J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
1
P
rzykłady analizy płyt – c.d.
Ćwiczenie 12
PŁYTA PROSTOKĄTNA, SWOBODNIE PODPARTA,
DOWOLNIE OBCIĄŻONA
Rzut z góry:
Przyjmujemy rozwiązanie powyższego zagadnienia za pomocą
szeregu Fouriera.
a
b
1
x
2
x
(
)
1
2
,
q x x
, ,
E
h
ν
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
2
Założymy szereg sinusowy, gdyż możemy zawsze uważać
(
)
1
2
,
q x x
za funkcję nieparzystą dwóch zmiennych, zgodnie z wyobrażalnym
schematem:
a
a
a
b
+
−
+
b
−
+
−
b
+
−
+
(
)
1
2
1
2
1
1
,
sin
sin
mn
m
n
m x
n x
q x x
a
a
b
π
π
∞
∞
=
=
=
∑∑
,
gdzie:
(
)
1
2
1
2
1
2
0 0
4
,
sin
sin
a b
mn
m x
n x
a
q x x
dx dx
ab
a
b
π
π
=
∫∫
,
przy czym:
,
m n
–
liczby całkowite:
1, 2,3...
Powyższy wzór wynika z ortogonalności funkcji
( )
sin
i dowodzi
się go analogicznie jak w przypadku szeregów pojedynczych!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
3
(
)
1
2
0
,
q x x
q
const
=
=
Przykładowo:
Niech:
Wówczas:
(
)
1
2
1
2
1
2
0 0
4
,
sin
sin
a b
mn
m x
n x
a
q x x
dx dx
ab
a
b
π
π
=
∫∫
0
1
2
1
2
0 0
4
sin
sin
a b
mn
q
m x
n x
a
dx dx
ab
a
b
π
π
⋅
=
∫∫
0
1
2
0
0
4
cos
cos
a
b
mn
q
m x
n x
a
b
a
ab
m
a
n
b
π
π
π
π
⋅
=
⋅ −
⋅
⋅ −
Zatem:
0
4
2
2
mn
q
a
b
a
ab
m
n
π π
⋅
=
⋅
⋅
=
0
2
16 q
mn
π
⋅
, jeżeli
m
i
n
są nieparzyste,
lub:
0
mn
a
=
, gdy
m
lub
n
jest parzyste!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
4
W
ogólnym przypadku obciążenia zakładamy rozwiązanie:
(
)
1
2
1
2
1
1
,
sin
sin
mn
m
n
m x
n x
w x x
w
a
b
π
π
∞
∞
=
=
=
∑∑
Funkcja ta spełnia warunki brzegowe swobodnego podparcia!
Podstawienie do równania:
(
)
(
)
0
1
2
4
1
2
,
,
q
x x
w x x
D
∇
=
daje związek:
2
2
2
mn
mn
m
n
D
w
a
a
b
π
π
⋅
+
⋅
=
czyli:
(
)
1
2
1
2
2
4
2
2
1
1
1
,
sin
sin
mn
m
n
a
m x
n x
w x x
D
a
b
m
n
a
b
π
π
π
∞
∞
=
=
=
⋅
+
∑∑
przy czym:
,
m n
–
liczby całkowite:
1, 2,3...
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
5
Przypadek szczególny:
(
)
1
2
0
,
q x x
q
const
=
=
(
)
0
1
2
1
2
2
6
2
2
1
1
16
,
sin
sin
mn
m
n
q
a
m x
n x
w x x
D
a
b
m
n
mn
a
b
π
π
π
∞
∞
=
=
⋅
=
⋅
⋅
+
∑∑
,
gdzie:
,
m n
–
liczby całkowite nieparzyste:
1,3,5...
Maks.
