Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
1
Teoria powlok
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
1
Teoria powlok
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
2
Równania teorii sprezystosci dla trójkierunkowego
stanu naprezenia i odksztalcenia
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
3
Równania równowagi
0
Xdxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dy
y
dydz
dydz
dx
x
zx
zx
zx
yx
yx
yx
x
x
x
0
Ydxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dy
y
dydz
dydz
dx
x
zy
zy
zy
y
y
y
xy
xy
xy
0
Zdxdydz
dxdy
dxdy
dz
z
dxdz
dxdz
dz
y
dydz
dydz
dx
x
z
z
z
yz
yz
yz
xz
xz
xz
=
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
=
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
=
+
σ
−
∂
σ
∂
+
σ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
+
τ
−
∂
τ
∂
+
τ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
4
Równania równowagi cd.
0
X
z
y
x
zx
yx
x
0
Y
z
y
x
zy
y
xy
0
Z
z
y
x
z
yz
xz
=
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
σ
∂
=
+
∂
τ
∂
+
∂
σ
∂
+
∂
τ
∂
=
+
∂
σ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
5
Równania równowagi cd.
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
X
xz
xy
x
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
Y
yz
y
yx
)
nz
cos(
)
ny
cos(
)
nx
cos(
Z
z
zy
zx
τ
+
τ
+
σ
=
τ
+
σ
+
τ
=
σ
+
τ
+
τ
=
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
6
Przestrzenny uklad odksztalcen
z
v
y
x
x
w
z
x
y
w
x
v
z
w
y
v
x
u
x
u
x
y
v
y
z
w
z
z
u
x
w
xz
y
u
x
v
xy
z
v
y
w
yz
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ε
∂
∂
=
ε
∂
∂
=
ε
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
7
Przestrzenny uklad odksztalcen cd.
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ
∂
∂
∂
=
∂
∂
ε
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
+
ε
+
ε
=
ε
+
ε
+
ε
=
x
z
y
x
z
y
2
yz
xy
xz
x
2
y
x
z
y
z
x
2
xz
yz
xy
y
2
z
y
x
z
y
x
2
xy
xz
yz
z
2
z
w
y
v
x
u
e
z
y
x
3
2
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
8
Zwiazek pomiedzy naprezeniami i odksztalceniami wycinka
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
τ
=
γ
τ
=
γ
τ
=
γ
( )
ν
+
⋅
=
2
1
3
3
1
3
2
2
3
2
1
1
E
1
E
1
E
1
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
x
E
1
E
1
E
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
1
2
E
G
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
9
Teoria powlok cienkich
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
σ
+
σ
⋅
ν
−
σ
⋅
=
ε
τ
=
γ
τ
=
γ
τ
=
γ
( )
ν
+
⋅
=
2
1
3
3
1
3
2
2
3
2
1
1
E
1
E
1
E
1
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
x
E
1
E
1
E
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
1
2
E
G
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
10
Sily przekrojowe
Momenty przekrojowe
z
y
x
Szerokosc wycinka zmienna po wysokosci wedlug zaleznosci
przy zalozeniu szerokosci równej 1 dla z=0
Stan zgieciowy
(
)
( )
+
+
z
z
r
i
z
z
r
y
x
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
11
Sily i momenty przekrojowe
∫
+
−
+
σ
=
∫
+
−
+
σ
=
∫
+
−
+
τ
=
∫
+
−
+
τ
=
∫
+
−
+
σ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
σ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
∫
+
−
+
τ
−
=
h
h
y
x
x
dz
r
z
1
N
h
h
x
y
y
dz
r
z
1
N
h
h
y
xy
xy
dz
r
z
1
N
h
h
x
yx
yx
dz
r
z
1
N
h
h
y
x
x
zdz
r
z
1
M
h
h
y
xy
xy
zdz
r
z
1
M
h
h
x
y
y
zdz
r
z
1
M
h
h
x
yx
yx
zdz
r
z
1
M
h
h
y
xz
x
dz
r
z
1
Q
h
h
x
yz
y
dz
r
z
1
Q
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
12
Zachodzi równosc naprezen stycznych
Równosc sil poprzecznych i momentów skrecajacych
zachodzi, gdy krzywizny sa jednakowe:
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
13
Stan blonowy
Naprezenia normalne w przekroju maja po wysokosci stala wartosc,
Stad na dlugosci jednostkowej:
Wartosci sil na dlugosci jednostkowej:
Wartosci momentów na dlugosci jednostkowej:
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
14
Warunki wystapienia stanu blonowego
• Powierzchnia srodkowa zakrzywiona w sposób ciagly,
• grubosc powloki stala lub zmieniajaca sie w sposób ciagly,
• obciazenia powierzchniowe rozlozone w sposób ciagly i przebiegajace
dosc równomiernie,
• wypadkowe sily brzegowe styczne do powierzchni srodkowej,
• lozyska lub inne elementy podporowe przylegajace do powloki
i ograniczajace swobodne odksztalcenia brzegu musza powodowac
powstawanie sil brzegowych stycznych do jej powierzchni srodkowej.
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
15
- kat wyznaczajacy poludnik,
- kat wyznaczajacy równoleznik,
r
1
, r
2
– krzywizny glówne,
r
0
– promien równoleznika,
X, Y, Z – skladowe obciazenia zewnetrznego.
