MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 13

18.06.2008 r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Punkty równowagi Lagrange’a

Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi
przez barycentrum są położone na
symetralnej odcinka łączącego masy m1 i m2.

Stąd, że siła dośrodkowa może byd w całości
kompensowana przez siłę o tym samym kierunku
(przeciwnym zwrocie) dostaliśmy a=d.

W związku z tym punkt równowagi leży w
wierzchołku trójkąta równobocznego, którego
podstawą jest linia łącząca obie masy.

Ze względu na symetrię w układzie istnieje drugi
punkt trójkątny.

Poza tym istnieją jeszcze trzy punkty leżące na
linii łączącej obie masy.

m

1

m

2

P

a

b

a

O

d

α

α

β

γ

g

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Punkty równowagi to punkty osobliwe powierzchni zerowej prędkości:

które są zdefiniowane poprzez:

gdzie U jest wprowadzonym wcześniej pseudo potencjałem:

0

C

U

2

J

0

z

U

0

y

U

0

x

U

2

2

1

1

2

2

2

r

r

y

x

2

n

U

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Z równania

oraz z równao ruchu:

Wynika, że w każdym punkcie osobliwym mamy:

czyli, punkty osobliwe są jednocześnie punktami równowagi

0

z

U

0

y

U

0

x

U

z

U

z

y

U

x

n

2

y

x

U

y

n

2

x

















0

z

y

x

,

0

z

y

x



















Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

z

r

r

z

3

2

2

3

1

1





Co więcej pamiętając, że

oraz

otrzymujemy, że z=0. W takim razie zagadnienie sprowadza się do zagadnienia
płaskiego, które rozpatrujemy w płaszczyźnie x-y

Oprócz z=0, przyjmujemy taki układ jednostek, w którym odległośd mas jest
równa 1 oraz n=1.

0

z

U

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

nt

ξ

η

x

μ

2

μ

1

y

r

1

r

r

2

O

(ξ

2

,η

2

,ζ

2

)

(ξ

1

,η

1

,ζ

1

)

Ruch cząstki opisujemy w układzie
(x,y) rotującym ze stałą prędkością

Korzystając z wcześniejszych definicji
mamy:

korzystając z powyższych równao oraz
z faktu, że μ

1

+μ

2

=1 otrzymujemy:

co pozwala na przekształcenie U do
postaci:

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

y

x

r

y

x

r

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

y

x

r

r

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

r

r

1

2

r

r

1

U

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

r

r

1

2

r

r

1

U

Otrzymana postad potencjału jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnych cząstkowych
ze względu na brak zależności od x i y

Dla znalezienia punktów równowagi musimy rozwiązad układ równao:

0

y

r

r

U

y

r

r

U

y

U

0

x

r

r

U

x

r

r

U

x

U

2

2

1

1

2

2

1

1

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych dostajemy:

(13.1)

Rozwiązanie trywialne tego układu:

daje r

1

=r

2

=1 (w przyjętym układzie jednostek). Ponieważ jednocześnie odległośd

między masami jest równa 1, więc otrzymaliśmy wprowadzone wcześniej punkty
trójkątne

0

r

y

r

r

1

r

y

r

r

1

0

r

x

r

r

1

r

x

r

r

1

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

0

r

r

1

0

r

r

1

2

2

2

2

1

2

1

1

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Można zauważyd, że innym rozwiązaniem drugiego z równao 13.1 jest y=0 co oznacza,
że pozostałe punkty równowagi leżą na osi x i spełniają pierwsze z równao 13.1

Są trzy takie punkty. L

1

leżący pomiędzy

masami, L

2

położony na prawo od μ

2

oraz L

3

znajdujący się na lewo od masy μ

1

.

Wykorzystując te informacje możemy
rozwiązywad kolejno pierwsze z równao
13.1 dla poszczególnych przypadków

μ

2

μ

1

L

1

L

2

L

3

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

W przypadku punktu L

1

mamy:

Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy:

a po przekształceniu:

(13.2)

1

x

r

x

r

x

r

x

r

1

r

r

2

1

1

2

2

1

2

1

0

r

r

1

r

1

r

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

1

2

r

1

r

r

1

3

r

r

1

r

3

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Zdefiniujmy:

wtedy:

W przypadku małych r

2

przybliżonym rozwiązaniem tego równania jest r

2

=α

Po rozwinięciu równania 13.2 w szereg otrzymujemy:

Aby otrzymad zależnośd r

2

(α) możemy odwrócid powyższy szereg wykorzystując

metodę podaną przez Lagrange’a (wykład 8)

3

/

1

1

2

3

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

r

1

r

r

1

3

r

r

1

r

3

3

5

2

4

2

3

2

2

2

2

r

O

r

81

53

r

3

1

r

3

1

r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Porównując równania:

możemy napisad:

gdzie nowa funkcja φ jest zdefiniowana jako:

