Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
1
Teoria powlok
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
2
Równania teorii sprezystosci dla trójkierunkowego
stanu naprezenia i odksztalcenia
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
3
Równania równowagi
0
Xdxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dy
y
dydz
dydz
dx
x
zx
zx
zx
yx
yx
yx
x
x
x
0
Ydxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dy
y
dydz
dydz
dx
x
zy
zy
zy
y
y
y
xy
xy
xy
0
Zdxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dz
y
dydz
dydz
dx
x
z
z
z
yz
yz
yz
xz
xz
xz
=
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
=
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
=
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
4
Równania równowagi cd.
0
X
z
y
x
zx
yx
x
0
Y
z
y
x
zy
y
xy
0
Z
z
y
x
z
yz
xz
=
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
σ
∂
=
+
∂
τ
∂
+
∂
σ
∂
+
∂
τ
∂
=
+
∂
σ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
5
Równania równowagi cd.
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
X
xz
xy
x
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
Y
yz
y
yx
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
Z
z
zy
zx
τ
+
τ
+
σ
=
τ
+
σ
+
τ
=
σ
+
τ
+
τ
=
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
6
Przestrzenny uklad odksztalcen
z
v
y
x
x
w
z
x
y
w
x
v
z
w
y
v
x
u
x
u
x
y
v
y
z
w
z
z
u
x
w
xz
y
u
x
v
xy
z
v
y
w
yz
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ε
∂
∂
=
ε
∂
∂
=
ε
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
7
Przestrzenny uklad odksztalcen cd.
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
+
ε
+
ε
=
ε
+
ε
+
ε
=
x
z
y
x
z
y
2
yz
xy
xz
x
2
y
x
z
y
z
x
2
xz
yz
xy
y
2
z
y
x
z
y
x
2
xy
xz
yz
z
2
z
w
y
v
x
u
e
z
y
x
3
2
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
8
Zwiazek pomiedzy naprezeniami i odksztalceniami wycinka
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
τ
=
γ
τ
=
γ
τ
=
γ
( )
ν
+
⋅
=
2
1
3
3
1
3
2
2
3
2
1
1
E
1
E
1
E
1
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
x
E
1
E
1
E
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
1
2
E
G
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
9
Teoria powlok cienkich
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
τ
=
γ
τ
=
γ
τ
=
γ
( )
ν
+
⋅
=
2
1
3
3
1
3
2
2
3
2
1
1
E
1
E
1
E
1
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
x
E
1
E
1
E
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
1
2
E
G
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
10
Sily przekrojowe
Momenty przekrojowe
z
y
x
Szerokosc wycinka zmienna po wysokosci wedlug zaleznosci
przy zalozeniu szerokosci równej 1 dla z=0
Stan zgieciowy
(
)
( )
+
+
z
z
r
i
z
z
r
y
x
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
11
Sily i momenty przekrojowe
∫
+
−
+
σ
=
∫
+
−
+
σ
=
∫
+
−
+
τ
=
∫
+
−
+
τ
=
∫
+
−
+
σ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
σ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
h
h
y
x
x
dz
r
z
1
N
h
h
x
y
y
dz
r
z
1
N
h
h
y
xy
xy
dz
r
z
1
N
h
h
x
yx
yx
dz
r
z
1
N
h
h
y
x
x
zdz
r
z
1
M
h
h
y
xy
xy
zdz
r
z
1
M
h
h
x
y
y
zdz
r
z
1
M
h
h
x
yx
yx
zdz
r
z
1
M
h
h
y
xz
x
dz
r
z
1
Q
h
h
x
yz
y
dz
r
z
1
Q
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
12
Zachodzi równosc naprezen stycznych
Równosc sil poprzecznych i momentów skrecajacych
zachodzi, gdy krzywizny sa jednakowe:
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
13
Stan blonowy
Naprezenia normalne w przekroju maja po wysokosci stala wartosc,
Stad na dlugosci jednostkowej:
Wartosci sil na dlugosci jednostkowej:
Wartosci momentów na dlugosci jednostkowej:
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
14
Warunki wystapienia stanu blonowego
• Powierzchnia srodkowa zakrzywiona w sposób ciagly,
• grubosc powloki stala lub zmieniajaca sie w sposób ciagly,
• obciazenia powierzchniowe rozlozone w sposób ciagly i przebiegajace
dosc równomiernie,
• wypadkowe sily brzegowe styczne do powierzchni srodkowej,
• lozyska lub inne elementy podporowe przylegajace do powloki
i ograniczajace swobodne odksztalcenia brzegu musza powodowac
powstawanie sil brzegowych stycznych do jej powierzchni srodkowej.
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
15
- kat wyznaczajacy poludnik,
- kat wyznaczajacy równoleznik,
r
1
, r
2
– krzywizny glówne,
r
0
– promien równoleznika,
X, Y, Z – skladowe obciazenia zewnetrznego.
Teoria powlok obrotowych
ϑ
ϑ
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
=
+
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
=
+
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
=
+
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
=
+
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
υ
ϕ
υϕ
ϕυ
=
.
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
N
N
N
N
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
16
Wartosci sil na krawedziach wycinka przemnozone
przez dlugosc danej krawedzi:
Róznice we wzorach wynikaja z faktu, iz dlugosci krawedzi
o przebiegu równoleznikowym nie sa jednakowe.