Teoria powlok obrotowych
ϑ
ϑ
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
=
+
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
=
+
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
=
+
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
=
+
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
υ
ϕ
υϕ
ϕυ
=
.
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
,
N
N
dN
N
N
N
N
N
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
16
Wartosci sil na krawedziach wycinka przemnozone
przez dlugosc danej krawedzi:
Róznice we wzorach wynikaja z faktu, iz dlugosci krawedzi
o przebiegu równoleznikowym nie sa jednakowe.
( )
(
)
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
ϕ
ϑ
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
ϑ
ϑ
ϕ
∂
ϕ
∂
∂
+
ϑ
ϕ
ϑ
∂
ϑ
∂
∂
+
ϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϑϕ
ϕϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
.
d
r
N
N
,
d
r
N
,
d
r
N
r
N
,
d
r
N
,
d
r
N
r
N
,
d
r
N
,
d
r
N
N
,
d
r
N
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
17
Warunki brzegowe
Trzy równania równowagi:
1. W kierunku stycznej do równoleznika
( sily N r
1
d tworza kat d cos )
:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni
( sily N r
0
d
tworza kat d )
:
ϑϕ
ϕ
ϑ
ϕ
ϕ
ϑ
ϕ
(
)
(
)
=
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
ϕ
+
ϑ
ϕ
ϕ
∂
∂
+
ϕ
ϑ
ϑ
∂
∂
ϑϕ
ϕϑ
ϑ
( )
=
ϕ
ϑ
+
ϑ
ϕ
ϕ
−
ϕ
ϑ
ϑ
∂
∂
+
ϑ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϑ
ϑϕ
ϕ
=
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
+
ϕ
ϑ
ϕ
ϕ
ϑ
0
d
d
r
Xr
cos
d
d
r
N
d
d
r
N
d
r
d
N
1
0
1
0
1
0
d
d
r
Yr
d
d
cos
r
N
d
d
r
N
d
d
r
N
1
0
1
1
0
0
d
d
r
Zr
d
d
r
N
d
d
sin
r
N
1
0
0
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
18
Poniewaz r
0
=r
2
sin , uzyskuje sie po podzieleniu przez d d :
1. W kierunku stycznej do równoleznika:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni:
ϕ
ϕ ϑ
(
) ( )
=
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
+
ϑ
∂
∂
ϑϕ
ϕϑ
ϑ
( )
=
+
ϕ
−
ϑ
∂
∂
+
ϕ
∂
∂
ϑ
ϑϕ
ϕ
−
=
+
=
+
+
ϕ
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
0
r
Xr
cos
r
N
r
N
r
N
1
0
1
0
1
0
r
Yr
cos
r
N
r
N
r
N
1
0
1
1
0
Z
r
N
r
N
0
r
Zr
r
N
sin
r
N
1
2
1
0
0
1
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
19
Pochodne wzgledem kata sa równe 0
Jezeli skladowa X=0, to:
1. W kierunku stycznej do równoleznika:
2. W kierunku stycznej do poludnika:
3. W kierunku normalnej do powierzchni
Obciazenia obrotowo-symetryczne
ϑ
=
=
ϕϑ
ϑϕ
=
+
ϕ
−
ϕ
∂
∂
ϑ
ϕ
−
=
+
ϕ
ϑ
0
N
N
0
r
Yr
cos
r
N
r
N
1
0
1
0
Z
r
N
r
N
1
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
20
Z równania 3 (slajd 19):
Z równania 2 (slajd 19):
Wykorzystujac zaleznosc: r
0
=r
2
sin i mnozac powyzsze równanie
przez - sin , uzyskuje sie:
Obciazenia obrotowo-symetryczne
ϕ
ϕ
−
−
=
ϕ
ϑ
=
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
2
1
2
Zr
r
r
N
N
0
r
Yr
cos
r
Zr
cos
r
N
r
N
1
0
2
1
2
0
0
sin
r
Yr
cos
sin
r
Zr
cos
sin
r
N
sin
sin
r
N
2
1
2
2
1
2
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
21
Z równania 3 (slajd 19):
Z równania 2 (slajd 19):
Wykorzystujac zaleznosc: r
0
=r
2
sin i mnozac powyzsze równanie przez - sin ,
uzyskuje sie:
Pochodna funkcji (N r
2
sin ) sin , stad:
a dalej:
C – stala wyznaczana z warunków brzegowych
ϕ
ϕ
−
−
=
ϕ
ϑ
=
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
ϕ
ϕ
+
ϕ
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
(
)
[
]
∫
+
ϕ
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ
−
=
ϕ
2
1
2
Zr
r
r
N
N
0
r
Yr
cos
r
Zr
cos
r
N
r
N
1
0
2
1
2
0
0
sin
r
Yr
cos
sin
r
Zr
cos
sin
r
N
sin
sin
r
N
2
1
2
2
1
2
2
sin
r
r
sin
Y
cos
Z
sin
r
N
d
d
2
1
2
2
C
d
sin
cos
Z
sin
Y
r
r
sin
r
1
N
2
1
2
2
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
22
Wyznaczanie sil N i N z warunku równowagi sil dzialajacych na czesc powloki
powyzej danego równoleznika:
N z równania:
N z zaleznosci:
ϕ
ϑ
ϑ
ϕ
Czestochowa, 2009
Opracowala: dr inz. Beata Ordon
23