5

2

4

2

3

2

2

2

2

r

O

r

81

53

r

3

1

r

3

1

r

1

e

e

z

2

2

r

3

1

r

5

2

4

2

3

2

2

2

2

r

O

r

27

53

r

r

r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

W takim razie mamy:

pamiętając, że:

otrzymujemy ostatecznie:

5

4

3

2

2

7

6

3

5

4

3

2

6

5

4

2

O

30

d

d

O

O

10

4

d

d

O

2

j

1

j

1

j

1

j

j

z

dz

d

!

j

e

z

5

4

3

2

j

1

j

1

j

1

j

j

2

O

81

23

9

1

3

1

d

d

!

j

3

/

1

r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

W przypadku punktu L

2

mamy:

Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy:

a po przekształceniu:

1

x

r

x

r

x

r

x

r

1

r

r

2

1

1

2

2

1

2

1

0

r

r

1

r

1

r

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

3

2

2

2

2

2

2

3

2

1

2

r

1

r

1

3

r

r

1

r

3

Postępując podobnie jak w przypadku L

1

dostajemy:

5

4

3

2

2

5

2

4

2

3

2

2

2

2

O

81

31

9

1

3

1

r

r

O

r

81

1

r

3

1

r

3

1

r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Dla L

3

mamy:

Tym razem w równaniu 13.1a podstawiamy za r

2

:

a po przekształceniu:

Jeśli dokonamy podstawienia r

1

=1+β (czyli r

2

=2+β) to otrzymamy:

1

x

r

x

r

x

r

x

r

1

r

r

2

1

1

2

2

1

1

2

0

r

1

r

1

1

r

r

1

1

2

1

2

1

2

1

1

3

r

3

r

r

r

1

r

1

1

2

1

3

1

2

1

3

1

1

2

4

1

2

3

1

2

2

1

2

1

2

4

3

2

1

2

O

20736

13223

12

7

12

7

O

343

1567

49

144

7

12

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

Położenia krzywych zerowej prędkości
i punktów osobliwych w przypadku
stosunku mas μ

2

=0.2

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

C

J

Położenia punktów osobliwych (μ

2

=0.2)

w funkcji wartości stałej Jacobiego.

Najmniejszą wartośd C

J

mają punkty

L

4

i L

5

Dla cząstki, której C

J

<C

J

4,5

, nie ma

obszarów wzbronionych

Przyjmiemy, że punkty równowagi są
numerowane według malejącej wartości
stałej Jacobiego

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Położenie punktów równowagi Lagrange’a

W Układzie Słonecznym największą
wartośd μ

2

ma układ Pluton-Charon,

gdzie μ

2

=10

-1

, a dla układu

Ziemia-Księżyc μ

2

=10

-2

.

Wszystkie inne układy planeta-księżyc i
Słooce-planeta mają μ

2

o co najmniej

rząd mniejsze, co sprawia, że kształt
krzywych zerowej prędkości i położenia
punktów równowagi badamy w
przybliżeniu małych μ

2

(na rys. =0.01)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Załóżmy, że punkt równowagi ma współrzędne (x

0

,y

0

). Rozpatrzymy małe wychylenie

(X,Y) z położenia równowagi takie, że:

Podstawiamy do równao ruchu:

i po rozwinięciu w szereg Taylora dostajemy:

Y

y

y

X

x

x

0

0

y

U

x

n

2

y

x

U

y

n

2

x













0

2

2

0

2

0

0

0

0

2

0

2

2

0

0

0

y

U

Y

y

x

U

X

y

U

y

Y

y

U

x

X

y

U

X

n

2

Y

y

x

U

Y

x

U

X

x

U

y

Y

x

U

x

X

x

U

Y

n

2

X













Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Pamiętając, że n=1 i oznaczając stałe wielkości jako:

możemy przepisad otrzymane równania jako:

(13.3)

a następnie w postaci macierzowej:

co pozwala zmienid problem rozwiązania układu dwóch równao drugiego rzędu w
cztery układ czterech równao rzędu pierwszego

0

2

2

y y

0

2

xy

0

2

2

xx

y

U

U

y

x

U

U

x

U

U

yy

xy

xy

xx

YU

XU

X

2

Y

YU

XU

Y

2

X













Y

X

Y

X

0

2

U

U

2

0

U

U

1

0

0

0

0

1

0

0

Y

X

Y

X

y y

xy

xy

xx

















Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Układ równao ma teraz postad:

gdzie:

Jego równanie charakterystyczne:

X

A

X







0

2

U

U

2

0

U

U

1

0

0

0

0

1

0

0

A

Y

X

Y

X

X

y y

xy

xy

xx









0

0

2

U

U

2

0

U

U

1

0

0

0

0

1

0

0

I

A

det

y y

xy

xy

xx





Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Otrzymane równanie charakterystyczne redukuje się do wielomianu:

Takie równanie łatwo przekształcid do równania kwadratowego i wyznaczyd wszystkie
cztery pierwiastki:

0

U

U

U

U

U

4

2

xy

yy

xx

2

yy

xx

4

2

/

1

2

/

1

2

xy

y y

xx

2

y y

xx

y y

xx

4

,

3

2

/

1

2

/

1

2

xy

y y

xx

2

y y

xx

y y

xx

2

,

1

U

U

U

4

U

U

4

2

1

4

U

U

2

1

U

U

U

4

U

U

4

2

1

4

U

U

2

1

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Możemy napisad teraz ogólne rozwiązania (α

j

są stałymi):

(13.4a)

oraz (β

j

są stałymi):

(13.4b)

Stałe β

j

są zależne od α

j

ponieważ w ogólnym rozwiązaniu mogą byd tylko cztery stałe.

