Egzamin popr 2007 2008

background image

Egzamin poprawkowy z równań różniczkowych cząstkowych .

Łódź, dn. 18.02.2008.

1. Podać przykład zewnętrznego zagadnienia Neumanna dla równania hiperbolicznego w przypadku n=2.

Opisać interpretację (fizyczną, chemiczną, lub dowolną inną) dla podanego przykładu.

2. Posługując się ogólną metodą wyprowadzania równań charakterystyk, wyprowadzić równania charaktery-

styk dla równania krzywych geodezyjnych postaci:

u

2

x

+ u

2

y

+ u

2

z

= n

2

,

gdzie n jest pewną stałą.

3. Posługując się wzorem Poissona dla koła, napisać rozwiązanie u(x, y) zagadnienia Dirichleta we wnętrzu

elipsy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

< 1

dla równania typu eliptycznego

a

2

u

xx

+ b

2

u

yy

= 0,

gdzie a, b są stałymi, z warunkiem brzegowym u(x) = g(x) dla x z brzegu elipsy.

4. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji f : [

−π, π] → R nieparzystej nie występują

składniki zawierające cosinus.

5. Niech φ będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a. Pokazać, że



B(0,ε)

|φ(y)| dy  Cε

2

ln ε

dla n = 2, gdzie C jest pewną stałą.

6. Niech funkcja u = u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) będzie harmoniczna. Czy funkcja w =

∂u

∂x

1

·

∂u

∂x

2

dla n = 2 jest

harmoniczna? Odpowiedź uzasadnić.

7. Określić typ równania

∆∆u

∂u

∂t

= 0

dla zmiennej x

∈ R

2

i wykazać, że funkcja

u(x, t) =



k=0

t

k

k!

2k

f (x),

gdzie f jest funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną, przy założeniu, że szereg można różniczkować

wyraz po wyrazie potrzebną liczbę razy, przedstawia rozwiązanie tego równania.

8. Jak można znaleźć wektor normalny zewnętrzny do kuli B(Θ, 1)

⊂ R

n

o środku w punkcie zero i promieniu

1 w dowolnym punkcie x

0

∈ ∂B(Θ, 1).

1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Egzamin z chemii 2007-2008
pytania z testowe z egzaminów 2007 2008, Prywatne, FIZJOLOGIA od LILI, pytania
Instytucje i pojecia prawa administracyjnego egzamin 2007-2008, pliki zamawiane, edukacja
EGZ 2010, PYTANIA EGZAMINACYJNE 2007/2008
Egzamin 2007 2008
ZAGADNIENIA EGZAMINACYJNE 8,9, ZAGADNIENIA EGZAMINACYJNE - DYDAKTYKA OGÓLNA (2007/2008)
ZAGADNIENIA EGZAMINACYJNE 3,4,6,7,8,9, ZAGADNIENIA EGZAMINACYJNE - DYDAKTYKA OGÓLNA (2007/2008)
prawo wykroczeń pytania z egzaminu 2007 - 2008, pliki zamawiane, edukacja
Pytania Tomek, studia, 3 rok, Mikrobiologia, pytania, testy, Rok akademicki 2007-2008, Egzamin Koфco
Elektra cz.II, Ukw, II Lic, Elektrotechnika, Egzamin 2007-2008
DEgz1-2008 zakres 2007-2008, AA informatyka - studia, cwiczenia i egzaminy
Zagadnienia egzamin 2007 2008 ETI
Elektra cz.I, Ukw, II Lic, Elektrotechnika, Egzamin 2007-2008
materały pdf sem III Egzamin BM Inż Mat 2007 2008 II
Histologia egzamin, GIEŁDA TESTOWA Z HISTOLOGII - STOMATOLOGIA 2007/2008
GK EGZAMIN 2007 2008
Tem-egz-sem IV 2007-2008(2), gik, semestr 4, Wyższa, Geodezja Wyższa, !egzamin

więcej podobnych podstron