Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona wieczewska
Zestaw nr 9 Ukªady równa« i nierówno±ci liniowych
Zadanie 1. Korzystaj¡c ze znanych twierdze« zbadaj czy dany ukªad posiada rozwi¡zanie. Je±li tak, to
wyznacz je:
(1)
2x
1
+ x
2
+ x
3
= −1
x
1
− 2x
2
− x
3
= 2
x
1
− x
2
+ x
3
= −6
(2)
2x
1
+ x
2
+ x
3
= 3
x
1
+ 3x
2
− x
3
= 3
−x
1
− x
3
= −1
(3)
2x
1
+ x
2
+ x
3
= 2
−x
1
+ x
2
− 2x
3
= 4
x
1
+ 2x
2
− x
3
= 6
(4)
3x
1
+ x
2
− x
3
= 0
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0
4x
1
+ 2x
2
− x
3
= 0
(5)
4x
1
+ x
2
− x
3
= 0
−x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0
2x
1
− 3x
2
+ x
3
= 0
(6)
2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 0
−4x
1
− 6x
2
+ 2x
3
= 0
−2x
1
− 3x
2
+ x
3
= 0
(7)
2x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
+ 2x
5
= 4
x
1
− 2x
2
− x
3
+ 3x
4
− x
5
= 2
x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
− 4x
4
+ 3x
5
= −6
(8)
2x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
+ 2x
5
= 10
x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
− x
5
= 24
4x
1
− x
2
− 5x
3
+ x
4
= 58
Zadanie 2. Dla jakich warto±ci parametru m ∈ R podany ukªad
mx
1
+ x
2
+ x
3
=
1
x
1
+ x
2
+ x
3
=
m
(m − 1)x
1
+ (m + 1)x
2
=
0
jest ukªadem Cramera? Dla wyznaczonych warto±ci parametru m podaj jego rozwiazanie w zale»no±ci od
warto±ci tego parametru.
Zadanie 3. Dla jakiej warto±ci parametru m ukªad równa«
x
1
− (m + 1) x
2
+ x
3
+ mx
4
= 1 − m
2
2x
1
+ x
2
+ (m + 2) x
3
= m
2
− 3m + 2
3x
1
− mx
2
+ (m + 3) x
3
+ mx
4
= 3 − 3m
jest ukªadem jednorodnym? Dla otrzymanej warto±ci parametru m wyznaczy¢ zbiór rozwi¡za«.
Zadanie 4. Dla jakiej warto±ci parametru m ukªad równa«
(m − 1) x
1
+ x
2
− mx
3
= 0
(m − 5) x
1
+ mx
2
+ 2mx
3
= 0
−x
1
+ 4x
2
= 0
ma roz-
wi¡zania niezerowe? Odpowied¹ uzasadnij. Dla jednej z wyznaczonych warto±ci parametru m wyznacz
1
Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona wieczewska
rozwi¡zanie fundamentalne tego ukªadu równa«.
Zadanie 5. Wyznacz rozwiazanie ogólne oraz dwa rozwi¡zania bazowe ukªadów równa« liniowych:
(1)
x
1
− 4x
2
+ 3x
3
− x
4
− x
5
=
60
5x
2
− 4x
3
+ x
4
+ x
5
=
40
2x
2
+ x
3
+ x
5
=
10
(2)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 2x
5
=
70
2x
1
+ x
3
+ x
5
=
20
x
1
− x
2
− x
5
=
10
(3)
3x
1
+ 3x
2
− x
3
+ x
5
=
4
−x
1
+ 3x
2
+ x
4
=
3
−x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
=
5
(4)
x
1
− 4x
2
+ 3x
3
− x
4
− x
5
=
20
5x
2
− 4x
3
+ x
4
+ x
5
=
40
x
1
+ x
2
− x
3
=
60
Zadanie 6. Rozwi¡» gra cznie nast¦puj¡ce ukªad nierówno±ci i omów wªasno±ci otrzymanych zbiorów.
Zapisz równowa»ny ukªad równa«.
(1)
x
1
− x
2
≥ −2
x
1
+ x
2
≤
12
x
1
− 2x
2
≤
6
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(2)
4x
1
− 3x
2
≥ −12
x
1
− 2x
2
≤
4
x
1
+ x
2
≥
4
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(3)
3x
1
− 2x
2
≥ −6
3x
1
− 5x
2
≤
15
x
1
+ x
2
≥
3
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(4)
x
1
+ 2x
2
≥
6
x
1
− 4x
2
≥
0
x
1
+ x
2
≤ 10
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(5)
x
1
+ x
2
≥ 6
x
1
− 2x
2
≤ 0
2x
1
+ x
2
≥ 8
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(6)
x
1
+ x
2
≤
12
x
1
− 4x
2
≤ −8
x
1
+ 2x
2
≥
10
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
2
Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona wieczewska
Zestaw nr 9 odpowiedzi
Zadanie 1.
