - w przekrojach odcinka
CB
- ma
napr
ęż
enia roz
-
ci
ą
gaj
ą
ce
σσσσ
2
wynikaj
ą
ce ze wzoru:
A
N
2
2
2
=
σ
A
N
4
4
4
=
σ
ne tn
ą
ce T
3
=
0,5S
na swoich długo
ś
ciach obliczeniowych, st
ą
d maj
ą
we wszyst-
kich przekrojach tej długo
ś
ci
napr
ęż
enia tn
ą
ce
ττττ
3
do obliczenia ze wzoru:
maj
ą
takie same przekroje obliczeniowe A
3
i takie same
siły wewn
ę
trz-
A
T
3
3
3
=
τ
ma stały przekrój A1 i
sił
ę
wewn
ę
trzn
ą
N
1
=
S
na odcinku
AC
oraz
N
1
=
0
Pr
ę
t
1
ma stały przekrój A2 i
sił
ę
wewn
ę
trzn
ą
N
1
=
0
na odcinku
AC
oraz
N
1
=
S
Pr
ę
t
2
Spoiny
3
maj
ą
takie same przekroje A
4
i takie same
siły wewn
ę
trzne N4
=
0,5S
Nakładki
4
7
13
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 2. - krok
2
i
3
. - Obliczenia
sił wewn
ę
trznych
oraz
napr
ęż
e
ń
w elementach
poł
ą
czenia - cz
ęść
2 - tablica
sił wewn
ę
trznych
i
napr
ęż
e
ń
-
83,3
1,8
0
15
3
Nakładki
4
166,7
-
ττττ
t
, MPa
-
83,3
σσσσ
r
,
MPa
0,9
3,6
A, cm
2
15
0
T
, kN
0
30
N
, kN
4
1
lub
2
Kod przekroju
Spoiny
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
14
Ć
wiczenie T3
Przykład nr 2. - Sprawdzenie
warunków bezpiecze
ń
stwa
dla elementów poł
ą
-
czenia - tablica
warunków bezpiecze
ń
stwa
-
83,3
4
Nakładki
4
166,7
-
ττττ
t
, MPa
-
83,3
σσσσ
r
,
MPa
3
1
lub
2
Kod przekroju
Spoiny
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
1). Tablic
ę
warunków bezpiecze
ń
stwa
sporz
ą
dza si
ę
na podstawie
tablicy napr
ęż
e
ń
:
2).Tablica
warunków bezpiecze
ń
stwa
dla poł
ą
czenia z przykładu nr 2
Warunek jest
spełniony
83,3 < 150
σσσσ
r max
≤
k
r
83,3
σσσσ
r max
Nakładki
4
150
k
r
Warunek nie jest
spełniony
Warunek jest
spełniony
166,7 > 90
83,3 < 150
ττττ
t max
≤
k
t
σσσσ
r max
≤
k
r
Warunek
bezpie-
cze
ń
stwa
75
166,7
150
83,3
k
t
ττττ
t max
k
r
σσσσ
r max
Napr
ę
-
ż
enie,
MPa
Spoiny
3
Pr
ę
ty
1
i
2
Element
Koniec przykładu 2