Zależnośd między nimi można znaleźd podstawiając powyższe równania do dowolnego
z równao 13.3. Otrzymamy wtedy:

4

1

j

t

j

j

4

1

j

t

j

j

j

e

X

e

X



4

1

j

t

j

j

4

1

j

t

j

j

j

e

Y

e

Y



0

e

U

U

2

t

4

1

j

j

xy

j

xx

j

j

2

j

j

j

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Trywialne rozwiązanie tego równania pozwala uzyskad zależnośd pomiędzy stałymi:

Co oznacza, że jeżeli w momencie czasu t=0 znamy warunki początkowe

to możemy wyznaczyd stałe α

j

(a więc także β

j

) rozwiązując układ czterech

równao liniowych:

(13.5)

j

xy

j

xx

2

j

j

U

2

U

0

0

0

0

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X









4

1

j

0

j

j

4

1

j

4

1

j

0

j

0

j

j

4

1

j

0

j

Y

Y

X

X





Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

Pełne rozwiązanie jest dane równaniami 13.4, dla których stałe można wyznaczyd
z równao 13.5. Jednak aby zbadad stabilnośd punktów równowagi wystarczy
rozpatrzenie tylko wartości własnych.

W tym celu zdefiniujemy następujące wielkości:

0

5

2

2

1

0

2

0

5

1

2

2

0

1

0

0

5

2

1

0

2

0

5

1

2

0

1

2

0

0

5

2

2

0

5

1

1

0

3

2

2

0

3

1

1

r

x

r

x

3

D

y

r

x

r

x

3

C

y

r

r

3

B

r

r

A

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

W takim razie mamy:

Ogólnie wartości własne możemy zapisad jako liczby zespolone postaci:

gdzie j

1

,k

1

,j

2

,k

2

są liczbami rzeczywistymi. Wartości własne decydują o stabilności

ponieważ ogólne rozwiązanie układu zlinearyzowanego jest superpozycją
wyrazów typu:

C

U

B

A

1

U

D

A

1

U

xy

y y

xx

2

2

4

,

3

1

1

2

,

1

ik

j

ik

j

kt

sin

i

kt

cos

t

j

exp

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a

- dla j 0 co najmniej jeden czynnik w równaniach 13.4 będzie rozbieżny i
ruch jest niestabilny
- gdy j=0 mamy rozwiązanie oscylujące (punkt liniowo stabilny)

Wynika stąd, że punkt równowagi jest stabilny jeżeli wszystkie wartości własne
są liczbami urojonymi.

Badanie liniowej stabilności wskazuje, że:

- punkty L

1

, L

2

, L

3

są liniowo niestabilne

- punkty L

4

, L

5

są stabilne dla szczególnych wartości μ

2

, które można wyznaczyd następująco

kt

sin

i

kt

cos

t

j

exp

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L

4

, L

5

)

C

U

B

A

1

U

D

A

1

U

xy

y y

xx

2

/

1

2

/

1

2

xy

y y

xx

2

y y

xx

y y

xx

4

,

3

2

/

1

2

/

1

2

xy

y y

xx

2

y y

xx

y y

xx

2

,

1

U

U

U

4

U

U

4

2

1

4

U

U

2

1

U

U

U

4

U

U

4

2

1

4

U

U

2

1

Uzyskane wcześniej:

podstawiamy do równao:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L

4

, L

5

)

0385

.

0

54

621

27

2

W efekcie dostajemy:

a więc wartości własne będą liczbami urojonymi wtedy gdy:

Otrzymujemy stąd warunek stabilności (liniowej):

2

1

27

1

1

2

1

27

1

1

2

2

4

,

3

2

2

2

,

1

0

1

27

1

2

2

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L

4

, L

5

)

W przypadku stabilności liniowej punktów trójkątnych są dwa wyjątki dla:

μ

2

=0.0243

μ

2

=0.0135

Dla takich wartości punkty trójkątne są niestabilne pomimo, że spełniony jest
warunek stabilności.

Punkty współliniowe są niestabilne, ale tylko w przypadku liniowej analizy
stabilności. Okazuje się, że przy uwzględnieniu wyrazów wyższych rzędów
możemy otrzymad orbity stabilne.

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L1)

http://sohowww.nascom.nasa.gov

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L1)

http://sohowww.nascom.nasa.gov

Ograniczone zagadnienie 3 ciał

Stabilnośd punktów równowagi Lagrange’a (L2)

WMAP

James Webb
Space Telescope (JWST)