ugięcie:
( )
1
2
1
0
2
6
2
2
1
1
2
1
16
2
max
2
m n
m
n
a
x
q
w
b
D
x
m
n
mn
a
b
π
+
−
∞
∞
=
=
=
−
⋅
=
⋅
=
⋅
+
∑∑
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
6
Szereg ten jest szybkozbieżny, często wystarczy tylko pierwszy jego
wyraz (tj. dla
1
m
= ,
1
n
=
), przykładowo:
1)
Jeżeli a b
= oraz
1
m
n
= = :
4
4
0
0
6
4
max
0,00416
q a
q a
w
D
D
π
⋅ ⋅
⋅
=
=
⋅
po uwzględnieniu większej liczby wyrazów →
4
0
max
0,00406
q a
w
D
⋅
=
⋅
(wynik ścisły)
2)
Jeżeli
3
b
a
=
, to:
4
0
max
0,0122
q a
w
D
⋅
=
⋅
(wynik ścisły)
3)
Jeżeli b → ∞ (pasmo), to:
4
0
max
0,0130
q a
w
D
⋅
=
⋅
(wynik ścisły)
Wniosek: dla
3
b
a
>
obliczenia praktyczne
płyty można zastąpić
obliczeniem
pasma płytowego (dla obciążeń zbliżonych do
równomiernie rozłożonych)!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
7
PŁYTA KWADRATOWA
– WYZNACZANIE MOMENTÓW
W PŁYCIE
1
5
ν
≈
Rzut z góry:
Przyjęto dla płyty żelbetowej:
Dla a
b
= :
(
)
(
)
4
0
1
2
1
2
2
6
2
2
1
1
16
,
sin
sin
m
n
q
m x
n x
a
w x x
D
a
a
mn m
n
π
π
π
∞
∞
=
=
⋅
=
⋅
⋅
+
∑∑
Dodatkowo, z symetrii:
(
)
(
)
11
1
2
22
1
2
,
,
M
x x
M
x x
=
;
,11
,22
w
w
=
1
x
2
x
a
a
, ,
E
h
ν
(
)
1
2
,
q x x
q
const
= =
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
8
Moment zginający:
(
)
(
)
11
,11
,22
,11
1
M
D
w
w
D w
ν
ν
= − ⋅
+ ⋅
= − ⋅
⋅ +
(
)
2
0
1
2
,11
2
4
2
2
1
1
16
sin
sin
m
n
q a
m x
n x
m
w
D
a
a
n
m
n
π
π
π
∞
∞
=
=
⋅
= −
⋅
⋅
+
∑∑
→ dla
1
m
= ,
1
n
= i dla
1
2
x
a
=
,
2
2
x
a
=
mamy:
(
)
2
2
0
11
0
4
4
1
0,048
q a
M
q a
ν
π
⋅ ⋅
=
⋅ +
≈
⋅ ⋅
Moment
skręcający:
(
)
12
,12
1
M
D
w
ν
= − ⋅ − ⋅
(
)
2
0
1
2
,12
2
4
2
2
1
1
16
1
cos
cos
m
n
q a
m x
n x
w
D
a
a
m
n
π
π
π
∞
∞
=
=
⋅
=
⋅
+
∑∑
→ dla
1
m
= ,
1
n
= i dla
1
0
x
=
,
2
0
x
=
mamy:
(
)
2
2
0
12
0
4
4
1
0,032
q a
M
q a
ν
π
⋅ ⋅
= −
⋅ −
≈ −
⋅ ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
9
Obliczymy
moment zginający w przypadku osi obróconych o kąt
45
ϕ
=
°.
Ze wzorów transformacyjnych dla
naprężeń, wynika iż:
2
2
11
22
12
cos
sin
sin 2
nn
M
M
M
M
ϕ
ϕ
ϕ
=
⋅
+
⋅
+
⋅
(
)
22
11
12
1
sin 2
cos 2
2
ns
M
M
M
M
ϕ
ϕ
= ⋅
−
⋅
+
⋅
Zatem, dla
45
ϕ
=
°:
2
2
11
22
12
2
2
1
2
2
nn
M
M
M
M
=
⋅
+
⋅
+
⋅
11
11
12
1
1
1
2
2
nn
M
M
M
M
=
⋅ +
⋅ +
⋅
→
11
12
nn
M
M
M
=
+
1
x
2
x
s
n
ϕ
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
10
Wykresy momentów w płycie:
Jeżeli dla
45
ϕ
=
° mamy:
11
12
nn
M
M
M
=
+
to w szczególności:
→
( )
2
0
0;0
0,032
nn
M
q a
= −
⋅
→
(
)
2
0
;
0,048
2
2
nn
a
a
M
q a
=
⋅
s
n
1
x
2
x
a
a
0, 032
0, 032
0, 048
0, 048
11
M
2
0
q a
×
nn
M
0, 20
ν
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
11
Dyskusja!
1)
W płycie swobodnie podpartej (obciążonej równomiernie)
występują ujemne momenty zginające w narożach!
Dlatego też w żelbecie zbroi się takie płyty w narożach również
górą
5
a
na odległościach
!
2) Sprawdzenie warunków równowagi w narożu
Jak wyjaśnić ten paradoks?
Odpowiedź: Momenty oznaczone wektorami osiowymi
są momentami skupionymi (kNm), a momenty
2
0
0,032 q a
⋅
są momentami rozłożonymi (kNm/m).
Po pomnożeniu przez długości boków trójkąta „paradoks” ten znika.
(
)
0,032 zginaj
ący
(
)
0,032 skr
ęcający
(
)
0,032 skr
ęcający