(1) Ukªad oznaczony, x =
1
2
−5
(2) Ukªad oznaczony x =
2
0
−1
(3) Ukªad nieoznaczony X =
x ∈ R
3
: x =
−
2
3
10
3
0
+ α
−3
1
1
∧ α ∈ R
(4) Ukªad jednorodny oznaczony x =
0
0
0
(5) Ukªad jednorodny nieoznaczony X =
x ∈ R
3
: x = α
1
3
7
∧ α ∈ R
(6) Ukªad jednorodny nieoznaczony X =
x ∈ R
3
: x = α
1
0
2
+ β
0
1
3
∧ α, β ∈ R
(7) Ukªad sprzeczny
(8) Ukªad nieoznaczony. Zbiór rozwi¡za«
X =
x ∈ R
5
: x =
0
−58
0
0
34
+ α
1
4
0
0
−3
+ β
0
−5
1
0
3
+ γ
0
1
0
1
0
∧ α, β, γ ∈ R
Zadanie 2. Ukªad Cramera dla m ∈ R\ {0, 1} . Rozwi¡zanie: x =
m+1
−2m
1−m
−2m
m
2
+m−1
m−1
.
dla m = 0 ukªad jest
sprzeczny, dla m = 1 ukªad jest nieoznaczony.
3
Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona wieczewska
Zadanie 3. Dla m=1 ukªad jednorodny. Zbiór rozwi¡za«
X =
x ∈ R
4
: x = α
1
−2
0
−5
+ β
0
−3
1
−7
∧ α, β ∈ R
.
Zadanie 4. Dla m = 0 lub m = 2 ukªad posiada rozwi¡zania niezerowe. Zbiór rozwi¡za« dla m = 0
X =
x ∈ R
3
: x = α
0
0
1
∧ α ∈ R
a dla m = 2 X =
x ∈ R
3
: x = α
8
5
2
5
1
∧ α ∈ R
Zadanie 5. Ad (1) x =
100 + x
2
+ x
3
x
2
x
3
30 − 3x
2
+ 5x
3
10 − 2x
2
− x
3
; przykªadowe rozwi¡zania bazowe
100
0
0
30
10
,
110
0
10
80
0
Ad (2) x =
x
1
50 + x
1
− x
5
20 − 2x
1
− x
5
140 − 9x
1
− 2x
5
x
5
; przykªadowe rozwi¡zania bazowe
0
50
20
140
0
,
0
30
0
100
20
Ad (3) x =
x
1
x
2
8 + 2x
1
− 4x
2
3 + x
1
− 3x
2
12 − x
1
− 7x
2
; przykªadowe rozwi¡zania bazowe
0
0
8
3
12
,
12
0
32
15
0
Ad (4) x =
60 − x
2
+ x
3
x
2
x
3
40 − 5x
2
+ 4x
3
− x
5
x
5
; przykªadowe rozwi¡zania bazowe
60
0
0
40
0
,
60
0
0
0
40
Zadanie 6. (1) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 0), (0, 2), (5, 7), (10, 2), (6, 0).
Równowa»ny ukªad równa«:
−x
1
+ x
2
+ s
1
= 2
x
1
+ x
2
+ s
2
= 12
x
1
− 2x
2
+ s
3
= 6
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0
4
Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona wieczewska
(2) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 4) i (4, 0) oraz wektorach wiod¡cych [2, 1] i [3, 4].
Równowa»ny ukªad równa«:
−4x
1
+ 3x
2
+ s
1
= 12
x
1
− 2x
2
+ s
2
= 4
x
1
+ x
2
− s
3
+ t = 4
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0, t = 0
(3) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 3), (3, 0) i (5, 0) oraz wektorach wiod¡cych [2, 3] i [5, 3].
Równowa»ny ukªad równa«:
−3x
1
+ 2x
2
+ s
1
= 6
3x
1
− 5x
2
+ s
2
= 15
x
1
+ x
2
− s
3
+ t = 3
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0, t = 0
(4) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 3), (0, 10), (8, 2), (4, 1).
Równowa»ny ukªad równa«:
x
1
+ 2x
2
− s
1
+ t = 6
−x
1
+ 4x
2
+ s
2
= 0
x
1
+ x
2
+ s
3
= 10
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0
(5) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 8), (4, 2) i (2, 4) oraz wektorach wiod¡cych [0, 1] i [2, 1].
Równowa»ny ukªad równa«:
x
1
+ x
2
− s
1
+ t
1
= 6
x
1
− 2x
2
+ s
2
= 0
2x
1
+ x
2
− s
3
+ t
2
= 8
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0, t
1
= t
2
= 0
(6) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 5), (4, 3), (8, 4), (0, 12).
Równowa»ny ukªad równa«:
x
1
+ x
2
+ s
1
= 12
−x
1
+ 4x
2
− s
2
+ t
1
= 8
x
1
+ 2x
2
− s
3
+ t
2
= 10
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0, s
1
≥ 0, s
2
≥ 0, s
3
≥ 0, t
1
= t
2
= 0
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zest9 MS 1011
Zestaw5 MS 1011
wyk3 MS 1011
wyk2 MS 1011
zest8 MS 1011
zest7 odp MS 1011
zest7 MS 1011
Zestaw5 MS 1011
1 GEN PSYCH MS 2014id 9257 ppt
Pthirus pubis(ms office)
Wyklad 06 kinematyka MS
Wyklad 05 kinematyka MS
Prezentacja ZPR MS Project
PhysHL P3 M01 MS
więcej podobnych podstron