— 1 —
Niejednostajny ruch szybkozmienny w korytach otwartych – odskok hydrauliczny
Ruch szybkozmienny – taki, dla którego w blisko siebie położonych przekrojach
koryta występują znaczne różnice głębokości. Tego rodzaju zjawiska występują sporadycznie
w korytach otwartych i są zwykle spowodowane przeszkodami lokalnymi zaburzającymi
przepływ.
Odskok hydrauliczny – powstaje podczas przejścia z ruchu podkrytycznego
(rwącego) w nadkrytyczny (spokojny). Zaburzenia wywołane odskokiem pochłaniają znaczną
ilość energii mechanicznej, która przechodzi głównie w energię cieplną.
Założenia do obliczeń:
- koryto jest prostokątne
- dno koryta jest poziome
- opory tarcia na odcinku odskoku są zaniedbywalnie małe
- jedynymi
siłami poziomymi są siły parcia
- natężenie przepływu Q jest wartością stałą
- w
całym przekroju panuje stała prędkość równa prędkości średniej
W celu wyznaczenia równania odskoku korzystamy z równania ciągłoci oraz zasady
zachowania masy i pędu.
Równanie
ciągłości:
Q = const.
Q = A v
A
1
v
1
= A
2
v
2
A = h b
h
1
b v
1
= h
2
b v
2
h
1
v
1
= h
2
v
2
h
1
h
2
P
1
P
2
— 2 —
Zasada zachowania masy i pędu:
m
1
v
1
– m
2
v
2
+
ΣFz dt = 0
[kg m/s] = [N s]
Dokonujemy następujących podstawień:
m =
ρ V
ρ = γ / g
V = Q dt = A v dt
Stąd:
(
γ / g) A
1
v
1
dt v
1
– (
γ / g) A
2
v
2
dt v
2
+
ΣFz dt = 0
ΣFz dt = (γ / g) A
2
v
2
dt v
2
– (
γ / g) A
1
v
1
dt v
1
ΣFz dt = (γ / g) A
2
v
2
2
dt – (
γ / g) A
1
v
1
2
dt
ΣFz dt = (γ / g) h
2
b v
2
2
dt – (
γ / g) h
1
b v
1
2
dt
Ponieważ jedynymi siłami poziomymi działającymi w przekroju 1 i 2 są siły parcia to ich
różnica stanowić będzie sumę sił zewnętrznych. Stąd:
ΣFz = P
1
– P
2
P =
γ 0.5 h A = γ 0.5 h h b = γ 0.5 h
2
b
Czyli:
ΣFz = γ 0.5 h
1
2
b –
γ 0.5 h
2
2
b
ΣFz dt = (γ 0.5 h
1
2
b –
γ 0.5 h
2
2
b) dt =
γ 0.5 h
1
2
b dt -
γ 0.5 h
2
2
b dt
Porównując otrzymane formuły na
ΣFz dt otrzymujemy:
γ 0.5 h
1
2
b dt –
γ 0.5 h
2
2
b dt = (
γ / g) h
2
b v
2
2
dt – (
γ / g) h
1
b v
1
2
dt
γ 0.5 h
1
2
b dt + (
γ / g) h
1
b v
1
2
dt =
γ 0.5 h
2
2
b dt + (
γ / g) h
2
b v
2
2
dt
γ b dt [ 0.5 h
1
2
+ (1 /g) h
1
v
1
2
] =
γ b dt [ 0.5 h
2
2
+ (1 /g) h
2
v
2
2
]
0.5 h
1
2
+ (1 /g) h
1
v
1
2
= 0.5 h
2
2
+ (1 /g) h
2
v
2
2
q = Q / b = h v
h v
2
= (h
2
v
2
) / h = q
2
/ h
0.5 h
1
2
+ q
2
/ (g h
1
) = 0.5 h
2
2
+ q
2
/ (g h
2
)
Powyższe równanie jest równaniem odskoku hydraulicznego, natomiast uogólniony człon
jednej ze stron równania jest równaniem siły właściwej F
wł
(h).
F
wł
(h) = 0.5 h
2
+ q
2
/ (g h) = const.
h
→ 0
F(h)
→ ∞
h
→ ∞
F(h)
→ ∞
Wartość siły właściwej jest taka sama dla h
1
i h
2
.
— 3 —
Głębokości sprzężone (h
1
i h
2
)
Energia właściwa E
wł
= h + v
2
/ 2g
E
wł
= h + Q
2
/ (2g A
2
) = h + Q
2
/ (2g h
2
b
2
) = h + Q
2
/ (2g b
2
) (1 / h
2
) = h + Q
2
/ (2g b
2
) h
-2
min E
wł
⇔ d E
wł
/ dh = 0
d E
wł
/ dh = 1 + Q
2
/ (2g b
2
) (-2) h
-3
= 0
Q
2
/ (g b
2
h
3
) = 1
h
3
= Q
2
/ (g b
2
)
h
kr
= [Q
2
/ (g b
2
)]
(1/3)
= [q
2
/ g]
(1/3)
Wartość h
kr
dla której E
wł
osiąga minimum nazywamy głębokością krytyczną. Z powyższej
zależności wynika, że:
q
2
= g h
kr
3
Po podstawieniu do równania na F
wł
uzyskamy:
F
wł
(h) = 0.5 h
2
+ q
2
/ (g h) = const.
