Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).

a

a

2a

2a

5a

5a

a

a

2a

2a

5a

5a

Dla rozważanej figury przyjmiemy dwa współśrodkowe układy współrzędnych xy oraz

ξη. Oba układy są układami centralnymi. Układ ξη jest ponadto układem osi głównych
ponieważ osie ξ i η są osiami symetrii figury. Należy oczywiście ustalić, która z osi układu ξη
jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a która osią minimalnego momentu
bezwładności.

ξ

η

x

y

C

5a

5a

2a

2a

a

a

5a

5a

2a

2a

a

a

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi x dokonamy podziału
rozpatrywanej figury na figury składowe.

a

a

2a

2a

5a

5a

III

3

4

c

x

4

c

y

C

x

y

I

IV

4

C

4

c

x

4

c

y

C

II

5a

5a

2a

2a

a

a

Moment bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x policzymy jako

podwojoną sumę momentów bezwładności względem osi x figur składowych (figury I, II, III i
IV). Moment bezwładności figury względem osi y ma taką samą wartość. W przypadku figury
IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Pole powierzchni figury III i IV wynosi

2

IV

III

6

6

2

2

1

a

a

a

A

A

=

⋅

⋅

=

=

(

)

( )

( )

( )

( )

4

2

2

3

3

3

3

IV

III

II

I

6

1

248

6

3

1

2

6

6

2

36

1

2

6

12

1

2

2

3

1

3

3

12

1

2

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

I

I

I

I

I

I

x

x

x

x

y

x

=

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

=

+

+

+

⋅

=

=

Dewiacyjny moment rozpatrywanej figury w układzie xy policzymy jako podwojoną

sumę momentów dewiacyjnych figur składowych (figury I, II, III i IV). W przypadku figury
III i IV należy zastosować twierdzenie Steinera. Momenty dewiacyjne tych dwóch figur w
układzie xy mają te same wartości, można więc w obliczeniach uwzględnić to, licząc
podwojoną wartość momentu dewiacyjnego np. dla figury III.

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4

2

2

2

2

2

2

2

III

II

I

IV

III

II

I

4

1

57

6

3

1

2

2

3

1

6

6

2

72

1

2

2

2

4

1

3

3

24

1

2

2

2

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

I

I

I

I

I

I

I

I

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

−

=

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

⋅

=

=

⋅

+

+

⋅

=

+

+

+

⋅

=

Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość

2

max

I

I

=

1

tworzy z osią x kąt

, natomiast główna oś bezwładności, względem której

moment bezwładności ma wartość

1

ϕ

min

I

I

=

2

tworzy z osią x kąt

2

ϕ

.

Ponieważ I

x

= I

y

, I

xy

< 0 to

4

1

π

=

ϕ

, natomiast

4

2

π

−

=

ϕ

.

Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają

wartości ekstremalne:

4

2

4

4

2

2

2

1

12

5

305

4

1

57

6

1

248

2

2

a

a

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

xy

x

xy

y

x

y

x

max

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

+

=

+

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

4

2

4

4

2

2

2

2

12

11

190

4

1

57

6

1

248

2

2

a

a

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

xy

x

xy

y

x

y

x

min

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

−

=

−

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

ξ - kierunek maksymalnego
momentu bezwładności

η - kierunek minimalnego
momentu bezwładności

x

4

1

π

=

ϕ

4

2

π

=

ϕ

C

Główne centralne momenty bezwładności możemy wyznaczyć w inny sposób.

III

a

2

2

3

a

2

2

3

a

2

3

a

2

3

η

a

2

2

a

2

4

I

II

η

η

3

Obliczymy wartość momentu bezwładności względem osi η, stosując nowy podział na

figury składowe. Figurę III traktujemy jako pole "ujemne". Momenty bezwładności figury I i
III mnożymy przez cztery.

(

)

( )

4

3

4

3

12

11

190

2

2

3

2

2

3

12

1

4

2

3

12

1

2

4

2

2

12

1

4

a

a

a

a

a

a

I

η

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

W dalszych obliczeniach wykorzystamy to, że suma momentów bezwładności

względem obu osi układów współśrodkowych jest stała.

η

ξ

y

x

I

I

I

I

+

=

+

czyli

4

4

4

12

5

305

12

11

190

6

1

248

2

2

a

a

a

I

I

I

I

I

I

η

x

η

y

x

ξ

=

−

⋅

=

−

⋅

=

−

+

=

Z porównania wartości głównych momentów bezwładności wynika, że oś

ξ jest

kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności, a oś

η jest kierunkiem minimalnego

momentu bezwładności.

4

2

12

11

190

a

I

I

I

min

η

=

=

=

,

4

1

12

5

305

a

I

I

I

max

ξ

=

=

=

Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć metodą
graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie

xy

4

4

167

248

6

1

248

a

.

a

I

I

y

x

=

=

=

oraz wartości momentu dewiacyjnego

4

4

250

57

4

1

57

a

.

a

I

xy

−

=

−

=

.

Kolejność postępowania przy wyznaczaniu głównych momentów bezwładności i kierunków
głównych metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów

A i B

Wartości momentów bezwładności w układzie

xy

stanowią odpowiednio

współrzędne punktów

A

4

167

248

a

.

I

I

y

x

=

=

(

)

0

167

248

4

,

a

.

I

x

=

i B

(

)

0

167

248

4

,

a

.

I

y

=

. W rozpatrywanym

zadaniu położenie punktów A

(

)

0

167

248

4

,

a

.

i B

(

)

0

167

248

4

,

a

.

jest wspólne.

2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C

(

)

(

)

0

167

248

5

0

4

,

a

.

I

I

.

y

x

=

+

⋅

, czyli C

(

)

0

167

248

4

,

a

.

, jest środkiem odcinka

AB i

środkiem koła Mohra. W rozpatrywanym zadaniu położenie punktów

C, A i B jest wspólne.

3. Wyznaczenie położenia punktu

D

Po uwzględnieniu wartości

oraz

otrzymamy współrzędne

4

167

248

a

.

I

x

=

4

250

57

a

.

I

xy

−

=

punktu

D

(

)

(

)

4

4

250

57

167

248

a

.

I

,

a

.

I

xy

x

−

−

=

−

=

, czyli

D

(

)

4

4

250

57

167

248

a

.

,

a

.

.

4. Wyznaczenie promienia koła Mohra
Łączymy punkty

C i D odcinkiem

CD

, który stanowi promień

R koła Mohra. Promieniem

tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach:

E i F. Współrzędne tych punktów są

następujące:

E

(

)

0

917

190

4

,

a

.

,

F

(

)

0

417

305

4

,

a

.

. Długość odcinka

OE

odpowiada

minimalnemu momentowi bezwładności

, natomiast długość odcinka

2

I

F

O

odpowiada

maksymalnemu momentowi bezwładności .

1

I

6. Wyznaczenie kierunków głównych

4

Oś przechodząca przez punkty

E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś

przechodząca przez punkty

F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.

2

I

O

Momenty bezwładności

Moment

y dewiac

yj

ne

kierunek maksymalnego
momentu bezwładności

kierunek minimalnego
momentu bezwładności

Przyjęta skala: 50

r

4

1

I

E

2

y

x

y

x

I

I

=

=

I

I

+

A=B=C

D

F

R

4

2

π

−

=

ϕ

4

1

π

=

ϕ

(

)

( )

(

)

(

)

( )

0

0

0

2

0

0

1

2

,

I

F

,

I

E

I

,

I

D

,

I

I

C

,

I

B

,

I

A

xy

x

y

x

y

x

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

5