Egzamin poprawkowy z równań różniczkowych cząstkowych .

Łódź, dn. 18.02.2008.

1. Podać przykład zewnętrznego zagadnienia Neumanna dla równania hiperbolicznego w przypadku n=2.

Opisać interpretację (fizyczną, chemiczną, lub dowolną inną) dla podanego przykładu.

2. Posługując się ogólną metodą wyprowadzania równań charakterystyk, wyprowadzić równania charaktery-

styk dla równania krzywych geodezyjnych postaci:

u

2

x

+ u

2

y

+ u

2

z

= n

2

,

gdzie n jest pewną stałą.

3. Posługując się wzorem Poissona dla koła, napisać rozwiązanie u(x, y) zagadnienia Dirichleta we wnętrzu

elipsy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

< 1

dla równania typu eliptycznego

a

2

u

xx

+ b

2

u

yy

= 0,

gdzie a, b są stałymi, z warunkiem brzegowym u(x) = g(x) dla x z brzegu elipsy.

4. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji f : [

−π, π] → R nieparzystej nie występują

składniki zawierające cosinus.

5. Niech φ będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a. Pokazać, że

B(0,ε)

|φ(y)| dy  Cε

2

ln ε

dla n = 2, gdzie C jest pewną stałą.

6. Niech funkcja u = u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) będzie harmoniczna. Czy funkcja w =

∂u

∂x

1

·

∂u

∂x

2

dla n = 2 jest

harmoniczna? Odpowiedź uzasadnić.

7. Określić typ równania

∆∆u

−

∂u

∂t

= 0

dla zmiennej x

∈ R

2

i wykazać, że funkcja

u(x, t) =

∞



k=0

t

k

k!

∆

2k

f (x),

gdzie f jest funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną, przy założeniu, że szereg można różniczkować

wyraz po wyrazie potrzebną liczbę razy, przedstawia rozwiązanie tego równania.

8. Jak można znaleźć wektor normalny zewnętrzny do kuli B(Θ, 1)

⊂ R

n

o środku w punkcie zero i promieniu

1 w dowolnym punkcie x

0

∈ ∂B(Θ, 1).

1