0.5 h
1
2
+ (g h
kr
3
) / (g h
1
) = 0.5 h
2
2
+ (g h
kr
3
) / (g h
2
)
0.5 h
1
2
+ h
kr
3
/ h
1
= 0.5 h
2
2
+ h
kr
3
/ h
2
h
kr
3
/ h
1
– h
kr
3
/ h
2
= 0.5 h
2
2
– 0.5 h
1
2
h
kr
3
(h
2
– h
1
) / (h
1
h
2
) = 0.5 (h
2
2
– h
1
2
)
2 h
kr
3
(h
2
– h
1
) = (h
2
2
– h
1
2
) h
1
h
2
2 h
kr
3
= (h
2
2
– h
1
2
) h
1
h
2
/ (h
2
– h
1
)
2 h
kr
3
= (h
2
– h
1
) (h
2
+ h
1
) h
1
h
2
/ (h
2
– h
1
)
2 h
kr
3
= (h
2
+ h
1
) h
1
h
2
h
1
h
2
2
+ h
1
2
h
2
– 2 h
kr
3
= 0
a
b
c
ax
2
+ bx + c = 0
gdzie x = h
2
Δ = (h
1
2
)
2
– 4 h
1
(-2 h
kr
3
) = h
1
4
+ 8 h
1
h
kr
3
= h
1
4
[1 + 8 (h
kr
/ h
1
)
3
]
Δ
0.5
= h
1
2
[1 + 8 (h
kr
/ h
1
)
3
]
0.5
h
2
’ = (-h
1
2
– h
1
2
[1 + 8 (h
kr
/ h
1
)
3
]
0.5
) / 2 h
1
h
2
” = (-h
1
2
+ h
1
2
[1 + 8 (h
kr
/ h
1
)
3
]
0.5
) / 2 h
1
h
2
’ < 0
⇒
odrzucamy
h
2
= 0.5 h
1
([1 + 8 (h
kr
/ h
1
)
3
]
0.5
– 1)
h
1
= 0.5 h
2
([1 + 8 (h
kr
/ h
2
)
3
]
0.5
– 1)
— 4 —
Strata energii w odskoku
ΔE = E
1
– E
2
ΔE = h
1
+ v
1
2
/ 2g – (h
2
+ v
2
2
/ 2g)
v
2
/ 2g = h
kr
3
/ h
2
h
kr
3
= 0.5 h
1
h
2
(h
2
+ h
1
)
a po wielu przekształceniach ostatecznie
ΔE = (h
2
– h
1
)
3
/ (4 h
1
h
2
)
Długość odskoku
Jedynie wzory empiryczne:
1. wg Wóycickiego
L = (8 – 0.5 h
2
/ h
1
) (h
2
– h
1
)
2. wg Pawłowskiego
L = 2.5 (1.9 h
2
– h
1
)
3. wg Czertousowa
L = 10.3 h
1
(Fr
1
0.5
– 1)
0.82
4. wg Safraneza
L = 4.5 h
2
5. wg Bachniediewa
L = 5 (h
2
– h
1
)
6. wg Smetany
L = 6 (h
2
– h
1
)
Rodzaje odskoku
1. Idealny
⇔ h
n
= h
2
2. Odsunięty
⇔ h
n
< h
2
3. Zatopiony
⇔ h
n
> h
2
zalecany
gdyż: -
bezpośrednio przy zaporze
- najkrótsza długość niecki
- najniższy koszt umocnień
- współczynnik bezpieczeństwa
większy od 1
— 5 —
Odskok przestrzenny
Jeżeli
1
2
p
h
h
=
η
ł
dla odskoku płaskiego (gdy b = B) oraz
B
b
=
β
to:
β
η
=
η
ł
p
prz
oraz
ł
p
prz
L
8
,
0
L
=
dla 0,25
≤ β ≤ 0,64
ł
p
prz
L
L
β
=
dla 0,64
≤ β ≤ 1,00
Oznaczenia:
γ – ciężar właściwy [N/m
3
]
ρ – gęstość [kg/m
3
]
ΣFz – suma sił zewnętrznych [N]
1 – przekrój przed odskokiem hydraulicznym
2 – przekrój za odskokiem hydraulicznym
A – pole przekroju poprzecznego koryta [m
2
]
b – szerokość koryta dopływowego
B – szerokość koryta odpływowego (miejsce powstania odskoku)
dt – jednostka czasu [s]
g – przyspieszenie ziemskie [m/s
2
]
h
1
– pierwsza głębokość sprzężona
h
2
– druga głębokość sprzężona
L = L
pł
– długoć niecki wypadowej
m – masa [kg]
Q – natężenie przepływu [m
3
/s]
V – objętość [m
3
]
v – średnia prędkość w przekroju [m/s]
b
B