( )
(
)
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
ϕ
ϑ
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
ϑ
ϑ
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
ϑ
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
ϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
.
d
r
N
N
,
d
r
N
,
d
r
N
r
N
,
d
r
N
,
d
r
N
r
N
,
d
r
N
,
d
r
N
N
,
d
r
N
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
17
Warunki brzegowe
Trzy równania równowagi:
1. W kierunku stycznej do równoleznika
( sily N r
1
d tworza kat d cos )
:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni
( sily N r
0
d
tworza kat d )
:
ϑϕ
ϕ
ϑ
ϕ
ϕ
ϑ
ϕ
(
)
(
)
=
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
ϕ
+
ϑ
ϕ
ϕ
∂
∂
+
ϕ
ϑ
ϑ
∂
∂
ϑϕ
ϕϑ
ϑ
( )
=
ϕ
ϑ
+
ϑ
ϕ
ϕ
−
ϕ
ϑ
ϑ
∂
∂
+
ϑ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϑ
ϑϕ
ϕ
=
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
ϕ
ϕ
ϑ
0
d
d
r
Xr
cos
d
d
r
N
d
d
r
N
d
r
d
N
1
0
1
0
1
0
d
d
r
Yr
d
d
cos
r
N
d
d
r
N
d
d
r
N
1
0
1
1
0
0
d
d
r
Zr
d
d
r
N
d
d
sin
r
N
1
0
0
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
18
Poniewaz r
0
=r
2
sin , uzyskuje sie po podzieleniu przez d d :
1. W kierunku stycznej do równoleznika:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni:
ϕ
ϕ ϑ
(
) ( )
=
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
+
ϑ
∂
∂
ϑϕ
ϕϑ
ϑ
( )
=
+
ϕ
−
ϑ
∂
∂
+
ϕ
∂
∂
ϑ
ϑϕ
ϕ
−
=
+
=
+
+
ϕ
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
0
r
Xr
cos
r
N
r
N
r
N
1
0
1
0
1
0
r
Yr
cos
r
N
r
N
r
N
1
0
1
1
0
Z
r
N
r
N
0
r
Zr
r
N
sin
r
N
1
2
1
0
0
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
19
Pochodne wzgledem kata sa równe 0
Jezeli skladowa X=0, to:
1. W kierunku stycznej do równoleznika:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni
Obciazenia obrotowo-symetryczne
ϑ
=
=
ϕϑ
ϑϕ
=
+
ϕ
−
ϕ
∂
∂
ϑ
ϕ
−
=
+
ϕ
ϑ
0
N
N
0
r
Yr
cos
r
N
r
N
1
0
1
0
Z
r
N
r
N
1
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
20
Z równania 3 (slajd 19):
Z równania 2 (slajd 19):
Wykorzystujac zaleznosc: r
0
=r
2
sin i mnozac powyzsze równanie
przez - sin , uzyskuje sie:
Obciazenia obrotowo-symetryczne
ϕ
ϕ
−
−
=
ϕ
ϑ
=
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
2
1
2
Zr
r
r
N
N
0
r
Yr
cos
r
Zr
cos
r
N
r
N
1
0
2
1
2
0
0
sin
r
Yr
cos
sin
r
Zr
cos
sin
r
N
sin
sin
r
N
2
1
2
2
1
2
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
21
Z równania 3 (slajd 19):
Z równania 2 (slajd 19):
Wykorzystujac zaleznosc: r
0
=r
2
sin i mnozac powyzsze równanie przez - sin ,
uzyskuje sie:
Pochodna funkcji (N r
2
sin ) sin , stad:
a dalej:
C – stala wyznaczana z warunków brzegowych
ϕ
ϕ
−
−
=
ϕ
ϑ
=
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
ϕ
ϕ
+
ϕ
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
(
)
[
]
∫
+
ϕ
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
−
=
ϕ
2
1
2
Zr
r
r
N
N
0
r
Yr
cos
r
Zr
cos
r
N
r
N
1
0
2
1
2
0
0
sin
r
Yr
cos
sin
r
Zr
cos
sin
r
N
sin
sin
r
N
2
1
2
2
1
2
2
sin
r
r
sin
Y
cos
Z
sin
r
N
d
d
2
1
2
2
C
d
sin
cos
Z
sin
Y
r
r
sin
r
1
N
2
1
2
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
22
Wyznaczanie sil N i N z warunku równowagi sil dzialajacych na czesc powloki
powyzej danego równoleznika:
N z równania:
N z zaleznosci:
ϕ
ϑ
ϑ
ϕ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
23
Document Outline
- Page 1
- Page 2
- Page 3
- Page 4
- Page 5
- Page 6
- Page 7
- Page 8
- Page 9
- Page 10
- Page 11
- Page 12
- Page 13
- Page 14
- Page 15
- Page 16
- Page 17
- Page 18
- Page 19
- Page 20
- Page 21
- Page 22
- Page 23
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Nanoszenie powlok id 313546 Nieznany
Matematyka teoria 1 sem id 2838 Nieznany
8 IMIR teoria wzglednosci id 46 Nieznany (2)
P5 teoria niepewnosci id 344693 Nieznany
MOAJ TEORIA URB id 304442 Nieznany
ALG TEORIA ZAJ 3 id 56939 Nieznany (2)
Fiz teoria 1 45 id 173359 Nieznany
elektronika teoria liczb id 158 Nieznany
miernictwo1 teoria bledow id 77 Nieznany
zerowka teoria gier id 587276 Nieznany
Nanoszenie powlok id 313546 Nieznany
Ochrona teoria id 330276 Nieznany
Mierzenie teoria 2 id 299961 Nieznany
kudtba teoria id 253533 Nieznany
polimery teoria id 371571 Nieznany
Fizyka teoria 46 56 id 177204 Nieznany
filtracja teoria id 170991 Nieznany
E1 Teoria 2008 09 id 149145 Nieznany
ko o z doju teoria id 237555 Nieznany
więcej podobnych podstron